ANALYSE 3 Exercice 1. Montrer qu`il n`existe pas de nombre

ANALYSE 3
FEUILLE D’EXERCICES 1.
Exercice 1. Montrer qu’il n’existe pas de nombre rationnel dont le carr´e
vaut 12.
Exercice 2. Soit (un)n2Nune suite de nombres r´eels et lun nombre r´eel.
(1) Les deux phrases suivantes signifient-t-elles la mˆeme chose ?
8✏>09N(nN=)|unl|✏)
8✏09N(nN=)|unl|✏)
(2) Les deux phrases suivantes signifient-t-elles la mˆeme chose ?
8M>10 9N(nN=)unM)
8M9N(nN=)un>M)
(3) Les deux phrases suivantes signifient-t-elles la mˆeme chose ?
8M>10 9N(nN=)unM)
8M9N(nN=)unM)
Exercice 3. Dessiner les ensembles suivants
E1={(x, y)2R2
|x2y|>1};
E2={(x, y)2R2
|x2|1};
E3=R+⇥[0,5[.
Exercice 4. Repr´esenter A, B,A\B, A [B, A \Bet B\Adans les cas
suivants ;
E=R,A={x2E|x23x+1<0}et B={x2E|x>0}
E=R2,A={(x, y)2R2|x2+y21}et B={(x, y)2R2|x<1}.
Exercice 5. R´esoudre sur Rl’´equation x=p2x.
R´esoudre dans Rl’in´equation px1x4.
R´esoudre dans Rl’in´equation px25x+62x3.
Exercice 6. ´ Ecrire avec des quantificateurs les phrases suivantes.
yest le carr´e d’un nombre r´eel.
On peut trouver au moins un rationnel compris entre p2et p3.
Il existe plusieurs rationnels compris entre p2et p3.
Tout entier naturel multiple de 6 est multiple de 3.
Si la somme de deux entiers naturels est nulle, alors ces deux entiers sont
nuls.
Exercice 7. Soit aun nombre r´eel.
1

2 FEUILLE D’EXERCICES 1.
(1) On suppose que, pour tout n,ona21
n<a<2+ 1 n.Que peut-on
dire de a?
(2) On suppose que, pour tout ✏2]0,1[,ona1✏a32✏.Que
peut-on dire de a?
Exercice 8. Donner la n´egation des assertions suivantes :
8x2[2,3],x
25x+60
8">0,9↵>0,8x2R,(|x|<↵)|f(x)|<")
9M>0,8n2N,|un|<M.
8(x, y, a)2R3,(x<aety<a)=)9z2R(z<aet x6=zet y6=z)
Exercice 9. Soit n1un entier naturel. On se donne n+1 r´eels x0,x
1,...,x n
de [0,1] v´erifiant 0x0x1···xn1. On veut d´emontrer par l’ab-
surde la propri´et´e suivante :
Il y a deux de ces r´eels qui sont distants de moins de 1/n.
´
Ecrire `a l’aide de quantificateurs et des valeurs xixi1une formule logique
´equivalente `a la propri´et´e.
´
Ecrire la n´egation de cette formule logique.
R´ediger une d´emonstration par l’absurde de la propri´et´e (on pourra montrer
que xnx0>1).
Exercice 10. Soit ⌦un ensemble et A, B, C trois parties de ⌦. Simplifier
les expressions
E=(A[B)\(A[B)\(A\B)et F=(A[B)\(A[B)\(A[B).
Parmi les propositions suivantes, prouver celles qui sont vraies donner des
contre-exemples pour les autres.
(a) (A[B)=A\B,
(b) (A[B=⌦)entraˆıne A⇢B,
(c) (A[B=⌦)entraˆıne A⇢B,
(d) ((A\B)) = A\B.
Exercice 11. Soient x, y, z des nombres r´eels.
a) Montrer que l’on a x2+y22xy. En d´eduire l’in´egalit´e
x2+y2+z2xy +yz +xz.
b) Montrer que l’on a (x+y)24xy. En d´eduire l’in´egalit´e
|(x+y)(y+z)(x+z)|8|xyz|.
Prendre x=y=z=1dans l’in´egalit´e pr´ec´edente. Commenter.
Exercice 12. Soient aet xdes nombres r´eels. Supposons que aest non nul
et que l’on a |xa|<|a|. Montrer que xest non nul et que xa le signe de
a.
Exercice 13. Soit xun nombre rationnel positif tel que x2>2. Pourquoi
existe-t-il un nombre rationnel positif ytel que y<xet y2>2? Donner
explicitement un tel y(en fonction de x).

ANALYSE 3 3
Exercice 14. Parmi les sous-ensembles suivants de R, dire lesquels sont
major´es (minor´es, born´es), et pr´eciser l’ensemble de ses majorants et l’en-
semble de ses minorants :
[0,1[; Q⇤
+;]1,1[; {p2};
]0,1[ [[10,12]; ;;{x2Q|x22};{1
n}n2N⇤.
Exercice 15. Soient Aet Bdeux parties de R. On suppose que A⇢Bet
que Best major´ee. Montrer que Aest major´ee et que sup(A)sup(B).
Donner un exemple o`u A6=Bet o`u sup(A)=sup(B).
Exercice 16. Soient Xet Ydeux sous-ensembles de R. Prouver ou r´efuter
les implications suivantes (o`u X+Yd´esigne l’ensemble des sommes x+y
avec x2Xet y2Y, et de mˆeme pour XY et XY):
(1) (Xet Ymajor´es) =)(X[Ymajor´e) ;
(2) (Xmajor´e) () (Xminor´e) ;
(3) (Xet Ymajor´es) =)(X+Ymajor´e) ;
(4) (Xet Ymajor´es) =)(XY major´e) ;
(5) (Xet Ymajor´es) =)(XYmajor´e) ;
(6) (Xfini) =)(Xmajor´e) ;
(7) (Xmajor´e) =)(R\Xminor´e) ;
(8) (Xborn´e) =)(R\Xnon born´e).
Exercice 17. Pour toute partie Xde R, on notera M(X)l’ensemble des
majorants de Xet m(X)l’ensemble de ses minorants.
Pour chaque propri´et´e ci-dessous, trouver une partie Xde R(et si possible
plusieurs) qui la v´erifie, ou montrer qu’il n’en existe aucune :
(1) M(X)=;et m(X)=]1,1/2];
(2) M(X)=[1/2,+1[etm(X)=]1,1/2];
(3) M(X)=[0,+1[etm(X)=]1,1/2];
(4) M(X)={0};
(5) M(X)=]0,+1[;
(6) M(X)=Ret m(X)=;;
(7) M(X)=m(X);
(8) M(X)⇢m(X).
Exercice 18. Soit Xune partie finie de R. Montrer que Xest born´ee, et
que si Xn’est pas vide elle a un plus grand ´el´ement et un plus petit ´el´ement.
(Indication : raisonner par r´ecurrence sur le nombre d’´el´ements de X).
Exercice 19. Soit Xune partie de R, non vide et major´ee. En lui retirant
un ´el´ement a, on obtient l’ensemble X0=X\{a}. Cet ensemble a-t-il une
borne sup´erieure ? Si oui, que peut-on en dire par rapport `a celle de X?

4 FEUILLE D’EXERCICES 1.
Exercice 20. Soit Xune partie de R. On dit que Xest dense dans Rsi
tout intervalle ouvert non vide Ide Rrencontre X(c’est-`a-dire contient au
moins un ´el´ement de X).
Par exemple, un r´esultat du cours dit que Qet R\Qsont denses dans R.
Parmi les parties suivantes de R, dire lesquelles sont denses :
R;R+;R⇤;Q⇤;Z;{ln x}x2Q⇤;{x2R||sin x|>105}.