Formulaire de mécanique, Sup PCSI

LYCEE FAIDHERBE LILLE SUP PCSI2
ANNEE SCOLAIRE 2010 - 2011 JFA. Bange
Mécanique du Point Matériel
Plan
A. Formulaire
1. Cinématique du point matériel
2. Dynamique du point matériel
3. Travail, énergie
4. Référentiels non galiléens
5. Systèmes de points
6. Interactions newtoniennes
B. Compléments
1. Résolution d’un problème de mécanique
2. Le pendule de Foucault
3. Les référentiels en astronomie
A. Formulaire
1 Cinématique du point matériel
1.1 Systèmes de coordonnées
•Coordonnées cartésiennes : (x, y, z)
Déplacement élémentaire : ~ dl =dx ~ex+dy ~ey+dz ~ezVolume élémentaire : dτ =dx dy dz
Figure 1 – Coordonnées cylindriques (à gauche) et sphériques (à droite)

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•Coordonnées cylindriques : (r, θ, z)
Déplacement élémentaire : ~ dl =dr ~er+rdθ ~eθ+dz ~ezVolume élémentaire : dτ =r dr dθ dz
On a : d~er
dθ =~eθ
d~er
dt =˙
θ~eθ
d~eθ
dθ =−~er
d~eθ
dt =−˙
θ~er
•Coordonnées sphériques : (r, θ, φ)[Attention ! ret θne sont pas les mêmes qu’en cylindriques]
Déplacement élémentaire : ~ dl =dr ~er+rdθ ~eθ+rsin θ dφ ~eφVolume élémentaire : dτ =r2sin θ dr dθ dφ
1.2 Vitesse et accélération
•Coordonnées cartésiennes : ~v = ˙x ~ex+ ˙y ~ey+ ˙z ~ez~a = ¨x ~ex+ ¨y ~ey+ ¨z ~ez
•Coordonnées cylindriques : ~v = ˙r ~er+r˙ θ ~eθ+ ˙z ~ez~a = (¨r−r˙ θ2)~er+ (2 ˙r˙ θ+r¨ θ)~eθ+ ¨z ~ez
Cas d’une rotation uniforme : ~a =−r˙ θ2~er=−rω2~er=−v2
r~er
•Coordonnées sphériques : ~v = ˙r ~er+r˙ θ ~eθ+rsin θ˙ φ ~eφ
1.3 Mouvement à accélération (ou force) centrale de centre O
•Le moment cinétique ~σO=−−→ OM ∧m~v est une constante du mouvement car −−→ OM ∧~a =~ 0. La trajectoire est donc
plane et il existe une constante Cappelée "constante des aires" telle que C=r2˙ θen coordonnées polaires dans ce
plan.
•La vitesse aréolaire est constante : dS/dt =C/2
•Première formule de Binet : v2=C2"u2+du
dθ 2#
•Seconde formule de Binet : ~a =−C2u2u+d2u
dθ2~er
2 Dynamique du point matériel
2.1 Principes et théorèmes
La Dynamique du point matériel repose sur trois principes non démontrables (appelés aussi "lois de Newton") qui
sont la base de tout le développement de la mécanique classique :
•Principe d’inertie : il existe une classe de référentiels privilégiés, appelés "référentiels galiléens", dans lesquels un
point matériel isolé est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.
•Principe Fondamental de la Dynamique : dans un référentiel galiléen,
d~p
dt =md~v dt =m~a =~
Foù ~p =m~v est le vecteur quantité de mouvement
•Principe des actions réciproques : si M1et M2sont deux points matériels en interaction, on a :
~
F1/2=−~ F2/1
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2.2 Expressions des forces
•Poids : ~ F=m~g où ~g est le champ de pesanteur (ou accélération de la pesanteur, à ne pas confondre avec le champ
gravitationnel...).
•Force de rappel d’un ressort : ~ F=−k(l−l0)~u où ~u est dirigé dans le sens de l’élongation du ressort.
•Force de frottement fluide : ~ F=−λ~v où λest le coefficient de frottement.
•Force de frottement solide : ~ R=~ N+~ Toù ~ Nest normale au déplacement et ~ Ttangente à celui-ci.
Lois de Coulomb du frottement solide :
Condition d’équilibre : ||~ T|| < f||~ N|| avec f: coefficient statique de frottement solide.
Condition de glissement : ||~ T|| =fc||~ N|| avec fc: coefficient cinétique de frottement solide.
En pratique, f≈fc.
•Force électrique due à un champ électrique ~ E:~ F=q~ Eoù qest la charge de la particule.
•Force magnétique due à un champ magnétique ~ B:~ F=q~v ∧~ Boù qet ~v sont la charge et la vitesse de la
particule.
2.3 Oscillateur
•Un système ayant pour équation du mouvement ¨x+ω2
0x= 0 est un oscillateur harmonique.
période : T=2π
ω0
fréquence : f=1
T=ω0 2π
•Un système ayant pour équation du mouvemment ¨x+ 2α˙x+ω2
0x= 0 est un oscillateur amorti si α > 0(amplifié si
α < 0). Il existe trois types de régimes différents :
- si α > ω0: régime apériodique x=Aer1t+Ber2toù r1et r2= racines de l’équation caractéristique.
- si α=ω0: régime critique x= (A+Bt)e−αt
- si 0< α < ω0: régime pseudo périodique x=e−αt(Acos ωt +Bsin ωt)où ω=pω2
0−α2
•Portrait de phase : c’est l’ensemble des trajectoires de phase (x(t),˙x/ω0)[ou (x(t),˙x)].
3 Travail, énergie
3.1 Théorèmes
•Travail élémentaire : δW =~ F~ dl =~ F~vdt Travail d’un point A à un point B : W=ZB
A
~
F~ dl
•Théorème de l’énergie cinétique (réf. galiléen) : δW =−dEcEntre deux points A et B : ∆W=Ec(B)−Ec(A)
•Energie potentielle : la force ~ Fdérive de l’énergie potentielle Epsi ~ F .~ dl =−dEp, ou encore ~ F=−~ grad Ep.
Une force est conservative si elle dérive d’une énergie potentielle ou si son travail est nul.
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Si ~ Fdérive d’une énergie potentielle Ep, son travail entre Aet Best W=Ep(A)−Ep(B).
•Théorème de l’énergie mécanique (référentiel galiléen) : on pose Em=Ec+Ep. On a alors, en notant Wnc le travail
des forces non conservatives (frottements) :
δEm=δWnc Entre deux points A et B : ∆Em=Wnc
Si le système est conservatif, l’énergie mécanique est une intégrale première du mouvement : Em=cste.
3.2 Stabilité d’un équilibre
•Problème à une dimension x:
Un point Mse déplace sur un axe Ox et est soumis à une force conservative ~ F(x)portée par Ox et dérivant de
Ep.
x0est une position d’équilibre si l’on a :
~
F(x0) = ~ 0ou dEp
dx (x0)=0
•Stabilité : si l’on écarte légèrement le point de sa position d’équilibre :
- si Mrevient à la position initiale, la position est stable (minimum de Ep) ;
- si Ms’écarte de la position initiale, l’équilibre est instable (maximum de Ep).
•Période des petites oscillations autour d’une position d’équilibre stable :
On développe la force à l’ordre 1 en =x−x0:F(x0+)≈F(x0) + dF
dx x0
=−d2Ep
dx2x0
D’où le PFD : m¨+d2Ep
dx2x0
= 0 soit T=2π
ω= 2π√m"d2Ep dx2x0#−1
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•Problème à plusieurs dimensions :
Si M0est une position d’équilibre, on a pour une force conservative :
~
F=−~ gradM0(Ep) = ~ 0−→ ∂Ep
∂x = 0 et ∂Ep ∂y = 0
3.3 Exemples d’énergies potentielles
Energie potentielle élastique : Ep=1
2k(l−l0)2
Energie potentielle de pesanteur : Ep= +mgz (si l’axe Oz est orienté vers le haut)
Energie potentielle gravitationnelle de la masse mdans le champ créé par une masse M:Ep=−GMm
r
Energie potentielle électrostatique de la charge qdans le champ créé par une charge Q:Ep= + qQ
4π0r
(toutes ces quantités sont définies à une constante près)
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4 Référentiels non galiléens
4.1 Théorèmes
•Principe Fondamental de la Dynamique :
m~ar=~ F+~ Fie +~ Fic
où ~ Fie =−m~aeest la force d’inertie d’entraînement et ~ Fic =−m~acest la force d’inertie de Coriolis (ou complémen-
taire).
•Théorème du moment cinétique :
d~σ0
dt =−−→
OM ∧~ F+−−→ OM ∧~ Fie +−−→ OM ∧~ Fic
4.2 Expression des forces d’inertie
•Référentiel en translation :
~
Fie =−m~a =−md2−−→
OO0
dt2~
Fic =~ 0
•Référentiel en rotation :
~
Fie =m−d−→
ω
dt ∧−−→
HM +ω2−−→ HM~ Fic =−2m ~ω ∧~vr
4.3 Energie potentielle des forces d’inertie
•La force d’inertie de Coriolis ne travaille jamais : Wic = 0
•Energie potentielle de la force d’inertie d’entraînement dans le cas d’une rotation uniforme :
EP ie =−1
2mω2
er2+cste
4.4 Cas du référentiel terrestre
•Le référentiel terrestre lié au lieu géographique (Ox vers
le sud, Oz vers le haut) est galiléen en première approxi-
mation (= référentiel du laboratoire).
•Champ de pesanteur : le champ de pesanteur terrestre
~g prend en compte :
- l’attraction gravitationnelle de la Terre ;
- la force d’inertie d’entraînement liée à la rotation de
la Terre sur elle-même (période = JS= 86 164 s). Figure 2 – Référentiel terrestre
Soit ~g =−GMT
R2
T
~ez+ω2
T−−→
HM (pour une Terre supposée sphérique et homogène)
gvarie de 9,77 m.s−2sur l’équateur à 9,83 m.s−2au pôle.
•Pour certaines applications, il faut prendre en compte la rotation de la Terre (déviation vers l’est, pendule de
Foucault, ...). La force de Coriolis a alors des effets sensibles.
•Pour l’étude des marées océaniques, il faut tenir compte aussi du caractère non galiléen du référentiel géocentrique
(termes de marée).
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