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Calcul dans R
1 Les entiers, les rationnels
1.1 Les entiers
1.1.1 Les entiers naturels
On note Nl’ensemble des entiers naturels.
Il est muni des op´erations usuelles : addition, produit qui v´erifient : ∀(m,n,p)∈N3
(m+n) + p=m+ (n+p)Associativit´e de l’addition
m+n=n+mCommutativit´e de l’addition
0 + n=n0 est ´el´ement neutre pour l’addition.
(mn)p=m(np)Associativit´e du produit
mn =nm Commutativit´e du produit
1.m =m1 est ´el´ement neutre pour le produit.
m.(n+p) = m.n +m.p Distributivit´e du produit par rapport `a l’addition.
De plus toute partie non vide de Nposs`ede un plus petit ´el´ement.
On ne peut d´efinir la diff´erence n−mde deux entiers met nque si m6n.
1.1.2 Les entiers relatifs
L’ensemble des entiers relatifs est not´e Z. L’addition et le produit y v´erifient les mˆemes propri´et´es que pr´ec´edemment
mais on a de plus la possibilit´e de soustraire dans tous les cas.
Pour tout entier relatif m, il existe un entier not´e −mappel´e sym´etrique pour l’addition ou oppos´e tel que
m+ (−m)=0
Il v´erifie : ∀(m,n)∈Z2,−(m+n)=(−m)+(−n),−(m.n)=(−m).n =m.(−n),−(−m) = m
La diff´erence ou soustraction est d´efinie par :
∀(m,n)∈Z2, n −m=n+ (−m)
Elle v´erifie les propri´et´es : ∀(m,n,p)∈Z3
m−(n+p)=(m−n)−p=m−n−pGestion des parenth`eses
m.(n−p) = m.n −m.p Extension de la distributivit´e.
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