I- FORME ALGÉBRIQUE D`UN NOMBRE COMPLEXE 1) Définition 2

COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
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I- FORME ALGÉBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
1) Définition
Définition : tout nombre complexe est un nombre de la forme z = a + ib, où a et b sont
deux nombres réels et i est un nombre tel que i² = -1.
Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe.
Tout nombre complexe de la forme z = ib, (où b ) s’appelle un imaginaire pur.
Si un nombre complexe a une partie imaginaire nulle, alors on l’assimile au nombre réel a.
Exemples :
o z1 = 10 + 4i, on a : Re(z1) = 10 et Im(z1) = 4
o z2 = - 3i, on a : Re(z2) = 0 et Im(z2) = -3
Remarque : les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Afin d’éviter toute
confusion entre l’intensité i du courant et le nombre complexe i dont le carré est -1
défini ci-dessus, ce nombre est noté j au lieu de i par les physiciens.
2) Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition : on se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ;  ; ) :
→ Pour tout nombre a et b réels, au point M de coordonnées (a, b) on peut associer le
nombre complexe z = a + ib. On dit que z est l’affixe du point M et que le point
M(a ; b) est le point image de nombre complexe z = a + ib.
→ Au vecteur 
 de coordonnées (a, b) on peut associer le nombre complexe
z = a + ib. On dit que z est l’affixe du vecteur 
 et que le vecteur  (a ; b)
est le vecteur image de nombre complexe z = a + ib.

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Exemple :
Remarque : on dit que dans le plan complexe, l’axe des abscisses est l’axe des réels et
que l’axe des ordonnées est l’axe des imaginaires.
3) Conjugué d’un nombre complexe
Définition : soit a et b deux nombres réels et z le nombre complexe défini par .
Le nombre complexe  est appelé conjugué de z et noté .
Exemples :
Propriété ( admise ) : si les points M et M’ sont les images respectives des nombres
complexes z et  dans le plan complexe, alors M et M’ sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses.
Géométriquement :
1–2i
M1:pointd’affixez.
M2:pointd’affixe et
symétriquedeM1par
rapportàl’axedes
abscisses.
M3:ilestlesymétrique
deM1parrapportàO,
sonaffixeest(‐z),c’est
l’opposédez.
M4:ilestlesymétrique
deM2parrapportàO,
sonaffixeest(‐
),c’est
l’opposéde
.

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4) Opérations
a) Egalité de deux nombres complexes
Définition : quelque soient a, a’, b et b’ deux nombres complexes a + bi et a’ + b’i sont
égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.
C’est-à-dire :
a + bi = a’ + b’i si et seulement si a = a’ et b = b’ avec a, a’, b et b’ quatre
réels.
Exemple : on cherche à déterminer tous les réels x et y tels que (x – 2) + (y – 1)i = 2 – 3i.
L’égalité entre les deux nombres complexes est équivalente au système suivant :
22
13
Equivaut à :
4
2
Cas particulier : si nous avons un nombre complexe z = a +ib tel que z = 0, alors 0
0
.
Les parties réelles et imaginaires sont nulles.
b) Addition et produit de deux nombres complexes
Remarque : les propriétés des opérations dans  restent vraies dans . En particulier :
o les produits remarquables sont aussi valables dans  ;
o l’addition et la multiplication dans  s’effectuent en utilisant les règles de
calcul usuel et le fait que i² = -1.
Exemples : on considère les nombres complexes z = -2 + i et z’ = 3 + 2i.
o z + z’ = (-2 + i) + (3 + 2i) = (-2 + 3) + (1 + 2)i = 1 + 3i.
o zz’ = (-2 + i)(3 + 2i) = (-6 - 2) + (-4 + 3)i = -8 - i.
c) Vecteur et affixe
Propriété ( admise ) : soit A et B deux points d’affixes zA et zB dans le plan muni d’un
repère orthonormal. Alors l’affixe 
du vecteur  est donnée par  = zB - zA.

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Exemple 1 : on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
zA = -2 - i ; zB = 3 + i ; zC = 6 + 4i et zD = 1 + 2i . Alors on a :
= zB - zA = 5 + 2i
= zC – zD = 5 + 2i
On en déduit que 
=  , donc ABCD est un parallélogrammme.
Exemple 2 :
z1 est l’affixe du vecteur 
.
z2 est l’affixe du vecteur 
.
z3 est l’affixe du vecteur 
.
Déterminer les formes algébriques de z1, z2 et z3.
2;3 ainsi z1 = 2 + 3i.
1;2 ainsi z2 = 1 - 2i.
3;1 ainsi z3 = 3 + i.
d) Opérations avec le conjugué
Propriété : pour tout nombre complexe z et z’, le conjugué d’une somme de deux
complexes z et z’ est égal à la somme des conjugués et le conjugué d’un produit de deux
complexes z et z’ est égal au produit des conjugués.
C’est-à-dire, z et z’ complexes : 
.
.
Propriété : quelque soit le nombre complexe z tel que z = a + bi, avec a et b deux réels,
on a : 
²².

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Démonstration : z = a + bi donc  = a - bi , ainsi, nous avons :
  ² ²²²  ²²  1
Exemple :
e) Inverse d’un nombre complexe non nul
La multiplication dans  ayant les mêmes propriétés que dans , on définit l’inverse de z comme
le nombre par lequel on doit multiplier z pour trouver 1. On regarde alors comment écrire
l’inverse de z sous la forme a + bi. L’idée est d’utiliser le conjugué du dénominateur pour
obtenir une écriture de z avec un dénominateur réel.
Propriété ( admise ) : quelque soit le nombre complexe z non nul tel que z = a + bi, avec a
et b deux réels, on a : 1
²²  ²² ²²
Remarque : pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse d’un
nombre complexe non nul, on multiplie donc le numérateur et le dénominateur par le
conjugué du dénominateur.
Exemples :
f) Quotient de deux nombres complexes
Le quotient du nombre complexe z par le nombre complexe non nul z’ est le produit de z par
l’inverse de z’. La règle de calcul ci-dessous est donc une conséquence directe de la règle de
calcul de l’inverse.