Ex - cours de mecanique des fluides

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UNIVERSITE D'ANGERS
Epreuve de
MECANIQUE DES FLUIDES
CONTROLE CONTINU
Mardi 19 novembre 2002
Année 2002-2003
Durée : 2h30
Licence de Physique et Applications
S. Chaussedent
La calculatrice et le formulaire sont autorisés
PROBLEME 1 : HYDROSTATIQUE (barème indicatif : 7 pts)
On se propose de dimensionner un barrage prévu pour retenir une hauteur d’eau He.
Constitué d’un matériau de densité d, de hauteur H et de largeur l, le barrage doit tenir au sol
sous la seule action de son propre poids (voir figure 1). Par ailleurs, on suppose connu le
coefficient de frottement statique
s entre le sol et le matériau.
1. Exprimer la force hydrostatique s’exerçant sur ce barrage.
2. Localiser le point d’application de cette force hydrostatique.
3. Exprimer en fonction de d, He, H et
s la largeur l minimale du barrage pour qu’il ne
glisse pas.
4. En comparant le moment de la force hydrostatique avec celui du poids par rapport à un
axe que l’on précisera, exprimer la condition sur l pour que le barrage ne bascule pas.
5. En se plaçant dans les conditions extrêmes où He=H, quelle doit être la valeur minimale
du rapport l/H permettant d’éviter tout risque de basculement et de glissement ? On
prendra : d = 2,0 et
s = 0,30. Commenter.
He
H
l
- figure 1 -

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PROBLEME 2 : CINEMATIQUE (barème indicatif : 9 pts)
1. Formuler l’équation de continuité dans le cadre le plus général qui soit. Qu’advient-il de
cette équation lorsque : (i) l’écoulement est stationnaire, (ii) le fluide est incompressible et
(iii) le fluide est incompressible et l’écoulement conservatif ?
2. Donner une définition de la ligne de courant.
3. On considère l’écoulement plan décrit par le potentiel f1(z) = -i B/z où B est une constante
réelle positive.
a) Exprimer son potentiel des vitesses 1 et sa fonction de courant 1.
b) En déduire le champ de vecteurs vitesse. Existe-t-il des points d’arrêt ? Justifier.
c) Montrer que les lignes de courant sont des cercles centrés sur l’axe x passant tous par
l’origine. De quel écoulement élémentaire s’agit-il ?
4. A l’écoulement décrit par f1(z), on superpose un écoulement dont le potentiel complexe est
f2(z) = Cz2, où C est une constante réelle positive.
a) Quel écoulement élémentaire décrit f2 ?
b) Formuler le potentiel complexe résultant de la superposition de f1 et f2. En déduire le
potentiel des vitesses  et la fonction de courant .
c) Déterminer le champ de vecteurs vitesse.
d) Montrer qu’il n’existe qu’un point d’arrêt et donner ses coordonnées.
e) Déterminer l’équation de la ligne de courant passant par ce point d’arrêt. Etudier cette
équation afin d’en faire une représentation schématique.
f) Quelle situation réelle peut modéliser cette superposition ?
PROBLEME 3 : PRESSION DE L’ATMOSPHERE (barème indicatif : 4 pts)
On souhaite caractériser la loi de variation de pression de l’atmosphère terrestre en
fonction de l’altitude. Pour cela, on considérera l’air comme un gaz parfait vérifiant
l’équation d’état : PV = nRT.
1. Montrer que dans ces conditions, la masse volumique est fonction de la pression et
s’exprime comme :
p
TR
M
, où M est la masse molaire du gaz.
2. En supposant que l’atmosphère est adiabatique, on peut montrer que la température est
également fonction de la pression et en dépend selon la loi :
γ)1γ(
α pT
, où  = 1,4 est
le coefficient polytropique de l’air, et  une constante que l’on peut déterminer en
considérant qu’à l’altitude z = 0, la pression vaut p0 pour une température T0. Poser
l’équation fondamentale de la statique des fluides et en déduire la loi de variation de la
pression p en fonction de l’altitude z.
3. En déduire qu’il existe une altitude maximale au-delà de laquelle il n’y a plus d’air.
Exprimer cette altitude maximale en fonction de , R, M, de l’accélération de la pesanteur
g et de la température T0 à l’altitude z = 0. Application numérique : R = 8,31 J.K-1.mol-1,
M = 30 g.mol-1, g = 9,8 m.s-2 et T0 = 300 K.
4. Quelle est la loi de variation de la température en fonction de l’altitude ? Que vaut la
température à 10 000 m d’altitude ?