Nombres-calcul algébrique 1 Les ensembles de nombres

Seconde Nombres-calcul alg´ebrique
Notions de troisi`eme et exemples
1 Les ensembles de nombres
1.1 notations-symboles d’appartenance et d’inclusion
L’ensemble N={0; 1; 2; . . .}est appel´e ensemble des entiers naturels et se note N.
L’ensemble Z={. . . ;−2; −1; 0; 1; 2; 3; . . .}est appel´e ensemble des entiers relatifs et se note Z.
Un nombre est appel´e nombre d´ecimal s’il peut s’´ecrire sous la forme a
10n(partie d´ecimale finie) o`u a∈Z
et n∈N.
Cet ensemble se note D.
Un nombre est appel´e nombre rationnel s’il peut s’´ecrire comme quotient de deux entiers relatifs.
L’ensemble des nombres rationnels se note Q.
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels. . L’ensemble form´e par ces nombres et les nombres rationnels
est appel´e ensemble des nombres r´eels. On le note R.
Tout ´el´ement de Nappartient ´egalement `a Z. On dit que Nest inclus dans Z, c’est-`a-dire que Nest une
partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N⊂Z.
De mˆeme, tout entier relatif est un d´ecimal car a=a
1, tout nombre d´ecimal est rationnel car peut s’´ecrire
sous forme d’une fraction d´ecimale (d´enominateur multiple de 10) et tout nombre rationnel est un nombre r´eel.
Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R(se lit Nest inclus (ou contenu)dans Z....)
On peut illustrer comme ci-dessous :
Remarques :
•Le symbole ⊂se lit ”inclus dans”.
•La proposition N⊂Z⊂D⊂Q⊂Rsignifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs
qui sont eux-mˆeme des nombres d´ecimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres r´eels.
•Un mˆeme nombre admet plusieurs ´ecritures diff´erentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s’´ecrire 2,0
(´ecriture d´ecimale) 2
1ou 4 2etc. (´ecriture fractionnaire) √4 (´ecriture avec un radical).
•Attention `a ne pas confondre le symbole ∈et ⊂.
Le premier s’utilise pour noter un ´el´ement appartenant `a un ensemble et le second pour noter un ensemble
qui est contenu dans un autre.
Par exemple, on note 4 ∈Net {3; 9} ⊂ N.
Exemple 1
Compl´eter avec ∈,/∈et ⊂
*Solution:
√2∈R{2 ; 3,4 ; 8 }⊂D√2/∈N
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1.2 Intervalles
aet bsont deux r´eels quelconques avec a < b :
Exemple 2
Compl´eter le tableau suivant :
in´egalit´e intervalle in´egalit´e intervalle
x < 5x∈]− ∞; 5[ −5< x ≤3]−5; 3]
2≤xx∈[2; +∞[x < 3]− ∞; 3[
√2≤x[√2; +∞[−1
2< x < 3 4]−1 2;3 4[
2 Identit´es remarquables
forme d´evelopp´ee forme factoris´ee
a2+ 2ab +b2= (a+b)2
a2−2ab +b2= (a−b)2
a2−b2= (a−b)(a+b)
Exemple 3
•D´evelopper (2x−3)2
*Solution:
(2x−3)2= (2x)2−2×2x×3+32= 4x2−12x+ 9 (deuxi`eme identit´e remarquable avec a= 2xet
b= 3)
•Factoriser 4x2−5 (voir fiche m´ethode factoriser)
*Solution:
4x2−5 = (2x)2−(√5)2= (2x−√5)(2x+√5) (troisi`eme identit´e remarquable avec a= 2xet b=√5)
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3 Calculs avec des racines carr´ees
3.1 Simplifications
Exemple 4 : Simplifications
1. Simplifier √72
*Solution:
√72 = q36 ×2 = √36 ×√2 = 6√2
2. Ecrire 3√50 −2√32 sous la forme a√bavec a∈Zet b∈N
*Solution:
3q25 ×2−2q16 ×2 = 3 ×5√2−2×4√2 = 15√2−8√2 = 7√2
Remarque : Il faut faire apparaitre sous la racine le carr´e d’un nombre entier, soit par exemple 4 = 22,
9 = 32, 16 = 42, 25, 36, 49....
3.2 Supprimer les racines au d´enominateur
Exemple 5 : Supprimer les racines carr´ees au d´enominateur
1. Supprimer les radicaux (les racines carr´ees) au d´enominateur dans 3
√2
2. Supprimer les radicaux (les racines carr´ees) au d´enominateur dans 3
3−√2
*Solution:
1. 3
√2=3×√2 √2×√2=3×√2
2
2. 3
3−√2=3×(3 + √2) (3 −√2)(3 + √2) =9+3√2 32−(√2)2=9+3√2
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Pour supprimer les radicaux au d´enominateur, on utilise la troisi`eme identit´e remarquable :
(a−b)(a+b) = a2−b2.
Ce qui donne ici (3 −√2)(3 + √2) = 32−(√2)2avec a= 3 et b=√2
3 + √2 est appel´ee l’expression conjugu´ee de 3 −√2
4 R`egles de calcul et exemples
4.1 Quelques rappels
Quelques rappels pour ´eviter les erreurs les plus courantes :
1. La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction
2. Pour «´eliminer »une parenth`ese pr´ec´ed´ee d’un signe −, il faut changer le signe des termes dans cette
parenth`ese.
−(3x2−4x+ 2) = −3x2+ 4x−2
3. Attention aux fractions pr´ec´ed´ee d’un signe −, il faut proc´eder comme s’il y avait des parenth`eses
au num´erateur :
−3x−2
4=−(3x−2) 4=−3x+ 2 4
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4. Diviser par une fraction revient `a multiplier par son inverse.
Attention `a ne pas confondre inverse et oppos´e :
L’inverse de −3
5est −5 3mais l’oppos´e de −3 5est 3 5
5. Quand on multiplie ou divise chacun des membres d’une in´egalit´e par un nombre strictement n´egatif ,
le sens de cette in´egalit´e change .
Par exemple : −3x > 9⇐⇒ x < 9
−3⇐⇒ x < −3 (on divise chacun des membres par −3 pour «isoler »
x)
mais 3x > −9⇐⇒ x > −9
3⇐⇒ x > −3 (on divise chacun des membres par 3 pour «isoler »x)
De mˆeme : −2
3x < 4⇐⇒ x > 4
−2
3
⇐⇒ x > 4×−3
2⇐⇒ x > −6
4.2 exemples de calculs comment´es
Exemple 6 : Calcul avec des fractions
Calculer et ´ecrire sous forme d’une fraction irr´eductible :
2
3−3
1
4+4 5
*Solution:
2
3−3
1
4+4 5
*On pourrait ´ecrire 2
3−3÷1 4+4 5
=
2
3−9 3
5
20 +16 20
*Les calculs prioritaires sont donc 2
3−3 et 1 4+4 5
=−7
3
21
20
*Il faut r´eduire au mˆeme d´enominateur pour additionner ou soustraire
=−7
3×20 21
*Diviser par 21
20 revient `a multiplier par 20 21
=−7
3×20 7×3
*Simplifier si possible avant de multiplier Ici, 7 et 21
=−20
9
Exemple 7 : D´evelopper-simplifier
D´evelopper et r´eduire : (3x−1)(2x+ 4) −(x2−4x+ 1)
*Solution:
*Il faut multiplier 3xpar +2xpuis par +4 et ensuite −1 par +2xpuis par +4
= 3x×2x+ 3x×4−1×2x−1×4−x2+ 4x−1*Il faut multiplier 3xpar +2xpuis par +4 et ensuite −1 par +2xpuis par +4
= 6x2+ 12x−2x−4−x2+ 4x−1*Pour «supprimer »la parenth`ese (x2−4x+ 1) pr´ec´ed´ee du signe −
il faut changer les signes des termes de l’expression x2−4x+ 1
= 5x2+ 14x−5*Attention 3x×2x= 6 x2
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Exemple 8 : Equation
R´esoudre dans Rl’´equation 2
3(x−6) + 1 = 3 2x+ 2
*Solution:
2
3(x−6) + 1 = 3 2x−4
⇐⇒ 2
3x−2 3×6 + 1 = 3 2x+ 2 *Il faut distribuer 2 3(«´eliminer »les parenth`eses)
⇐⇒ 2
3x−4 + 1 = 3 2x+ 2
⇐⇒ 2
3x−3 = 3 2x+ 2 *Simplifier au maximum les membres de gauche et de droite
⇐⇒ 4
6x−18 6=9 6x+12 6
*R´eduire au mˆeme d´enominateur pour se d´ebarrasser
des fractions (pas obligatoire mais plus simple ensuite)
⇐⇒ 4x−18 = 9x+ 12 *Multiplier ensuite les deux membres par 6
⇐⇒ 4x−9x= 12 + 18 *Isoler x
⇐⇒ −5x= 30 *Diviser par le facteur de xici 7
⇐⇒ x=30
−5=−6*Donner la(les) solution(s) et contrˆoler en rempla¸cant x
par −6 dans 2
3(x−6) + 1 puis 3 2x+ 2
La solution est x=−6
On peut ´ecrire S={−6}
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