1 NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) Dans tout le chapitre, on munit

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
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NOMBRES COMPLEXES
(Partie 3)
Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct .
I. Forme exponentielle d’un nombre complexe
1) Définition
Posons
f(
q )=cos q +isin q
.
En prenant
z=z'=1
, on a démontré dans la Parie 2 (II.) que :
cos
q +isin q
( )
cos q '+isin q '
( )
=cos q + q '
( )
+isin q + q '
( )
.
Soit :
f(
q )f( q ') =f( q + q ')
.
On retrouve ainsi la même équation fonctionnelle que celle établie pour les
exponentielles :
e
q
e
q '=e q + q '
.
Définition : Pour tout réel
q
, on a :
ei
q
=cos q +isin q
.
Remarque :
ei
q
est le nombre complexe de module 1 et d'argument
q
.
Propriété :
ei
p
= -1
Démonstration :
ei
p
=cos p +isin p = -1+i´0= -1
Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler
(1707 ; 1783). Elle possède la particularité de relier les grandes branches des
mathématiques : l'analyse (avec le nombre e), l'algèbre (avec le nombre i) et la
géométrie (avec le nombre
p
).
Exemples :
ei0=cos0+isin0 =1+i´0=1
ei
p
2=cos
p
2+isin
p
2=0+i´1=i
Définition : Tout nombre complexe z non nul de module
r
et d'argument
q
s'écrit
sous sa forme exponentielle
z=rei
q
.

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2) Propriétés
Propriétés : Pour tous réels
q
et
q '
, pour tout entier naturel n non nul,
a)
ei
q
ei
q '=ei
q + q '
( )
b)
ei
q
( )
n=ein
q
c)
1
ei
q
=e-i
q
d)
ei
q
ei
q '=ei
q - q '
( )
e)
ei
q
=e-i
q
Remarque :
La formule b) s'appelle formule de Moivre.
Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement
Vidéo https://youtu.be/tEKJVKKQazA
Vidéo https://youtu.be/zdxRt5poJp0
1) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :
a)
z1= -2i
b)
z2= -5
2) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique :
a)
z3=ei
p
6
b)
z4=4ei
p
4
1) a) -
z1= -2i=2
-
z1
z1
=-2i
2= -i
On cherche donc un argument
q
de z1 tel que
sin
q = -1
.
Comme
sin -
p
2
æ
è
çö
ø
÷=-1
et
cos -
p
2
æ
è
çö
ø
÷=0
, l'argument -
p
2
convient.
z1
z1
=cos -
p
2
æ
è
çö
ø
÷+isin -
p
2
æ
è
çö
ø
÷
donc
z1=2 cos -
p
2
æ
è
çö
ø
÷+isin -
p
2
æ
è
çö
ø
÷
æ
è
çö
ø
÷=2e-i
p
2
.
b) -
z2= -5=5
-
z2
z2
=-5
5= -1
On cherche donc un argument
q
de z2 tel que
cos
q = -1
.
Comme
cos
p
( )
= -1
et
sin
p
( )
=0
, l'argument
p
convient.
z2
z2
=cos p
( )
+isin p
( )
donc
z2=5 cos
p
( )
+isin p
( )
( )
=5ei
p
.
2) a)
z3=ei
p
6=cos
p
6+isin
p
6=3 2+i 2
b)
z4=4ei
p
4=4 cos
p
4+isin
p
4
æ
è
çö
ø
÷=42
2+i2 2
æ
è
çö
ø
÷=2 2 +2i2
.

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II. Applications à la géométrie
Propriété : A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan d'affixes
respectives
zA,zB,zCet zD
. On a :
a)
b)
AB =zB-zA
c)
Démonstrations :
a) On considère un point E tel que .
Alors E a pour affixe
zB-zA
.
Donc et donc
b)
zB-zA=zE=OE
Comme ,
OE =AB
donc
zB-zA=AB
c)
Méthode : Utiliser les nombres complexes en géométrie
Vidéo https://youtu.be/NjLZfbqRFB0
Soit A, B et C trois points d'affixes respectives
zA= -2-i
,
zB=1-2i
et
zC= -1+2i
.
1) Démontrer que le triangle ABC est isocèle en A.
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
1)
AB =zB-zA=1-2i- -2-i
( )
=3-i=9+1=10
AC =zC-zA= -1+2i- -2-i
( )
=1+3i=1+9=10
.
Donc AB = AC.
2)

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zC-zA
zB-zA
=1+3i
3-i
=1+3i
( )
3+i
( )
3-i
( )
3+i
( )
=3+i+9i-3
9+1
=10i
10 =i
. On en déduit que l'angle est droit.
Méthode : Déterminer un ensemble de points
Vidéo https://youtu.be/WTXu19XC9Lw
Soit M un point d’affixe z. Dans chaque cas, déterminer et représenter :
1) L’ensemble des points M tels que
z-2i=3
.
2) L’ensemble des points M tels que
iz -3=1
.
3) L’ensemble des points M tels que
z-3+i=z-5
.
4) L’ensemble des points M tels que
arg z
( )
=p
4p
( )
.
1) Soit A le point d’affixe 2i alors
z-2i=3
est équivalent
à AM = 3.
L’ensemble des points M est le cercle de centre A(2i) et
de rayon 3.
2)
iz -3=i z +3i
( )
=i z +3i=z+3i
Soit A le point d’affixe -3i alors
z+3i=1
est équivalent à AM = 1.
L’ensemble des points M est le cercle de centre A(-3i) et de rayon 1.
3)
z-3+i=z-3+i=z-3-i=z-3-i
Soit A le point d’affixe 3+i et B le point d’affixe 5 alors
z-3-i=z-5
est équivalent à AM = BM.

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L’ensemble des points M est la médiatrice du segment [AB].
4) L’ensemble des points M est la 1ère bissectrice de l’axe
des abscisses et de l’axe des ordonnées privée de
l’origine.
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