DS 5 année 2015-2016 - Lycée Henri Poincaré PCSI 1 année 2016

DS Physique n°5
PCSI
2015 – 2016
Conseils :
• Ce devoir comporte 3 problèmes.
• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la rédaction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale
simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé, vérifiez l’homogénéité et la
cohérence (tout résultat non homogène sera sanctionné).
Les résultats non encadrés ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.
• Rédigez les problèmes sur des copies différentes.
• Numérotez vos copies doubles : 1/4, 2/4 .... (si 4 copies). N’oubliez pas de mettre votre
Nom sur chacune des copies.
• L’usage des calculatrices est autorisé.
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DS Physique n°5
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2015 – 2016
I. M ANÈGE
Dans le référentiel terrestre R, on définit un
repère Oxyz avec un axe (Oz) vertical ascendant. La figure ci-contre est une vue dessus.
Un manège est constitué de deux plateformes
circulaires horizontales de même rayon R :
l’une est immobile par rapport au référentiel
terrestre, sa circonférence passe par l’origine
O du repère et son centre est sur l’axe (0x) ;
l’autre peut rouler sans glisser autour de la
première.
Un enfant, assimilé à un point M, a pris place sur le manège, en un point de la circonférence
de la plateforme mobile. M décrit alors une trajectoire contenue dans le plan horizontal (Oxy) et
décrite par l’équation polaire :
r = 2R(1 + cos θ)
et on suppose de plus que la vitesse angulaire omega est maintenue constante, soit
θ = ωt
à partir de l’instant initial t = 0.
Q1
1. Trajectoire :
Reproduire sur un schéma les axes du plan et le cercle représentant la plateforme fixe. Placer
sur ce schéma les quatre points de la trajectoire de M correspondant aux angles θ = 0 (ce
point sera noté A), θ = π2 (point B), θ = π (point C), θ = 3 π2 (point D), puis dessiner l’allure
de la trajectoire complète (cette courbe s’appelle une cardioïde).
Ajouter la base cylindrique (vecteurs e~r , ~eθ , e~z ) au point D.
2. Vitesse :
Q2
(a) Déterminer, en fonction du temps t et des deux constantes R et ω, les composantes du
vecteur vitesse ~v (M) dans R dans la base cylindrique. Dessiner ce vecteur au point D.
Q3
(b) Calculer la norme de la vitesse.
Q4
(c) En quel point l’enfant risque-t-il le plus d’être éjecté du manège (vitesse maximale), et
dans quelle direction serait-il alors éjecté ?
Q5
(d) En quel point l’enfant pourra-t-il essayer de descendre du manège (vitesse nulle) ?
3. Accélération :
Q6
(a) Déterminer les composantes du vecteur accélération ~a(M) dans R dans la base cylindrique. Dessiner ce vecteur au point D.
Q7
(b) Calculer la norme de l’accélération.
Q8
(c) Il n’existe pas de sensation absolue de vitesse, en revanche ce qu’on ressent fortement
est l’accélération que l’on subit. En quel point l’enfant risque-t-il le plus de se sentir mal
(accélération maximale) ?
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II. S USPENSION
2015 – 2016
DE VOITURE
Dans ce problème, nous allons étudier un modèle de suspension de voiture. La suspension est
constituée d’un amortisseur visqueux et d’un ressort, reliés à une roue sans masse et l’ensemble
supporte une masse m représentant la voiture. Le coefficient d’amortissement est noté η et la
raideur du ressort k. L’accélération de pesanteur est notée g.
On ramènera le véhicule à un point matériel M (système d’étude), posé sur la suspension.
La longueur à vide du ressort est notée l0 . Les altitudes de la roue (notée y) et de la masse (notée
Y ) sont prises « aux bornes du ressort » et de l’amortisseur (voir figure ci-dessous). À l’équilibre
la longueur du ressort est leq et on redéfini les origines de y et Y telles que yeq = 0 et Yeq = 0 à
l’équilibre sur une route horizontale. On a donc l = leq + Y − y .
On se placera dans un référentiel en translation rectiligne uniforme horizontalement par rapport au sol à une vitesse égale à celle de la voiture. Ce référentiel est galiléen puisqu’en translation
rectiligne uniforme par rapport au référentiel terrestre. Dans ce référentiel, la vitesse du châssis
~e = Ẏ ~ey .
est uniquement selon la direction verticale dY
dt y
La force exercée par l’amortisseur est proportionnelle à la vitesse du châssis par rapport à la
˙ey , avec l˙ = dl la dérivée temporelle de la variable l par rapport au temps.
roue, soit : −η l~
dt
Mb
Y
k
~ey
η
~g
y
~ex
x
Q9
1. Faire le bilan des forces appliquées au point matériel M.
Q10
2. Exprimer leq en fonction de l0 , k, m, et g, à l’équilibre sur une route horizontale.
3. Calculer la résultante des forces qui s’exercent sur la masse en fonction de l et l.˙
Q11
Q12
4. Établir l’équation différentielle qui régit le mouvement vertical de la masse M et montrer
que cette équation peut se mettre sous la forme :
1
Ÿ + Ẏ + ω02Y = f (y,ẏ)
τ
où τ et ω0 sont des constantes et f une fonction que l’on explicitera.
Q13
5. La voiture roule sur une route horizontale. À l’instant t = 0, la roue monte sur une marche
de hauteur ∆. La figure ci-dessous présente l’évolution de Y (t).
Indiquer, en justifiant, pour chaque courbe si elle correspond ou non à une solution possible.
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(a)
(b)
Y
∆
(c)
Y
∆
Y
∆
t
Q14
2015 – 2016
t
t
6. On s’intéresse maintenant au régime d’oscillations forcées en imposant à la roue un mouvement sinusoïdal. Dans ce régime oscillant, on utilisera les notations complexes : y = aejωt
et Y = Aejωt .
Montrer que l’équation différentielle établie précédemment peut alors s’écrire :
Y = H(ω)y
où H(ω) est une fonction de transfert que l’on explicitera.
Q15
7. En introduisant une variable u = ωω0 et un facteur sans dimension r (que l’on explicitera),
montrer que l’on peut alors écrire :
H(u) =
Q16
Q17
1
1−
u2
1+jru
.
8. Calculer les valeurs limites de |H(u)| et de arg(H(u)) quand u → 0 et u → ∞.
9. La suspension constitue un filtre mécanique. La figure ci-dessous montre l’allure de la
courbe |H(u)| pour différentes valeurs de r ( r = 1/2, 1 et 3).
Identifier les courbes correspondant aux différentes valeurs de r et commenter ces courbes.
En déduire la nature du filtre.
|H(u)|
(a)
(b)
(c)
1
Q18
Q19
2
3
4
5
u
10. La voiture roule maintenant sur une route ayant un profil d’équation y = a cos(2πx/λ). On
suppose que la roue reste en permanence en contact avec la route et que sa vitesse v selon
l’axe horizontale (Ox) reste constante.
Exprimer la pulsation d’excitation ω en fonction de v et λ.
11. Dans le film Le salaire de la peur, réalisé par H.-G. Clouzot en 1953, un camion transportant
de la nitroglycérine doit passer sur un pont fait de tôle ondulée. Pour limiter l’amplitude
des oscillations (de Y ), le camion doit-il rouler lentement ou à vive allure (justifier votre
réponse à l’aide de l’allure de |H(u)|) ?
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2015 – 2016
Q20
12. En fait, la grandeur pertinente pour mesurer l’intensité des secousses n’est pas l’amplitude
du mouvement du camion, mais l’amplitude de l’accélération verticale Aacc qu’il subit.
Justifier que l’on peut écrire :
Aacc (ω) = aω 2 |H(ω)|.
Q21
13. Calculer les valeurs limites de Aacc (ω) lorsque ω → 0 et ω → ∞.
À l’aide de la courbe |H(u)| donnée précédemment, tracer l’allure de Aacc (ω) pour r = 1.
Q22
14. Ce résultat vous ferait-il changer d’avis au sujet de la vitesse à adopter pour éviter les secousses trop importantes du camion de nitroglycérine ?
15. Le filtre mécanique réalisé par la suspension possède un équivalent électrique. Sur le circuit
schématisé sur la figure ci-dessous, les dipôles notés 1, 2 et 3 possèdent des impédances
notées Z 1 , Z 2 et Z 3 .
Z1
Z2
Ue
Us
Z3
Q23
En régime sinusoïdal, exprimer la fonction de transfert H =
On supposera aussi que le filtre est en sortie ouverte.
Q24
Q25
Us
Ue
en fonction de Z 1 , Z 2 et Z 3 .
16. On souhaite réaliser le circuit électrique correspondant à la suspension. Pour cela, on dispose d’un conducteur ohmique de résistance R, d’un condensateur de capacité C et d’une
bobine d’inductance L.
Expliquer (en justifiant votre choix) comment disposer ces trois composants, c’est-à-dire
trouver qui de 1, 2 et 3 correspond à chaque composant.
17. Exprimer les relations que doivent vérifier R, L et C en fonction des grandeurs mécaniques
m, k et η pour que les deux systèmes soient équivalents.
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III. M OUVEMENT
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2015 – 2016
D ’ UNE PARTICULE CHARGÉE
On suppose dans ce problème, que la vitesse des particules chargées est très inférieure à la
vitesse de la lumière dans le vide, ce qui revient à négliger toute correction relativiste. Les effets
de la gravitation seront également négligés.
Données :
— charge électrique élémentaire : e = 1,6.10−19 C.
— vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,0.108 m.s−1 .
— perméabilité et permittivité du vide : µ0 = 4π10−7 H.m−1 et ǫ0 =
1
36π109
F.m−1 .
A. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme
1. On considère un référentiel R galiléen muni d’un repère cartésien (O, ~ex , ~ey , ~ez ). Une particule chargée de charge q positive et de masse m pénètre avec un vecteur vitesse ~v0 = v0~ex au
point O de coordonnées (0, 0, 0) dans une région de l’espace où règne un champ magnétique
~ = B~ez perpendiculaire à ~v0 (Figure 1).
uniforme B
Q26
(a) Montrer que la norme de la vitesse de la particule est constante.
Q27
(b) Montrer que la trajectoire est plane.
Q28
(c) On admet que la trajectoire est circulaire. Montrer que le rayon est égal à :
R=
mv0
qB
Pour ces questions, vous pourrez, si vous le souhaitez, introduire la quantité complexe
u(t) = x(t) + j y(t).
F IGURE 1 – Trajectoire d’une particule de charge q positive dans une région de l’espace où
règne un champ magnétique uniforme.
2. Pour séparer les deux isotopes naturels de l’Uranium (l’uranium 238 et l’uranium 235), il
avait été envisagé d’utiliser un spectrographe de masse. Cet appareil comporte trois parties,
représentées en Figure 2, où règne un vide poussé.
Les atomes d’uranium sont ionisés dans une chambre d’ionisation en U + (de charge électrique qU + = e) d’où ils sortent par la fente F1 avec une vitesse négligeable.
Ces ions sont accélérés par un champ électrostatique uniforme imposé par une tension
W = VP2 − VP1 entre les plaques P1 et P2 .
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Enfin, les ions pénètrent dans une chambre de déviation où règne un champ magnétique
~ (B = 0,1 T) perpendiculaire au plan de la figure. Ils décrivent alors deux trajecuniforme B
toires circulaires de rayons R1 et R2 et parviennent dans deux collecteurs C1 et C2 .
Les masses de l’uranium 235 et de l’uranium 238 sont : mU 5 = 235 u.m.a. et mU 8 = 238
u.m.a.. Une unité de masse atomique (u.m.a.) vaut : 1 u.m.a ≃ 1,66.10−27 kg.
Q29
(a) Quel est le signe de la tension W ? Justifier.
Q30
(b) Donner l’expression littérale de la vitesse vU 8 de l’isotope 328 U + en F2 , en fonction de e,
W et mU 8 . Justifier votre réponse.
Q31
(c) Calculer la valeur de la tension W pour que la distance entre les collecteurs C1 et C2 soit
égale à d = 2 cm.
F IGURE 2 – Schéma de principe du spectrographe de masse.
B. Le cyclotron
Le cyclotron est formé de deux demi-cylindres conducteurs creux D1 et D2 dénommés dees et
~ (B = 0,1 T) règne à
séparés par un intervalle étroit (Figure 3). Un champ magnétique uniforme B
l’intérieur des dees, sa direction est parallèle à l’axe des demi-cylindres.
~ peut être établi dans l’intervalle étroit qui sépare les dees
Un champ électrostatique variable E
en appliquant une tension alternative sinusoïdale u(t) qui atteint sa valeur maximale Um = 105 V
lorsque le proton traverse cet espace.
Les protons, de masse mP = 1,67.10−27 kg et de charge électrique qP = e, sont injectés au
centre du cyclotron avec une énergie cinétique négligeable. Dans chaque dee, ils décrivent des
trajectoires demi-circulaires de rayon croissant. Le rayon de la trajectoire des protons à la sortie
du cyclotron est RS = 50 cm.
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F IGURE 3 – Schéma de principe du cyclotron.
Q32
1. Donner l’expression littérale de la durée T1/2 mise par un proton pour effectuer un demitour en fonction de mP , e et B. Qu’en déduisez-vous ?
Q33
2. Justifier le choix d’une tension u(t) alternative.
Q34
3. En déduire l’expression, puis la valeur de la fréquence f de la tension alternative sinusoïdale u(t) = Um sin(2πf t) pour que les protons subissent une accélération maximale à chaque
traversée. On négligera le temps de parcours d’un dee à l’autre.
Q35
4. Déterminer l’expression, puis la valeur de l’énergie cinétique ECS des protons à la sortie du
cyclotron.
Q36
5. Déterminer l’expression du nombre de tours N effectués par les protons dans le cyclotron
jusqu’à leur sortie en fonction de e, Rs , B, mP et Um . Effectuer l’application numérique.
6. Puissance rayonnée : pour une particule non relativiste, toute particule chargée de charge q
et d’accélération a rayonne une puissance Pr , donnée par la formule de Larmor :
µ0 q 2 2
a
Pr =
6πc
On rappelle que c est la vitesse de la lumière dans le vide.
Q37
(a) Montrer qu’une particule chargée de charge q, de vitesse v, qui décrit une trajectoire circulaire uniforme de rayon R, rayonne une puissance Pr de la forme : Pr = αv 4 . Exprimer
le coefficient α en fonction de q, c, µ0 et R.
Q38
(b) Calculer l’énergie rayonnée par le proton dans le cyclotron lors de sa dernière trajectoire
demi-circulaire de rayon RS = 50 cm.
Q39
(c) Conclure.
Fin
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2015 – 2016
nombre de copies
Remarques :
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
La moyenne est de 10,6 et l’écart
type de 4,1 (c’est-à-dire que les
notes sont étalées). Les notes sont
comprises entre 3,1 et 18,6 selon
la distribution ci-contre. Il y a trop
de « mauvaises notes » alors qu’il
y avait un grand nombre de questions accessibles.
notes
I. M ANÈGE
1. Trajectoire
Au point A, on a θ = 0 et r = 2R × 2 = 4R.
Au point B, on a θ = π2 et r = 2R.
Au point C, on a θ = π et r = 2R(1 − 1) = 0.
Q1
et r = 2R.
Au point D, on a θ = 3π
2
De plus, d’après l’équation de la trajectoire,
on voit que pour chaque θ, il existe un unique
r correspondant. La trajectoire ne se recoupe
donc pas. On voit aussi que r diminue sur
l’intervalle θ ∈ [0,π], car la fonction cosinus
est alors croissante, et r augmente sur l’intervalle θ ∈ [π,2π] car la fonction cosinus est
décroissante sur cet intervalle.
Finalement, la trajectoire du point M a l’allure ci-contre.
Attention, la trajectoire n’est pas circulaire, u~θ n’est donc pas tangent à la trajectoire et u~r n’est pas
normal à la trajectoire.
Par contre, la vitesse est toujours tangente à la trajectoire, et l’accélération pointe
toujours vers l’intérieur de la trajectoire.
2. Vitesse
Q2
−−→
(a) Le vecteur position est OM = r u~r + z u~z avec r = 2R(1 − cos θ), θ = ωt (donc θ̇ = ω) et
−−→
dOM
z = 0. On en déduit ~v =
= ṙ u~r + r θ̇u~θ = −2Rθ̇ sin θu~r + 2Rω(1 + cos θ)u~θ
dt
⇔ ~v = −2Rω sin(ωt)u~r + 2Rω(1 + cos(ωt))u~θ
Attention, on n’est pas dans le cas particulier d’un mouvement circulaire, il ne faut
donc surtout pas oublier le terme ṙ. De même, attention à ne pas oublier que θ
dépend du temps et donc cos θ(t) doit être dérivé comme une composé de fonctions.
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Correction
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2015 – 2016
(b) On a
k~v k =
q
[−2Rω
=
sin(ωt)]2
+ [2Rω(1 +
cos(ωt))]2
=
q
4R2 ω 2 [sin2 (ωt) + (1 + cos2 (ωt))]2
v
u
2
2Rω u
+ sin2 (ωt)
t1 + 2 cos(ωt) + |cos (ωt) {z
}
q
= 2Rω 2[1 + cos(ωt)]
=1
Or, on sait que cos 2α = 2 cos2 α − 1 ⇔ 1 + cos 2α = 2 cos2 α (pas
indispensable ici, mais
2 ωt
c’est parfois utile d’y penser). Ainsi, [1 − cos(ωt)] = 2 cos 2 .
Q3
s
Finalementv = 2Rω 2 ×
2 cos2
(c) v est maximale lorsque cos
ωt
2
cos
Q4
ωt ωt
⇔ v = 4Rω cos
2
2 = cos θ2 est maximal, c’est-à-dire lorsque
θ
θ
= ±1 ⇔ = kπ ⇔ θ = 2kπ
2
2
Cela correspond au point A . La vitesse vaut alors
~vA = −2R sin(2kπ)ω u~r + 2Rω(1 + cos(2kπ))u~θ = 4Rω u~θ
Or, au point A, u~θ = u~y , donc l’enfant risque d’être éjecté dans la direction u~y .
Q5
(d) La vitesse est nulle lorsque cos
descendre au point C .
θ
π
θ
= 0 ⇔ = + kπ ⇔ θ = π + 2kπ L’enfant peut donc
2
2
2
3. Accélération
(a) Par définition, ~a =
d~v
d
=
(−2Rω sin(ωt)u~r + 2Rω(1 + cos(ωt))u~θ )
dt
dt
= −2Rωω cos(ωt)u~r − 2R sin(ωt) |{z}
θ̇ u~θ + 2Rω(−ω sin(ωt))u~θ + 2Rω(1 + cos(ωt))(− |{z}
θ̇ )u~r
=ω
=ω
= −4Rω 2 sin(ωt)u~θ +2Rω 2 (−1−2 cos(ωt))u~r ⇔ ~a = −4Rω 2 sin(ωt)u~θ − 2Rω 2 (1 + 2 cos(ωt))u~r
Q6
Au point D, on a θ =
3π
,
2
donc cos ωt = cos θ = 0 et sin ωt = sin θ = −1, d’où
~aD = 4Rω 2 u~θ − 2Rω 2u~r
La composante de l’accélération suivant u~θ est donc 2 fois plus importance que la composante de l’accélération suivant u~r . Cette accélération a été représentée sur le premier
schéma.
(b) On a
q
q
a = k~ak = 2Rω 2 [−2 sin(ωt)]2 + [1 + 2 cos(ωt)]2 = 2Rω 2 4 sin2 (ωt) + 1 + 4 cos(ωt) + 4 cos2 (ωt)
Q7
q
q
= 2Rω 2 4 + 1 + 4 cos(ωt) ⇔ a = 3Rω 2 5 + 4 cos(ωt)
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Q8
PCSI
2015 – 2016
(c) L’accélération est maximale lorsque cos(ωt) = cos θ est maximal, c’est-à-dire en θ = 0.
L’enfant risque de se sentir mal au point A .
II. S USPENSION
DE VOITURE
D’après 2nd concours ENS-Lyon 2010
Q9
Q10
1. Bilan des forces appliquées au point matériel M :
• le poids P~ = m~g
• la force de rappel du ressort F~ = −k(l − l0 ).~ey , avec l = leq + Y − y.
˙ey
• la force exercée par l’amortisseur f~ = −η l~
2. À l’équilibre la somme des forces appliquées à M est nulle d’après la première loi de Newton.
mg
P~ + F~ + f~ = ~0 ⇒ −mg~ey − k(leq − l0 )~ey + ~0 = ~0 ⇒ leq = l0 −
.
k
N’oublier pas de vérifier la cohérence : si m = 0 alors d’après l’intuition leq = l0 (ce qui
correspond à la formule), si m augmente, alors leq doit diminuer (ce qui correspond à
la formule). Cela permet de détecter des erreurs de signe dans les forces.
Q11
˙ey =
3. Hors équilibre la résultante des forces est P~ + F~ + f~ = −mg~ey − k(l − l0 )~ey − η l~
−mg − k(l − l0 ) − η l˙ ~ey
4. D’après le principe fondamental dela dynamique appliqué
au système M dans le référentiel
galiléen défini par l’énoncé : m~a = −Mg − k(l − l0 ) − η l˙ ~ey .
Soit après projection selon ~ey : mŸ = −mg − k(leq + Y − y − l0 ) − η(Ẏ − ẏ).
Or d’après la deuxième question, −mg − k(leq − l0 ) = 0 d’où
mŸ = −k(Y − y) − η(Ẏ − ẏ) ⇒ Ÿ +
Q12
L’équation est sous la forme Ÿ + τ1 Ẏ + ω02 Y = f (y,ẏ) suggérée par l’énoncé et par identification :







Q13
η
k
η
k
Ẏ + Y = ẏ + y
m
m
m
m
τ =
ω0 =
f (y,ẏ) =
m
η
q
k
m
1
ẏ
τ
+ ω02y
5. On a un système d’ordre 2, on s’attend à des comportements différents en fonction du signe
du discriminant de l’équation caractéristique.
La courbe (a) ne peut pas correspondre à notre système à cause de la discontinuité de la
dérivée 1 de Y , il s’agit de la réponse d’un système ordre 1.
Les courbes (b) et (c) peuvent correspondre à notre système (2nd ordre), la (b) si le discriminant est strictement négatif pour avoir un régime pseudo périodique, la (c) a un régime
critique ou apériodique (discriminant positif ou nul).
1. En fait ce n’est pas si évident que cela à cause du terme en ẏ qui crée une force infini lorsque l’on passe par la
marche en y. Par exemple, dans le cas d’un circuit RLC soumis à un échelon de tension, la courbe de l’intensité ne
présente pas une continuité de sa dérivée. Mais je pense qu’on ne demandait pas aux étudiants de plus justifier que
cela.
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Correction
DS Physique n°5
PCSI
2015 – 2016
Faites attention, le fait que « La dérivée est nulle pour un ordre 2 » ne marche qu’à
certaines conditions ... les connaissez vous ? c’est pour la réponse à un échelon ! Ce n’est pas le cas ici à cause du terme en l̇.
6. L’équation différentielle est : Ÿ + τ1 Ẏ + ω02 Y = τ1 ẏ + ω02 y. En passant à la notation complexe,
une dérivée revient à multiplier par jω :
−ω 2 Y +
Q14
d’où H(ω) =
jω
+ ω02
jω
jω
τ
y
Y + ω02Y =
y + ω02 y ⇒ Y =
τ
τ
+ ω02
−ω 2 + jω
τ
jω
+ ω02
τ
−ω 2 + jω
+
τ
ω02
7. Pour faire apparaitre 1 au numérateur, on divise le numérateur et le dénominateur par
jω
+ ω02
τ
jω
+ ω02
τ
+
−ω 2 + jω
τ
H(ω) =
1
=
ω02
−ω 2
jω
+ω02
τ
+1
1
. Pour présenter la fraction
1 − une fraction
restante sous la forme de l’énoncé, il suffit de faire apparaitre le 1 + j×quelque chose au
dénominateur, pour cela on divise par ω02 le numérateur et le dénominateur :
On a presque la forme souhaitée puisque l’on a
1
H(ω) =
1−
Q15
1
=
2
ω
ω0
jω
+1
ω2 τ
0
1−
On en déduit par identification que u =
ω
ω0
ω
ω0
1+j ω1 τ
et r =
0
2
=
ω
ω0
1
τ ω0
1
1−
u2
1+jru
qui est bien sans dimension puisque
τ est homogène à un temps et ω0 à l’inverse d’un temps.
8. On présente la formule sous forme d’un rapport de polynôme :
|H(u)| =
1
1−
u2
1+jru
=
1 + jru 1 + jru − u2 1 + (ru)2
(1 − u2 )2 + (ru)2
Ainsi lim |H(u)| = 1 (termes de plus bas degrés) et lim |H(u)| = 0 (termes de plus haut
u→∞
u→0
Q16
=
v
u
u
t
degrés).
En 0, H(u) ∼0 1 d’où lim arg(H(u)) = 0 . En +∞ : H(ω) ∼+∞
u→0
1
1
∼+∞
u ∼+∞
u2
1 − jr
1 − jru
−jr
π
⇒ lim arg(H(u)) = − .
u→+∞
u
2
9. Les courbes ressemblent à des courbes de résonance, un moyen d’identifier les courbes est
de trouver comment évolue la valeur du maximum en fonction de r (... ou de tracer les
courbes à la calculatrice ou de prendre des points à la calculatrice en u = 1).
En u = 1 |H(u = 1)| =
en déduit que :
1+r 2
(0)2 +r 2
=1+
1
.
r2
Ainsi, plus r est grand, plus |H(u = 1)| diminue. On
— la courbe (a) correspond à r = 3
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— la courbe (b) correspond à r = 1
— la courbe (c) correspond à r = 1/2
Il ne fallait pas présumer que r était l’équivalent de Q. Le système n’était pas le même
que celui du cours et il faut donc démontrer les choses.
Commentaire des courbes : il y a toujours résonance (compte tenu des limites de |H(u)|, 1
et 0 et du fait que |H(u = 1)| > 1, la courbe admettra toujours un maximum sur ]0, +∞[).
On observe sur ces courbes que la résonance est d’autant plus marquée que r est faible et
que la pulsation correspondant à la résonance se rapproche de ω0 lorsque r → 0.
Ainsi, suivant les réglages de la voiture, il se peut dans certains cas que les oscillations
ressenties par les roues soient fortement amplifiée pour les passagers.
Le filtre formé par ce système ne laisse pas passer les hautes fréquences mais ne modifie
pas les basses fréquences, ce qui correspond a priori 2 à un passe-bas .
Q17
10. On passe d’un sommet d’une bosse au suivant lorsque l’on parcourt horizontalement une
distance λ, or la vitesse horizontale est constante donc le temps T mis pour parcourir cette
distance est simplement T = λ/v. On en déduit ω = 2π/T = 2π λv .
Autre manière de voir les choses : y = a cos(2πx/λ), or la vitesse horizontale de la voiture
étant constante, x(t) = vt. Au niveau de la voiture on a donc : y(t) = a cos(2πvt/λ) =
b cos(ωt). On en déduit par identification puisque les 2 fonctions sont égales pour tout t :
2πvt/λ = ω.
Attention à ne pas dire « On sait que λ = c/f donc ... ». Ce type de relation a été vue
pour une onde dans un milieu non dispersif et non absorbant. Est-ce a priori le cas de
la voiture ?
Q18
Q19
Q20
11. Puisque Y = H(ω)y, on en déduit Ym = |H(ω)|ym où Ym et ym = a représentent les amplitudes de Y et y.
Donc l’amplitude de y étant fixée, il faut minimiser |H(ω)| pour minimiser l’amplitude des
oscillations. D’après le graphique, on a donc intérêt à avoir u et donc ω le plus grand possible, soit v le plus grand possible. Il faut donc rouler à vive allure.
12. Puisque Y = H(ω)y alors en régime sinusoïdal forcé Aacc (ω) dY
= −ω 2 Y = −ω 2 H(ω)y.
dt
On en déduit par passage au module que Aacc (ω) = ω 2|H(ω)|a .
v
u
u
2 2t
ω u
1 + (ru)2
d’où lim Aacc (ω) = 0 et
ω→0
(1 − u2 )2 + (ru)2
sant les équivalents comme précédemment).
L’allure de la courbe est
13. |ω 2 H(u)| =
0
lim Aacc (ω) = +∞ (en utili-
ω→+∞
2. Si r est suffisamment petit, la bande passante à −3 dB du filtre peut être de la forme [ω1 , ω2 ] comme un passebande et non [0, ω2 ] pour un passe-bas, mais la réponse attendue de vous ici est a priori simplement « passe-bas »
sans chercher plus loin. Dans tout les cas, il faut justifier sa réponse.
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|Aacc (u)|
1
Q21
2
3
4
u
5
Q22
14. Compte tenu de la nouvelle courbe, pour minimiser l’accélération il faut rouler à « petit u »,
c’est-à-dire à petite vitesse .
Q23
15. On reconnait un pont diviseur de tension grâce à l’hypothèse sortie ouverte, on en déduit
que :
Us =
Z2 + Z3
Z2 + Z3
Ue ⇒ H =
Z1 + Z2 + Z3
Z1 + Z2 + Z3
16. (Les positions 2 et 3 sont parfaitement interchangeables).
Les impédances sont de la forme R, jLω et 1/jCω, pour les faire apparaitre, on reprend la
fonction de transfert H mécanique et on va diviser le numérateur et le dénominateur par
jω ( pour faire apparaitre du 1/jω et faire disparaitre le ω 2).
H méca (ω) =
jω
+ ω02
τ
+
−ω 2 + jω
τ
ω02
=
1
τ
+
ω02
jω
1
τ
+
jω +
ω02
jω
Le numérateur étant de la forme une constante + 1/jω, mettre la résistance en 2 et
le condensateur en 3 parait une bonne solution. La bobine serait donc en 1 . On aurait alors :
Q24
H élec (ω) =
R+
1
jCω
=
R
L
+
1
jLCω
1
1
jLω + R + jCω
+ jLCω
jω + R
L
tifier les termes dans la question suivante)
(la division par L est faite pour pouvoir iden-
On pouvait aussi deviner la position en étudiant le comportement assymptotique,
mais il vaut mieux ensuite vérifier la fonction de transfert, ce qui servira de toutes
façons à la question suivante.
17. Par identification entre H élec (ω) et H méca (ω) on en déduit les équations
(
Q25
R
L
1
LC
= τ1 = mη
k
= ω02 = m
Une solution possible est donc R = η, L = m et C =
III. M OUVEMENT
1
k
.
D ’ UNE PARTICULE CHARGÉE
D’après CCP PC 2014
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A. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme
Q26
Q27
Q28
1. (a) Appliquons le théorème de la puissance cinétique à la particule dans R galiléen :
dEc
~ · ~v = 0. L’énergie cinétique est donc constante. Comme la masse est
= q(~v ∧ B)
dt
supposée constante, on peut en déduire que la vitesse est constante.
(b) Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la particule dans R galiléen :
v̇x
vx
0
qBvy
~
m~a = q~v ∧ B ⇐⇒ m v̇y = q vy ∧ 0 = −qBvx
v̇z
vz
B
0
Soit en projection sur 0z : mz̈ = 0. Soit ż = cste = 0 car v0z = 0 puis z = cste = 0 car
z0 = 0. La trajectoire est donc plane.
−−→
(c) Le mouvement est circulaire et uniforme. On peut donc écrire OM = R~er , ~v = vθ~eθ et
v2
~a = − R0 ~er . D’où :
−m
2
v02
~ ⇒ m v0 = qvB
~er = q~v ∧ B~ez ⇒ km~ak = kq~v ∧ Bk
R
R
~ = qvB car ~v et B
~ sont orthogonaux (et q > 0). On obtient le rayon :
On a kq~v ∧ Bk
mv0
R = qB .
Q29
Q30
2. (a) Les ions doivent être accélérés entre P1 et P2 . Ils sont soumis à la seule force électrique
entre P1 et P2 . Les particules ont tendance à descendre les énergies potentielles (pensez à
une bille dans un jouet), puisque Ep = qV et que q > 0, les particules de charge positive
ont tendance à descendre les potentiels électriques. Puisque l’on va de P1 vers P2 , c’est
que V (P2 ) < V (P1 ), d’où W = VP1 − VP2 < 0 .
(b) Si la particule de F1 avec une vitesse nulle, elle arrive en F2 avec la vitesse vU 8 telle que,
d’après le théorème de l’énergie mécanique, Em,2 − Em,1 = Wnc = 0 car seule la force
électrostatique s’applique et elle est conservative. D’où Em,2 = Em,1 ⇔ Ec,2 + qV (P2 ) =
Ec,1 + qV (P1 ) ≃ qV (P1 ) d’où 12 mU 8 vU2 8 = q(VP1 − VP2 ) = −qW ⇒ vU 8 =
s
−2eW
mU 8
(c) Les deux isotopes partent du même point, la distance entre les collecteurs d est donc
égale à la différence entre les deux diamètres des trajectoires :
d = DU 8 − DU 5 = 2(RU 8 − RU 5 )
Attention au facteur 2 !, faite un schéma et représentez les rayons.
En utilisant le lien entre la tension W et la valeur de vitesse en F2 , on obtient :
RU 8
Q31
mvU 8
=
=
eB
s
−2W mU 8
eB 2
s
d’où
√
−2mW √
( mU 8 − mU 5 ) d’où
d = 2(RU 8 − RU 5 ) = 2
2
qB
2
2
1,6.10
×(0,02)
×0,1
√
√
A.N : W = − 8×1,66.10
−27 ( 238− 235)2
−19
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qd2 B 2
W =− √
√
8( mU 8 − mU 5 )2
W = −5,1 kV
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B. Le cyclotron
Q32
1. La trajectoire circulaire de longueur L = πR (un demi-tour) est parcourue à la vitesse
(calculée ci-dessus) en un temps :
constante v = eBR
mP
T1/2 =
L
πR
=
v
v
T1/2 =
πmP
qB
Ce temps est indépendant du rayon. On peut donc en déduire que le temps pour effectuer
un demi-tour est toujours le même.
Q33
2. On utilise une tension u(t) alternative sinusoïdale pour que le proton soit accéléré de manière optimale. En effet, il faut à chaque demi-tour changer le sens dans lequel on accélère
la particule, d’où le fait de changer la tension de signe. De plus, on peut prendre un signal
périodique car T1/2 est une constante (indépendante de la vitesse ou du rayon).
Q34
3. On a ainsi
A.N. f =
Q35
1,6.10−19 ×0,1
2π×1,67.10−27
f = 1,5 MHz
4. Le rayon de la trajectoire des protons à la sortie du cyclotron est RS . Or on avait vS =
d’où
ECS = 21 mP vS2 =
A.N. : ECS =
Q36
T
1
1
eB
= T1/2 ⇒ f = =
=
2
T
2T1/2
2πmP
e2 R2S B 2
2mP
(1,6.10−19 ×0,5×0,1)2
2×1,67.10−27
ECS = 1,91.10−14 J = 0,12 MeV
5. Notons 2N le nombre de demi-tours effectués (et donc le nombre d’accélérations subies).
A chaque accélération, le proton gagne : ∆EC = qUm d’où ∆EC,2N = 2NqUm = ECS or
e2 R2 B 2
ECS = 2mSP
N=
2
eB 2 RS2
2mP Um
2
×0,1 ×0,5
= 1,2 tour. Puisque l’on ne peut faire qu’un nombre entier ou
A.N. : N = 1,6.10
2×1,67.10−27 ×105
demi-entier de tour et qu’au bout d’un tour la particule n’est pas encore sortie, alors on fait
1 tour et demi avant de sortir.
−19
Q37
6. (a) Pour une trajectoire circulaire uniforme a =
µ0 e2
Pr =
6πc
Q38
v2
R
!2
v2
R
d’où
= αv 4
avec
α=
µ0 e2
6πcR2
(b) L’énergie rayonnée par le proton dans le cyclotron lors de sa dernière trajectoire demicirculaire de rayon est
E = Pr T1/2
µ0 e2
=
6πcR2
A.N. : Calculons E en eV : E =
Q39
eRS B
mP
eBRS
mP
4
πmP
µ0 e5 B 3 RS2
=
eB
6cm3P
4π10−7 (1,6.10−19 )4 ×0,13 ×0,52
6×3.108 ×(1,67.10−27 )3
= 3,9.10−33 J = 2,5.10−14 eV.
(c) Cette énergie rayonnée est négligeable devant l’énergie cinétique de la particule et il
est donc raisonnable d’estimer que la perte par rayonnement est nulle, c’est à dire que
l’énergie de la particule est constante à l’intérieur d’un "dee".
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