Interférences par division du front d`onde

I Trous d’Young
A) Dispositif expérimental
1) A distance finie
S2
S1
S
n
M
2) A l’infini
S2
S1
S
M
f1f2
Il y a en M une intensité
cos2 2121 IIIII 
. On doit trouver
On admet que
21,SS
diffractent de façon quasiment isotrope.
B) Expression du déphasage
1) Expression générale en fonction du chemin optique
En S : on a une phase
t.
En M : de
1
S
, on a une phase
)(. 11 ttt 
(
1
t
: temps mis par l’onde
pour aller de S à M en passant par
1
S
).
On a
c
L
t1
1
(
1
L
: chemin optique :
M
SndsL1
le long du parcours)
Ainsi,
1
0
1
12L
c
L
De
2
S
, on aura
2
0
22L
On a donc
0
12
0
12 2
)(
2 LL
(
21 LL 
: différence de marche, ou différence de chemin optique)
2) Cas d’un milieu homogène
 Expression rigoureuse :
yS2
S1
S
n
x
z
D
z
y
D
M
O
a
)(
2
)(
221
0
21
0
DDnLL 
(
ndsL
)
Où
MSD 11 
,
MSD 22 
Ainsi,
)(
221 DD 
(
n0
)
 Expression approchée :
On suppose
yxaD ,,
Interférences par division du front d’onde

Ainsi,
 2
2
2
22
2
2
1221
1)( z
a
y
D
DzyDD a
Et
 2
2
2
2221
1z
a
y
D
DD
Donc
D
ay
DD  21
. Et
D
ay 2
C) Figure d’interférence
1) Franges
On a des franges claires pour
k2
,
Zk
Et des franges sombres pour
)12(  k
 Rigoureusement :
ctecte 12  DD
On a donc des hyperboloïdes de foyers
21,SS
S2
S1
z
y
 Pratiquement :
ctecte
12  yDD
z
y
- Franges claires (
M
II 
)
On a
k2
12 
, donc
a
D
ky
- Franges sombres (
m
II 
)
On a
)12(
12  k
, donc
a
D
ky )( 2
1
- Interfrange :
C’est un écart pour lequel
1k
, soit
a
D
i
2) Eclairement de l’écran
 i
y
IIIII 2cos2 2121
Si
1
I
,
2
I
sont indépendants de y :
I
y
Im
IM
i
z
y
3) Facteur de visibilité, contraste
On pose
uearithmétiq moyenne egéométriqu moyenne )( 21
2
1
21 
II
II
II II
v
mM
mM
, contraste.
 On a
10  v

 v correspond à l’écart relatif entre
M
I
et
m
I
 Si
0v
,
Mm II 
Si
1v
,
0
m
I
. On a alors
))cos(1)((
))2cos(1)((
2cos2
21
21
2121
II
vII
i
y
IIIII
i
y
Où
v
.
4) Répartition de l’énergie
Si
21 II 
, on a alors
0
m
I
,
1
4IIM
y
2I1
4I1
S'il n’y avait pas
d’interférence
Les interférences correspondent donc à une autre répartition de la même
énergie.
Interférence photon par photon :
On prend une source lumineuse très faible, émettant les photons quasiment
un par un :
z
y
On observe effectivement qu’il y a des zones où les photons ont une
probabilité nulle de tomber, et d’autres où ils ont au contraire une très forte
probabilité.
D) Déplacement des franges par variation d’indice
1) Exemple
S2
S1
Sn
M
e
On a
)''(
221
0
12 LL 
Et
)1('' 21  ne
D
ay
LL
(
11
'LL 
,
)1(' 22  neLL
)
Donc
 en
D
ay )1( 2
0
12
On pose
aeDn
yY )1( 
Ainsi,
D
aY
0
12 2
 On a donc toujours des fentes parallèles à l’axe Oy.
Toutes les franges sont décalées de
aeDn
y)1( 
du côté où on a mis la
petite lame.
 L’interfrange n’est pas modifié.
2) Application : calcul de l’indice de l’air

S2
S1
S
M
evide
air
On place le point M sur une frange claire.
On laisse ensuite entrer très progressivement l’air dans le tube vide.
A la fin, le point M est décalé, et on compte combien de franges sont passées
par le point M.
On peut ainsi calculer l’indice de l’air :
Observation : avec
A5890
0
, on voit passer 99 franges claires, et le point
M s’arrête sur la frange sombre suivante.
Avant :
0
kL 
Après :
0
)5,99('  kL
Donc
en )1(5,99'0
Soit
000293,1
5,99
10 e n
avec
cm20e
On peut donc faire des calculs très précis.
E) Déplacement des franges par décalage du point source
S2
S1
z
y
D
M
'
'
z
y
d
S
d2
d1D1
D2
dD
On suppose que
dzya ',',
On a
)(
2
)(
22211
0
221112 dDdDndDdD 
Et
D
ay
DD  21
,
d
ay
dd '
21 
Donc
 d
y
D
ya '2
12
En posant
'y
d
D
yY 
, on a
D
aY
0
12 2
On a
'y
d
D
y
, donc la figure est translatée en bloc.
Il n’y a pas de changement si on décale la source selon l’axe Oz.
L’interfrange n’est pas modifié.
II Fentes d’Young
A) Remplacement des trous S1, S2 par des fentes
1) Dispositif expérimental
S2
S1
Sa
by
x
On suppose que les fentes ont une hauteur
c
.
2) Cohérence temporelle
D’après le principe de Huygens–Fresnel, les fentes vont émettre de façon
cohérente l’une avec l’autre

3) Amplitude
y
)(yt
1
ab
 Calcul direct :
   ceinterférenndiffractio
''
2
cos2
2
sinc
''
)(
2
2
2
2
2
2
22
22
22
22
S
y
F
y
yikikyikik
yikyik
y
akbk
Kb
dyeedyeeK
dyedyeKkA
b
b
y
a
y
b
b
y
a
y
ba
ba
y
ba
ba
y
 Utilisation de la convolution :
))()(()()( 22 aa
b
yyyyt 
Donc
)(
2
sinc))()(())(()( 22
22
a
y
a
yikik
y
aa
b
y
yee
bk
KbyyKkA  FF
4) Intensité
On a
2 cos
2
sinc 22
0
akbk
II yy
Pour
ba 
:
I
y
B) Remplacement du point source par une fente source
1) Dispositif
S2
S1
d D
On prend une fente source de largeur e selon y, h selon z.
2) Cohérence spatiale
 Elargissement de la source :
- Selon Oz :
Les franges se superposent (il y a un décalage vertical), donc on n’aura pas
de changement.
- Selon Oy :
2
e
2
i