Cours n°0 : Rappels mathématiques Dans ce chapitre, nous allons étudier les outils nécessaires à la réalisation des différents calculs rencontrés en physique dans le cadre du concours. 1) Angles, trigonométrie et relations métriques dans le triangle 1.1) Angles et trigonométrie 1.1.1) Définitions Soit un triangle rectangle en . Fonction cosinus La fonction cosinus notée cos est définie à l’aide du triangle rectangle précédent par : cos = é à ′ = ℎℎé Fonction sinus La fonction sinus notée sin est définie à l’aide du triangle rectangle précédent par : sin = é é à ′ = ℎℎé Fonction tangente La fonction cosinus notée tan est définie à l’aide du triangle rectangle précédent par : tan = Dr A.Sicard é é à ′ sin = = é à ′ cos CapeSup Grenoble Page 1 Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine du repère et muni d’un sens direct, le sens inverse des aiguilles d’une montre. 1 sin cos Le point appartenant au cercle trigonométrique a pour coordonnées : + −1 1 cos ( ) sin −1 Le cercle trigonométrique permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, et pas seulement pour les angles de mesure en radians comprise entre 0 et 2 lorsqu’on utilise la définition géométrique. Tracé des fonctions cosinus et sinus 1 Fonction cosinus 2 2 −1 1 Fonction sinus −1 Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 2 Coordonnées polaires On munit le plan d’un repère orthonormal direct (, ⃗, ⃗). On appelle coordonnées polaires d’un point du plan distinct de , tout couple (, ) de réels tels que : = { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗, ) = + 2 , ∈ ℤ ⃗ ⃗ Relation entre coordonnées cartésiennes et polaires. Soit un point du plan distinct de , de coordonnées cartésiennes (, ) et de coordonnées polaires (, ). On a les correspondances suivantes : - Sens coordonnées cartésiennes vers coordonnées polaires : = √ 2 + 2 cos = = √ 2 + 2 sin = = √ 2 + 2 { - Sens coordonnées polaires vers coordonnées cartésiennes : { = cos = sin Conversions degrés/radians Les angles peuvent s’exprimer en degrés (°) ou en radians (). Soit un angle, on a : (°) = () × 180 Un demi-cercle va correspondre à un angle de 180° et de radians. ! Lors des différents calculs à la calculatrice, il faut toujours vérifier dans quel mode on se trouve (° ou radians). Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 3 Longueur d’arc ̂ de rayon et La longueur de l’arc de cercle d’angle au centre est donnée par : = Le périmètre d’un cercle ( = 2) est ainsi donné par : = 2 1.1.2) Valeurs remarquables des sinus et cosinus En trigonométrie, il est important de connaitre les valeurs des cosinus et sinus de certains angles fréquemment rencontrés. Ces valeurs sont répertoriées dans le tableau suivant : = √0 =0 2 √4 =1 2 0 ° √1 1 = 2 2 √3 2 1 √3 = √3 3 ° √2 2 √2 2 ° √3 2 √1 1 = 2 2 ° √4 =1 2 √0 =0 2 1 √3 ∞ Remarque : pour se rappeler de ces valeurs plus facilement, on pourra remarquer la progression 0,1,2,3,4 sous les racines pour le sinus et 4,3,2,1,0 pour le cosinus. 1.1.3) Formules relatives aux angles associés Périodicité Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2. ( + 2) = cos sin( + 2) = sin Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 4 Angles opposés (−) = cos sin(−) = − sin Angles supplémentaires cos( − ) = − cos sin( − ) = sin Angles complémentaires cos ( − ) = sin 2 sin ( − ) = cos 2 Angles de différence cos( + ) = − cos sin( + ) = − sin Les formules précédentes ne sont pas nécessairement à apprendre par cœur car elles peuvent être retrouvées sur le cercle trigonométrique. Formules élémentaires (très importantes à connaître) cos 2 + sin2 = 1 1 + tan2 = 1 cos 2 Formules d’addition cos( + ) = cos cos − sin sin cos( − ) = cos cos + sin sin sin( + ) = sin cos + cos sin sin( − ) = sin cos − cos sin Formules de duplication cos 2 = cos 2 − sin2 = 1 − 2 sin2 = 2 cos2 − 1 sin 2 = 2 sin cos Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 5 Linéarisation cos 2 = 1 + cos 2 2 sin2 = 1 − cos 2 2 1.1.4) Equations trigonométriques = + 2 cos = cos ⇒ { = − + 2 ′ ′ ℤ = + 2 sin = sin ⇒ { = − + 2 ′ ′ ℤ 1.2) Relations métriques dans le triangle 1.2.1) Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres cotés. 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 6 1.2.2) Théorème d’Al-Kashi Le théorème d’Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore. Il s’applique à un triangle quelconque. Soit un triangle quelconque, on note : ̂ , ̂ = ̂ , ̂ = ̂ = , = , = , ̂ = On a : 2 = 2 + 2 − 2 cos ̂ Par la permutation : → , → , → , on obtient : 2 = 2 + 2 − 2 cos ̂ Par la permutation : → , → , → , on obtient : 2 = 2 + 2 − 2 cos ̂ 1.2.3) Aire d’un triangle et formule des sinus Soit l’aire d’un triangle. = × ℎ 2 On peut montrer que 1 = sin ̂ 2 1 = sin ̂ 2 1 = sin ̂ 2 Loi des sinus Dans le triangle précédent, on la relation suivante, appelée loi des sinus : Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 7 sin ̂ = sin ̂ = sin ̂ = 2 2) Surfaces et volumes des figures usuelles 2.1) Surface Carré = 2 Rectangle =× Disque = 2 Sphère Dr A.Sicard = 4 2 CapeSup Grenoble Page 8 2.2) Volumes = 3 Pavé droit = ××ℎ ℎ Cylindre quelconque ℎ =×ℎ base de surface Cylindre de révolution = 2 ℎ ℎ Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 9 Boule 4 = 3 3 3) Vecteurs 3.1) Définitions 3.1.1) Définition géométrique Par définition, un vecteur ⃗ est un objet mathématique défini par 3 critères : - Une direction (droite portant le vecteur) Un sens (sens de parcours de cette droite) Une norme (longueur du vecteur) notée ‖⃗‖ = avec > 0. ⃗⃗ et s’appelle le vecteur nul. Le vecteur de longueur nulle est noté 0 Dans le plan, un vecteur est représenté par une flèche. ⃗ ! Attention, il ne faudra pas confondre vecteurs et scalaires dans les calculs. 3.1.2) Définition analytique Il est possible d’adopter une approche analytique afin de définir un vecteur. Soit un repère du plan centré en et muni d’une base orthonormale (⃗, ⃗). Soit ⃗ un vecteur du plan. Tout vecteur du plan peut être décomposé selon cette base orthonormée. On a : ̅ ⃗ ⃗ ⃗ = ̅ ⃗ + ̅ ⃗ ̅ ⃗ ⃗ ⃗ Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 10 On écrit ainsi les composantes ou coordonnées du vecteur : ̅ ⃗ |̅ La notation ̅̅̅ et ̅̅̅ signifie que les composantes d’un vecteur sont des longueurs affectées d’un signe. Ce sont des mesures algébriques. Dans la pratique, il sera possible d’abandonner cette notation en gardant en mémoire que les composantes d’un vecteur peuvent être positives ou négatives. On notera alors : ⃗ = ⃗ + ⃗ Les coordonnées d’un vecteur permettent de retrouver sa norme et sa direction. Le théorème de Pythagore nous donne : = √2 + 2 Soit l’angle entre l’axe et le vecteur ⃗. La mesure géométrique de cet angle est donnée par : tan = | | Vecteur défini à l’aide de deux points du plan Soient deux points du plan et de coordonnées ( ) et ( ). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tel que : La donnée de ces deux points permet de définir un vecteur du plan noté − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n’est toutefois pas attaché aux deux points et . Le vecteur La norme de ce vecteur vaut : Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 11 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √( − )2 + ( − )2 = ‖ 3.2) Propriétés des vecteurs 3.2.1) Relation de Chasles Pour tous points , et du plan, on a la relation vectorielle suivante : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est le vecteur somme de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.2.2) Colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs ⃗⃗ et ⃗ sont dits colinéaires si il existe un réel tel que ⃗ = ⃗⃗. Si le vecteur ⃗⃗ a pour coordonnées ⃗⃗ | alors ⃗ a pour coordonnées ⃗ | . 3.3) Produit scalaire 3.3.1) Définition En géométrie vectorielle, le produit scalaire correspond à une opération algébrique s’ajoutant aux lois s’appliquant aux vecteurs. A deux vecteurs, elle associe leur produit qui est un nombre réel. Le produit scalaire de ⃗⃗ par ⃗ noté ⃗⃗ ∙ ⃗ est le nombre défini par l’égalité suivante : ⃗⃗ ∙ ⃗ = ‖ ⃗⃗‖ × ‖⃗‖ × cos( ⃗⃗, ⃗) où ( ⃗⃗, ⃗) est l’angle orienté entre ⃗⃗ et ⃗. Le produit scalaire est un outil important en physique. Il peut être, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d’une force ou pour effectuer l’opération de projection orthogonale. Carré scalaire Pour tout vecteur ⃗⃗ du plan, le produit scalaire de ⃗⃗ par lui-même ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ est appelé carré scalaire de 2 ⃗⃗. On le note ⃗⃗ . On a : ⃗⃗2 = ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ = ‖ ⃗⃗‖ × ‖ ⃗⃗‖ = ‖ ⃗⃗‖2 Ce qui donne pour deux points et : 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 2 Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 12 3.3.2) Propriétés Soient ⃗⃗, ⃗ et ⃗⃗⃗ trois vecteurs du plan et un réel. On a les propriétés suivantes : - Orthogonalité ⃗⃗ et ⃗ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. ⃗⃗ ⊥ ⃗ ⟺ ⃗⃗ ∙ ⃗ = 0 - Symétrie ⃗⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗⃗ - Linéarité ⃗⃗ ∙ (⃗ + ⃗⃗⃗) = ⃗⃗ ∙ ⃗ + ⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ + ⃗) ∙ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗ + ⃗ ∙ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗) ∙ ⃗ = ( ⃗⃗ ∙ ⃗) ⃗⃗ ∙ (⃗) = ( ⃗⃗ ∙ ⃗) Identités remarquables ( ⃗⃗ + ⃗)2 = ⃗⃗2 + 2 ⃗⃗ ∙ ⃗ + ⃗ 2 ( ⃗⃗ − ⃗)2 = ⃗⃗2 − 2 ⃗⃗ ∙ ⃗ + ⃗ 2 ( ⃗⃗ + ⃗)( ⃗⃗ − ⃗) = ⃗⃗2 − ⃗ 2 3.3.3) Expression analytique du produit scalaire Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (, ⃗, ⃗). ′ ⃗⃗ et ⃗ sont deux vecteurs de coordonnées respectives ⃗⃗ | et ⃗ | ′ On a : ⃗⃗ ∙ ⃗ = ′ + ′ Condition d’orthogonalité ⃗⃗ ⊥ ⃗ ⟺ ′ + ′ = 0 3.3.4) Projection sur un axe orienté ⃗ ′ ⃗ Soit un axe orienté ′ muni d’un vecteur unitaire ⃗ (‖⃗‖ = 1). Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 13 Le projeté orthogonal du vecteur ⃗ sur l’axe ′ est la composante de ce vecteur. On a : = ⃗ ∙ ⃗ = ‖⃗‖ cos 3.3.5) Projection sur des axes orthogonaux ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ Exemples de projections rencontrées en physique - cas n°1 = cos = cos ( − ) = sin 2 ⃗ - cas n°2 = sin = cos ⃗ - cas n°3 Dr A.Sicard ⃗ CapeSup Grenoble = cos = cos ( + ) = − sin 2 Page 14 - cas n°4 ⃗ = cos ( + ) = − sin 2 = cos( + ) = − cos 4) Fonctions et outils des fonctions En mathématiques, une fonction réelle d’une variable réelle est une règle qui permet d’associer un réel à un autre nombre réel. En physique, on utilisera le formalisme des fonctions pour décrire l’évolution d’un système physique. Il est ainsi nécessaire de connaître les fonctions usuellement rencontrées en physique, ainsi que les outils utiles pour leur étude. 4.1) Fonctions usuelles 4.1.1) Fonction affine () = + Domaine de définition = = ℝ Une fonction affine correspond à une variation linéaire de en fonction de la variable . 2 1 1 2 = 2 − 1 2 − 1 = 1 − 1 = 2 − 2 Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 15 4.1.2) Polynôme du 2nd degré () = 2 + + = ℝ avec a, b, c dans ℝ La courbe représentative d’une telle fonction s’appelle une parabole. Si est positif la parabole est tournée vers le haut. Si est négatif, elle est tournée vers le bas. >0 <0 Résolution d’une équation du second degré 2 + + = 0 4.1.3) Exponentielle En mathématiques, la fonction exponentielle notée exp est la fonction qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 16 On note la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre qui vaut approximativement 2,71828 s’appelle la base de la fonction exponentielle et en permet une autre notation : exp = Propriétés - La fonction exponentielle est définie et continue sur ℝ. - La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et ( )′ = - Pour tout réel x, > 0 - La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ . Equations – Inéquations Pour tous réels et , on a : = ⟺ = < ⟺ < > ⟺ > Relations fonctionnelles Soient et deux réels, on a : × = + 1 − = = − Limites lim = +∞ →+∞ lim = 0 →−∞ Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 17 4.1.4) Logarithme népérien Le logarithme népérien noté ln est la fonction logarithme de base . Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Propriétés - La fonction logarithme népérien est définie sur ]0, +∞[ - La fonction logarithme népérien est dérivable sur ℝ∗+ et sa dérivée est (ln )′ = - La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ℝ∗+ - ln 1 = 0 et ln = 1 - Pour tout x réel, ln( ) = Pour tout x dans ℝ∗+ , ln = 1 Equations – Inéquations Pour tous et dans ℝ∗+ ln = ln ⟺ = ln < ln ⟺ < ln > ln ⟺ > Relations fonctionnelles ln( × ) = ln + ln ln ( ) = ln − ln 1 ln ( ) = − ln ln( ) = × ln Limites lim ln = −∞ →0 lim ln = +∞ →+∞ Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 18 4.2) Dérivation 4.2.1) Définition Soit une fonction définie sur un intervalle , et appartenant à . On dit que est dérivable en si l’une des conditions suivantes est réalisée : lim ℎ→0 ( + ℎ) − () = ℎ () − () = → − lim Dans ce cas, s’appelle le nombre dérivé de en , et on le note ′() 4.2.2) Interprétation graphique : tangente Si est dérivable en , la courbe représentative de admet au point (; ()) une tangente de coefficient directeur ′(). Une équation de cette tangente est : = ′() × ( − ) + () 4.2.3) Etude du sens de variation Soit une fonction dérivable sur un intervalle . - Si la dérivée ′ est nulle sur , alors est constante sur . - Si ′ > 0 sur , sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors est strictement croissante sur . - Si ′ < 0 sur , sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors est strictement décroissante sur . 4.2.4) Extremum local Soit dérivable sur un intervalle ouvert , et 0 un réel de . - Si admet un extremum local, alors ′(0 ) = 0. - Si en 0 la dérivée′ s’annule en changeant de signe, alors admet un extremum local en 0 . Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 19 4.2.5) Dérivées des fonctions usuelles Fonction ( ∈ ℝ) Fonction dérivée 0 Intervalle ℝ 1 ℝ −1 ℝ si ≥ 0 ℝ∗ si < 0 ℝ∗ 1 √ 1 2 1 − ]0; +∞[ sin 2√ cos ℝ cos − sin ℝ tan 1 = 1 + tan2 cos2 ℝ\ { , ∈ ℤ} 2 ℝ 1 ]0; +∞[ Fonction + Fonction dérivée ′ + ′ Commentaire ′ constante ′ + ′ 1 [()] −′ 2 ′ − ′ 2 ′() × ′[()] [()] × [()]−1 × ′() √() ′() () 2√() ′() × () ln 4.2.6) Opérations et composition ln[()] Dr A.Sicard ′() () CapeSup Grenoble si () ≠ 0 si () ≠ 0 dérivation d'une fonction composée ∈ℤ si () < 0 lorsque < 0 si () > 0 si () > 0 Page 20 4.3) Primitives et intégration 4.3.1) Primitives 4.3.1.1) Définition Soit une fonction définie sur un intervalle de ℝ . On appelle primitive de sur toute fonction dérivable sur , telle que, pour tout de , ′() = () 4.3.1.2) Propriétés Soit un intervalle de ℝ . - Toute fonction continue sur admet des primitives sur - Si admet une primitive sur , alors toute fonction telle que () = () + , ∈ ℝ, est aussi une primitive de . - Si et sont deux primitives de , alors () = () + , ∈ ℝ - Si admet une primitive sur , alors admet une infinité de primitives sur :toutes les fonctions de la forme + , ∈ ℝ . 4.3.1.3) Tableau des primitives Fonctions usuelles Fonctions 0 ( ∈ ℤ\{−1}) 1 1 √ sin cos cos( + ) sin( + ) 1 + tan2 = Dr A.Sicard 1 cos2 Une primitive +1 +1 ln Intervalles ℝ ℝ ]0; +∞[ 2√ ]0; +∞[ − cos sin ℝ ℝ ℝ ℝ 1 sin( + ) 1 − cos( + ) tan CapeSup Grenoble ]0; +∞[ ℝ ]− ; [ modulo 2 2 2 Page 21 Opérations et composition Dans chaque cas, est une fonction dérivable sur un intervalle . Fonctions ′ Une primitive ′ + ′ + ′ 2√ () > 0 sur √ ′ × ( ∈ ℤ\{−1}) ′ × +1 +1 Lorsque < −1 , () ≠ 0 pour tout dans ′ Intervalles ln|| 4.3.2) Intégration 4.3.2.1) Définition Si est une fonction continue avec et deux réels. L’intégrale de à de la fonction est la valeur de , primitive de , en moins sa valeur en . On a : ∫ () = [()] = () − () D’un point de vue géométrique, l’intégrale d’une fonction positive correspond à l’aire sous la courbe. Si la fonction est toujours négative, son intégrale = − aire sous la courbe. 4.3.2.2) Propriétés ∫ () = − ∫ () Relation de Chasles Pour tous , , réels ∫ () = ∫ () + ∫ () Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 22 Linéarité Pour tout dans ℝ , ∫ [ ()] = ∫ () ∫ [() + ()] = ∫ () + ∫ () 4.3.2.3) Intégration par parties Soient et deux fonctions dérivables sur avec ′ et ′ continues sur et pour tous et dans ∫ () × ′() = [() × ()] − ∫ ′() × () L’intégration par parties peut être utile pour déterminer les primitives de certaines fonctions. 4.4) Equations différentielles 4.4.1) Définition Une équation différentielle est une équation liant une fonction à ses dérivées successives. 4.4.2) Equation différentielle du premier ordre, linéaire à coefficients constants ′ + = Résoudre dans un intervalle l’équation différentielle ′ + = d’inconnue la fonction , c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur telles que pour tout réel de , ′() + () = . L’équation ′ + = 0 est l’équation sans second membre associée. Résolution de l’équation Les solutions dans ℝ de l’équation différentielle ′ + = sont les fonctions définies pour tout réel par : () = − + où est un réel quelconque. Dans la pratique, la détermination de se fera à l’aide des conditions initiales. 4.4.3) Equation de l’oscillateur harmonique L’équation différentielle régissant l’évolution de l’oscillateur harmonique est de la forme suivante : Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 23 ′′ + 2 = 0 C’est une équation différentielle du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde ′′ de . Les solutions d’une telle équation sont des sinusoïdes de la forme suivante : () = cos(t + φ) avec et deux réels à déterminer à l’aide des conditions initiales. Dr A.Sicard CapeSup Grenoble Page 24