Résultats classiques sur les endomorphismes nilpotents Soit K un

Résultats classiques sur les endomorphismes nilpotents
Soit K un corps commutatif, E un K − ev de dimension finie n, u
un endomorphisme nilpotent de E.
1. Démontrer que u est trigonalisable.
Le polynôme scindé X p (p est un entier naturel non nul) annule u.
2. Déterminer le polynôme caractéristique de u.
Le polynôme caractéristique de u est scindé (car u est trigonalisable).
La seule valeur propre possible pour u est 0 (seule racine de X p ). Il n’y
a qu’un polynôme scindé unitaire de degré n qui a comme seule racine
0 : c’est X n .
Il y a beaucoup de manières différentes d’arriver à ce résultat. On peut
par exemple prendre une base dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure, il n’y a que des 0 sur la diagonale, le polynôme
caractéristique de u se calcule facilement. . .
3. En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, démontrer que
l’indice de nilpotence de u est au plus égal à n.
Le polynôme caractéristique est X n ; le polynôme minimal est donc
X p pour un certain p ≤ n (le théorème de Cayley-Hamilton dit que
le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique). On a alors
up = Θ (X p annule u) et up−1 �= Θ (X p−1 n’annule pas u). Donc p est
l’indice de nilpotence de u.
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4. Retrouver le résultat de la question précédente sans utiliser le
théorème de Cayley-Hamilton, à l’aide de l’exercice classique
sur les « noyaux itérés ».
On a (voir exercice sur les noyaux itérés) :
Ker(u0 ) � Ker(u1 ) � · · · � Ker(up−1 ) � Ker(up ) = E
�
�
��
La suite finie dim Ker uk
0≤k≤p
est donc une suite strictement crois-
sante d’entiers naturels, ce qui implique facilement, pour tout k entre
�
�
0 et p, dim Ker uk ≥ k (récurrence « finie »). Et, partant, n ≤ p.
5. Démontrer que, sur C, une matrice est nilpotente si et seulement si 0 est son unique valeur propre. Est-ce encore vrai sur
R?
Si une matrice est nilpotente, sa seule valeur propre est 0, quel que soit le
corps. Réciproquement, si la seule valeur propre est 0, comme on est sur C,
le polynôme minimal est scindé, il est donc de la forme X p . Donc la matrice
est nilpotente. En revanche, sur R,

0

0

0
la matrice

0 0

0 −1

1 0
(construite à partir d’un bloc 2 × 2 de matrice de rotation d’angle π/2) a
pour seule valeur propre 0, et pourtant n’est pas nilpotente (mais bien sûr,
elle a des valeurs propres complexes non nulles).
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Sous-espaces caractéristiques et réduction de Dunford
1. Soit u un endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension
finie non nulle n. On appelle p l’indice de nilpotence de u,
c’est-à-dire le plus petit entier naturel pour lequel up = Θ. Démontrer que u est trigonalisable. Quel est le polynôme minimal
de u, son polynôme caractéristique ? Démontrer que p ≤ n. u
peut-il être diagonalisable ?
Le polynôme scindé X p est annulateur de u, donc u est trigonalisable.
Son polynôme minimal est un diviseur de X p , donc il est de la forme
X k où k ≤ p. Mais, par définition de p, si k < p on a uk �= Θ, donc
le polynôme minimal de u est nécessairement X p .
Et donc la seule racine possible pour le polynôme caractéristique de
u est 0 (c’est la seule valeur propre possible pour u). Or ce polynôme
caractéristique est scindé (car u est trigonalisable), unitaire de degré
n, c’est donc X n .
Et, par le théorème de Cayley-Hamilton (le polynôme minimal divise
le polynôme caractéristique) on a p ≤ n.
Si u est diagonalisable, comme il a une seule valeur propre (donc un
seul sous-espace propre), c’est une homothétie, de rapport cette valeur
propre, ici 0. Donc u = Θ.
2. Soit u un endomorphisme d’un espace E de dimension finie
non nulle n. On suppose que le polynôme caractéristique de
u est scindé. On note λ1 , . . . , λq ses racines, de multiplicités
respectives m1 , . . . , mq .
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�
�
On note, pour chaque i entre 1 et q : Fi = Ker (λi Id − u)mi .
Fi est appelé sous-espace caractéristique associé à la valeur
propre λi .
(a) Démontrer que Fi est stable par u et contient le sousespace propre Ei associé à la valeur propre λi .
Fi est le noyau de Pi (u), avec Pi = (λi − X)mi . Comme Pi (u) commute avec u (c’est un polynôme de u), son noyau Fi est stable par u (cours).
Mais, si f est un endomorphisme, si k < k � , on a
�
ker(f k ) ⊂ ker(f k ), donc en particulier ici
�
�
�
�
ker λi Id − u ⊂ ker (λi Id − u)mi ce qui traduit bien que
Ei ⊂ Fi
(b) Démontrer que E est somme directe des Fi (1 ≤ i ≤ q).
L’utilisation du théorème de Cayley-Hamilton et du théorème de
décomposition des noyaux dans cette question est un grand classique de la réduction.
Le polynôme caractéristique de u, supposé scindé, est
χu =
q
�
i=1
(X − λi )mi
Si i �= j, X − λi ∧ X − λj = 1, donc (X − λi )mi ∧ (X − λj )mj = 1 ;
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le théorème de décomposition des noyaux dit alors :
q
�
�m
�
� �
ker (u − λi Id i ]
ker χu (u) =
i=1
Mais, d’après le théorème de Cayley-Hamilton, χu (u) = Θ, donc
�
�
ker χu (u) = E, et on conclut bien :
E=
q
�
Fi
i=1
(c) Démontrer que u est diagonalisable si et seulement si
Fi = Ei pour tout i.
On a vu dans le a. que, pour tout i, dim(Ei ) ≤ dim(Fi ). On ajoute
toutes ces inégalités, on obtient :
q
�
i=1
dim(Ei ) ≤
q
�
dim(Fi ) = dim(E)
i=1
Mais on sait que u est diagonalisable si et seulement si
q
�
dim(Ei ) = dim(E), donc si et seulement si l’inégalité ci-dessus est
i=1
une égalité. Or en ajoutant des inégalités (de même sens bien sûr,
sinon c’est interdit !) dont une au moins est stricte, on obtient une
inégalité stricte. Donc u est diagonalisable si et seulement si les inégalités dim(Ei ) ≤ dim(Fi ) sont toutes des égalités, donc si et seulement si (sachant que chaque Ei est inclus dans le Fi correspondant)
Fi = Ei pour tout i
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3. On se place sous les hypothèses de la question précédente.
On appelle ui l’endomorphisme induit par u sur Fi , et pi la
�
projection sur Fi parallèlement à
Fj .
j�=i
(a) Démontrer que ui s’écrit comme somme d’une homothétie
hi et d’un endomorphisme nilpotent ni de Fi .
Si x ∈ Fi , par définition de ce sous-espace on a
(λi Id − u)mi (x) = 0E = 0Fi . Mais, sur Fi , u coïncide avec ui , donc
(λi IdFi − ui )mi (x) = 0Fi . Notant Θi l’endomorphisme nul de Fi ,
on obtient (λi IdFi − ui )mi = Θi . Donc ui − λi Id est nilpotent.
Notons-le ni , et notons hi l’homothétie λi Id. On a bien :
ui = n i + h i
(b) Construire, en utilisant ce qui précède, deux endomorphismes d et n, respectivement diagonalisable et nilpotent,
tels que
u=d+n
et
dn = nd
Soit x un élément de E. On peut le décomposer sur les Fi :
q
�
x=
pi (x). Donc
i=1
q
q
q
q
�
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
u(x) =
u pi (x) =
ui pi (x) =
hi pi (x) +
ni pi (x)
i=1
i=1
i=1
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i=1
ce qui incite à définir
d=
q
�
i=1
hi ◦ pi et n =
q
�
i=1
ni ◦ pi
On a, par ce qui précède, u = d + n. Sur chaque Fi , d coïncide avec hi ;
on sait qu’alors d est diagonalisable.
i
Sur chaque Fi , n coïncide avec ni . Or nm
i = Θi , donc, si
m
m = max(mi ), nm
i = Θi . Donc n est une application linéaire nulle sur
chaque Fi , or la somme directe des Fi est E, donc nm = Θ. Et ainsi,
n est nilpotent.
Mais n ◦ d et d ◦ n coïncident sur chaque Fi (car hi ◦ ni = ni ◦ hi ), donc
sont égaux : nd=dn
Remarque : Chaque ni est trigonalisable. Il existe donc une base de
Fi dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure « stricte ». En
réunissant de telles bases, on obtient une base de E dans laquelle la
matrice de u est de la forme

A1


A2


..
M =
.


..

.


Aq









(diagonale par bocs), chaque Ak étant un bloc mk × mk triangulaire,
de la forme


λk


 0 . . . (∗)



Ak =  . .

.
 ..

.. ..


0 . . . 0 λk
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M est donc diagonale par blocs et triangulaire ; d est l’endomorphisme
dont la matrice dans cette base est la diagonale de M , n est l’endomorphisme dont la matrice dans cette base est la matrice triangulaire
supérieure stricte dont les coefficients hors diagonale sont ceux de M
(les coefficients diagonaux étant nuls).
On peut construire une base pour que, dans M , les seuls coefficients
non nuls hors de la diagonale soient tous égaux à 1 et situés juste audessus ce celle-ci (c’est-à-dire en ligne i et colonne i + 1 pour certains
i dans [1, n − 1]). C’est la réduction de Jordan, plus technique.
4. Toute matrice M s’écrit donc comme somme D + N d’une
matrice diagonalisable et d’une matrice nilpotente qui commutent. Quel est l’intérêt pour le calcul des puissances de M ?
Comme D et N commutent, les puissances de leur somme peuvent être
calculées en utilisant le binôme de Newton. De plus, si j ≥ n, on a
N j = 0. Donc, si k ≥ n − 1, on pourra écrire
k
(D + N ) =
n−1 � �
�
k
j=0
j
N j Dk−j
5. On suppose u = d� + n� une autre décomposition vérifiant les
conditions de 3.b. Vérifier que les Fi sont stables par d� et n� ,
en déduire que d = d� et n = n� .
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Si d� commute avec n� , elle commute avec n� + d� = u, et donc elle commute,
par récurrence, avec toutes les « puissances » (pour ◦) de u et, par combinaison linéaire, avec tous les polynômes de u. Donc d� laisse stables tous les Fi
(qui sont des noyaux de polynômes de u). De même pour n� .
On peut alors noter d�i et n�i les endomorphismes induits par d� et n� sur Fi .
Soit µ une valeur propre de d� i ; le sous-espace propre associé ker(d�i − µIdFi )
est stable par n�i , et l’endomorphisme induit par n�i sur ce sous-espace ne
peut être injectif (sinon, ce serait un automorphisme, or il a une puissance
(pour ◦) nulle, c’est donc impossible). Il existe donc xi ∈ ker(d�i − µIdFi ) tel
que n�i (xi ) = 0E . Mais alors ui (x) = d�i (x) + n�i (x) = µx, or (X − λi )mi est
annulateur de ui , donc sa seule valeur propre possible est λi , donc µ = λi .
Finalement, d�i , qui a une unique valeur propre et est diagonalisable, est hi ,
et donc n�i = ni , l’unicité s’ensuit.
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