Devoir maison 2

L3 - 2016/2017 - DM2 Mathématiques discrètes
Devoir maison 2du cours de mathématiques discrètes 2016.
Merci de soigner la rédaction.
Exercice 1.
Soient n, s et Ndes entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
1. Soient p, r des entiers naturels non nuls. Justifier que le nombre de partitions d’un ensemble de
cardinal rp en rparties de cardinal pest
(rp)!
r!(p!)r
2. Soient r1, ..., rsdes entiers naturels tels que N=Ps
i=1 iri. Justifier que le nombre de partitions
d’un ensemble de cardinal Nen r1parties de cardinal 1,... rsparties de cardinal sest :
N!
Qs
i=1 ri!Qs i=1(i!)ri
Soit x= (x1, ..., xn)dans J1, NKn. Si yest un élément de J1, NK, on appelle multiplicité de ydans
xle nombre de itels que xi=y. Si jest un entier entre 1et n, on note nx
jle nombre d’éléments yde
multiplicités jdans x.
Pour tout udans J1, NK, on note Ix
ul”ensemble des indices jtels que xj=u. Soit Fxl’ensemble des
udans J1, NKtels que Iuest non vide. On note Pxla famille (Iu)u∈F x.
3. Justifier que n=Pn
j=1 jnx
j.
4. Exprimer la famille (nx
j)jen fonction de la famille Px.
Soit E2l’ensemble des x= (x1, ..., xn)tels que nx
j= 0 si j > 2.
5. Soit idans J0,bN/2cK. déterminer le nombre de xdans E2tels que nx
2=i.
6. En déduire le cardinal de E2.
Soient (Xi)i∈J1,nKnvariables indépendantes de même distribution uniforme sur l’intervalle d’entiers
J1, NK.
7. Calculer la probabilité qu’au moins trois des variables parmi X1, ..., Xnprennent la même valeur.
8. On s’intéresse au problème des trois anniversaires . On cherche la probabilité que parmi npersonnes„
au moins trois personnes aient la même date d’ anniversaire. Cette probabilité est notée pn. On
suppose que les années font toutes 365 jours et que les dates d’anniversaire sont uniformément
distribuées tout au long de l’année.
(a) Donner une expression de pn.
(b) Calculer la valeur de nà partir de laquelle pn≥0.5.
9. Exprimer de même la probabilité que parmi npersonnes„ au moins quatre personnes aient la même
date d’ anniversaire et calculer le valeur seuil de nà partir de laquelle elle devient ≥0.5.
C. Picaronny 1 E.N.S. de Cachan

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Problème.
On note Nl’ensemble des entiers naturels et N0l’ensemble des entiers naturels non nuls.
Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans l’ensemble des entiers naturels N. On définit sa série
génératrice comme la série entière :
GX(t) =
∞
X
n=0
P(X=n)tn.
Partie I.
1. Démontrer que la série P∞
n=0 P(X=n)znest convergente, pour tout nombre complexe zde module
1. Que vaut GX(1) ?
2. Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entière GX?
3. Démontrer que la variable aléatoire Xadmet une espérance finie si et seulement si GXest dérivable
à gauche en 1(on utilisera un théorème de convergence du type convergence dominée). Démontrer
que dans ce cas E(X) = G0
X(1).
4. Soient Xet Ydeux variables indépendantes à valeurs dans N. Démontrer que pour tout tdans
l’intersection des disques de convergence respectifs de GXet GY,GX+Y(t) = GX(t)GY(t).
Partie II.
Expliciter la série génératrice de la variable aléatoire Xet préciser son rayon de convergence dans les cas
suivants:
1. La variable aléatoire Xsuit une loi de Bernouilli de paramètre p(i.e P(x= 0) = 1 −pet P(X=
1) = p.)
2. La variable aléatoire Xsuit une loi binomiale de paramètres p, n (i.e ∀k∈ {1, ..., n},
P(x=k) = n
kpk(1 −p)n−k).)
3. La variable aléatoire Xsuit une loi géométrique de paramètre p(i.e. ∀k∈N, P (X=k) =
p(1 −p)k−1.)
4. La variable aléatoire Xsuit une loi de Poisson de paramètre α(i.e. ∀k∈N, P (X=k) = e−ααk
k!).
Partie III.
Soit (pn)n∈Nune suite de nombres réels positifs tels que P∞
n=0 pk= 1. Soit Sla série entière :
S(t) =
∞
X
n=0
pntn.
On note Rson rayon de convergence et on remarque que R≥1. Soit (Yn)n∈N0une suite de variables
indépendantes à valeurs dans l’ensemble des entiers naturels N, telles que ∀k∈N,∀n∈N0, , P (Yn=k) =
pk(i.e. les variables Y1, Y2,· · · sont de même loi). On définit une suite de variables aléatoires (Xn)n∈N0
à valeurs dans l’ensemble des entiers naturels en posant :
C. Picaronny 2 E.N.S. de Cachan

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•La variable aléatoire X1a pour loi : ∀k∈N, , P (X1=k) = pk.
•Si n > 1, la loi de la variable aléatoire Xnest définie conditionnellement à celle de Xn−1par :
∀k∈N,∀l∈N,P(Xn=l|Xn−1=k) = P(Y1+Y2+· · · +Yk=l).
1. Que vaut GX1?
2. Démontrer que, pour tout entier naturel ndans N0,on a :
∀t∈]−1,1[, GXn(t) = GXn−1(GX1(t)).
Et en déduire (par récurrence sur n) que ∀t∈]−1,1[, GXn(t) = GX1(GXn−1(t)).
3. En déduire, pour tout entier naturel ndans N0, une relation entre E(Xn),E(Xn−1)et E(X1).
4. En déduire, pour tout entier naturel ndans N0, une expression de E(Xn).
5. On considère la suite (GXn(0))n∈N0. On suppose qu’elle admet une limite l. Démontrer que S(l) = l.
6. Justifier que la série entière Sest infiniment dérivable et que ses dérivées successives sont positives
sur ]0,1[. En déduire que la fonction t→S(t)est convexe.
7. Justifier que la suite (GXn(0))n∈N0est croissante et qu’elle converge vers le plus petit point fixe de
la série Sdans [0,1].
Partie IV.
On considère un arbre aléatoire. Chaque noeud a un nombre aléatoire de fils selon la loi probabilité :
pour tout entier naturel k, la probabilité pour un noeud d’avoir kfils est 1/2k+1. On note Xnle nombre
de noeuds de profondeur n(à distance ndu sommet de l’arbre).
1. Soient net kdeux entiers naturels. Décrire la loi de Xnsachant que Xn−1=k.
2. Justifier que la probabilité pour que l’arbre soit fini (il existe n0à partir duquel Xn= 0) tend vers
1, lorsque ntend vers l’infini.
C. Picaronny 3 E.N.S. de Cachan