"l air" altitude "vers l"

Introduction aux Sciences de l’Atmosphère Exercices No. 2 1
Enseignant : Stéphane Goyette Mars 2008
Théorie, Matière à Réflexion et Problèmes
Hydrostatique
1- L’approximation hydrostatique nous conduit mathématiquement à l’équation hydrostatique selon laquelle la
force du gradient de pression vertical dirigée vers le haut est contrebalancée par la force gravitationnelle
dirigée vers le bas, i.e.,
g
z
p
ρ −=
d
d
(1)
où p représente la pression, z l’altitude, ρ la densité de l’air et g l’accélération gravitationnelle. Puisque p, g,
R et T sont des quantités toujours positives, on constate que ∆p < 0 quand ∆z > 0 et vice versa. Afin de
trouver la hauteur d’une colonne d’air, nous pouvons intégrer cette équation en supposant une atmosphère
de densité uniforme avec l’altitude, disons ρ = ρ
o
, comme suit :
∫
−=
∫
p
p
z
z oo
g
p
z
ρ
o
d
d (2)
alors,
gp
p
z
z
o
o
o
ρ
−
=− (3)
à la surface z
o
= 0 m, p = p
o
et donc
gp
p
z
o
o
ρ
−
= (4)
La hauteur de cette atmosphère peut donc être calculée ; en effet au-delà de celle-ci p = 0 et
g
T
R
g
p
z
o
o
o
top
==
ρ
(5)
dans laquelle nous avons utilisée l’équation d’état pour l’air où T
o
représente la température de la surface.

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Question. Quelle serait la hauteur d’une colonne d’atmosphère de densité uniforme de 1 kg m
-3
? Supposez
une pression de surface de 1012 hPa. Pourquoi n’est-ce pas ainsi sur Terre ? Expliquez.
2- L’équation (1) est fondamentale. On peut en tirer une série d’expressions qui sont utiles en statique de
l’atmosphère, notamment la formule de « Laplace » (cf. Pédélaborde, 1983)
1
. L’air est assimilé à un gaz
parfait et la composition de l’air sec étant constante avec l’altitude nous permet de considérer R = R
d
comme
une constante à tous les niveaux. En première approximation, on peut aussi considérer la gravité comme
une constante égale à celle qui prévaut au niveau de la mer soit g. On peut donc écrire que :
∫
−=
∫
z
p
p zoo
Tz R
g
p
pdd
(6)
La température T varie avec z et doit donc rester dans l’intégrale de droite de l’Éq. (6). Cela représente une
difficulté de calcul car aucune loi générale ne donne T en fonction de l’altitude. Cependant, les sondages
aérologiques montrent que la variation de T dans la basse troposphère décroît linéairement en moyenne
avec l’altitude z. On ne commet donc pas une grande erreur en remplaçant toutes les températures dans
une couche ∆z = (z – z
o
) par la moyenne arithmétique comme suit :
(
)
T
TT
o
+×= 5.0 . Cependant, il serait
plus exact d’utiliser la moyenne harmonique des valeurs de T dans cette couche d’épaisseur ∆z puisque
c’est
T
1
et non T qui figure dans l’intégrale de droite de l’Éq. (6). En pratique, la moyenne harmonique
(notée
T
TT
T
h
o
o
T
+××
=
2
) diffère de peu de la moyenne arithmétique et nous utiliserons par conséquent cette
dernière. Il s’en suit que :
∫
−=
∫
z
p
p zoo
z
TRg p
pd d
(7)
La solution de l’Éq. (7) devient plus facile à trouver, alors :
z
TR
g
p
p
o
∆=ln
(8)
et, donc que
1
La formule est due au scientifique français Pierre Simon de Laplace (1749-1827) qui propose alors un « modèle » d’atmosphère.

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p = 500 hPa
p = 504 hPa
200 km 40°N
↑
N
V
g
p
p
g
TR
z
zz
o
o
ln=−=∆
(9)
On peut donc à l’aide de cette version simplifiée de la formule de Laplace trouver l’épaisseur d’une couche
d’air atmosphérique en fonction de sa température moyenne (
T
) ainsi que deux niveaux de pression
arbitraire p
o
et p, tout en connaissant, bien entendu, la valeur numérique des deux constantes g (9.81 m s
-2
)
et R (287.04 J kg
-1
K
-1
).
Question. Vérifiez que les unités de l’Éq (9) sont bien celles d’une hauteur. Tracez un graphique de
l’épaisseur de la couche 1000 – 500 hPa en fonction de la température moyenne
T
, variant de -25°C à
+5°C. Quelles sont vos conclusions ?
Équilibre géostrophique
3- À une altitude de 5600 m au-dessus
du niveau moyen de la mer, la
température est de -25°C ; une carte
d’altitude illustre les informations
suivantes : (Ahrens, 1994)
Trouvez la grandeur et la direction du vent géostrophique ? Expliquez votre démarche.
p, z, T
p
o
, z
o
, T
o
∆
z
T

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Indices. Dans cet exemple, la basse pression est au Nord, ce qui implique que le vent s’écoule vers l’Est
(vers la droite sur la figure). Afin de trouver sa grandeur, considérons l’équation suivante :
y
p
f
u∆
∆
−≈
ρ
1
,
où f représente le paramètre de Coriolis f = 2 Ω sin ϕ , ϕ = 40°, Ω = 2π / 86’164 s, alors f = 9.37 x 10
-5
rad s
-1
.
Il ne vous reste qu’à évaluer ρ et trouver une valeur numérique pour u.
Dérivée totale vs dérivée partielle
4- La pression de surface décroît à raison de 0.3 kPa / 180 km vers l’Est. Un bateau vogue vers l’Est à 10
km h
-1
et enregistre une baisse de pression de 0.1 kPa en 3 h. Quelle est alors la variation de pression sur
une île que le bateau croise sur son passage (Holton, 1979) ? Expliquez votre démarche.
Indices. Considérons la règle de dérivation :
{ {
{
{
ixefttempsaude spatialevariation
xselon écoulementldevitesse
ixefxositionplaàde temporellevariation mouvementle suivantendevariation
x
u
tt
ψψ
ψ
ψψψ
∂
∂
+
∂
∂
=
'
d
d
pour une variable quelconque ψ = ψ (x, t). Si ψ ≡ p, et que nous utilisons cette règle pour trouver la variation
de pression sur l’île que croise le bateau, nous trouvons que :
x
p
u
t
p
t
p∂ ∂
−=
∂
∂d d
Références citées
Ahrens, C. D. : Meteorology Today: an introduction to weather, climate and the environment. West Publi. Co.,
Minneapolis, 1994 (5
th
Ed), 591 pp.
Holton, J. R., 1979: An introduction to dynamic meteorology. Academic Press, Inter. Geophys. Series, 391 pp.
Pédelaborde, P., 1983: Introduction à l'étude scientifique du climat. Sedes, Paris, 353 pp.