00 - Rappels mathéma..

Cours n°0 : Rappels mathématiques
Dans ce chapitre, nous allons étudier les outils nécessaires à la réalisation des différents calculs
rencontrés en physique dans le cadre du concours.
1) Angles, trigonométrie et relations métriques dans le triangle
1.1) Angles et trigonométrie
1.1.1) Définitions
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle en 𝐴.
𝐶
𝛼
𝐴
𝐵
Fonction cosinus
La fonction cosinus notée cos est définie à l’aide du triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 précédent par :
cos 𝛼 =
𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝛼 𝐴𝐵
=
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒
𝐵𝐶
Fonction sinus
La fonction sinus notée sin est définie à l’aide du triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 précédent par :
sin 𝛼 =
𝑐𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝛼 𝐴𝐶
=
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒
𝐵𝐶
Fonction tangente
La fonction cosinus notée tan est définie à l’aide du triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 précédent par :
tan 𝛼 =
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𝑐𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝛼
𝐴𝐶 sin 𝛼
=
=
𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝛼 𝐴𝐵 cos 𝛼
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Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine du repère et muni d’un sens
direct, le sens inverse des aiguilles d’une montre.
1
sin 𝛼
𝑀
𝑂
𝛼
cos 𝛼
Le point 𝑀 appartenant au
cercle trigonométrique a
pour coordonnées :
+
−1
1
cos 𝛼
𝑀(
)
sin 𝛼
−1
Le cercle trigonométrique permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels
positifs ou négatifs, et pas seulement pour les angles de mesure en radians comprise entre 0 et
𝜋
2
lorsqu’on utilise la définition géométrique.
Tracé des fonctions cosinus et sinus
1
Fonction cosinus
𝜋
2𝜋
𝜋
2𝜋
−1
1
Fonction sinus
−1
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Coordonnées polaires
On munit le plan d’un repère orthonormal
direct (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗).
On appelle coordonnées polaires d’un point
𝑀 du plan distinct de 𝑂, tout couple (𝑟, 𝜃) de
réels tels que :
𝑟 = 𝑂𝑀
{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑖⃗, 𝑂𝑀) = 𝜃 + 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
𝑀
𝑦
𝑟
𝜃
𝑗⃗
𝑂
𝑖⃗
𝑥
Relation entre coordonnées cartésiennes et polaires.
Soit un point 𝑀 du plan distinct de 𝑂, de coordonnées cartésiennes (𝑥, 𝑦) et de coordonnées polaires
(𝑟, 𝜃). On a les correspondances suivantes :
-
Sens coordonnées cartésiennes vers coordonnées polaires :
𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥
𝑥
cos 𝜃 = =
𝑟 √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑦
𝑦
sin 𝜃 = =
𝑟 √𝑥 2 + 𝑦 2
{
-
Sens coordonnées polaires vers coordonnées cartésiennes :
{
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
Conversions degrés/radians
Les angles peuvent s’exprimer en degrés (°) ou en radians (𝑟𝑎𝑑). Soit 𝛼 un angle, on a :
𝛼(°) = 𝛼(𝑟𝑎𝑑) ×
180
𝜋
Un demi-cercle va correspondre à un angle de 180° et de 𝜋 radians.
!
Lors des différents calculs à la calculatrice, il faut toujours vérifier dans quel mode on se trouve (° ou
radians).
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Page 3
Longueur d’arc
𝐵
𝑅
𝛼
̂ de rayon 𝑅 et
La longueur 𝑙 de l’arc de cercle 𝐴𝐵
d’angle au centre 𝛼 est donnée par :
𝑙
𝐴
𝑙=𝑅𝛼
𝑂
Le périmètre 𝑝 d’un cercle (𝛼 = 2𝜋) est ainsi donné
par :
𝑝 = 2𝜋𝑅
1.1.2) Valeurs remarquables des sinus et cosinus
En trigonométrie, il est important de connaitre les valeurs des cosinus et sinus de certains angles
fréquemment rencontrés. Ces valeurs sont répertoriées dans le tableau suivant :
𝒓𝒂𝒅
𝟎
𝒅𝒆𝒈
𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝟎
𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
√0
=0
2
√4
=1
2
0
𝝅
𝟔
𝟑𝟎°
√1 1
=
2
2
√3
2
1
√3
=
√3
3
𝝅
𝟒
𝟒𝟓°
√2
2
√2
2
𝝅
𝟑
𝟔𝟎°
√3
2
√1 1
=
2
2
𝝅
𝟐
𝟗𝟎°
√4
=1
2
√0
=0
2
1
√3
∞
Remarque : pour se rappeler de ces valeurs plus facilement, on pourra remarquer la progression
0,1,2,3,4 sous les racines pour le sinus et 4,3,2,1,0 pour le cosinus.
1.1.3) Formules relatives aux angles associés
Périodicité
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2𝜋.
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥
sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥
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Angles opposés
𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = cos 𝑥
sin(−𝑥) = − sin 𝑥
Angles supplémentaires
cos(𝜋 − 𝑥) = − cos 𝑥
sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥
Angles complémentaires
𝜋
cos ( − 𝑥) = sin 𝑥
2
𝜋
sin ( − 𝑥) = cos 𝑥
2
Angles de différence 𝜋
cos(𝑥 + 𝜋) = − cos 𝑥
sin(𝑥 + 𝜋) = − sin 𝑥
Les formules précédentes ne sont pas nécessairement à apprendre par cœur car elles peuvent être
retrouvées sur le cercle trigonométrique.
Formules élémentaires (très importantes à connaître)
cos 2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1
1 + tan2 𝑥 =
1
cos 2 𝑥
Formules d’addition
cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏
cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏
sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏
sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏
Formules de duplication
cos 2𝑎 = cos 2 𝑎 − sin2 𝑎
= 1 − 2 sin2 𝑎
= 2 cos2 𝑎 − 1
sin 2𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎
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Linéarisation
cos 2 𝑎 =
1 + cos 2𝑎
2
sin2 𝑎 =
1 − cos 2𝑎
2
1.1.4) Equations trigonométriques
𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋
cos 𝑥 = cos 𝑎 ⇒ {
𝑜𝑢
𝑥 = −𝑎 + 2𝑘 ′ 𝜋
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 𝑒𝑡 𝑘 ′ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℤ
𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋
sin 𝑥 = sin 𝑎 ⇒ {
𝑜𝑢
𝑥 = 𝜋 − 𝑎 + 2𝑘 ′ 𝜋
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 𝑒𝑡 𝑘 ′ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℤ
1.2) Relations métriques dans le triangle
1.2.1) Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres cotés.
𝐶
𝑎
𝑏
𝐴
𝑐
𝐵
𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2
𝑜𝑢 𝑎2 = 𝑐 2 + 𝑏 2
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1.2.2) Théorème d’Al-Kashi
Le théorème d’Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore. Il s’applique à un triangle
quelconque.
𝐴
𝑐
𝑏
𝐵
𝑎
𝐶
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle quelconque, on note :
̂ , 𝐵̂ = 𝐶𝐵𝐴
̂ , 𝐶̂ = 𝐵𝐶𝐴
̂
𝐵𝐶 = 𝑎 , 𝐴𝐶 = 𝑏 , 𝐴𝐵 = 𝑐 , 𝐴̂ = 𝐵𝐴𝐶
On a :
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴̂
Par la permutation : 𝑎 → 𝑏 , 𝑏 → 𝑐 , 𝑐 → 𝑎 , on obtient :
𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎2 − 2𝑐𝑎 cos 𝐵̂
Par la permutation : 𝑏 → 𝑐 , 𝑐 → 𝑎 , 𝑎 → 𝑏 , on obtient :
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶̂
1.2.3) Aire d’un triangle et formule des sinus
Soit 𝑆 l’aire d’un triangle𝐴𝐵𝐶.
𝑆=
𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟
2
On peut montrer que
1
𝑆 = 𝑏𝑐 sin 𝐴̂
2
1
= 𝑎𝑏 sin 𝐶̂
2
1
= 𝑐𝑎 sin 𝐵̂
2
Loi des sinus
Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 précédent, on la relation suivante, appelée loi des sinus :
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𝑎
sin 𝐴̂
=
𝑏
sin 𝐵̂
=
𝑐
sin 𝐶̂
=
𝑎𝑏𝑐
2𝑆
2) Surfaces et volumes des figures usuelles
2.1) Surface
Carré
𝑆 = 𝑎2
𝑎
Rectangle
𝑙
𝐿
𝑆 =𝑙×𝐿
Disque
𝑟
𝑆 = 𝜋𝑟 2
Sphère
𝑟
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𝑆 = 4𝜋𝑟 2
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2.2) Volumes
𝑉 = 𝑎3
𝑎
Pavé droit
𝑉 = 𝑙×𝐿×ℎ
ℎ
𝑙
𝐿
Cylindre quelconque
ℎ
𝑉 =𝑆×ℎ
base de
surface 𝑆
Cylindre de révolution
𝑟
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
ℎ
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Boule
𝑟
4
𝑉 = 𝜋𝑟 3
3
3) Vecteurs
3.1) Définitions
3.1.1) Définition géométrique
Par définition, un vecteur 𝑣⃗ est un objet mathématique défini par 3 critères :
-
Une direction (droite portant le vecteur)
Un sens (sens de parcours de cette droite)
Une norme (longueur du vecteur) notée ‖𝑣⃗‖ = 𝑣 avec 𝑣 > 0.
⃗⃗ et s’appelle le vecteur nul.
Le vecteur de longueur nulle est noté 0
Dans le plan, un vecteur est représenté par une flèche.
𝑣⃗
!
Attention, il ne faudra pas confondre vecteurs et scalaires dans les calculs.
3.1.2) Définition analytique
Il est possible d’adopter une approche analytique afin de définir un vecteur.
Soit un repère du plan centré en 𝑂 et muni d’une base orthonormale (𝑖⃗, 𝑗⃗). Soit 𝑣⃗ un vecteur du plan.
𝑦
Tout vecteur du plan peut être décomposé
selon cette base orthonormée. On a :
𝑣̅𝑦 𝑗⃗
𝑣⃗
𝛼
𝑣⃗ = 𝑣̅𝑥 𝑖⃗ + 𝑣̅𝑦 𝑗⃗
𝑣̅𝑥 𝑖⃗
𝑗⃗
𝑖⃗
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𝑥
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On écrit ainsi les composantes ou coordonnées du vecteur :
𝑣̅𝑥
𝑣⃗ |𝑣̅
𝑦
La notation ̅̅̅
𝑣𝑥 et ̅̅̅
𝑣𝑦 signifie que les composantes d’un vecteur sont des longueurs affectées d’un
signe. Ce sont des mesures algébriques. Dans la pratique, il sera possible d’abandonner cette
notation en gardant en mémoire que les composantes d’un vecteur peuvent être positives ou
négatives. On notera alors :
𝑣⃗ = 𝑣𝑥 𝑖⃗ + 𝑣𝑦 𝑗⃗
Les coordonnées d’un vecteur permettent de retrouver sa norme et sa direction.
Le théorème de Pythagore nous donne :
𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2
Soit 𝛼 l’angle entre l’axe 𝑂𝑥 et le vecteur 𝑣⃗. La mesure géométrique de cet angle est donnée par :
tan 𝛼 = |
𝑣𝑦
|
𝑣𝑥
Vecteur défini à l’aide de deux points du plan
𝑥𝐴
𝑥𝐵
Soient deux points du plan 𝐴 et 𝐵 de coordonnées 𝐴 (𝑦 ) et 𝐵 (𝑦 ).
𝐴
𝐵
𝐵
𝑦𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
𝑦𝐴
𝐴
𝑗⃗
𝑂
𝑖⃗
𝑥𝐴
𝑥𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tel que :
La donnée de ces deux points permet de définir un vecteur du plan noté 𝐴𝐵
𝑥 − 𝑥𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝐵
𝐴𝐵
𝑦 −𝑦
𝐵
𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n’est toutefois pas attaché aux deux points 𝐴 et 𝐵.
Le vecteur 𝐴𝐵
La norme de ce vecteur vaut :
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⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2
𝐴𝐵 = ‖𝐴𝐵
3.2) Propriétés des vecteurs
3.2.1) Relation de Chasles
Pour tous points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 du plan, on a la relation vectorielle suivante :
𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
𝐴
𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 est le vecteur somme de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 .
3.2.2) Colinéarité de deux vecteurs
Deux vecteurs 𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ sont dits colinéaires si il existe un réel 𝑘 tel que 𝑣⃗ = 𝑘 𝑢
⃗⃗.
𝑢𝑥
𝑘 𝑢𝑥
Si le vecteur 𝑢
⃗⃗ a pour coordonnées 𝑢
⃗⃗ |𝑢 alors 𝑣⃗ a pour coordonnées 𝑣⃗ |
.
𝑘 𝑢𝑦
𝑦
3.3) Produit scalaire
3.3.1) Définition
En géométrie vectorielle, le produit scalaire correspond à une opération algébrique s’ajoutant aux
lois s’appliquant aux vecteurs. A deux vecteurs, elle associe leur produit qui est un nombre réel.
Le produit scalaire de 𝑢
⃗⃗ par 𝑣⃗ noté 𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ est le nombre défini par l’égalité suivante :
𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = ‖𝑢
⃗⃗‖ × ‖𝑣⃗‖ × cos(𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗)
où (𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗) est l’angle orienté entre 𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗.
Le produit scalaire est un outil important en physique. Il peut être, par exemple, utilisé pour
modéliser le travail d’une force ou pour effectuer l’opération de projection orthogonale.
Carré scalaire
Pour tout vecteur 𝑢
⃗⃗ du plan, le produit scalaire de 𝑢
⃗⃗ par lui-même 𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑢
⃗⃗ est appelé carré scalaire de
2
𝑢
⃗⃗. On le note 𝑢
⃗⃗ .
On a :
𝑢
⃗⃗2 = 𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑢
⃗⃗ = ‖𝑢
⃗⃗‖ × ‖𝑢
⃗⃗‖ = ‖𝑢
⃗⃗‖2
Ce qui donne pour deux points 𝐴 et 𝐵 :
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = ‖𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝐴𝐵2
𝐴𝐵
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3.3.2) Propriétés
Soient 𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗ et 𝑤
⃗⃗⃗ trois vecteurs du plan et 𝑘 un réel. On a les propriétés suivantes :
-
Orthogonalité
𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
𝑢
⃗⃗ ⊥ 𝑣⃗ ⟺ 𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = 0
-
Symétrie
𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ ∙ 𝑢
⃗⃗
-
Linéarité
𝑢
⃗⃗ ∙ (𝑣⃗ + 𝑤
⃗⃗⃗) = 𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ + 𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑤
⃗⃗⃗
(𝑢
⃗⃗ + 𝑣⃗) ∙ 𝑤
⃗⃗⃗ = 𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑤
⃗⃗⃗ + 𝑣⃗ ∙ 𝑤
⃗⃗⃗
(𝑘𝑢
⃗⃗) ∙ 𝑣⃗ = 𝑘(𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗)
𝑢
⃗⃗ ∙ (𝑘𝑣⃗) = 𝑘(𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗)
Identités remarquables
(𝑢
⃗⃗ + 𝑣⃗)2 = 𝑢
⃗⃗2 + 2𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ + 𝑣⃗ 2
(𝑢
⃗⃗ − 𝑣⃗)2 = 𝑢
⃗⃗2 − 2𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ + 𝑣⃗ 2
(𝑢
⃗⃗ + 𝑣⃗)(𝑢
⃗⃗ − 𝑣⃗) = 𝑢
⃗⃗2 − 𝑣⃗ 2
3.3.3) Expression analytique du produit scalaire
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗).
𝑥
𝑥′
𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs de coordonnées respectives 𝑢
⃗⃗ |𝑦 et 𝑣⃗ |
𝑦′
On a :
𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = 𝑥 𝑥 ′ + 𝑦 𝑦′
Condition d’orthogonalité
𝑢
⃗⃗ ⊥ 𝑣⃗ ⟺ 𝑥 𝑥 ′ + 𝑦 𝑦 ′ = 0
3.3.4) Projection sur un axe orienté
𝑣⃗
𝛼
𝑥′
𝑂
𝑖⃗
𝑣𝑥
𝑥
Soit un axe orienté 𝑥′𝑂𝑥 muni d’un vecteur unitaire 𝑖⃗ (‖𝑖⃗‖ = 1).
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Le projeté orthogonal du vecteur 𝑣⃗ sur l’axe 𝑥′𝑂𝑥 est la composante 𝑣𝑥 de ce vecteur. On a :
𝑣𝑥 = 𝑣⃗ ∙ 𝑖⃗ = ‖𝑣⃗‖ cos 𝛼
3.3.5) Projection sur des axes orthogonaux
𝑣𝑦
𝑣⃗
𝑗⃗
𝑂
𝑣𝑥
𝑖⃗
𝑣𝑥 = 𝑣⃗ ∙ 𝑖⃗
𝑒𝑡
𝑣𝑦 = 𝑣⃗ ∙ 𝑗⃗
Exemples de projections rencontrées en physique
-
cas n°1
𝑣𝑦
𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝛼
𝜋
𝑣𝑦 = 𝑣 cos ( − 𝛼) = 𝑣 sin 𝛼
2
𝑣⃗
𝛼
𝑣𝑥
-
cas n°2
𝑣𝑦
𝛼
𝑣𝑥 = 𝑣 sin 𝛼
𝑣𝑦 = 𝑣 cos 𝛼
𝑣⃗
𝑣𝑥
-
cas n°3
𝑣𝑥
𝛼
𝑣𝑦
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𝑣⃗
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𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝛼
𝜋
𝑣𝑦 = 𝑣 cos ( + 𝛼) = −𝑣 sin 𝛼
2
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-
cas n°4
𝑣𝑥
𝑣⃗
𝜋
𝑣𝑥 = 𝑣 cos ( + 𝛼) = −𝑣 sin 𝛼
2
𝑣𝑦 = 𝑣 cos(𝜋 + 𝛼) = −𝑣 cos 𝛼
𝛼
𝑣𝑦
4) Fonctions et outils des fonctions
En mathématiques, une fonction réelle d’une variable réelle est une règle qui permet d’associer un
réel à un autre nombre réel. En physique, on utilisera le formalisme des fonctions pour décrire
l’évolution d’un système physique.
Il est ainsi nécessaire de connaître les fonctions usuellement rencontrées en physique, ainsi que les
outils utiles pour leur étude.
4.1) Fonctions usuelles
4.1.1) Fonction affine
𝑦(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏
Domaine de définition = 𝐷𝑓 = ℝ
Une fonction affine correspond à une variation linéaire de 𝑦 en fonction de la variable 𝑥.
𝑦2
𝑦1
𝑥1
𝑥2
𝑎=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑏 = 𝑦1 − 𝑎 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑎 𝑥2
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4.1.2) Polynôme du 2nd degré
𝑦(𝑥) = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐
𝐷𝑓 = ℝ
avec a, b, c dans ℝ
La courbe représentative d’une telle fonction s’appelle une parabole. Si 𝑎 est positif la parabole est
tournée vers le haut. Si 𝑎 est négatif, elle est tournée vers le bas.
𝑎>0
𝑎<0
Résolution d’une équation du second degré 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0
4.1.3) Exponentielle
En mathématiques, la fonction exponentielle notée exp est la fonction qui est sa propre dérivée et
qui prend la valeur 1 en 0.
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On note 𝑒 la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre 𝑒 qui vaut approximativement 2,71828
s’appelle la base de la fonction exponentielle et en permet une autre notation :
exp 𝑥 = 𝑒 𝑥
Propriétés
-
La fonction exponentielle est définie et continue sur ℝ.
-
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
-
Pour tout réel x, 𝑒 𝑥 > 0
-
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ .
Equations – Inéquations
Pour tous réels 𝑎 et 𝑏, on a :
𝑒𝑎 = 𝑒𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏
𝑒𝑎 < 𝑒𝑏 ⟺ 𝑎 < 𝑏
𝑒𝑎 > 𝑒𝑏 ⟺ 𝑎 > 𝑏
Relations fonctionnelles
Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels, on a :
𝑒 𝑎 × 𝑒 𝑏 = 𝑒 𝑎+𝑏
1
𝑒 −𝑏 = 𝑏
𝑒
𝑒𝑎
= 𝑒 𝑎−𝑏
𝑒𝑏
Limites
lim 𝑒 𝑥 = +∞
𝑥→+∞
lim 𝑒 𝑥 = 0
𝑥→−∞
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4.1.4) Logarithme népérien
Le logarithme népérien noté ln est la fonction logarithme de base 𝑒. Elle est la fonction réciproque
de la fonction exponentielle.
Propriétés
-
La fonction logarithme népérien est définie sur ]0, +∞[
-
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ℝ∗+ et sa dérivée est (ln 𝑥)′ = 𝑥
-
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ℝ∗+
-
ln 1 = 0 et ln 𝑒 = 1
-
Pour tout x réel, ln(𝑒 𝑥 ) = 𝑥
Pour tout x dans ℝ∗+ , 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥
1
Equations – Inéquations
Pour tous 𝑎 et 𝑏 dans ℝ∗+
ln 𝑎 = ln 𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏
ln 𝑎 < ln 𝑏 ⟺ 𝑎 < 𝑏
ln 𝑎 > ln 𝑏 ⟺ 𝑎 > 𝑏
Relations fonctionnelles
ln(𝑎 × 𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏
𝑎
ln ( ) = ln 𝑎 − ln 𝑏
𝑏
1
ln ( ) = − ln 𝑎
𝑎
𝑏
ln(𝑎 ) = 𝑏 × ln 𝑎
Limites
lim ln 𝑥 = −∞
𝑥→0
lim ln 𝑥 = +∞
𝑥→+∞
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4.2) Dérivation
4.2.1) Définition
Soit 𝑓une fonction définie sur un intervalle , et 𝑎 appartenant à 𝐼. On dit que 𝑓 est dérivable en 𝑎 si
l’une des conditions suivantes est réalisée :
lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
=𝑙
ℎ
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
=𝑙
𝑥→𝑎
𝑥−𝑎
lim
Dans ce cas, 𝑙 s’appelle le nombre dérivé de 𝑓 en 𝑎, et on le note 𝑓′(𝑎)
4.2.2) Interprétation graphique : tangente
Si 𝑓 est dérivable en 𝑎, la courbe représentative de 𝑓 admet au point 𝐴 (𝑎; 𝑓(𝑎)) une tangente de
coefficient directeur 𝑓′(𝑎). Une équation de cette tangente est :
𝑦 = 𝑓′(𝑎) × (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
4.2.3) Etude du sens de variation
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.
-
Si la dérivée 𝑓′ est nulle sur 𝐼, alors 𝑓 est constante sur 𝐼.
-
Si 𝑓 ′ > 0 sur 𝐼, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors 𝑓 est
strictement croissante sur 𝐼.
-
Si 𝑓 ′ < 0 sur 𝐼, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors 𝑓 est
strictement décroissante sur 𝐼.
4.2.4) Extremum local
Soit 𝑓 dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼, et 𝑥0 un réel de 𝐼.
-
Si 𝑓admet un extremum local, alors 𝑓′(𝑥0 ) = 0.
-
Si en 𝑥0 la dérivée𝑓′ s’annule en changeant de signe, alors 𝑓 admet un extremum local en 𝑥0 .
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4.2.5) Dérivées des fonctions usuelles
Fonction
𝑘 (𝑘 ∈ ℝ)
Fonction dérivée
0
Intervalle
ℝ
𝑥
1
ℝ
𝑥𝑛
𝑛 𝑥 𝑛−1
ℝ si 𝑛 ≥ 0
ℝ∗ si 𝑛 < 0
ℝ∗
1
𝑥
√𝑥
1
𝑥2
1
−
]0; +∞[
sin 𝑥
2√𝑥
cos 𝑥
ℝ
cos 𝑥
− sin 𝑥
ℝ
tan 𝑥
1
= 1 + tan2 𝑥
cos2 𝑥
𝑒𝑥
𝑒𝑥
ℝ\ {𝑘
𝜋
, 𝑘 ∈ ℤ}
2
ℝ
1
𝑥
]0; +∞[
Fonction
𝑢+𝑣
Fonction dérivée
𝑢′ + 𝑣′
Commentaire
𝑘𝑢
𝑘 𝑢′
𝑘 constante
𝑢𝑣
𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′
1
𝑣
𝑢
𝑣
𝑣[𝑢(𝑥)]
−𝑣′
𝑣2
𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣2
𝑢′(𝑥) × 𝑣′[𝑢(𝑥)]
[𝑢(𝑥)]𝑛
𝑛 × [𝑢(𝑥)]𝑛−1 × 𝑢′(𝑥)
√𝑢(𝑥)
𝑢′(𝑥)
𝑒 𝑢(𝑥)
2√𝑢(𝑥)
𝑢′(𝑥) × 𝑒 𝑢(𝑥)
ln 𝑥
4.2.6) Opérations et composition
ln[𝑢(𝑥)]
Dr A.Sicard
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
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si 𝑣(𝑥) ≠ 0
si 𝑣(𝑥) ≠ 0
dérivation d'une fonction
composée
𝑛∈ℤ
si 𝑢(𝑥) < 0
lorsque 𝑛 < 0
si 𝑢(𝑥) > 0
si 𝑢(𝑥) > 0
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4.3) Primitives et intégration
4.3.1) Primitives
4.3.1.1) Définition
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 de ℝ . On appelle primitive de 𝑓 sur 𝐼 toute fonction 𝐹
dérivable sur 𝐼, telle que, pour tout 𝑥 de 𝐼 , 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
4.3.1.2) Propriétés
Soit 𝐼 un intervalle de ℝ .
-
Toute fonction continue sur 𝐼 admet des primitives sur 𝐼
-
Si 𝑓 admet une primitive 𝐹 sur , alors toute fonction 𝐺 telle que 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ,
est aussi une primitive de 𝑓.
-
Si 𝐹 et 𝐻 sont deux primitives de 𝑓, alors 𝐻(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ
-
Si 𝑓 admet une primitive 𝐹 sur 𝐼, alors 𝑓 admet une infinité de primitives sur 𝐼 :toutes les
fonctions de la forme 𝐹 + 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ .
4.3.1.3) Tableau des primitives
Fonctions usuelles
𝑥𝑛
Fonctions
0
𝑘
(𝑛 ∈ ℤ\{−1})
1
𝑥
1
√𝑥
𝑒𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
1 + tan2 𝑥 =
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1
cos2 𝑥
Une primitive
𝑘
𝑘𝑥
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
ln 𝑥
Intervalles
ℝ
ℝ
]0; +∞[
2√𝑥
]0; +∞[
𝑒𝑥
− cos 𝑥
sin 𝑥
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
1
sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑎
1
− cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑎
tan 𝑥
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]0; +∞[
ℝ
𝜋 𝜋
]− ; [ modulo 2𝜋
2 2
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Opérations et composition
Dans chaque cas, 𝑢 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.
Fonctions
𝑘 𝑢′
Une primitive
𝑘𝑢
𝑢′ + 𝑣′
𝑢+𝑣
𝑢′
2√𝑢
𝑢(𝑥) > 0 sur 𝐼
√𝑢
𝑢′ × 𝑢𝛼
(𝛼 ∈ ℤ\{−1})
𝑢′ × 𝑒 𝑢
𝑢𝛼+1
𝛼+1
𝑒𝑢
Lorsque 𝛼 < −1 , 𝑢(𝑥) ≠ 0
pour tout 𝑥 dans 𝐼
𝑢′
𝑢
Intervalles
ln|𝑢|
4.3.2) Intégration
4.3.2.1) Définition
Si 𝑓 est une fonction continue avec 𝑎 et 𝑏 deux réels. L’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de la fonction 𝑓 est la
valeur de 𝐹, primitive de 𝑓, en 𝑏 moins sa valeur en 𝑎. On a :
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
D’un point de vue géométrique, l’intégrale d’une fonction positive correspond à l’aire sous la courbe.
Si la fonction est toujours négative, son intégrale = − aire sous la courbe.
4.3.2.2) Propriétés
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
Relation de Chasles
Pour tous 𝑎, 𝑏, 𝑐 réels
𝑏
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
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𝑎
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𝑐
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Linéarité
Pour tout 𝜆 dans ℝ ,
𝑏
𝑏
∫ [𝜆 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝜆 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑏
∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
4.3.2.3) Intégration par parties
Soient 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur 𝐼 avec 𝑢′ et 𝑣′ continues sur 𝐼 et pour tous 𝑎 et 𝑏 dans 𝐼
𝑏
𝑏
∫ 𝑢(𝑡) × 𝑣′(𝑡) 𝑑𝑡 = [𝑢(𝑡) × 𝑣(𝑡)]𝑏𝑎 − ∫ 𝑢′(𝑡) × 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎
𝑎
L’intégration par parties peut être utile pour déterminer les primitives de certaines fonctions.
4.4) Equations différentielles
4.4.1) Définition
Une équation différentielle est une équation liant une fonction à ses dérivées successives.
4.4.2) Equation différentielle du premier ordre, linéaire à coefficients constants 𝒚′ + 𝒂𝒚 = 𝒃
Résoudre dans un intervalle 𝐼 l’équation différentielle 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑏 d’inconnue la fonction 𝑦, c’est
trouver toutes les fonctions 𝑓 dérivables sur 𝐼 telles que pour tout réel 𝑡 de 𝐼, 𝑓′(𝑡) + 𝑎𝑓(𝑡) = 𝑏.
L’équation 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 0 est l’équation sans second membre associée.
Résolution de l’équation
Les solutions dans ℝ de l’équation différentielle 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑏 sont les fonctions 𝑓𝑘 définies pour tout
réel 𝑡 par :
𝑓𝑘 (𝑡) = 𝑘 𝑒 −𝑎𝑡 +
𝑏
𝑎
où 𝑘 est un réel quelconque.
Dans la pratique, la détermination de 𝑘 se fera à l’aide des conditions initiales.
4.4.3) Equation de l’oscillateur harmonique
L’équation différentielle régissant l’évolution de l’oscillateur harmonique est de la forme suivante :
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𝑦 ′′ + 𝜔2 𝑦 = 0
C’est une équation différentielle du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde 𝑦′′ de 𝑦.
Les solutions d’une telle équation sont des sinusoïdes de la forme suivante :
𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔t + φ)
avec 𝐴 et 𝜑 deux réels à déterminer à l’aide des conditions initiales.
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