CHAPITRE 3 : Théorème de Thalès I. Agrandissement et réduction

CHAPITRE 3 : Théorème de Thalès
I.
Agrandissement et réduction
Définition : Quand on multiplie par un nombre k strictement positif les longueurs des côtés d’une figure F
pour obtenir les longueurs des côtés d’une figure F’, on dit que :
- F’ est un agrandissement de la figure F si k > 1.
- F’ est une réduction de la figure F si k < 1.
Le nombre k est appelé le rapport d’agrandissement ou le rapport de réduction.
Propriété (admise) : Un agrandissement (ou une réduction) conserve les mesures d’angles et le
parallélisme.
II.
Théorème de Thalès
Théorème de Thalès :
(d) et (d’) sont deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points appartenant à la droite (d), distincts de A.
C et N sont deux points appartenant à la droite (d’), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors
=
= .
Configuration des triangles
Configuration du papillon
Autrement dit : il y a proportionnalité entre le petit triangle et le grand triangle.
Démonstration : dans la configuration du papillon
(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A et les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On construit le symétrique M’ de M par rapport à A et le symétrique N’ de N par rapport à A.
On sait que les points M et M’ sont symétriques par rapport à A,
ainsi que les points N et N’ et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle
et la symétrie centrale conserve les longueurs.
Donc, les droites (BC), (MN) et (M’N’) sont parallèles et on a AN = AN’, AM = AM’ et MN = M’N’.
On sait que ABC est un triangle tel que M’ appartient au segment [AB] et N’ appartient au segment [AC] et les
droites (BC) et (M’N’) sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
=
=
. D’où
=
= .
Remarque :
On peut changer l’ordre des lettres et l’ordre de chaque expression
=
=
Les rapports inverses sont eux aussi égaux :
=
=
Remarque :
Ce théorème permet de calculer la longueur d’un segment.
Exemple :
On sait que :
Les droites (NC) et (MB) sont sécantes en A.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d’après le théorème de Thalès :
=
=
(remplacer par les valeurs connues, puis prendre juste les rapports utiles)
Donc, on a :
=
AB =
= 15 cm
Remarque :
Ce théorème permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.
Exemple :
Les droites (NC) et (MB) sont sécantes en A.
AM = 2cm, AB = 3cm, AN = 3cm et AC = 4cm.
=
On a
0,67 cm
≠
et
= = 0,75cm
, donc les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
(Si les droites étaient parallèles, on aurait égalité des rapports par le théorème de Thalès, mais ce n’est
pas le cas)
III.
Réciproque du théorème de Thalès
Propriété (admise) :
(d) et (d’) sont deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points appartenant à la droite (d), distincts de A.
C et N sont deux points appartenant à la droite (d’), distincts de A.
Si,
=
et si les points A, B, M et A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN)
sont parallèles.
Remarque :
Ce théorème permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
Exemple 1 :
Données :
Les droites (EU) et (FV) sont sécantes en A.
=
= 0,6
=
= 0,6
On constate que
=
Les points A, E, U et A, F, V sont alignés dans le même ordre.
Conclusion :
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (UV) sont parallèles.
Exemple 2 :
Les droites (BD) et (CN) sont sécantes en A.
=
=
On constate que
=
.
Or les droites (DN) et (BC) ne sont pas parallèles : les points A, D, B et A, N, C ne sont pas alignés dans
le même ordre.