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Chapitre X
Le lemme de Slutsky
Proposition 1
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rp et définies sur un espace
probabilisé (Ω, F, P ). Si cette suite converge en probabilité vers une variable aléatoire X,
alors
a) pour tout t ∈ Rp
lim E| exp{itXn } − exp{itX}| = 0
n→∞
L
b) Xn → X.
Preuve
a) Pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour |x − y| ≤ δ on ait
| exp{itx} − exp{ity}| = |1 − exp{it(y − x)}| ≤ ε.
En conséquence
E| exp{itXn } − exp{itX}| = E|1 − exp{it(Xn − X)}|
= E(|1 − exp{it(Xn − X)}|1{|Xn −X|<δ} )
+ E(|1 − exp{it(Xn − X)}|1{|Xn −X|≥δ} )
≤ ε + 2P (|Xn − X| ≥ δ).
On conclut en remarquant que par hypothèse lim P (|Xn − X| ≥ δ) = 0.
b) Comme pour tout t ∈ Rp
n→∞
|ϕXn (t) − ϕX (t)| = |E exp{itXn } − E exp{itX}| ≤ E| exp{itXn } − exp{itX}|,
par a) lim |ϕXn (t) − ϕX (t)| = 0.
n→∞
Proposition 2 (Lemme de Slutsky)
Soit (Xn )n≥1 et (Yn )n≥1 des suites de variables aléatoires à valeurs dans Rp et définies
sur un espace probabilisé (Ω, F, P ). Si la suite (Yn − Xn )n≥1 converge en probabilité vers 0,
et si la suite (Xn ) converge en loi vers une variable aléatoire X, alors la suite (Yn ) converge
en loi vers la variable X.
Preuve
Pour tout t ∈ Rp
|ϕYn (t) − ϕX (t)| ≤ |ϕYn (t) − ϕXn (t)| + |ϕXn (t) − ϕX (t)|.
La proposition précédente montre d’une part que lim |ϕXn (t) − ϕX (t)| tend vers 0 puisque
n→∞
la suite (Xn ) converge en loi vers X ; d’autre part
lim |ϕYn (t) − ϕXn (t)| = lim |E exp{itYn } − E exp{itXn }|
n→∞
n→∞
= lim |1 − E exp{it(Xn − Yn )}|
n→∞
= 0,
puisque d’après la proposition précédente la suite (Yn − Xn ) converge en loi vers 0.
Rappel 3
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rp et b un élément de Rp .
On a les équivalences
P
L
P
L
Xn → b ⇐⇒ Xn − b → 0 ⇐⇒ Xn → b ⇐⇒ Xn − b → 0.
Proposition 4
Soit (Xn )n≥1 (resp. (Yn )n≥1 ) une suite de variables aléatoires définies sur un espace
L
L
probabilisé (Ω, F, P ) et à valeurs dans Rp (resp. à valeurs dans Rq ). Si Xn → X et Yn → b,
L
alors (Xn , Yn ) → (X, b).
Preuve
L’application ϕ : Rp → Rp+q , x → (x, b) étant continue, la suite
Zn = ϕ(Xn ) = (Xn , b) converge en loi vers ϕ(X) = (X, b).
Puisque la suite (Yn − b) converge en probabilité vers 0, il en est de même de la suite
(Xn , Yn ) − Zn = (0, Yn − b). On conclut par le lemme de Slutsky.
Proposition 5
Soit (Xn )n≥1 et (Yn )n≥1 des suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, F, P ) et à valeurs dans Rp , et (Zn )n≥1 une suite de variables aléatoires réelles
L
P
L
P
définies sur Ω. Si Xn → X, Yn → b ∈ Rp et Zn → a ∈ R, alors Zn Xn + Yn → a X + b.
Preuve
L
La proposition 4 montre que (Xn , Zn ) → (X, a). Par continuité de l’application ϕ
L
de Rp × R dans Rp qui à (x, λ) associe λx, ϕ(Xn , Zn ) = Zn Xn → ϕ(X, a) = aX.
On applique à nouveau la proposition 4 à la variable Wn = Zn Xn pour obtenir que
L
(Wn , Yn ) → (aX, b), puis par continuité de l’application ψ de Rp × Rp dans Rp qui à (w, y)
L
associe w + y on conclut que Wn + Yn = Zn Xn + Yn → a X + b.