IV 1) a) On pose A = 2001! + 1

T.S Contrôle de mathématiques Mercredi 8 novembre 2000
Spé. math. Arithmétique : divisibilité (1h30)
I 1) Un entier naturel a se décompose en facteurs premiers sous la forme a = p.q (>0 et >0)
Etablir la formule donnant le nombre de diviseurs de a
2) La décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel a contient uniquement les nombres
premiers 2 et 3.
a) a possède exactement 21 diviseurs ; déterminer a (deux solutions)
b) a possède exactement 12 diviseurs ; déterminer a (quatre solutions)
II n est un entier naturel, et x est l’entier : x = n(n+1)(n+2)(n+ 3)
a) Ecrire
43n
C
à l’aide de x
b) En déduire que x est un multiple de 4!
c) n et p sont des entiers naturels strictement positifs. Démontrer que x = n(n-1)(n-2)…(n-p+1) est
un multiple de p!
III n étant un entier naturel, démontrer par récurrence que n(n6-1) est divisible par 7
IV 1) a) On pose A = 2001! + 1
Montrer que pour tout entier naturel n tel que 1  n  2000 , A + n n’est pas premier
En déduire 2000 entiers consécutifs parmi lesquels aucun n’est premier
b) Soit N, un entier naturel non nul.
Déterminer N entiers consécutifs parmi lesquels aucun n’est premier
2) On désigne par P le produit des entiers naturels impairs de 1 à 2001. : P = 1 x 3 x 5 x…x 2001
et on pose B = 2P + 1
Montrer que pour tout entier naturel n tel que 1  n  2000 , B + n n’est pas premier
En déduire, à nouveau, 2000 entiers consécutifs parmi lesquels aucun n’est premier
V Soient a et n , deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 et p et q , deux entiers naturels non nuls
1) Démontrer que a – 1 divise ap – 1
En déduire que si an – 1 est un nombre premier, alors n est un nombre premier
2) Démontrer que 2pq – 1 est divisible par 2p – 1 et par 2q –1
En déduire que si 2n – 1 est un nombre premier, alors n est un nombre premier