Calcul dans R 1 Les entiers, les rationnels

Calcul dans R
1 Les entiers, les rationnels
1.1 Les entiers
1.1.1 Les entiers naturels
On note Nl’ensemble des entiers naturels.
Il est muni des op´erations usuelles : addition, produit qui v´erifient : ∀(m,n,p)∈N3
(m+n) + p=m+ (n+p)Associativit´e de l’addition
m+n=n+mCommutativit´e de l’addition
0 + n=n0 est ´el´ement neutre pour l’addition.
(mn)p=m(np)Associativit´e du produit
mn =nm Commutativit´e du produit
1.m =m1 est ´el´ement neutre pour le produit.
m.(n+p) = m.n +m.p Distributivit´e du produit par rapport `a l’addition.
De plus toute partie non vide de Nposs`ede un plus petit ´el´ement.
On ne peut d´efinir la diff´erence n−mde deux entiers met nque si m6n.
1.1.2 Les entiers relatifs
L’ensemble des entiers relatifs est not´e Z. L’addition et le produit y v´erifient les mˆemes propri´et´es que pr´ec´edemment
mais on a de plus la possibilit´e de soustraire dans tous les cas.
Pour tout entier relatif m, il existe un entier not´e −mappel´e sym´etrique pour l’addition ou oppos´e tel que
m+ (−m)=0
Il v´erifie : ∀(m,n)∈Z2,−(m+n)=(−m)+(−n),−(m.n)=(−m).n =m.(−n),−(−m) = m
La diff´erence ou soustraction est d´efinie par :
∀(m,n)∈Z2, n −m=n+ (−m)
Elle v´erifie les propri´et´es : ∀(m,n,p)∈Z3
m−(n+p)=(m−n)−p=m−n−pGestion des parenth`eses
m.(n−p) = m.n −m.p Extension de la distributivit´e.
∗ ∗
∗
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1.2 Les rationnels
1.2.1 ´ Ecriture irr´eductible
L’ensemble des nombres rationnels (du latin ratio signifiant rapport) est not´e Q.
Tout ´el´ement de Qs’´ecrit de fa¸con unique sous la forme r=p
qo`u q∈N∗, p ∈Zet pet qn’ont pas de diviseur
entier commun. cette ´ecriture est dite irr´eductible.
On veillera `a donner les r´esultats des calculs de fraction sous forme irr´eductible.
1.2.2 Rappels sur les op´erations
On aura toujours le souci de r´eduire les fractions
Pour additionner ou soustraire deux fractions a
bet c d, on les met au mˆeme d´enominateur ; celui-ci devra ˆetre le
plus petit possible. Lorsqu’il n’y a pas mieux, il est toujours possible de prendre bd comme d´enominateur commun.
Autrement dit : 1
4−1 6=6 24 −4 24 =2 24 Mauvais !
1
4−1 6=3 12 −2 12 =1 12 Bon !
On rappelle que a
b×c d=ac bd et que
a
b
c
d
=ad
bc
1.3 Les nombres d´ecimaux
1.3.1 Repr´esentation des d´ecimaux
Les nombres d´ecimaux sont les rationnels qui peuvent s’´ecrire sous la forme a
10n, a ∈Z.
Leur repr´esentation irr´eductible est donc de la forme a
2p5q.
Un autre point de vue est de dire que ce sont les nombres qui s’´ecrivent avec un nombre fini de d´ecimales (non
nulles) apr`es la virgule.
1.3.2 Quelques propri´et´es
– La somme et la diff´erence de deux nombres d´ecimaux est un nombre d´ecimal.
– Le produit de deux nombres d´ecimaux est un d´ecimal.
–Question : Quels sont les nombres d´ecimaux dont l’inverse est un nombre d´ecimal?
∗ ∗
∗
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2 Le corps des nombres r´eels
2.1 Les nombres r´eels
2.1.1 Repr´esentation d´ecimale illimit´ee
On peut consid´erer les nombres r´eels comme des nombres s’´ecrivant avec un d´eveloppement d´ecimal illimit´e et
munis d’un signe.
2.1.2 La droite r´eelle
On identifie l’ensemble des nombres r´eels `a une droite gradu´ee.
∗ ∗
∗
2.2 L’ordre usuel
2.2.1 Id´ee de la construction
On commence par d´efinir l’ordre dans Nen posant m6nsi et seulement s’il existe c∈Ntel que n=m+c.
On prolonge l’ordre `a Zen posant m6nsi et seulement si n−m∈N.
On construit Qet on d´efinit ensuite Q+comme l’ensemble des fractions p
qavec pet qpositifs. On pose alors r6r0
si et seulement si r0−r∈Q+.
On prolonge ce proc´ed´e `a R.
2.2.2 Les propri´et´es fondamentales
D’abord, c’est une relation d’ordre ce qui signifie que :
∀x∈R, x 6xR´eflexivit´e
∀(x,y,z)∈R3,(x6yet y6z)⇒x6zTransitivit´e
∀(x,y)∈R2,(x6yet y6x)⇒x=yAnti-sym´etrie
On utilise tr`es fr´equemment la transitivit´e en enchainant les in´egalit´es de mˆeme sens.
2.2.3 Les in´egalit´es et les op´erations
1. L’addition.
Si a6balors, pour tout c∈R, a +c6b+c. On peut dire que l’ordre est invariant par translation.
On en d´eduit que l’on peut additionner les in´egalit´es de mˆeme sens terme `a terme c’est-`a-dire :
Si a6bet a06b0alors a+a06b+b0
3

En effet on a a+a06b+a06b+b0. Rep´erer soigneusement l’utilisation de la propri´et´e pr´ec´edente dans
cette d´emonstration ainsi que l’enchaˆınement des in´egalit´es.
ATTENTION : Ne jamais soustraire d’in´egalit´es terme `a terme.
2. Passage `a l’oppos´e et soustraction d’encadrements
On a d’abord la propri´et´e : ∀(x,y)∈R2, x 6y⇒ −y6−x
D´emonstration :x6y⇒x+ (−x−y)6y+ (−x−y) d’o`u la propri´et´e.
Comme il a ´et´e dit plus haut, on ne soustrait pas d’in´egalit´es terme `a terme.
On se donne deux encadrements de deux r´eels xet y:
a6x6bet a06x06b0
Question : Quel encadrement de x0−xpeut-on en d´eduire?
On ´ecrit l’un au dessus de l’autre les encadrements de x0et de −xet on additionne :
a06x06b0
−b6−x6−a
On en d´eduit :
a0−b6x0−x6b0−a
3. Le produit
La propri´et´e fondamentale : Le produit par un nombre positif conserve l’ordre.
Autrement dit :
∀(x,y)∈R,∀a∈R+, x 6y⇒ax 6y.
Remarque : Lorsque aest strictement positif, il n’y a pas seulement implication mais ´equivalence.
Cons´equence : Produit terme `a terme d’in´egalit´es entre nombre positifs :
∀a, b, c, d ∈R∗
+,(a6bet c6d)⇒ac 6bd
Application :
Si on a des encadrements de r´eels positifs xet ypar des nombres positifs, on peut multiplier terme `a terme
les encadrements ; autrement dit :
si a6x6b
et a06x06b0
alors aa06xx06bb0
Avertissement : Pour toute manipulation d’in´egalit´es sur des produits, on aura soin de se ramener au cas
de nombres positifs.
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Exercice 1
Si 3/46x65/2 et −8/56y6−2/3, quel encadrement de xy a-t-on?
Solution : On a 3/46x65/2 et 2/36−y68/5. Il en r´esulte : (3/4) ×(2/3) 6−xy 6(5/2) ×(8/5)
c’est-`a-dire 1/26−xy 64 d’o`u −46xy 6−1/2
Exercice 2
On suppose −26x64/3 et 3/26y67/4.
Quel encadrement de xy en d´eduit-on?
Indication : On pourra observer que (−26x64/3) ⇔(−26x60 ou 0 6x64/3).
4. Inverse, quotient
On observe d’abord la loi des signes :
Le produit de deux nombres r´eels de mˆeme signe est un r´eel positif,
le produit de deux nombres r´eels de signes contraires est un r´eel n´egatif.
On en d´eduit que :
L’inverse d’un r´eel non nul est de mˆeme signe que ce r´eel.
On en d´eduit aussi : pour tout couple (x,y) de r´eels de mˆeme signe :
x6y⇔1
y61 x
D´emonstration : observer que xy > 0 donc 1
xy >0 puis que x6y⇒1 xy ×x61 xy ×y.
2.2.4 In´egalit´es strictes
On rappelle que la notation x<ysignifie : x6yet x6=y.
Exercice 3
Adapter les propri´et´es pr´ec´edentes en rempla¸cant les in´egalit´es larges par des in´egalit´es strictes.
∗ ∗
∗
2.3 Valeurs absolues, distance
2.3.1 D´efinition, caract´erisation des valeurs absolues
D´efinition
Pour tout nombre r´eel x, la valeur absolue de xest le nombre positif not´e |x|d´efini par : |x|= max{x, −x}
c’est-`a-dire le plus grand des deux nombres xet −x.
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