sujet

Université Pierre et Marie Curie
Année Universitaire 2005-2006
UE de Physique 105
Thermodynamique et Applications biophysiques
Examen de biophysique du 27 janvier 2006
Durée de l’épreuve : 2 heures
Tous documents interdits. Téléphones portables interdits. Seules les calculatrices de type collège sont autorisées.
Ce sujet de 4 pages comporte deux parties (I. Question de cours et II. Problème et exercice) qui doivent être
rédigées sur deux copies anonymes différentes (copies avec un coin à rabat). Choisir arbitrairement un
numéro d’anonymat (4 chiffres) et l’indiquer lisiblement sur toutes les copies
Poser toujours les calculs littéraux avant de passer, s’il y a lieu, à l’application numérique.
I.
Question de cours (à rédiger sur une feuille séparée)
Répondre succinctement aux questions en privilégiant les schémas aux longues dissertations
1) Tracer dans le plan (P, T) le diagramme d’équilibre des phases pour l’eau. Quelle est
la particularité de l’eau par rapport à la plupart des autres corps purs ?
2) Décrire avec soin, schéma à l’appui, l’expérience du Bouillant de Franklin. Répondre
en particulier aux questions suivantes :
a) Lorsqu’on retourne le ballon quelle est la composition du gaz qui y est
contenu ?
b) À l’équilibre liquide-vapeur de quoi dépend la pression de vapeur saturante ?
c) Lorsqu’on verse de l’eau froide sur le ballon on constate que l’eau reprend
l’ébullition. Expliquer pourquoi en s’appuyant sur le diagramme d’équilibre
des phases.
3) Considérons un verre d’eau (masse volumique ρe) dans lequel on immerge un glaçon
de masse m, volume Vg et masse volumique ρg ; le niveau d’eau dans le verre est h1.
a) Quelle force équilibre le poids du glaçon ?
b) En écrivant la condition d’équilibre pour le glaçon flottant dans l’eau, en
déduire l’expression du volume de la partie immergée du glaçon Vimm.
c) Une fois le glaçon complètement fondu, quel sera le niveau d’eau h2 dans le
verre ?
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II. Problème et exercice (à rédiger sur une feuille séparée)
1. Problème
Partie A : Fluide en équilibre hydrostatique
Considérons une couche de fluide d’épaisseur dz en équilibre hydrostatique dans un champ de
gravité g (voir figure 1).
Surface arbitraire S
Couche élémentaire
de fluide d’épaisseur dz
→
uz
1) Faire le bilan de forces de pression et poids agissant sur cette couche.
2) En déduire l’équation différentielle entre la pression P(z), la masse volumique ρ(z) et
l’altitude z : dP(z) = -ρ(z)gdz
3) Dans le cas d’un fluide incompressible quelle est l’expression de ρ(z) ? Que donne
alors l’intégration de cette équation ?
Partie B : Atmosphère isotherme
Considérons maintenant le cas de l’atmosphère et assimilons l’air à un gaz parfait :
4)
En supposant la température T constante (approximation d’atmosphère isotherme),
exprimer ρ(z) en fonction de P(z), R et T à l’aide de l’équation d’état des gaz parfaits.
5) Remplacer l’expression trouvée dans l’équation différentielle pour P(z) (voir la partie
A, question 2) et l’intégrer pour établir la loi barométrique : P(z) = P0e-Mgz/RT où
P0=105Pa représente la pression atmosphérique au niveau de la mer (z=0 m), M la
masse molaire de l’air (moyenne pondérée des masses molaires des gaz qui composent
l’air), g l’accélération de pesanteur.
6) A.N. Calculer, grâce à l’expression trouvée, la pression atmosphérique au sommet du
mont Everest situé à 8850 m d’altitude. On donne M=29 g/mol, T0=300K, g=9,8 m/s2,
R=8.31 S.I. Comparer avec la valeur mesurée de 0,32x105 P a. Commenter. Quelle
approximation dans le modèle d’atmosphère isotherme vous semble la moins
adaptée ?
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Partie C : Gradient thermique de l’atmosphère
On se propose de déduire la relation entre l’altitude et la température de l’atmosphère. La
cause principale de la variation de la température avec l’altitude est l’existence de courants de
convection dans la troposphère qui transportent l’air de régions hautes vers les régions basses
et réciproquement.
7) Expliquer le principe physique qui permet la formation de ces courants de convection
Considérons un volume d’air pris au niveau de la mer. Au cours de son ascension l’air atteint
des régions où la pression est plus faible et donc il se détend. Comme l’air est un mauvais
conducteur de chaleur une telle détente peut être considérée comme adiabatique. On
supposera aussi que l’ascension et la détente de l’air sont suffisamment lentes pour considérer
la transformation quasi-statique.
8) Ecrire la relation entre P, V et γ pour une transformation adiabatique quasi-statique. À
l’aide de l’équation d’état des gaz parfaits déduire la relation P(1-γ)/γ T=Cte. On donne
γ=1,4
9) Compte tenu de la relation précédente, lors d’une détente adiabatique la température
d’un gaz parfait augmente-t-elle ou diminue-t-elle? Justifiez votre réponse.
10) En prenant le logarithme naturel ln de la formule p(1-γ)/γ T=Cte, et en la différenciant,
dT γ − 1 dP
=
déduire la relation entre dT et dP :
T
γ P
11) En combinant la relation trouvée à la question 10 avec l’expression reliant dP et dz et
en exprimant ρ (z) en fonction de p et T (voir les questions 2 et 4), montrer que
dT
γ − 1 Mg
=−
dz
γ R
12) Intégrer cette équation pour déduire la loi de variation de T avec l’altitude z. Exprimer
T(z) sous la forme T(z)=T0 - az où T0 représente la température à l’altitude de référence
z0=0 m et a est une constante que l’on exprimera en fonction de γ, M, g, et R.
13) A.N. Calculer la valeur de a. Quelles sont les unités de a ? À Chamonix (1035 m
d’altitude), par une belle journée d’été, on mesure la température de 28°C. À quelle
température faut-il s’attendre lors d’une excursion jusqu’au sommet du Mont Blanc
(4807 m) ?
14) Reprendre l’équation différentielle pour P(z)(partie A, question 2) et l’intégrer en
prenant en compte le gradient thermique de l’atmosphère. Montrer que la variation de
la pression atmosphérique avec l’altitude peut se mettre sous la forme
P(z)=P0[T(z)/T0]η où η est une constante que l’on exprimera en fonction de M, g, R et
a.
15) A.N. Recalculer avec la nouvelle expression de P(z) la pression atmosphérique au
sommet du mont Everest et comparer le résultat à celui donné par la loi barométrique
(voir la question 7 de la partie A). On prendra T 0=300K. Quelle est l’erreur relative
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commise sur la détermination de la valeur de la pression au sommet de l’Everest par
rapport à la valeur mesurée ?
2. Exercice
Equilibre thermique et second principe de la thermodynamique
Considérons deux corps purs A et B, constitués de la même substance de chaleur spécifique
massique c, de même masse m, respectivement aux températures TA et TB.
À l’instant t0 on établit le contact thermique entre les deux corps. L’expérience est effectuée
dans une enceinte à parois isolantes, de façon à pouvoir négliger tout échange de chaleur avec
l’extérieur.
On pourra alors considérer que les échanges de chaleur se font exclusivement entre les deux
corps, et on traitera l’ensemble des deux corps comme un système isolé. Après un certain
temps un nouvel état d’équilibre s’établit : on se propose de déterminer la température
d’équilibre Te en exploitant le second principe de la thermodynamique.
1) Soit TAf = TA + α la température finale du corps A. Montrer, à l’aide du premier
principe de la thermodynamique, que la température finale du corps B doit être alors
TBf = TB - α.
2) Le premier principe de la thermodynamique permet-il de déterminer le signe de α ?
Justifiez votre réponse.
3) A votre avis l’observation d’un transfert spontané de chaleur d’un corps froid vers un
corps chaud violerait-elle le principe de conservation de l’énergie ? L’utilisation de
l’adjectif « impossible » pour définir un tel processus vous paraît-elle adaptée ? Si
non, quelle autre définition proposeriez-vous ?
4) Exprimer, en fonction de m, c, α et T A la variation d’entropie du corps A entre l’état
initial et l’état final.
5) Exprimer, en fonction de m, c, α et T B la variation d’entropie du corps B entre l’état
initial et l’état final.
6) À l’aide des réponses aux questions 4 et 5, montrer que la variation d’entropie de
l’univers entre l’état initial et l’état final peut se mettre sous la forme suivante :
(T + α )(TB − α )
ΔSun = mc ln[ A
]
TATB
7) Qu’établit le second principe de la thermodynamique sur la variation d’entropie d’un
système isolé au cours d’une transformation réversible ? Et pour une transformation
irréversible ?
8) En imposant que ΔSun est maximal, déterminer α en fonction de TA et TB et en déduire
ensuite TAf, TBf et donc la température d’équilibre Te.
9) Exprimer ΔSun en fonction de T A et T B et démontrer formellement que ΔSun est une
quantité positive pour n’importe quelle valeur de TA et TB.
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