CORRIGE ondes électromagnétiques non planes émises dans le vide

IFIPS Corrigé TD Ondes
TD 1
CORRIGE
ondes électromagnétiques non planes
émises dans le vide
()
032
2
()
032
1
2cos
1
sin
0
ikr t
r
ikr t
ik
EE e
rr
ik k
EE e
rr r
E
ω
ω
θ
φ
θ
θ
−
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=−−
⎜⎟
⎝⎠
=
2
2
()
(sin )
()11 1
sin sin
rA
A
rA
divA rrr r
ϕ
θ
θ
θ
θθϕ
∂
∂
∂
=+ +
∂∂∂
ur
(sin ) ( ) () ()1111
sin sin
rr
r
ArA
ArA
AA
rotA u u u
rrrrr
ϕϕ
θθ
θϕ
θ
θθ ϕ θϕ θ
∂∂
⎡⎤⎡ ⎤
∂∂
∂∂
⎡
⎤
=−+−+−
⎢⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎣
⎦
⎣⎦⎣ ⎦
ur uuruuruur
1. lambda = 3.4 m (c’est de la FM, pas des grandes ondes : France inter 162kHz,
1800m). faire remarquer qu’un dl, c’est toujours par rapport à une quantité sans unité,
ou encore qu’on développe tjs en supp. qu’une qtté est bien plus petite qu’une autre.
Leur dire qu’on exprime d’abord en fct d’un ε=rapport de ces quantités, puis qu’on
fait le dl.
Ici, c’est r qui est bien plus grand que 1/k donc 1/kr <<1 (ça les aide en général de poser
ε=1/kr avec ε<<1). Au premier ordre en 1/kr ou en ε, il reste :
2
()
0
0
sin
0
r
ikr t
E
k
EE e
r
E
ω
θ
φ
θ
−
−
=
2.
2( )
0
2( )
0
() ( sin )
11
()
sin
ikr t
ikr t
rE E k e
rotE u u
rr r r
kB
iE ke u iB
rt
ω
θ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
θ
θω
−
−
⎡⎤
∂∂−
⎡⎤
==
⎢⎥
⎢⎥
∂∂
⎣⎦ ⎣⎦
∂
⎡⎤
=− =− =
⎢⎥
∂
⎣⎦
ur u uruur
ur
uurur
d’où
3
()
0sin ikr t
k
B
Eeu
r
ω
ϕ
θ
ω
−
=−
ur u ur

IFIPS Corrigé TD Ondes
On a donc k selon r u
u
ur
, E selon u
θ
−
u
ur
et B selon u
ϕ
−
u
ur
donc on retrouve la structure de
l’onde plane : k,E,B triedre. C’est normal car pour un rayonnement sphérique de ce genre,
à très grand r, on est localement plan.
3.R : je donne seulement la définition où on repasse d’abord en réel. Donc insister lourdement
là dessus !!! Faire remarquer que si on prend la def. de R ci dessous avec des complexes, on
aura alors R en cos(2(kr-ωt)) qd on repassera à la fin en réél, et donc sa valeur moyenne est
nulle (donc pas d’énergie transportée par l’onde !).
On passe donc en réel :
2
0sin cos( )
k
E
Ekrt
r
θ
θ
ω −−
3
0sin cos( )
k
B
Ekrtu
r
ϕ
θω
ω
=− −
ur u ur
d’où
5
22 2
0
2
00
1sin cos ( ) r EB k
R
Ekrtu
r
θω
μμω
∧
== −
ur ur
ur uur
R se propage selon ur : ça dit le sens dans lequel se propage l’énergie emag.
R en sin2θ donc c’est comme un dipole en gros : lobes sur les côtés. Ce n’est donc pas
isotrope. Dire qu’une antenne, ce n’est pas isotrope, ce à quoi on pouvait s’attendre
puisque la géométrie de l’antenne définit un axe non isotrope justement. Si on veut bien
capter, il faut se mettre dans le plan perpendiculaire à l’axe de l’antenne.
4 Lien avec la puissance : puissance = flux de R
Puissance moyenne sortant d’une sphere :
__
.
surface entourant sphere
PRdS=∫∫ ur u ur
Ici, R perpendiculaire à dS et 2sin r
dS r d d u
θ
θϕ =
uur uur
et
5
22
0
2
0
11
sin 2r
temps
k
R
Eu
r
θ
μω
=
ur u ur
d’où
5
22 2
0
2
0
__
242
5
23 0
0
00
00
11
sin . sin
2
4
11
sin
23
rr
surface entourant sphere
k
PEurddu
r
kE
kEdd
c
ππ
θ
θθϕ
μω
π
θθ ϕ
μω μ
=
==
∫∫
∫∫
u
uruur
où on a utilisé k/ω=1/c (rappeler que ce n’est vrai que dans le vide infini)
On voit que Pe ne dépend plus de r : normal : qq soit la sphère autour de la source, la
puissance totale reçue est identique (a condition qu’il n’y ait pas de dissipation,
évidemment). Remarquer aussi que c’est en E02
5 ) Une antenne isotrope n’existe pas, c’est une vue de l’esprit. La densité de puissance
par unité de surface d’une telle antenne serait Pe/4πL2, d’où la formule.
D = 3/2 sin2 θ
Dmax = 1.5 (50% de plus qu’une antenne isotrope virtuelle de même puissance)

IFIPS Corrigé TD Ondes
Dmin = 0 rien n’est emis selon l’axe Oz
Comme Pe, le diagramme de directivité ne dépend pas de L. Ce résultat est généralisable
pour toutes les antennes, il découle de la conservation de l’énergie. (Si on veut raffiner, ce
diagramme peut dépendre de L si on considère l’influence du sol et du relief.)
90°
6 ) Omnidirectionnelle car toutes les directions du plan horizontale sont arrosée
identiquement. C’est une bonne chose pour une antenne émetteur.
7 ) D est le plus fort dans le plan horizontale. Angle d’ouverture verticale : 2 * (90°-
ArcSin (0.51/2) )=2* (90° - ArcSin (0.7)) ~ 90°
8)
70°
30°
Antenne directionnelle, il faut faire attention où on la positionne, car seul un angle de 70°
est arrosé : l’installer dans un coin de pièce. L’ouverture horizontale de 30 ° implique que

IFIPS Corrigé TD Ondes
seul un étage sera couvert. Avantage : éventuellement, éviter d’ouvrire son réseau aux
voisins, plus de puissance utile (puisque moins dispersée).
Note : les pics d’intensité secondaire sont dus à des phénomènes d’interférences entre
différents éléments de l’antenne, c’est très courant dans les diagrammes de rayonnement.
9 ) les antennes râteau nécessitent une orientation afin d’avoir une bonne réceptions : les
angles d’ouvertures sont encore plus faibles. Même raisonnement avec des paraboles,
mais pire.
B. ORDRES DE GRANDEUR
1. Un petit laser hélium néon (λ = 633 nm) produit typiquement 1 mW dans un faisceau
d’1 mm de diamètre.
C’est une onde plane dans le vide donc B0~E0/c et R~E0B0/μ0 et la puissance est le flux
de R donc P=RS~ E0B0S/μ0= E02 S/cμ0=10-3W et S~10-6 d’où E0~102 à 103 V/m et
B0~10-6Tesla~0.01 Gauss (champ terrestre =0.5 Gauss)
2. Une station radio émet une puissance moyenne de 105 Watts. Cette émission est
uniforme sur une demi-sphère concentrique avec la station.
Comme ci-dessus, R perpendiculaire à la demi sphere en tout point donc on a juste le
scalaire : P=RS~E02 S/cμ0 où S=2πr2 Ici, P=105 d’où pour r=10km, E0=0.3 V/m
3. Un téléphone portable (1 GHz) émet une puissance de 1W de façon sensiblement uniforme
dans l’espace. Au niveau du cerveau, à 10 cm du téléphone, P=RS=R*4πr2=1W et r=0.1 donc
R=8 W/m2 =puissance rayonnée par unité de surface.
4. Un satellite TV type DBS emet une puissance de 100W et couvre un pays comme la
France.
France ~ 1012 m2 et antenne ~1m2 donc Precue =100*1/1012=10-10 W !!! Mais il y a
démodulation par l’antenne et en plus, elle est parabolique, donc elle parvient à detecter
d’aussi faibles puissances.
5. Un mètre carré de la surface de la terre sous incidence normale reçoit du soleil un flux
d’énergie de 1,35.103 Watt. Noter que c’est 1015 fois plus fort que le satellite télé !
Puissance proportionnelle à la surface exposée :
donc P(sur pupille)= 1.35 103*π*(10-3)2 / 1 =4mW : dangereux de regarder le soleil en
face

IFIPS Corrigé TD Ondes
corrigé TD 3
Vue macroscopique des diélectriques
I. Moments d’une distribution de charge
• Dans chacun des cas suivants, indiquez si le moment d’ordre zéro (charge électrique
équivalente) et le moment dipolaire sont nuls ou non.
• Comment varie, à grande distance de ces distributions, le potentiel électrique V et le
champ électrique E en fonction de la distance r à la distribution, selon l’axe z ?
cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 cas 5
M0 non nul seulement pour 1
M1 non nul pour 2;3;4 (dipoles)
M2 non nul pour 5 (quadrupole)
rappeler que le dipole est dessiné en reliant le barycentre des charges positives et négatives.
pour cas 1 :V~1/r E~1/r2
pour cas 2,3,4 : V~d/r2 E~d/r3 où d=taille du dipole
II. Un diéléctrique dans un condensateur
1. Rappeler le lien entre la polarisation P, la charge de polarisation de surface σp et de volume
ρp équivalentes, le champ dépolarisant Ed et le champ total E dans un diélectrique homogène.
σp=P.n et ρp=-div P (n = vecteur normal à la surface de l'interieur du dielectrique vers
l'exterieur) et jp=-dP/dt (insister que ce sont des charges de surface et de volume fictives)
+2e
-2e
z
+e
z
+e
+e
-3e
+e
z
+e
-2e
+e
+e
z
+e
z
-e
+e