I- FORME ALGÉBRIQUE D`UN NOMBRE COMPLEXE 1) Définition 2

COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
I-
FORME ALGÉBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
1) Définition
Définition : tout nombre complexe est un nombre de la forme z = a + ib, où a et b sont
deux nombres réels et i est un nombre tel que i² = -1.
Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe.
Tout nombre complexe de la forme z = ib, (où b
) s’appelle un imaginaire pur.
Si un nombre complexe a une partie imaginaire nulle, alors on l’assimile au nombre réel a.
Exemples :
o
z1 = 10 + 4i, on a : Re(z1) = 10 et Im(z1) = 4
o
z2 = - 3i, on a : Re(z2) = 0 et Im(z2) = -3
Remarque : les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Afin d’éviter toute
confusion entre l’intensité i du courant et le nombre complexe i dont le carré est -1
défini ci-dessus, ce nombre est noté j au lieu de i par les physiciens.
2) Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition : on se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; ; ) :
→ Pour tout nombre a et b réels, au point M de coordonnées (a, b) on peut associer le
nombre complexe z = a + ib. On dit que z est l’affixe du point M et que le point
M(a ; b) est le point image de nombre complexe z = a + ib.
→ Au vecteur
de coordonnées (a, b) on peut associer le nombre complexe
z = a + ib. On dit que z est l’affixe du vecteur
et que le vecteur
(a ; b)
est le vecteur image de nombre complexe z = a + ib.
Maths – Tnale STI 1 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
Exemple :
1 – 2i Remarque : on dit que dans le plan complexe, l’axe des abscisses est l’axe des réels et
que l’axe des ordonnées est l’axe des imaginaires.
3) Conjugué d’un nombre complexe
Définition : soit a et b deux nombres réels et z le nombre complexe défini par
Le nombre complexe
.
est appelé conjugué de z et noté .
Exemples :
Propriété (admise) : si les points M et M’ sont les images respectives des nombres
complexes z et
dans le plan complexe, alors M et M’ sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses.
Géométriquement :
M3 : il est le symétrique de M1 par rapport à O, son affixe est (‐z), c’est l’opposé de z. M1 : point d’affixe z. M2 : point d’affixe et symétrique de M1 par rapport à l’axe des abscisses.
Maths – Tnale STI M4 : il est le symétrique de M2 par rapport à O, son affixe est (‐ ), c’est l’opposé de . 2 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
4) Opérations
a) Egalité de deux nombres complexes
Définition : quelque soient a, a’, b et b’ deux nombres complexes a + bi et a’ + b’i sont
égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.
C’est-à-dire : a + bi = a’ + b’i si et seulement si a = a’ et b = b’ avec a, a’, b et b’ quatre
réels.
Exemple : on cherche à déterminer tous les réels x et y tels que (x – 2) + (y – 1)i = 2 – 3i.
L’égalité entre les deux nombres complexes est équivalente au système suivant :
2 2
1
3
Equivaut à :
4
2
Cas particulier : si nous avons un nombre complexe z = a +ib tel que z = 0, alors
Les parties réelles et imaginaires sont nulles.
0
.
0
b) Addition et produit de deux nombres complexes
Remarque : les propriétés des opérations dans
restent vraies dans . En particulier :
o
les produits remarquables sont aussi valables dans
o
l’addition et la multiplication dans
;
s’effectuent en utilisant les règles de
calcul usuel et le fait que i² = -1.
Exemples : on considère les nombres complexes z = -2 + i et z’ = 3 + 2i.
o
z + z’ = (-2 + i) + (3 + 2i) = (-2 + 3) + (1 + 2)i = 1 + 3i.
o
zz’ = (-2 + i)(3 + 2i) = (-6 - 2) + (-4 + 3)i = -8 - i.
c) Vecteur et affixe
repère orthonormal. Alors l’affixe
du vecteur
est donnée par
= zB - zA.
Maths – Tnale STI Propriété (admise) : soit A et B deux points d’affixes zA et zB dans le plan muni d’un
3 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
Exemple 1 : on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
zA = -2 - i ; zB = 3 + i ; zC = 6 + 4i et zD = 1 + 2i . Alors on a :
= zB - zA = 5 + 2i
= zC – zD = 5 + 2i
On en déduit que
=
, donc ABCD est un parallélogrammme.
Exemple 2 :
z1 est l’affixe du vecteur
.
z2 est l’affixe du vecteur
.
z3 est l’affixe du vecteur
.
Déterminer les formes algébriques de z1, z2 et z3.
ƒ
2 ; 3 ainsi z1 = 2 + 3i.
ƒ
1 ; 2 ainsi z2 = 1 - 2i.
ƒ
3 ; 1 ainsi z3 = 3 + i.
d) Opérations avec le conjugué
Propriété : pour tout nombre complexe z et z’, le conjugué d’une somme de deux
complexes z et z’ est égal à la somme des conjugués et le conjugué d’un produit de deux
complexes z et z’ est égal au produit des conjugués.
.
.
Propriété : quelque soit le nombre complexe z tel que z = a + bi, avec a et b deux réels,
on a :
²
².
Maths – Tnale STI C’est-à-dire, z et z’ complexes :
4 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
Démonstration : z = a + bi donc
= a - bi , ainsi, nous avons :
²
²
² ²
²
² 1
Exemple :
e) Inverse d’un nombre complexe non nul
La multiplication dans
ayant les mêmes propriétés que dans
, on définit l’inverse de z comme
le nombre par lequel on doit multiplier z pour trouver 1. On regarde alors comment écrire
l’inverse de z sous la forme a + bi. L’idée est d’utiliser le conjugué du dénominateur pour
obtenir une écriture de z avec un dénominateur réel.
Propriété (admise) : quelque soit le nombre complexe z non nul tel que z = a + bi, avec a
et b deux réels, on a :
1
²
²
²
²
²
²
Remarque : pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse d’un
nombre complexe non nul, on multiplie donc le numérateur et le dénominateur par le
conjugué du dénominateur.
Exemples :
f) Quotient de deux nombres complexes
l’inverse de z’. La règle de calcul ci-dessous est donc une conséquence directe de la règle de
calcul de l’inverse.
Maths – Tnale STI Le quotient du nombre complexe z par le nombre complexe non nul z’ est le produit de z par
5 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
Propriété (admise) : quelque soit les nombres complexes z et z’ (z’ non nul) tel que
z = a + bi, avec a et b deux réels, et z’ = a’ + b’i, avec a’ et b’ deux réels on a :
²
²
Remarque : pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique,
on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple : on considère les nombres complexes z = -2 + i et z’ = 3 + 2i. Alors :
2
3
II-
2
2
3
3
3
2
2
2
6
4
3²
3
2²
2²
4
13
7
13
FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
1) Module
Définition : le plan complexe est muni d’un repère
orthonormal (O ; , ). Pour tout nombre complexe z,
on considère le point M d’affixe z, on appelle module
de z le nombre réel, noté | |, défini par | |
| | .
Conséquences (admises) :
o
Pour tout
o
| |
o
Pour tout
,|
o
Pour tout
,| |
,| |
0.
0 si et seulement si z = 0.
|
| |.
| |.
Calcul du module : soit z = a + ib un nombre complexe non
nul où a et b sont deux réels. On note M(a ; b) le point
d’affixe z dans un repère orthonormal (O ; ; ). Le module z
est égal à la distance OM et la distance OM est égale à :
OM =
²
² (Pythagore).
On en déduit que | |
²
²
√
.
Maths – Tnale STI Par la suite, nous appellerons ρ le module de z.
6 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
2) Argument
M
sin Théorème 1 (admis) : un nombre complexe z est de module
1 si et seulement si il existe un réel θ tel que
cos
| |
sin .
cos
Définition : on appelle argument d’un nombre complexe z
de module 1 tout nombre réel θ tel que
cos
arrive qu’on note, par abus de langage,
arg sin . Il
.
Théorème 2 (admis) : le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ; , ). Soit z
un nombre complexe de module 1 et M le point d’affixe z.
•
L’ensemble des arguments de z est l’ensemble des mesures en radians de l’angle
; •
Soit
.
un argument de z.
entier relatif k tel que
est argument de z si et seulement si il existe un
2
.
Maths – Tnale STI Exemples :
7 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
3) Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
Définition : soit ρ un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel. Soit z le
nombre complexe de module ρ et d’argument θ :
é
è
1 é
é
cos
é
sin ρ cos
On généralise pour tout nombre complexe : ρ cos
sin
1 .
s’appelle forme
sin
trigonométrique de z.
Théorème (admis) : un complexe non nul z possède une infinité de formes
trigonométriques. Si
cos
sin
et
cos
sin
sont deux formes
trigonométriques de z, alors ρ = ρ’ et il existe un entier relatif k tel que θ’ = θ +2kπ.
Exemples :
Le nombre complexe z de module 2 et dont un argument est
a
pour forme trigonométrique :
2 cos
sin
2
2
Le point M d’affixe z est représenté ci-contre dans le plan muni d’un
repère orthonormal direct
; ; .
Le nombre complexe z de module 2 et dont un argument est
a
pour forme trigonométrique :
2 cos
sin
3
3
Le point M d’affixe z est représenté ci-contre dans le plan muni d’un
; ; .
Maths – Tnale STI repère orthonormal direct
8 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
4) Passage d’une forme à l’autre
Lien entre forme trigonométrique et forme algébrique pour z non nul :
cos sin Formes
Relations de « passage » de l’une à l’autre
Algébrique ou cartésienne
z = a + ib (a et b réels)
cos
sin
Trigonométrique
cos
sin avec ρ réel positif
| |
cos
²
²
sin
Exemples : déterminer la forme trigonométrique des nombres suivants :
ρ
ρ
Î z3 = -3. Il s’agit d’un nombre réel. Il est inutile de faire des calculs pour déterminer sa
forme trigonométrique. En utilisant son point image de coordonnées (-3 ; 0), on en déduit
immédiatement que | |
3 et que arg(z2) = π + k2π, où k est un entier relatif. On obtient
Maths – Tnale STI donc z3 = [3 ; π].
9 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
5) Opérations
a) Inégalité triangulaire
L’addition de deux nombres complexes n’a pas de forme « intéressante » avec la forme
trigonométrique. Nous relevons par contre l’inégalité triangulaire :
|
| | | | |
Nous ne faisons pas de démonstration rigoureuse ici, mais nous illustrons cette formule à l’aide
de la figure suivante :
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct
; ; :
soient
,
et
les images respectives de z, z’
et z + z’.
, donc AC = BD. De la
Nous avons
propriété de l’inégalité triangulaire dans le triangle
ABD, on déduit : AD
|
|
| |
AB + BD donc
| |.
b) Module et argument d’une différence de deux nombres complexes
Nous savons que le module d’un nombre complexe est une distance (ou la norme d’un vecteur),
de plus, toute distance entre deux points peut être considérée comme le module d’un nombre
complexe.
Théorème (admis) : dans le plan muni d’un repère
orthonormal direct
; ; , pour tout point M1
et M2 d’affixes respectives z1 et z2, nous avons :
|
Maths – Tnale STI |
1
0 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
De la même façon que le module d’une différence de deux nombres complexes s’interprète
comme une distance, l’argument d’une différence de deux nombres complexes est une mesure
d’un angle de vecteurs.
Théorème (admis) : dans le plan muni d’un repère
orthonormal direct
; ; , pour tout point M1
et M2 d’affixes respectives z1 et z2, nous avons
l’angle ( ;
) qui a pour mesure tout argument
de (z2 – z1).
c) Produit de deux nombres complexes
Théorème : quelque soient deux nombres complexes non nuls z et z’ ;
9 Le module du produit zz’ est égal au produit des modules de z et de z’ :
|
|
| |
| |.
9 Un argument du produit zz’ est la somme d’un argument de z et d’un argument de z’ :
arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) + k2π, k
Exemple : soit les nombres complexes
|
arg
arg
|
| |
arg
3 3 6
2,
| |
2
3
4
3,
12
4 . Alors :
2
Maths – Tnale STI Démonstration :
1
1 COURS N°2 : NOMBRES COMPLEXES
d) Puissance d’un nombre complexe
A partir du paragraphe précédent, on peut démontrer le théorème suivant.
Théorème (admis) : quelque soient n un nombre entier naturel et z un nombre complexe
non nul, nous avons :
|
|
| |
2 , Exemple : soit
2,
4 . Alors :
2 ,3
8,
4
3
4
e) Inverse d’un nombre complexe
Théorème : quelque soit un nombre complexe non nul z, nous avons :
1
1
| |
1
arg
2 , Démonstration :
Maths – Tnale STI Exemple :
1
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f) Quotient de deux nombres complexes
Théorème : quelque soient deux nombres complexes non nuls z et z’, nous avons :
arg
| |
;
| |
arg
2 , Démonstration :
Maths – Tnale STI Exemple :
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