00 - Rappels mathéma..
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Cours n°0 : Rappels mathématiques
Dans ce chapitre, nous allons étudier les outils nécessaires à la réalisation des différents calculs
rencontrés en physique dans le cadre du concours.
1) Angles, trigonométrie et relations métriques dans le triangle
1.1) Angles et trigonométrie
1.1.1) Définitions
Soit un triangle rectangle en .
Fonction cosinus
La fonction cosinus notée cos est définie à l’aide du triangle rectangle précédent par :
cos =
é à ′
=
ℎℎé
Fonction sinus
La fonction sinus notée sin est définie à l’aide du triangle rectangle précédent par :
sin =
é é à ′
=
ℎℎé
Fonction tangente
La fonction cosinus notée tan est définie à l’aide du triangle rectangle précédent par :
tan =
Dr A.Sicard
é é à ′
sin
=
=
é à ′ cos
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Page 1
Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine du repère et muni d’un sens
direct, le sens inverse des aiguilles d’une montre.
1
sin
cos
Le point appartenant au
cercle trigonométrique a
pour coordonnées :
+
−1
1
cos
(
)
sin
−1
Le cercle trigonométrique permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels
positifs ou négatifs, et pas seulement pour les angles de mesure en radians comprise entre 0 et
2
lorsqu’on utilise la définition géométrique.
Tracé des fonctions cosinus et sinus
1
Fonction cosinus
2
2
−1
1
Fonction sinus
−1
Dr A.Sicard
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Page 2
Coordonnées polaires
On munit le plan d’un repère orthonormal
direct (, ⃗, ⃗).
On appelle coordonnées polaires d’un point
du plan distinct de , tout couple (, ) de
réels tels que :
=
{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗, ) = + 2 , ∈ ℤ
⃗
⃗
Relation entre coordonnées cartésiennes et polaires.
Soit un point du plan distinct de , de coordonnées cartésiennes (, ) et de coordonnées polaires
(, ). On a les correspondances suivantes :
-
Sens coordonnées cartésiennes vers coordonnées polaires :
= √ 2 + 2
cos = =
√ 2 + 2
sin = =
√ 2 + 2
{
-
Sens coordonnées polaires vers coordonnées cartésiennes :
{
= cos
= sin
Conversions degrés/radians
Les angles peuvent s’exprimer en degrés (°) ou en radians (). Soit un angle, on a :
(°) = () ×
180
Un demi-cercle va correspondre à un angle de 180° et de radians.
!
Lors des différents calculs à la calculatrice, il faut toujours vérifier dans quel mode on se trouve (° ou
radians).
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Page 3
Longueur d’arc
̂ de rayon et
La longueur de l’arc de cercle
d’angle au centre est donnée par :
=
Le périmètre d’un cercle ( = 2) est ainsi donné
par :
= 2
1.1.2) Valeurs remarquables des sinus et cosinus
En trigonométrie, il est important de connaitre les valeurs des cosinus et sinus de certains angles
fréquemment rencontrés. Ces valeurs sont répertoriées dans le tableau suivant :
=
√0
=0
2
√4
=1
2
0
°
√1 1
=
2
2
√3
2
1
√3
=
√3
3
°
√2
2
√2
2
°
√3
2
√1 1
=
2
2
°
√4
=1
2
√0
=0
2
1
√3
∞
Remarque : pour se rappeler de ces valeurs plus facilement, on pourra remarquer la progression
0,1,2,3,4 sous les racines pour le sinus et 4,3,2,1,0 pour le cosinus.
1.1.3) Formules relatives aux angles associés
Périodicité
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2.
( + 2) = cos
sin( + 2) = sin
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Page 4
Angles opposés
(−) = cos
sin(−) = − sin
Angles supplémentaires
cos( − ) = − cos
sin( − ) = sin
Angles complémentaires
cos ( − ) = sin
2
sin ( − ) = cos
2
Angles de différence
cos( + ) = − cos
sin( + ) = − sin
Les formules précédentes ne sont pas nécessairement à apprendre par cœur car elles peuvent être
retrouvées sur le cercle trigonométrique.
Formules élémentaires (très importantes à connaître)
cos 2 + sin2 = 1
1 + tan2 =
1
cos 2
Formules d’addition
cos( + ) = cos cos − sin sin
cos( − ) = cos cos + sin sin
sin( + ) = sin cos + cos sin
sin( − ) = sin cos − cos sin
Formules de duplication
cos 2 = cos 2 − sin2
= 1 − 2 sin2
= 2 cos2 − 1
sin 2 = 2 sin cos
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Linéarisation
cos 2 =
1 + cos 2
2
sin2 =
1 − cos 2
2
1.1.4) Equations trigonométriques
= + 2
cos = cos ⇒ {
= − + 2 ′
′ ℤ
= + 2
sin = sin ⇒ {
= − + 2 ′
′ ℤ
1.2) Relations métriques dans le triangle
1.2.1) Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres cotés.
2 = 2 + 2
2 = 2 + 2
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1.2.2) Théorème d’Al-Kashi
Le théorème d’Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore. Il s’applique à un triangle
quelconque.
Soit un triangle quelconque, on note :
̂ , ̂ =
̂ , ̂ =
̂
= , = , = , ̂ =
On a :
2 = 2 + 2 − 2 cos ̂
Par la permutation : → , → , → , on obtient :
2 = 2 + 2 − 2 cos ̂
Par la permutation : → , → , → , on obtient :
2 = 2 + 2 − 2 cos ̂
1.2.3) Aire d’un triangle et formule des sinus
Soit l’aire d’un triangle.
=
× ℎ
2
On peut montrer que
1
= sin ̂
2
1
= sin ̂
2
1
= sin ̂
2
Loi des sinus
Dans le triangle précédent, on la relation suivante, appelée loi des sinus :
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Page 7
sin ̂
=
sin ̂
=
sin ̂
=
2
2) Surfaces et volumes des figures usuelles
2.1) Surface
Carré
= 2
Rectangle
=×
Disque
= 2
Sphère
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= 4 2
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Page 8
2.2) Volumes
= 3
Pavé droit
= ××ℎ
ℎ
Cylindre quelconque
ℎ
=×ℎ
base de
surface
Cylindre de révolution
= 2 ℎ
ℎ
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Boule
4
= 3
3
3) Vecteurs
3.1) Définitions
3.1.1) Définition géométrique
Par définition, un vecteur ⃗ est un objet mathématique défini par 3 critères :
-
Une direction (droite portant le vecteur)
Un sens (sens de parcours de cette droite)
Une norme (longueur du vecteur) notée ‖⃗‖ = avec > 0.
⃗⃗ et s’appelle le vecteur nul.
Le vecteur de longueur nulle est noté 0
Dans le plan, un vecteur est représenté par une flèche.
⃗
!
Attention, il ne faudra pas confondre vecteurs et scalaires dans les calculs.
3.1.2) Définition analytique
Il est possible d’adopter une approche analytique afin de définir un vecteur.
Soit un repère du plan centré en et muni d’une base orthonormale (⃗, ⃗). Soit ⃗ un vecteur du plan.
Tout vecteur du plan peut être décomposé
selon cette base orthonormée. On a :
̅ ⃗
⃗
⃗ = ̅ ⃗ + ̅ ⃗
̅ ⃗
⃗
⃗
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Page 10
On écrit ainsi les composantes ou coordonnées du vecteur :
̅
⃗ |̅
La notation ̅̅̅
et ̅̅̅
signifie que les composantes d’un vecteur sont des longueurs affectées d’un
signe. Ce sont des mesures algébriques. Dans la pratique, il sera possible d’abandonner cette
notation en gardant en mémoire que les composantes d’un vecteur peuvent être positives ou
négatives. On notera alors :
⃗ = ⃗ + ⃗
Les coordonnées d’un vecteur permettent de retrouver sa norme et sa direction.
Le théorème de Pythagore nous donne :
= √2 + 2
Soit l’angle entre l’axe et le vecteur ⃗. La mesure géométrique de cet angle est donnée par :
tan = |
|
Vecteur défini à l’aide de deux points du plan
Soient deux points du plan et de coordonnées ( ) et ( ).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tel que :
La donnée de ces deux points permet de définir un vecteur du plan noté
−
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
−
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n’est toutefois pas attaché aux deux points et .
Le vecteur
La norme de ce vecteur vaut :
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Page 11
⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √( − )2 + ( − )2
= ‖
3.2) Propriétés des vecteurs
3.2.1) Relation de Chasles
Pour tous points , et du plan, on a la relation vectorielle suivante :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
est le vecteur somme de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.
3.2.2) Colinéarité de deux vecteurs
Deux vecteurs
⃗⃗ et ⃗ sont dits colinéaires si il existe un réel tel que ⃗ =
⃗⃗.
Si le vecteur
⃗⃗ a pour coordonnées
⃗⃗ | alors ⃗ a pour coordonnées ⃗ |
.
3.3) Produit scalaire
3.3.1) Définition
En géométrie vectorielle, le produit scalaire correspond à une opération algébrique s’ajoutant aux
lois s’appliquant aux vecteurs. A deux vecteurs, elle associe leur produit qui est un nombre réel.
Le produit scalaire de
⃗⃗ par ⃗ noté
⃗⃗ ∙ ⃗ est le nombre défini par l’égalité suivante :
⃗⃗ ∙ ⃗ = ‖
⃗⃗‖ × ‖⃗‖ × cos(
⃗⃗, ⃗)
où (
⃗⃗, ⃗) est l’angle orienté entre
⃗⃗ et ⃗.
Le produit scalaire est un outil important en physique. Il peut être, par exemple, utilisé pour
modéliser le travail d’une force ou pour effectuer l’opération de projection orthogonale.
Carré scalaire
Pour tout vecteur
⃗⃗ du plan, le produit scalaire de
⃗⃗ par lui-même
⃗⃗ ∙
⃗⃗ est appelé carré scalaire de
2
⃗⃗. On le note
⃗⃗ .
On a :
⃗⃗2 =
⃗⃗ ∙
⃗⃗ = ‖
⃗⃗‖ × ‖
⃗⃗‖ = ‖
⃗⃗‖2
Ce qui donne pour deux points et :
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = ‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 2
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Page 12
3.3.2) Propriétés
Soient
⃗⃗, ⃗ et
⃗⃗⃗ trois vecteurs du plan et un réel. On a les propriétés suivantes :
-
Orthogonalité
⃗⃗ et ⃗ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
⃗⃗ ⊥ ⃗ ⟺
⃗⃗ ∙ ⃗ = 0
-
Symétrie
⃗⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙
⃗⃗
-
Linéarité
⃗⃗ ∙ (⃗ +
⃗⃗⃗) =
⃗⃗ ∙ ⃗ +
⃗⃗ ∙
⃗⃗⃗
(
⃗⃗ + ⃗) ∙
⃗⃗⃗ =
⃗⃗ ∙
⃗⃗⃗ + ⃗ ∙
⃗⃗⃗
(
⃗⃗) ∙ ⃗ = (
⃗⃗ ∙ ⃗)
⃗⃗ ∙ (⃗) = (
⃗⃗ ∙ ⃗)
Identités remarquables
(
⃗⃗ + ⃗)2 =
⃗⃗2 + 2
⃗⃗ ∙ ⃗ + ⃗ 2
(
⃗⃗ − ⃗)2 =
⃗⃗2 − 2
⃗⃗ ∙ ⃗ + ⃗ 2
(
⃗⃗ + ⃗)(
⃗⃗ − ⃗) =
⃗⃗2 − ⃗ 2
3.3.3) Expression analytique du produit scalaire
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (, ⃗, ⃗).
′
⃗⃗ et ⃗ sont deux vecteurs de coordonnées respectives
⃗⃗ | et ⃗ |
′
On a :
⃗⃗ ∙ ⃗ = ′ + ′
Condition d’orthogonalité
⃗⃗ ⊥ ⃗ ⟺ ′ + ′ = 0
3.3.4) Projection sur un axe orienté
⃗
′
⃗
Soit un axe orienté ′ muni d’un vecteur unitaire ⃗ (‖⃗‖ = 1).
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Page 13
Le projeté orthogonal du vecteur ⃗ sur l’axe ′ est la composante de ce vecteur. On a :
= ⃗ ∙ ⃗ = ‖⃗‖ cos
3.3.5) Projection sur des axes orthogonaux
⃗
⃗
⃗
= ⃗ ∙ ⃗
= ⃗ ∙ ⃗
Exemples de projections rencontrées en physique
-
cas n°1
= cos
= cos ( − ) = sin
2
⃗
-
cas n°2
= sin
= cos
⃗
-
cas n°3
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⃗
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= cos
= cos ( + ) = − sin
2
Page 14
-
cas n°4
⃗
= cos ( + ) = − sin
2
= cos( + ) = − cos
4) Fonctions et outils des fonctions
En mathématiques, une fonction réelle d’une variable réelle est une règle qui permet d’associer un
réel à un autre nombre réel. En physique, on utilisera le formalisme des fonctions pour décrire
l’évolution d’un système physique.
Il est ainsi nécessaire de connaître les fonctions usuellement rencontrées en physique, ainsi que les
outils utiles pour leur étude.
4.1) Fonctions usuelles
4.1.1) Fonction affine
() = +
Domaine de définition = = ℝ
Une fonction affine correspond à une variation linéaire de en fonction de la variable .
2
1
1
2
=
2 − 1
2 − 1
= 1 − 1 = 2 − 2
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Page 15
4.1.2) Polynôme du 2nd degré
() = 2 + +
= ℝ
avec a, b, c dans ℝ
La courbe représentative d’une telle fonction s’appelle une parabole. Si est positif la parabole est
tournée vers le haut. Si est négatif, elle est tournée vers le bas.
>0
<0
Résolution d’une équation du second degré 2 + + = 0
4.1.3) Exponentielle
En mathématiques, la fonction exponentielle notée exp est la fonction qui est sa propre dérivée et
qui prend la valeur 1 en 0.
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Page 16
On note la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre qui vaut approximativement 2,71828
s’appelle la base de la fonction exponentielle et en permet une autre notation :
exp =
Propriétés
-
La fonction exponentielle est définie et continue sur ℝ.
-
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et ( )′ =
-
Pour tout réel x, > 0
-
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ .
Equations – Inéquations
Pour tous réels et , on a :
= ⟺ =
< ⟺ <
> ⟺ >
Relations fonctionnelles
Soient et deux réels, on a :
× = +
1
− =
= −
Limites
lim = +∞
→+∞
lim = 0
→−∞
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Page 17
4.1.4) Logarithme népérien
Le logarithme népérien noté ln est la fonction logarithme de base . Elle est la fonction réciproque
de la fonction exponentielle.
Propriétés
-
La fonction logarithme népérien est définie sur ]0, +∞[
-
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ℝ∗+ et sa dérivée est (ln )′ =
-
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ℝ∗+
-
ln 1 = 0 et ln = 1
-
Pour tout x réel, ln( ) =
Pour tout x dans ℝ∗+ , ln =
1
Equations – Inéquations
Pour tous et dans ℝ∗+
ln = ln ⟺ =
ln < ln ⟺ <
ln > ln ⟺ >
Relations fonctionnelles
ln( × ) = ln + ln
ln ( ) = ln − ln
1
ln ( ) = − ln
ln( ) = × ln
Limites
lim ln = −∞
→0
lim ln = +∞
→+∞
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Page 18
4.2) Dérivation
4.2.1) Définition
Soit une fonction définie sur un intervalle , et appartenant à . On dit que est dérivable en si
l’une des conditions suivantes est réalisée :
lim
ℎ→0
( + ℎ) − ()
=
ℎ
() − ()
=
→
−
lim
Dans ce cas, s’appelle le nombre dérivé de en , et on le note ′()
4.2.2) Interprétation graphique : tangente
Si est dérivable en , la courbe représentative de admet au point (; ()) une tangente de
coefficient directeur ′(). Une équation de cette tangente est :
= ′() × ( − ) + ()
4.2.3) Etude du sens de variation
Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
-
Si la dérivée ′ est nulle sur , alors est constante sur .
-
Si ′ > 0 sur , sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors est
strictement croissante sur .
-
Si ′ < 0 sur , sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors est
strictement décroissante sur .
4.2.4) Extremum local
Soit dérivable sur un intervalle ouvert , et 0 un réel de .
-
Si admet un extremum local, alors ′(0 ) = 0.
-
Si en 0 la dérivée′ s’annule en changeant de signe, alors admet un extremum local en 0 .
Dr A.Sicard
CapeSup Grenoble
Page 19
4.2.5) Dérivées des fonctions usuelles
Fonction
( ∈ ℝ)
Fonction dérivée
0
Intervalle
ℝ
1
ℝ
−1
ℝ si ≥ 0
ℝ∗ si < 0
ℝ∗
1
√
1
2
1
−
]0; +∞[
sin
2√
cos
ℝ
cos
− sin
ℝ
tan
1
= 1 + tan2
cos2
ℝ\ {
, ∈ ℤ}
2
ℝ
1
]0; +∞[
Fonction
+
Fonction dérivée
′ + ′
Commentaire
′
constante
′ + ′
1
[()]
−′
2
′ − ′
2
′() × ′[()]
[()]
× [()]−1 × ′()
√()
′()
()
2√()
′() × ()
ln
4.2.6) Opérations et composition
ln[()]
Dr A.Sicard
′()
()
CapeSup Grenoble
si () ≠ 0
si () ≠ 0
dérivation d'une fonction
composée
∈ℤ
si () < 0
lorsque < 0
si () > 0
si () > 0
Page 20
4.3) Primitives et intégration
4.3.1) Primitives
4.3.1.1) Définition
Soit une fonction définie sur un intervalle de ℝ . On appelle primitive de sur toute fonction
dérivable sur , telle que, pour tout de , ′() = ()
4.3.1.2) Propriétés
Soit un intervalle de ℝ .
-
Toute fonction continue sur admet des primitives sur
-
Si admet une primitive sur , alors toute fonction telle que () = () + , ∈ ℝ,
est aussi une primitive de .
-
Si et sont deux primitives de , alors () = () + , ∈ ℝ
-
Si admet une primitive sur , alors admet une infinité de primitives sur :toutes les
fonctions de la forme + , ∈ ℝ .
4.3.1.3) Tableau des primitives
Fonctions usuelles
Fonctions
0
( ∈ ℤ\{−1})
1
1
√
sin
cos
cos( + )
sin( + )
1 + tan2 =
Dr A.Sicard
1
cos2
Une primitive
+1
+1
ln
Intervalles
ℝ
ℝ
]0; +∞[
2√
]0; +∞[
− cos
sin
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
1
sin( + )
1
− cos( + )
tan
CapeSup Grenoble
]0; +∞[
ℝ
]− ; [ modulo 2
2 2
Page 21
Opérations et composition
Dans chaque cas, est une fonction dérivable sur un intervalle .
Fonctions
′
Une primitive
′ + ′
+
′
2√
() > 0 sur
√
′ ×
( ∈ ℤ\{−1})
′ ×
+1
+1
Lorsque < −1 , () ≠ 0
pour tout dans
′
Intervalles
ln||
4.3.2) Intégration
4.3.2.1) Définition
Si est une fonction continue avec et deux réels. L’intégrale de à de la fonction est la
valeur de , primitive de , en moins sa valeur en . On a :
∫ () = [()] = () − ()
D’un point de vue géométrique, l’intégrale d’une fonction positive correspond à l’aire sous la courbe.
Si la fonction est toujours négative, son intégrale = − aire sous la courbe.
4.3.2.2) Propriétés
∫ () = − ∫ ()
Relation de Chasles
Pour tous , , réels
∫ () = ∫ () + ∫ ()
Dr A.Sicard
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Page 22
Linéarité
Pour tout dans ℝ ,
∫ [ ()] = ∫ ()
∫ [() + ()] = ∫ () + ∫ ()
4.3.2.3) Intégration par parties
Soient et deux fonctions dérivables sur avec ′ et ′ continues sur et pour tous et dans
∫ () × ′() = [() × ()] − ∫ ′() × ()
L’intégration par parties peut être utile pour déterminer les primitives de certaines fonctions.
4.4) Equations différentielles
4.4.1) Définition
Une équation différentielle est une équation liant une fonction à ses dérivées successives.
4.4.2) Equation différentielle du premier ordre, linéaire à coefficients constants ′ + =
Résoudre dans un intervalle l’équation différentielle ′ + = d’inconnue la fonction , c’est
trouver toutes les fonctions dérivables sur telles que pour tout réel de , ′() + () = .
L’équation ′ + = 0 est l’équation sans second membre associée.
Résolution de l’équation
Les solutions dans ℝ de l’équation différentielle ′ + = sont les fonctions définies pour tout
réel par :
() = − +
où est un réel quelconque.
Dans la pratique, la détermination de se fera à l’aide des conditions initiales.
4.4.3) Equation de l’oscillateur harmonique
L’équation différentielle régissant l’évolution de l’oscillateur harmonique est de la forme suivante :
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Page 23
′′ + 2 = 0
C’est une équation différentielle du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde ′′ de .
Les solutions d’une telle équation sont des sinusoïdes de la forme suivante :
() = cos(t + φ)
avec et deux réels à déterminer à l’aide des conditions initiales.
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Page 24
