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ATTENTION AUX GENERALISATIONS
Le paradoxe de Gabriel :
?
Le paradoxe ci-dessus prend appui sur le faux théorème ci-dessous, qui admet évidemment une
fausse preuve !
Faux théorème.
pour tous les complexes z1 , z2 non nuls.
Fausse preuve. Mettons zk sous forme polaire exponentielle :
ln(z1z2)=ln(r
1ei
!
1r
2ei
!
2)=ln(r
1r
2ei(
!
1+
!
2))=ln(eln(r
1r
2)ei(
!
1+
!
2))=ln(eln(r
1r
2)+i(
!
1+
!
2))=ln(r
1r
2)+i(
!
1+
!
2)
ln(z1)+ln(z2)=ln(r
1ei
!
1)+ln(r
2ei
!
2)=ln(eln(r
1)ei
!
1)+ln(eln(r
2)ei
!
2)=ln(eln(r
1)+i
!
1)+ln(eln(r
2)+i
!
2)=ln(r
1r
2)+i(
!
1+
!
2)
Où se situent la ou les erreurs ? Elles proviennent toutes du fait que l’on attribue ingénument les
propriétés de la fonction réelle ln à ‘la’ fonction logarithme sur les complexes.
Eclaircissement. La fonction réelle ex est une bijection de
dont la réciproque est notée
ln(x). Or nous venons de ‘démontrer’ que
et donc sur les
complexes la fonction e z est 2iπ-périodique (sur les « lignes imaginaires »). Elle n’est donc
absolument pas bijective ! Ainsi, si
on dira que z est un logarithme de w. Mais il en existe
bien d’autres :
où k est un entier. Par exemple, les logarithmes de 1 sont les nombres
,
les logarithmes de -1 sont les nombres
, et les logarithmes de i sont les nombres
.
Définition d’une fonction logarithme particulière : Log(w)
Pour rendre la fonction e z injective on peut délimiter son ensemble de départ à une « bande
horizontale » de largeur 2π, en prenant par exemple le sous-ensemble
D:=z=a+ib !!;a!" et b!]"
#
;+
#
]
{ }
.
Affirmation. La fonction
est une bijection dont nous dénoterons l’inverse par Log.
Preuve. 1) Injectivité : Supposons que
ez=ea+ib =eaeib =ea!1=eRe(z)=eRe(z)
l’on
en déduit que z1 et z2 ont même partie réelle (car e x est une fonction réelle bijective). Par ailleurs*,
Arg(ez)=Arg(ea+ib )=Arg(ea!eib )=Arg ea!(cos(b)+isin(b))
( )
=Arg cos(b)+isin(b)
( )
=b=Im(z)
.
D’où Im(z1) = Im(z2) et donc z1 = z2 .
2) Surjectivité : Soit un w = a + ib dans
quelconque. Par les calculs précédents si
z=Re(z)+i!Im(z)=ln | w|+i!Arg(w)
.
D’où la définition du Log :
.
Exercices.
a) Représenter les deux plans complexes ci-dessous de la fonction exp et hachurer d’autres
domaines sur lesquels la fonction
est bijective.
b) Expliciter précisément les erreurs commises dans les fausses affirmations du haut de la page.
c) Est-il vrai que
?
d) Quel est l’ensemble image de l’intervalle
a+ib ;a!! fixé et b!]"
#
;+
#
]
{ }
.
* L’Arg(z) n’est autre que l’angle mesuré non entre [0 ; 2π[ mais entre ]-π ; π].