Résultats classiques sur les endomorphismes nilpotents Soit K un

Résultats classiques sur les endomorphismes nilpotents
Soit Kun corps commutatif, Eun K−ev de dimension finie n,u
un endomorphisme nilpotent de E.
1. Démontrer que uest trigonalisable.
Le polynôme scindé Xp(pest un entier naturel non nul) annule u.
2. Déterminer le polynôme caractéristique de u.
Le polynôme caractéristique de uest scindé (car uest trigonalisable).
La seule valeur propre possible pour uest 0(seule racine de Xp). Il n’y
aqu’unpolynômescindéunitairededegrénqui a comme seule racine
0:c’estXn.
Il y a beaucoup de manières différentes d’arriver à ce résultat. On peut
par exemple prendre une base dans laquelle la matrice de uest tri-
angulaire supérieure, il n’y a que des 0sur la diagonale, le polynôme
caractéristique de use calcule facilement. . .
3. En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, démontrer que
l’indice de nilpotence de uest au plus égal à n.
Le polynôme caractéristique est Xn;lepolynômeminimalestdonc
Xppour un certain p≤n(le théorème de Cayley-Hamilton dit que
le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique). On a alors
up=Θ(Xpannule u)etup−1�=Θ(Xp−1n’annule pas u). Donc pest
l’indice de nilpotence de u.
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4. Retrouver le résultat de la question précédente sans utiliser le
théorème de Cayley-Hamilton, à l’aide de l’exercice classique
sur les « noyaux itérés ».
On a (voir exercice sur les noyaux itérés) :
Ker(u0)�Ker(u1)�···�Ker(up−1)�Ker(up)=E
La suite finie dimKer uk0≤k≤pest donc une suite strictement crois-
sante d’entiers naturels, ce qui implique facilement, pour tout kentre
0et p,dimKer uk≥k(récurrence « finie »). Et, partant, n≤p.
5. Démontrer que, sur C,unematriceestnilpotentesietseule-
ment si 0est son unique valeur propre. Est-ce encore vrai sur
R?
Si une matrice est nilpotente, sa seule valeur propre est 0,quelquesoitle
corps. Réciproquement, si la seule valeur propre est 0, comme on est sur C,
le polynôme minimal est scindé, il est donc de la forme Xp.Donclamatrice
est nilpotente. En revanche, sur R,lamatrice
00 0
00−1
01 0
(construite à partir d’un bloc 2×2de matrice de rotation d’angle π/2)a
pour seule valeur propre 0,etpourtantn’estpasnilpotente(maisbiensûr,
elle a des valeurs propres complexes non nulles).
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Sous-espaces caractéristiques et réduction de Dunford
1. Soit uun endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension
finie non nulle n.Onappellepl’indice de nilpotence de u,
c’est-à-dire le plus petit entier naturel pour lequel up=Θ.Dé-
montrer que uest trigonalisable. Quel est le polynôme minimal
de u,sonpolynômecaractéristique?Démontrerquep≤n.u
peut-il être diagonalisable ?
Le polynôme scindé Xpest annulateur de u,doncuest trigonalisable.
Son polynôme minimal est un diviseur de Xp,doncilestdelaforme
Xkoù k≤p. Mais, par définition de p,sik<pon a uk�=Θ,donc
le polynôme minimal de uest nécessairement Xp.
Et donc la seule racine possible pour le polynôme caractéristique de
uest 0(c’est la seule valeur propre possible pour u). Or ce polynôme
caractéristique est scindé (car uest trigonalisable), unitaire de degré
n,c’estdoncXn.
Et, par le théorème de Cayley-Hamilton (le polynôme minimal divise
le polynôme caractéristique) on a p≤n.
Si uest diagonalisable, comme il a une seule valeur propre (donc un
seul sous-espace propre), c’est une homothétie, de rapport cette valeur
propre, ici 0.Doncu=Θ.
2. Soit uun endomorphisme d’un espace Ede dimension finie
non nulle n.Onsupposequelepolynômecaractéristiquede
uest scindé. On note λ1,...,λ
qses racines, de multiplicités
respectives m1,...,m
q.
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On note, pour chaque ientre 1 et q:Fi=Ker
(λiId −u)mi.
Fiest appelé sous-espace caractéristique associé à la valeur
propre λi.
(a) Démontrer que Fiest stable par uet contient le sous-
espace propre Eiassocié à la valeur propre λi.
Fiest le noyau de Pi(u),avecPi=(λi−X)mi. Comme Pi(u)com-
mute avec u(c’est un polynôme de u), son noyau Fiest stable par u(cours).
Mais, si fest un endomorphisme, si k<k
,ona
ker(fk)⊂ker(fk�),doncenparticulierici
kerλiId −u⊂ker(λiId −u)mice qui traduit bien que
Ei⊂Fi
(b) Démontrer que Eest somme directe des Fi(1≤i≤q).
L’utilisation du théorème de Cayley-Hamilton et du théorème de
décomposition des noyaux dans cette question est un grand clas-
sique de la réduction.
Le polynôme caractéristique de u,supposéscindé,est
χu=
q
i=1
(X−λi)mi
Si i�=j,X−λi∧X−λj=1,donc(X−λi)mi∧(X−λj)mj=1;
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le théorème de décomposition des noyaux dit alors :
kerχu(u)=
q
i=1
ker(u−λiIdmi]
Mais, d’après le théorème de Cayley-Hamilton, χu(u)=Θ,donc
kerχu(u)=E,etonconclutbien:
E=
q
i=1
Fi
(c) Démontrer que uest diagonalisable si et seulement si
Fi=Eipour tout i.
On a vu dans le a. que, pour tout i,dim(Ei)≤dim(Fi).Onajoute
toutes ces inégalités, on obtient :
q
i=1
dim(Ei)≤
q
i=1
dim(Fi)=dim(E)
Mais on sait que uest diagonalisable si et seulement si
q
i=1
dim(Ei)=dim(E),doncsietseulementsil’inégalitéci-dessusest
une égalité. Or en ajoutant des inégalités (de même sens bien sûr,
sinon c’est interdit !) dont une au moins est stricte, on obtient une
inégalité stricte. Donc uest diagonalisable si et seulement si les in-
égalités dim(Ei)≤dim(Fi)sont toutes des égalités, donc si et seule-
ment si (sachant que chaque Eiest inclus dans le Ficorrespondant)
Fi=Eipour tout i
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