CHAPITRE 4 : LE THÉORÈME DE THALÈS

CHAPITRE 4 : LE THÉORÈME DE THALÈS
Objectifs
•
[3.310] Connaître et utiliser la relation de Thalès pour calculer une longueur manquante
•
[3.311] Déterminer si deux droites sont parallèles ou non en utilisant la relation de Thalès
•
[3.312] Agrandir ou réduire une figure (angles conservés, longueurs proportionnelles).
I. Théorème de Thalès
Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A.
C et N sont deux points de (d') distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors
AM
=
AB
AN
=
AC
MN
BC
Remarques :
•
•
•
Cette propriété permet d'affirmer que si
AM
≠
AN
alors (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
AB AC
Dans toutes les configurations de Thalès, on retrouve des triangles aux côtés parallèles et dont
les longueurs sont proportionnelles.
Les trois configurations de Thalès sont :
A
A
M
N
A
M
B
B
N
C
M
C
N
B
C
II. Réciproque du théorème de Thalès
Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A.
C et N sont deux points de (d') distincts de A.
Si les points A, B, M d'une part et les points A, C, N d'autre part sont alignés dans le même ordre
et
AM AN
=
si
, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
AB AC
III.Agrandissement, Réduction
Lorsque deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est
un agrandissement ou une réduction de l'autre.
Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le
parallélisme sont conservés.
Remarques :
Si F est un agrandissement de F', alors F' est une réduction de F.
Le coefficient de proportionnalité k est le rapport d'agrandissement (k > 1) ou de réduction
(0 < k < 1).
Lire les deux exemples de la méthode 4 page 164.