Le lemme de Slutsky Fichier

Chapitre X
Le lemme de Slutsky
Proposition 1
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rpet définies sur un espace
probabilisé (Ω,F, P ). Si cette suite converge en probabilité vers une variable aléatoire X,
alors
a) pour tout t∈Rplim
n→∞E|exp{itXn} − exp{itX}| = 0
b) Xn
L
→X.
Preuve
a) Pour tout ε > 0, il existe δ > 0tel que pour |x−y| ≤ δon ait
|exp{itx} − exp{ity}| =|1−exp{it(y−x)}| ≤ ε.
En conséquence
E|exp{itXn} − exp{itX}| =E|1−exp{it(Xn−X)}|
=E(|1−exp{it(Xn−X)}|1{|Xn−X|<δ})
+E(|1−exp{it(Xn−X)}|1{|Xn−X|≥δ})
≤ε+ 2P(|Xn−X| ≥ δ).
On conclut en remarquant que par hypothèse lim
n→∞P(|Xn−X| ≥ δ)=0.
b) Comme pour tout t∈Rp
|ϕXn(t)−ϕX(t)|=|Eexp{itXn} − Eexp{itX}| ≤ E|exp{itXn} − exp{itX}|,
par a) lim
n→∞|ϕXn(t)−ϕX(t)|= 0.
Proposition 2 (Lemme de Slutsky)
Soit (Xn)n≥1et (Yn)n≥1des suites de variables aléatoires à valeurs dans Rpet définies
sur un espace probabilisé (Ω,F, P ). Si la suite (Yn−Xn)n≥1converge en probabilité vers 0,
et si la suite (Xn)converge en loi vers une variable aléatoire X, alors la suite (Yn)converge
en loi vers la variable X.
Preuve
Pour tout t∈Rp
|ϕYn(t)−ϕX(t)| ≤ |ϕYn(t)−ϕXn(t)|+|ϕXn(t)−ϕX(t)|.
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La proposition précédente montre d’une part que lim
n→∞|ϕXn(t)−ϕX(t)|tend vers 0puisque
la suite (Xn)converge en loi vers X; d’autre part
lim
n→∞|ϕYn(t)−ϕXn(t)|= lim n→∞|Eexp{itYn} − Eexp{itXn}|
= lim
n→∞|1−Eexp{it(Xn−Yn)}|
= 0,
puisque d’après la proposition précédente la suite (Yn−Xn)converge en loi vers 0.
Rappel 3
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rpet bun élément de Rp.
On a les équivalences
Xn
P
→b⇐⇒ Xn−bP →0⇐⇒ Xn
L
→b⇐⇒ Xn−bL →0.
Proposition 4
Soit (Xn)n≥1(resp. (Yn)n≥1) une suite de variables aléatoires définies sur un espace
probabilisé (Ω,F, P )et à valeurs dans Rp(resp. à valeurs dans Rq). Si Xn
L
→Xet Yn
L
→b,
alors (Xn, Yn)L →(X, b).
Preuve
L’application ϕ:Rp→Rp+q,x→(x, b)étant continue, la suite
Zn=ϕ(Xn)=(Xn, b)converge en loi vers ϕ(X)=(X, b).
Puisque la suite (Yn−b)converge en probabilité vers 0, il en est de même de la suite
(Xn, Yn)−Zn= (0, Yn−b). On conclut par le lemme de Slutsky.
Proposition 5
Soit (Xn)n≥1et (Yn)n≥1des suite de variables aléatoires définies sur un espace proba-
bilisé (Ω,F, P )et à valeurs dans Rp, et (Zn)n≥1une suite de variables aléatoires réelles
définies sur Ω. Si Xn
L
→X,Yn
P
→b∈Rpet Zn
P
→a∈R, alors ZnXn+Yn
L
→a X +b.
Preuve
La proposition 4 montre que (Xn, Zn)L →(X, a). Par continuité de l’application ϕ
de Rp×Rdans Rpqui à (x, λ)associe λx,ϕ(Xn, Zn) = ZnXn
L
→ϕ(X, a) = aX.
On applique à nouveau la proposition 4 à la variable Wn=ZnXnpour obtenir que
(Wn, Yn)L →(aX, b), puis par continuité de l’application ψde Rp×Rpdans Rpqui à (w, y)
associe w+yon conclut que Wn+Yn=ZnXn+Yn
L
→a X +b.
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