CORRIGE ondes électromagnétiques non planes émises dans le vide

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Ondes
TD 1
CORRIGE
ondes électromagnétiques non planes
émises dans le vide
⎛ 1 ik ⎞
Er = 2 E0 cos θ ⎜ 3 − 2 ⎟ ei ( kr −ω t )
⎝r r ⎠
⎛ 1 ik k 2 ⎞ i ( kr −ω t )
Eθ = E0 sin θ ⎜ 3 − 2 − ⎟ e
r ⎠
⎝r r
Eφ = 0
ur 1 ∂ (r 2 A )
1 ∂ (sin θ Aθ )
1 ∂ ( Aϕ )
r
+
+
div A = 2
∂r
∂θ
r
r sin θ
r sin θ ∂ϕ
ur
rot A =
1 ⎡ ∂ (sin θ Aϕ ) ∂Aθ
−
⎢
∂θ
∂ϕ
r sin θ ⎣
⎤ uur 1 ⎡ 1 ∂Ar ∂ (rAϕ ) ⎤ uur 1
−
⎥ ur + ⎢
⎥ uθ +
∂r ⎦
r ⎣ sin θ ∂ϕ
r
⎦
⎡ ∂ (rAθ ) ∂ ( Ar ) ⎤ uur
⎢ ∂r − ∂θ ⎥ uϕ
⎣
⎦
1. lambda = 3.4 m (c’est de la FM, pas des grandes ondes : France inter 162kHz,
1800m). faire remarquer qu’un dl, c’est toujours par rapport à une quantité sans unité,
ou encore qu’on développe tjs en supp. qu’une qtté est bien plus petite qu’une autre.
Leur dire qu’on exprime d’abord en fct d’un ε=rapport de ces quantités, puis qu’on
fait le dl.
Ici, c’est r qui est bien plus grand que 1/k donc 1/kr <<1 (ça les aide en général de poser
ε=1/kr avec ε<<1). Au premier ordre en 1/kr ou en ε, il reste :
Er  0
k 2 i ( kr −ω t )
Eθ  − E0 sin θ
e
r
Eφ = 0
ur 1 ⎡ ∂ (rE ) ⎤ uur 1 ⎡ ∂ (− E sin θ k 2 ei ( kr −ω t ) ) ⎤ uur
θ
0
rot E = ⎢
uϕ = ⎢
⎥ uϕ
⎥
∂r
r ⎣ ∂r ⎦
r ⎣
⎦
2.
ur
ur
∂( B)
⎡ k
⎤ uur
= ⎢ −i E0 sin θ k 2 ei ( kr −ω t ) ⎥ uϕ = −
= iω B
∂t
⎣ r
⎦
d’où
ur
uur
k3
B=−
E0 sin θ ei ( kr −ωt ) uϕ
ωr
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uur
uur
uur
On a donc k selon ur , E selon −uθ et B selon −uϕ donc on retrouve la structure de
l’onde plane : k,E,B triedre. C’est normal car pour un rayonnement sphérique de ce genre,
à très grand r, on est localement plan.
3.R : je donne seulement la définition où on repasse d’abord en réel. Donc insister lourdement
là dessus !!! Faire remarquer que si on prend la def. de R ci dessous avec des complexes, on
aura alors R en cos(2(kr-ωt)) qd on repassera à la fin en réél, et donc sa valeur moyenne est
nulle (donc pas d’énergie transportée par l’onde !).
On passe donc en réel :
k2
Eθ  − E0 sin θ
cos(kr − ω t )
r
ur
uur
k3
B=−
E0 sin θ cos(kr − ω t )uϕ
ωr
ur ur
ur E ∧ B 1 k 5 2 2
uur
2
=
sin
cos
(
−
)
E
θ
kr
ω
t
u
d’où R =
r
0
μ0
μ0 ω r 2
R se propage selon ur : ça dit le sens dans lequel se propage l’énergie emag.
R en sin2θ donc c’est comme un dipole en gros : lobes sur les côtés. Ce n’est donc pas
isotrope. Dire qu’une antenne, ce n’est pas isotrope, ce à quoi on pouvait s’attendre
puisque la géométrie de l’antenne définit un axe non isotrope justement. Si on veut bien
capter, il faut se mettre dans le plan perpendiculaire à l’axe de l’antenne.
4 Lien avec la puissance : puissance = flux de R
Puissance moyenne sortant d’une sphere :
ur uur
P=
R .dS
∫∫
surface _ entourant _ sphere
uur
uur
Ici, R perpendiculaire à dS et dS = r 2 sin θ dθ dϕ ur
ur
1 k 5 2 2 1 uur
=
E sin θ ur
et R
temps
2
μ0 ω r 2 0
d’où
uur
1 k 5 2 2 1 uur 2
P =
E0 sin θ ur .r sin θ dθ dϕ ur
2
∫∫
2
μ ωr
surface _ entourant _ sphere 0
=
1 k5
μ0 ω
π
E02
1
sin 3 θ dθ
∫
20
2π
∫
0
dϕ =
4π k 4 E02
3cμ 0
où on a utilisé k/ω=1/c (rappeler que ce n’est vrai que dans le vide infini)
On voit que Pe ne dépend plus de r : normal : qq soit la sphère autour de la source, la
puissance totale reçue est identique (a condition qu’il n’y ait pas de dissipation,
évidemment). Remarquer aussi que c’est en E02
5 ) Une antenne isotrope n’existe pas, c’est une vue de l’esprit. La densité de puissance
par unité de surface d’une telle antenne serait Pe/4πL2, d’où la formule.
D = 3/2 sin2 θ
Dmax = 1.5 (50% de plus qu’une antenne isotrope virtuelle de même puissance)
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Dmin = 0 rien n’est emis selon l’axe Oz
Comme Pe, le diagramme de directivité ne dépend pas de L. Ce résultat est généralisable
pour toutes les antennes, il découle de la conservation de l’énergie. (Si on veut raffiner, ce
diagramme peut dépendre de L si on considère l’influence du sol et du relief.)
90°
6 ) Omnidirectionnelle car toutes les directions du plan horizontale sont arrosée
identiquement. C’est une bonne chose pour une antenne émetteur.
7 ) D est le plus fort dans le plan horizontale. Angle d’ouverture verticale : 2 * (90°ArcSin (0.51/2) )=2* (90° - ArcSin (0.7)) ~ 90°
8)
30°
70°
Antenne directionnelle, il faut faire attention où on la positionne, car seul un angle de 70°
est arrosé : l’installer dans un coin de pièce. L’ouverture horizontale de 30 ° implique que
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seul un étage sera couvert. Avantage : éventuellement, éviter d’ouvrire son réseau aux
voisins, plus de puissance utile (puisque moins dispersée).
Note : les pics d’intensité secondaire sont dus à des phénomènes d’interférences entre
différents éléments de l’antenne, c’est très courant dans les diagrammes de rayonnement.
9 ) les antennes râteau nécessitent une orientation afin d’avoir une bonne réceptions : les
angles d’ouvertures sont encore plus faibles. Même raisonnement avec des paraboles,
mais pire.
B. ORDRES DE GRANDEUR
1. Un petit laser hélium néon (λ = 633 nm) produit typiquement 1 mW dans un faisceau
d’1 mm de diamètre.
C’est une onde plane dans le vide donc B0~E0/c et R~E0B0/μ0 et la puissance est le flux
de R donc P=RS~ E0B0S/μ0= E02 S/cμ0=10-3W et S~10-6 d’où E0~102 à 103 V/m et
B0~10-6Tesla~0.01 Gauss (champ terrestre =0.5 Gauss)
2. Une station radio émet une puissance moyenne de 105 Watts. Cette émission est
uniforme sur une demi-sphère concentrique avec la station.
Comme ci-dessus, R perpendiculaire à la demi sphere en tout point donc on a juste le
scalaire : P=RS~E02 S/cμ0 où S=2πr2 Ici, P=105 d’où pour r=10km, E0=0.3 V/m
3. Un téléphone portable (1 GHz) émet une puissance de 1W de façon sensiblement uniforme
dans l’espace. Au niveau du cerveau, à 10 cm du téléphone, P=RS=R*4πr2=1W et r=0.1 donc
R=8 W/m2 =puissance rayonnée par unité de surface.
4. Un satellite TV type DBS emet une puissance de 100W et couvre un pays comme la
France.
France ~ 1012 m2 et antenne ~1m2 donc Precue =100*1/1012=10-10 W !!! Mais il y a
démodulation par l’antenne et en plus, elle est parabolique, donc elle parvient à detecter
d’aussi faibles puissances.
5. Un mètre carré de la surface de la terre sous incidence normale reçoit du soleil un flux
d’énergie de 1,35.103 Watt. Noter que c’est 1015 fois plus fort que le satellite télé !
Puissance proportionnelle à la surface exposée :
donc P(sur pupille)= 1.35 103*π*(10-3)2 / 1 =4mW : dangereux de regarder le soleil en
face
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corrigé TD 3
Vue macroscopique des diélectriques
I. Moments d’une distribution de charge
• Dans chacun des cas suivants, indiquez si le moment d’ordre zéro (charge électrique
équivalente) et le moment dipolaire sont nuls ou non.
• Comment varie, à grande distance de ces distributions, le potentiel électrique V et le
champ électrique E en fonction de la distance r à la distribution, selon l’axe z ?
z
+e
z
z
z
+2e
+e
+e
+e
+e
z
+e
-e
+e
+e
-2e
-3e
cas 1
cas 2
cas 3
-2e
cas 4
+e
cas 5
M0 non nul seulement pour 1
M1 non nul pour 2;3;4 (dipoles)
M2 non nul pour 5 (quadrupole)
rappeler que le dipole est dessiné en reliant le barycentre des charges positives et négatives.
pour cas 1 :V~1/r E~1/r2
pour cas 2,3,4 : V~d/r2 E~d/r3 où d=taille du dipole
II. Un diéléctrique dans un condensateur
1. Rappeler le lien entre la polarisation P, la charge de polarisation de surface σp et de volume
ρp équivalentes, le champ dépolarisant Ed et le champ total E dans un diélectrique homogène.
σp=P.n et ρp=-div P (n = vecteur normal à la surface de l'interieur du dielectrique vers
l'exterieur) et jp=-dP/dt (insister que ce sont des charges de surface et de volume fictives)
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Edepolarisant est le champ créé par les dipôles électriques (c'est à dire la polarisation) une fois
alignés. Il dépend de l'amplitude et de la direction de ces dipoles, mais aussi de la forme de
l'objet considéré.
E=champ total=Eext+Edepolarisant C'est ce champ qui intervient dans Maxwell, et pas Eext, tant
qu'on est dans le diélectrique.
Si réponse linéaire, P=ε0χE et εr=1+χ (attention, ce n'est pas Eext mais bien E qui intervient
dans l'expression de P)
2. On considère unuurcondensateur plan alimenté par une tension constante, qui crèe donc un
champ électrique E0 entre ses parois (voir figure). On place entre les parois un diélectrique
homogène soit rectangulaire, soit sphérique. Dessinez dans chaque cas
• les dipôles électriques au sein du matériau
• la charge de polarisation de surface σp et de volume ρp équivalentes
• le champ dépolarisant Ed dû à ces dipôles et le champ total E résultant dans le
diélectrique
Dans les deux premiers cas, E0 est le même dans tout l'espace entre les armatures. Dans le
dernier cas, on a créé un champ qui varie comme indiqué sur la figure.
.
Ed et Etot
σp et ρp
les dipoles
σp=0
-
+
+ σp<0-
ρp=0
+
+
E0
+
-
+
+
-
+
ρp=0
-
-
Etot<E
+
Ed opposé à E0
+
+
+
E0
E0
- - - σp<0 ρp faible - - -
E0
-
+
-
E0
-
Ed opposé à E0
E0
E0
E0
Etot<E
+
σp=0
+
-
+ σ >0
p
Etot<E
σp>0
fort
Ed opposé à E0
E0
1ere colonne : les dipôles s'alignent au champ. Attention, souligner que ce n'est pas tout ou
rien mais qu'ils s'alignent en fait proportionellement à leur susceptibilité.
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2eme colonne: On a utilisé σp=P.n et ρp=-div P Insister que n change pour chaque surface
3eme colonne : Ed est créé par les charges dessinées dans la colonne 2, donc on voit bien que
Ed s'oppose à E0 mais est évidemment toujours plus petit (l'effet est plus faible que la cause)
donc Etot reste dans le sens de E0 mais plus petit d'où l'interet d'une capa : l’introduction du
diélectrique augmente la capa du condensateur et réduit le champ en son sein, donc diminue
la tension de claquage. C’est comme ça que Faraday avait découvert les diéelectriques et leur
effet.
3. . Rappeler quelles sont les equations de Maxwell dans un diélectrique en fonction de E et P,
puis de D. En déduire l'équation de propagation pour le champ électrique dans le cas
particulier d'un diélectrique homogène linéaire isotrope où εr est réel et constant, et où il n'y a
pas de charges libres.
Dans un diélectrique, Maxwell devient en tenant compte de l'effet des dipoles via σP et jP :
div ( E ) =
ρ libre
ρ
+ P
ε0
ε0
div B = 0
rot E = −
∂B
∂t
rot B = μ 0 j libre + μ 0 j P + μ 0 ε 0
∂E
∂t
ce qui se réécrit :
div ( D ) = ρ libre
rot B = μ 0 j libre + μ 0
en posant
∂D
∂t
D = ε0E + P
Equation de propagation si εr constant et pas de charges libres : ρlibre=jlibre=0 et
D
= ε
0
E
+ P
= ε
0
ε
r
E
d'où :
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Ondes
div ( ε 0 ε r E ) = 0
div B = 0
rot E = −
∂B
∂t
rot B = μ 0
∂ (ε 0ε r E )
∂t
On recalcule l'equation de propagation :
rot ( rot ( E )) = grad ( div ( E )) − Δ E
= grad ( 0 ) − Δ E
= rot ( −
∂B
∂ rot ( B )
= −
)= −
∂t
∂t
∂[ μ 0
∂ (ε 0ε r E )
]
∂t
∂t
∂2E
= − μ 0ε 0ε r
∂t 2
d'où
∂2E
Δ E − μ 0ε 0ε r
=0
2
∂t
On a la même équation que dans le vide, mais avec εr en plus. Donc la solution est une onde
de vitesse
vitesse =
d'un milieu n par
n =
1
μ 0ε 0ε r
=
c
εr
=
c
n
en définissant l'indice optique
εr
On peut leur montrer ce que ça fait pour un E progressif plan sinusoidal en ei(k.z-ωt) par
exemple : on trouve
− k 2 E + μ 0ε 0ε rω 2 E = 0
comme je l'ai annoncé plus haut.
k
d'où
ω
= μ 0ε 0ε r =
n
c
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TD 4
Corrigé Ondes emag dans les métaux
Une onde électromagnétique
plane incidente se propage suivant l'axe Oz dans le vide. Le
ur
champ incident E i est polarisé rectilignement selon Ox. Un métal est placé dans la partie de
l'espace z>0.
Réflexion sur un métal parfait et pression de radiation
On suppose dans cette partie que le métal est parfait, c’est à dire que sa conductivité est
infinie. Dans ce cas, l’onde incidente se réfléchit totalement et ne pénètre pas dans le métal.
uur
uur uur E0 i ( kz −ω t ) uur
i ( kz −ω t )
Bi =
e
uy
E
=
E
e
u
1. i
0
x et
c
uur uur σ uuuur
r uur
n1→2 Ici, nuuuu
2. E2 − E1 =
1→ 2 = u z
ε0
uuuuuuuur uuuuuuuur
En particulier, E// surface 2 − E// surface1 = 0 . Ici, la surface de séparation est le plan z=0. Le
métal est parfait donc E//2=0 donc E//1=0. Si on a seulement le champ incident, il ne s’annule
pas et on ne satisfait pas la condition aux limites. Il y a donc apparition d’un champ réfléchi
Er tel que E//1=Ei+Er=0 quand z=0. A partir de cette condition, on peut remonter à
l’expression de Er connaissant Ei mais ce n’est pas si évident et il faut être rigoureux :
uur r
uur
uur
i ( kr .r −ω r t )
ur on a en z=0 (et seulement en z=0):
en z=0, Ei//+Er//=0 donc si on note Er = E0 r e
uuur
uur
i ( k x + k r + 0 −ω r t )
E0 r e xr yr
ur // + E0i ei (0−ω t ) u x = 0
C’est vrai quelque soit t donc ωr=ωi
C’est vrai quelque soit x et y donc kxr=0 et kyr=0
uuur
uur
C’est vrai en direction donc E0 r ur // = − E0i u x
Reste à connaître kzr : pour ça, on utilise le fait que k/ω=1/c dans le vide, pour l’onde
incidente et réfléchie. Donc puisque ωr=ωi, on a necessairement : k zr = k zi = k
donc k zr = ± k . Si on choisissait +k, l’onde resterait incidente. On la veut réfléchie, donc se
propageant vers les z négatifs, donc on choisit –k. Finalement,
uur
uur
Er = − E0i ei ( − kz −ω t ) u x
L’onde résultante observée est la somme de Er et Ei qui vaut :
uur
uur
uur
uur
Et = E0i ei ( kz −ω t ) u x − E0i ei ( − kz −ω t ) u x = E0i 2i sin(kz )e− iω t u x
C’est une onde stationnaire. A tracer et montrer qu’au cours du temps, ça bouge mais les
noeuds et les extremas restent immobiles.
On déduit Br par Maxwell appliqué à Er ou bien Btot par Maxwell sur Etot :
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uuur E
uur
Btot = 0i 2 cos(kz )e − iω t u y
c
uur uur
uur uuuur
B
−
B
=
μ
3. 2
1
0 js ∧ n1→ 2
On a ici B2=0 dans le métal (pas de champ magnétique dépendant du temps) d’où :
⎡ jy ⎤
uur
uur uur
uur
E0i
− iω t
− B1 = μ 0 js ∧ u z = −
2 cos( kz )e u y = μ 0 ⎢⎢ − jx ⎥⎥
c
⎢⎣ 0 ⎥⎦
uur
E0i
− iω t
2 cos(kz )e u y = jx et jy=0. Attention, tout ça n’est vrai qu’en z=0 d’où :
d’où
μ0c
E
jx = 2 0i e − iω t
μ0c
4. Du fait de l’existence de ce courant, quel type de force s’exerce sur la surface ?
ur
uur
ur
Laplace : F = F = I dl ∧ B
Donc force dans la troisieme direction selon Oz. Donc ça pousse le métal sur sa surface. Donc
la force agit comme une pression dîte donc pression de radiation.
P = dF/dS
E02
cos 2 (ω t )
Il faut repasser en réél quand on considere des forces, donc P en
2
μ0c
a. La queue des comètes est composée de poussières et de gaz. Le gaz (H20,CO,CN...) qui
diffuse une lumière bleue est sous l'influence du vent solaire (electrons et protons émis par le
soleil) dont nous ne discuterons pas ici. Par contre, les poussières qui diffusent une lumière
jaune sont des petits grains très réfléchissants qui subissent la pression de radiation.
Supposons qu'un grain de poussière s'apparente à un grain métallique parfait.
Dire quelles forces agissent sur ce grain (en supposant que les autres planètes ont une
influence négligeable par rapport au soleil). Comparer qualitativement les forces agissant sur
deux grains de tailles différentes et prédire où se trouve le soleil par rapport aux comètes sur
les deux photos ci-dessous. Pourquoi cette queue est-elle courbée ?
forces : gravitation due au soleil et pression de radiation. La force solaire est en GMm/D2 où
M=masse du soleil, m=masse d’un grain, D=distance entre grain et soleil. Ici, m varie en r3 où
r=rayon du grain. La pression de radiation, elle, varie en r2 (elle agit sur la surface du grain
qui varie en r2). Donc il existe un rcritique tel que
si r>rc gravitation>pression de radiation et l’inverse si r<rc
Donc les petits grains sont plus poussés par le soleil que les grands. De ce fait, ils ne sont plus
sur la même orbite et il y a donc inflexion de la queue de la comète. La queue courbée
correspond donc à la matière réfléchissante. Cela n’a rien à voir avec la queue composée de
gaz bleu qui subit le vent solaire.
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Ondes
On peut aussi citer le projet développé par la NASA : un astéroide fonce sur la terre. Pour le
dévier, on envoie un vaisseau qui pulvérise de la peinture métallisée dessus, de sorte que le
soleil exerce alors une force sur lui qui le dévie. Mais ça marche seulement si on le fait très
longtemps avant l’impact car la force étant radiale, elle est peu efficace pour dévier
l’astéroide de sa trajectoire.
II. Pénétration dans un métal non parfait
1. div(j)+dρ/dt=0 donc ça donne ici :
div(j)=div(σΕ)=σ div(E) = σ ρ / ε0 = - dρ/dt
Equa dif en ρ d’où solution en ρ=ρ0exp(-t/τ) où τ=ε0/σ
Cuivre : τ=10−19 secondes. Autrement dit, la charge disparait en 10-19 sec, donc pour tout
phénomène plus long, on peut la négliger, ce qu’on a fait ci dessus.
A très haute fréquence, ce n’est plus valable bien sûr. Dans ce cas arrivent les ondes plasma,
etc...
Donc si freq pas trop élevée par rapport à 1/τ=σ/ε0, alors ρ=0 très vite donc div E=0 .
C’est le cas dans les radiofréquences par exemple :
ν~106 à 108 Hz d’où ε0ω/ σ=10-9 à 10-12
2.
ur
divE = 0
ur
divB = 0
ur
ur
ur
∂B
rot E = −
= iω B
∂t
ur
ur
ur
ur
∂E
rot B = μ 0σ E + μ 0ε 0
= μ 0 (σ − ε 0iω ) E
∂t
Dans cette dernière équation, à basse fréquence, quand ω<<σ/ε0 on peut bien négliger le
deuxieme terme. C’est le cas dans les radiofréquences par exemple :
ν~106 à 108 Hz d’où ε0ω/ σ=10-9 à 10-12
3. Déduire des équations de Maxwell la forme de l'équation de propagation pour Em.
Par rot(rot(E))=grad(div(E))-Laplacien(E)=-Laplacien(E)
on déduit
iω rot (Bm) = iωμ0σEm=km2Em donc k2=iωμ0σ
On voit que k est ici complexe.
4. Et ~ exp(i(kt z-ωt)) ux
Ici k2=iωμ0σ
et dans le vide k=ω/c
On utilise
i=
i +1
d’où
2
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k = ± ωμ0σ
Ondes
i +1
2
k'=±
ωμ0σ
k"= ±
ωμ 0σ
2
d’où
2
5. Puisque E en exp(ikt z), on a bien une partie exponentiellement atténuée (due à k’’) et une
partie progressive due à k’ :
Et ~ ei(k’z-ωt) e-k’’z
on définit δ=1/k’’ comme épaisseur de peau (ça pénètre seulement dans cette peau).
b.
x
Et
z
Poynting :
on passe en réel et on fait
ur ur
ur
uur
E∧B
1
R =
=
exp(−2 z / δ )u z
μ0
2μ 0δω
l’énergie se propage comme l’onde selon Oz. Elle est aussi atténuée et se dissipe sous forme
d’effet Joule et de chaleur sur l’épaisseur δ.
5.c
- Il ne s'agit plus d'une onde stationnaire, car r < 1
- Eviter le terme de "réflexion totale" réservé à la réflexion d'un faisceau lumineux à
l'interface entre un milieu moins réfringent et un milieu plus réfringent, au-delà de l'angle
de réflexion totale.
6. Cuivre : ν=50Hz δ=0.9 cm : l’onde pénètre sans problème dans un métal de 1mm
d ‘(épaisseur
ν=1 MHz δ=65 μm : elle ne pénètre pas : le métal est comme un miroir.
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Ondes
Dans ce dernier cas, si on envoie de la radiofréquence sur un métal, ça va donc pénétrer
seulement dans une très fine couche, et donc fort échauffement en surface.
L'épaisseur de peau est très faible aux fréquences optiques ( de l'ordre du nm). Très peu
d'électrons sont donc concernés et la majeure partie de l'onde incidente est réfléchie, et non
dissipée par effet Joule dans le métal. L'onde ne pénètre pas dans le métal, il est dons opaque.
De plus il est fortement réfléchissant (du moins, s'il est bien poli en surface).
7.
Onde incidente :
Ei = E0 ei (kz-ωt) ux
Bi = (E0/c) ei (kz-ωt) uy
<Ri> = (E02/2c) uz
Onde réfléchie :
Er = r E0 ei (-kz-ωt) ux
Br = (- r E0/c) ei (-kz-ωt) uy
<Rr> = (- r2 E02/2c) uz
Onde transmise :
<Rt> = (t2 E02/2μ0δω) e-2z/δ uz
On effectue un bilan d'énergie en z = 0 : la puissance de l'onde transmise se retrouve dans
l'onde réfléchie + l'onde transmise selon
E02 / 2c = r2 E02 / 2c + t2 E02/2μ0δω
1 = r2 + t2 (c/μ0 ω δ) ou 1 = R + T
avec R = r2
et T = t2 (c/μ0 ω δ)
Pour avoir d'autres relations entre r et t il faut écrire les deux relations de passage à la surface
(sur E et B)…
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Ondes
TD 5
Corrigé Guides d’ondes rectangulaires
On considère un guide d’onde rectangulaire constitué de parois métalliques de largeur et
hauteur a et b. On cherche la forme des ondes électromagnétiques qui peuvent s’y propager, et
les caractéristiques de cette propagation.
x
a
z
b
y
ur
1. On cherche une solution pour E qui soit progressive selon z et stationnaire selon y, de
polarisation
ur selon x. L'onde est-elle TE (transverse électrique) ? Est-elle plane ?
Exprimer E .
ur
uur
E = E0 sin(α y + φ )ei ( kz −ω t ) u x
-onde transverse electrique car propagation selon z perpendiculaire à E qui est selon x.
-onde plane ? plane=surface d’onde est un plan. Ici, surface d’onde E=cste implique
sin(α y + ϕ )ei ( kz −ω t ) = cste à t donné. Si il n’y avait que l’exponentielle, la surface
d’onde serait un plan perpendiculaire à z, donc xy. Mais ici, à cause du sin(αy), ça ne marche
plus. Ce n’est donc pas une onde plane.
ur
2. Ecrire les conditions aux limites que doit satisfaire E sur chaque paroi métallique
ur
(métal supposé parfait). Qu'en déduit-on pour la longueur d’onde spatiale de E ?
on applique E// continue sur chaque surface. Surface=métal parfait où E=0 donc il faut
satisfaire sur chaque surface E//=0.
Sur le sol et le plafond (plan x=0 et x=a), E est par construction perpendiculaire à la surface,
donc E//=0, donc c’est déjà satisfait.
Sur les parois y=0 et y=a par contre, E//=Ex donc il faut satisfaire
E0 sin(α y + φ )ei ( kz −ω t ) = 0
en y=0 : cela implique necessairement
sin(ϕ ) = 0 d’où φ=0
en y=a : cela implique necessairement sin(α y ) = 0 d’où α =
nπ
avec n entier
b
Longueur d’onde : pour la partie progressive, c’est λ=2π/k
pour la partie stationnaire, c’est la periode du sinus, donc λ=2π/α=b/n
IFIPS
Corrigé TD
Ondes
On voit qu’il existe plusieurs solutions, (les differentes valeurs de n). Donc il peut coexister
plusieurs champs electriques de periodes differentes selon Oy dans le guide. On appelle ça les
modes du guide.
ur
Dessiner E à un instant donné dans le guide d’onde.
à representer en coupe pour deux modes par exemple n=1 et n=2...
ur
3. Calculer B . L’onde est-elle TM (transverse magnétique) ? Vérifier les équations de
Maxwell. Déduire de l’une d’elles une relation liant ω et k. Il s’agit d’une relation de
dispersion. Qu'appelle-t-on les différents « modes » du guide ?
par Maxwell : rot(E)=-dB/dt=iωB d’où
⎡
⎤
⎢
⎥
0
⎢
⎥
ur
k
i
(
kz
−
ω
t
)
⎥
B = ⎢ E0 sin(α y )e
⎢ω
⎥
⎢ α
⎥
⎢i E0 cos(α y )ei ( kz −ω t ) ⎥
⎣ ω
⎦
attention : ne pas remplacer ici k/ω par 1/c, car ce n’est plus la relation de dispersion ! On
n’est plus dans le vide « infini ».
L’onde n’est pas TM.
La derniere equation de Maxwell donne :
uuur ur
iω ur
rot ( B) = − 2 E
c
⎡
⎤
⎢
⎥
0
⎡∂ x ⎤ ⎢
⎥
uuur ur ⎢ ⎥
⎛
⎞ uur
k
α
k2
i ( kz −ω t ) ⎥
⎢
rot ( B) = ⎢ ∂ y ⎥ ∧
E0 sin(α y )e
= ⎜ −α i E0 sin(α y )ei ( kz −ω t ) − i E0 sin(α y )ei ( kz −ω t ) ⎟ u x
⎢ω
⎥ ⎝
ω
ω
⎠
⎢⎣ ∂ z ⎥⎦ ⎢
⎥
α
⎢i E0 cos(α y )ei ( kz −ω t ) ⎥
⎣ ω
⎦
d'où
⎛
⎞
iω
α
k2
− 2 E0 sin(α y )ei ( kz −ω t ) = ⎜ −α i E0 sin(α y )ei ( kz −ω t ) − i E0 sin(α y )ei ( kz −ω t ) ⎟
c
ω
ω
⎝
⎠
d ' où
ω2
2
⎛ nπ ⎞
2
=α + k = ⎜
⎟ +k
2
c
⎝ b ⎠
2
2
Note : on peut obtenir le même résultat à partir de l’équation de propagation.
4. On voit que si on cherche k fonction de ω, si ω est trop faible, k2 négatif ce qui est
impossible. Donc k n’est défini que pour des pulsations ω>ωc=cπn/b. En dessous,
l’onde ne pénètre pas. On peut leur mentionner que dans ce cas en fait, on peut quand
IFIPS
Corrigé TD
Ondes
même traiter le problème, mais k devient imaginaire pur : c’est une onde évanescente.
A la différence d’une onde qui pénètre dans un métal, il n’y a pas dissipation (il n’y a
rien qui puisse dissiper l’énergie) : Si on essaie de faire pénétrer une onde, elle sera
réfléchie (l’onde évanescente assurant les conditions limites).
On voit de plus que la fréquence de coupure augmente avec n : plus ω élevé, plus il y a de
modes possibles.
asymptote de pente c
6
k
4
n=1
2
n=2
n=3
ωc(n=1)
ωc(n=2) ωc(n=3)
n=4
ωc(n=4)
ω
5. Au voisinage de k0 on peut écrire: k1 = k 0 +
∂k
(ω1 − ω 0 )
∂ω
⎛ ∂k ⎞
⎡ iω1 ⎛⎜ t − ∂k x ⎞⎟
iω 2 ⎜ t −
x⎟ ⎤
'
∂k
⎝ ∂ω ⎠
x) .
On obtient E ( x, t ) = e
+ A2 e ⎝ ∂ω ⎠ ⎥ soit e −ik x E (0, t −
⎢ A1e
∂ω
⎢⎣
⎥⎦
Pour la propagationde l’énergie il faut garder le carré, donc le terme de phase
∂k
disparaît et on obtient une vitesse de propagation qui est 1 /
, la vitesse de groupe.
∂ω
6. les guides sont utilisés en monomodes, en général, donc entre ωc1 et ωc2 : c’est à peu
près ce que donne les constructeurs (avec une marge, et en évitant la région près de
ωc1 où la vitesse de groupe est très petite -> forte dispersion)
Pour être sur de travailler en monomode, il ne faut pas qu’une onde se développe polarisée
selon y dans cette gamme de fréquence : il faut donc ωc1 (E//y) > ωc2 (E//x)
D’où cp/a>cp2/b, d’où a < b/2
−i ( k0 +
∂k
ω0 ) x
∂ω
On a bien une hauteur qui est deux fois plus petite que
la largeur. Cela permet de déterminer l’orientation du
champ électrique du mode fondamental.
IFIPS
Corrigé TD
b
a
Ondes
Note : il y a évidemment des modes plus compliqués
que les modes étudiés ici, avec un champ électrique non
polarisé selon l’axe x ou y, ou des modes TM. Ici les
modes ne sont caractérisé que par un entier, n. Dans le
cas général, il en faut deux (on parle de mode TEm,n, ou
TMm,n). Mais le mode étudié ici est bien le fondamental,
et les résultats présentés sont corrects.
A.N :
ν=2.45 GHz .
freq de coupure : νn = n c / 2 b
Il faut b tel que n soit compris entre n1 (b=c/2n =6.1 cm) et n2 (b=2c/2n=12.2cm).
Il faut a tel que n soit plus petit que n1, d’où a < 6.1 cm
b = 8cm et a = 2.5 cm (à peu près les dimensions du guide sur la photo) convient.
Note : le travail en monomode est particulièrement important pour les applications radars ou
télécoms (problème de dispersion) : dans le four a micro-onde, où le but est de convoyer de la
puissance, ce n’est pas crucial.
7. Calculer la vitesse de phase vφ et de groupe vg. Quelles sont leurs significations
physiques respectives ?
vg =
vφ =
dω d
π 2c 2 c 2 k
=
c2k 2 + 2 =
ω
dk dk
b
ω
k
= c +
2
π 2c 2
k 2b 2
On voit que vg est plus petit que c car k est plus petit que ω/c d’après la relation de dispersion.
Par contre, vφ est plus grand que c. En fait, c’est vg qui a du sens : c’est la vitesse de
propagation de l’énergie, ou encore la vitesse d’un pulse electromag envoyé dans le guide,
alors que vf est la vitesse de phase, donc d’une des oscillations qui composeraient ce pulse :
elle n’a pas de réalité physique mesurable ici.
8. Calculer le vecteur de Poynting pour en déduire dans quelle direction se propage
l’énergie. Calculer la puissance moyenne à travers une section du guide d’onde.
IFIPS
Corrigé TD
Ondes
⎡
⎤
⎢
⎥
0
ur ur
⎡ E0 sin(α y ) cos(kz − ω t ) ⎤ ⎢
⎥
ur E ∧ B 1 ⎢
k
⎥
⎢
⎥
=
R=
0
⎥ ∧ ⎢ ω E0 sin(α y ) cos(kz − ω t ) ⎥
μ0
μ0 ⎢
⎢⎣
⎥⎦ ⎢
0
⎥
α
⎢ − E0 cos(α y ) sin(kz − ω t ) ⎥
⎣ ω
⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
0
⎢
⎥
α
1 ⎢
=
+ E0 2 sin(α y ) cos(α y ) cos(kz − ω t ) sin(kz − ω t ) ⎥
⎥
μ0 ⎢
ω
⎢
⎥
2 k
2
2
⎢
⎥
E0
sin (α y ) cos (kz − ω t )
ω
⎣
⎦
mais en moyenne temporelle, la deuxième ligne devient nulle car <cos*sin>=<sin(2..)>=0
ur
1 2 k
1 uur
sin 2 (α y ) u z
E0
donc R =
2
μ0
ω
On peut voir que le flux d’énergie n’est pas homogène dans une section. Pour le mode TE1,
l’énergie est transportée principalement dans le centre du guide (dans la direction y), même si
elle est homogène dans la direction x. Le long des parois y=0 et y=b, il y a des nœuds
d’énergie. Pour les modes supérieurs, il y a des nœuds dans le guide (c’est pour des raisons
similaire que le four à micro-onde ne chauffe pas à certains endroits).
L’énergie moyenne se propage bien selon Oz, direction de propagation de l’onde elle même.
La puissance moyenne :
Pmoy =
∫∫
sec tion
=
1
2μ0
E0 2
k
ω
ur uur
1
k
R .dS =
E0 2
sin 2 (α y ).dxdy
∫∫
2μ0
ω sec tion
b
a ∫ sin 2 (α y ).dy =
0
1
2μ0
E0 2
k
ω
a
b
2
Elle ne dépend pas de z : transport sans perte d’énergie. C’est normal, il n’y a aucune source
de dissipation dans notre model. Si on considère le métal comme non parfait, alors une partie
de l’énergie du guide viendra s’y dissiper, et Pmoy aura une dépendance exponentielle selon z
(les pertes sont comprises entre 1 et 50 dB/100feet selon les fréquences et les tailles des
guides).
IFIPS
Corrigé TD
Ondes
IFIPS
Corrigé TD
Ondes
IFIPS
Corrigé TD
Ondes
CORRIGE TD6
Fibres optiques
I. Trajectoire des rayons lumineux. Approche optique
A. fibre optique à saut d’indice
1- Par Descartes, reflexion totale si α>arcsin(n1/n0) donc si i<ilimite où sin ilim < n0 cos αlim
donc sin ilim<racine(n02-n12)
pour n0=1.5 et n1=1.49 on trouve ilim=6.6°
B. Fibre à gradient d’indice
1- n(0)=n0 => Ok
n(a)=n1 => n1= n0 1 − Δ => Δ = 1 − (
n1 2
)
n0
2n0
Saut
Gradient
n
r
vφ = c/n or n0>n1 => Avec les fibres à gradient on accélère les rayons lumineux quand ils
sont près de la gaine (extérieure) Æ Diminue le retard Æ Plus d’informations.
3.
dz
IFIPS
Corrigé TD
dr
Ondes
θ(r)
θ0
z
n0sin(π/2-θ0) = n(r) sin(π/2-θ(r) ) et par transitivité, c’est vrai qq soit r dans le coeur.
D’où n(r)cos(θ(r))=n0cos θ0
Géométriquement, on a dl2=dr2+dz2 et tan θ(r)=dr/dz
2
⎡ n(r ) ⎤
⎛
1
Ce qui donne ⎢
⎥ = ⎜⎜
⎝ cos θ (r)
⎣ n0 cos θ 0 ⎦
2
⎞
⎟⎟ = 1 + (tan θ (r )) 2 = 1 + (dr / dz ) 2
⎠
2
⎡ n( r ) ⎤
D’où (dr / dz ) = ⎢
⎥ − 1 ; On dérive cette équation par rapport à z.
⎣ n0 cos θ 0 ⎦
2
2
dr d 2 r
1
. 2 =
dz dz
(n0 cos θ 0 ) 2
dr
d 2r
Δ
⎤
⎡d 2
2 Δ
n
r
n
r
=
−
(
(
))
2
=>
+
r=0
0
2
2
⎥⎦
⎢⎣ dz
dz
a
dz
(a cos θ 0 ) 2
donc equa dif f’’=-α2f avec α2 = Δ/(a2 cos2θ0 )
solution r = r0 sin (α x + φ)
en x=0, r=0 donc φ=0 et dr/dx = tan θ0 donc r0 = a sin θ0 / racine (Δ)
donc le rayon n’est plus droit mais en sinusoide : il est plus arrondi ici car il a été
progressivement refracté de proche en proche. C’est analogue aux rayons lumineux d’un
mirage : air chaud peu dense au sol donc indice faible et air plus froid en altitude. Donc là
aussi gradient thermique implique gradient d’indice entre sol et point plus élevé, ce qui
infléchit les rayons lumineux et donne une impression de mirage par temps chaud par
exemple sur une route bitumée.
4. Période λ =
2π
α
=
2πa cos θ 0
Δ
II. Approche électromagnétique
r
1- Equation de propagation de E
r n 2ω 2 r
ΔE + 2 E = 0 avec n=n0 ou n1
c
r
n2
2- E =f(y) e i ( kz −ωt ) u x donc f '' + ( 2 ω 2 − k 2 ) f = 0
c
3- On choisit
n1ω 2
− k 2 <0 dans la gaine pour que f soit evanescente donc que l’onde
2
c
IFIPS
Corrigé TD
Ondes
ne passe pas à travers la gaine mais reste piegée dans le coeur (équivalent de la réflexion
totale).
n ω2
On choisit 0 2 − k 2 > 0 dans le coeur pour que f soit sinusoidale, d’où un régime
c
stationnaire perpendiculairement à z comme dans un guide d’onde.
Dans le cœur : f coeur ( y ) = E 0 cos( (
Dans la gaine :
n0ω 2
− k2)y +ϕ )
c2
f gaine ( y ) = E1 exp( − (
n1ω 2
− k 2)y
c2
On veut donc k1<k<k2.
On doit ajouter les conditions de continuité entre les deux milieux pour déterminer E0, E1,et ϕ.
4- On doit avoir continuité de la composante E// en r=a ; On a donc
On peut donc en tirer les relations entre k et w
(relation de dispersion) ;
Exp
k
r
Function sinus
2
4
k12 − k 2 a = βa
Pour βa<2.405, seul le premier mode peut se propoager dans la fibre Æ fibre monomode
(grandeur typique de rayon ≈ 2μm. Le rayon doit être de l’ordre de grandeur de la longueur
d’onde). Pour les valeurs supérieures de βa, il y a plusieurs modes possibles.
5- Fibre mono-mode : Une seule vitesse de phase Æ parcours unique et bien défini Æ pas de
distorsion de phase Æ pas de distorsion du signal. Convient pour la transmission de signaux
analogiques.
Si on travaille en impulsions (numériques), on peut utiliser les multimodes qui sont + faciles à
raccorder. Mais vitesse de phase différentes et donc distorsions de phase (surtout vrai pour les
fibres a saut d’indice bcp moins pour les gradients d’indice). Par contre, les multimodes
permettent de transporter plus d’énergie.
r
r
∂B
6- rotE = −
= iωB
∂t
IFIPS
Corrigé TD
Ondes
⎡
⎤
⎢
⎥
0
⎥
r ⎢ k
i ( kz −ωt )
⎢
⎥
B=
E 0 sin( α y + ϕ )e
⎢ ω
⎥
⎢i α
⎥
E 0 cos( α y + ϕ )e i ( kz −ωt ) ⎥
⎢
⎣ ω
⎦
5- Fibre mono-mode : Une seule vitesse de phase Æ parcours unique et bien défini Æ pas de
distorsion de phase Æ pas de distorsion du signal. Convient pour la transmission de signaux
analogiques.
Si on travaille en impulsions (numériques), on peut utiliser les multimodes qui sont + faciles à
raccorder. Mais vitesse de phase différentes et donc distorsions de phase (surtout vrai pour les
fibres a saut d’indice bcp moins pour les gradients d’indice). Par contre, les multimodes
permettent de transporter plus d’énergie.
r
r
∂B
6- rotE = −
= iωB
∂t
⎡
⎤
⎢
⎥
0
⎥
r ⎢ k
B=⎢
E 0 sin( α y + ϕ )e i ( kz −ωt ) ⎥
⎢ ω
⎥
⎢i α
⎥
E 0 cos( α y + ϕ )e i ( kz −ωt ) ⎥
⎢
⎣ ω
⎦
r r r
7- On a donc pour poynting R = E × B
μ0
⎤
⎡
⎥
⎢
0
⎥
⎢
r ⎢ α E 02
⎥
R=⎢
sin( α y + ϕ ) cos( α y + ϕ ) sin(kz − ωt ) cos(kz − ωt )⎥
ωμ 0
⎥
⎢
kE02
⎥
⎢
2
2
sin ( α y + ϕ ) cos (kz − ωt )
⎥
⎢
ωμ 0
⎦
⎣
⎡
⎤
0
⎢
⎥
r ⎢
⎥
0
D’où R = ⎢
⎥
2
⎢ kE0 sin 2 ( α y + ϕ )⎥
⎢⎣ 2ωμ 0
⎥⎦
En moyenne l’énergie se propage bien selon l’axe de la fibre Oz.