limites

FONCTIONS : LIMITES
Dans tout le chapitre l ∈ .
I Limite à l’infini d’une fonction :
Définition : Intervalle ouvert centré en l
Tout intervalle de la forme ] l - α; l +α[ où α est un réel positif est un intervalle ouvert et
centré en l.
Exemple 1 : ] l – 0,1; l +0,1[ est un intervalle ouvert, centré en l , de rayon 0,1.
Exemple 2 : ] 0,3 ; 0,8 [ est un intervalle ouvert centré en ........
Définition : l
La fonction f a pour limite le nombre l en +∞ si tout intervalle ouvert de centre l
contient toutes les valeurs prises par f(x) pour tous les x assez grands.
Exemple 1 :
La fonction f définie par f(x) = sin (x) n’admet pas de limite en +∞.
Car quel que soit le réel l choisi on pourra toujours trouver un intervalle ouvert centré en l qui ne
contienne pas tous les f(x) dès que x est assez grand.
l
–0,1
l
+0,1
] [
l
x assez
grand
y = f(x)
y = sin(x)

Exemple 2 :
1) Soit x un réel strictement positif. Résoudre les inéquations : 2-α < 2 + 1
3x < 2+α
2) Que peut-on en déduire pour la fonction f définie sur ]0 ;+ ∞[ par f(x) = 2 + 1
3x ?
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
Exemple 3 : Voir exercice résolu 1 p 15
Définition : +∞
La fonction f a pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle ouvert
de la forme ]M ; +∞[ contient toutes les valeurs prises par f(x)
pour tous les x assez grands.
Définition : -∞
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.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
Propriété : Limite en +∞ des fonctions de référence
Exemple : Calculer les limites suivantes
M

Propriété :
Si l alors la droite d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe
représentative de la fonction f en +∞.
Propriété :
Plus généralement si alors la droite d’équation y = ax + b
est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f en +∞.
Exemple :
Voir exercice résolu 2 p 15, en particulier pour l’utilisation de la calculatrice.
Exemple : Position relative d’une courbe et de son asymptote
Soit f la fonction définie sur ]1,5 ; +∞ [ par f(x) = 3x – 2 – 5
3 – 2x
1) Montrer que la droite (D) d’équation y = 3x – 2 est asymptote à C
f
en +∞.
2) Etudier les positions relatives de C
f
et de cette droite.
La distance entre y=f(x) et y=ax+b
tend vers 0 lorsque x tend vers +∞

II Limite d’une fonction en un réel a :
Définition :
+
∞
Une fonction f a pour limite +∞ lorsque x tend vers a si et seulement si tout intervalle de la forme
] M ; +∞[ contient toutes les valeurs prises par f(x) pourvu que x soit assez proche de a.
Exemple 1 :
Soit f la fonction définie sur \{5} par f(x) = 2
(x – 5)²
1) M est un réel strictement positif, peut-on trouver un intervalle dans lequel choisir x pour que
f(x) ≥ M ?
2) En déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers 5.
Exemple 2 : Exercice résolu 2 p 17
Propriété :
Si
+
∞ alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale à C
f
.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur ] 2 ; +∞[ par f(x) = 3x + 1
-2x² + 8
Trouver les limites de f aux bornes de son domaine de définition et en déduire l’allure de la courbe C
f
.

Définition : l
Une fonction f a pour limite l en a si tout intervalle ouvert centré en l contient
toutes les valeurs prises par f(x) pourvu que x soit assez proche de a.
Exemple 1 :
Calculer
Exemple 2 :
Soit f la fonction définie sur ......................... par f(x) = x – 1
1) Dans quel intervalle choisir x pour que f(x) ∈ ] 2 – r ; 2 + r [ ?
2) r pouvant être aussi petit que l’on veut, que peut-on conclure ?
Exemple 3 : Exercice résolu 1 p 17
III Opérations et limites :
Fonction de référence x x² x
3
x
1
x
1
x²
1
x
3
1
x
Limite en +
∞
∞∞
∞
Limite en -
∞
∞∞
∞
OPERATIONS SUR LES LIMITES
l et l’ sont deux nombres réels.
 Limite d’une somme :
Si
f
a pour limite
l
l
l
+
∞
-
∞
+
∞
et si
g
a pour limite
l’
+
∞
-
∞
+
∞
-
∞
-
∞
alors
f + g
a pour
limite