3 La factorisation 3.1 mise en évidence simple (révision) Procédé

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Calcul algébrique
Emmanuel Duran
3 La factorisation
3.1 mise en évidence simple (révision)
Procédé qui permet de factoriser un polynôme en mettant en évidence un facteur commun
à tous les termes.
Exemples :
(
)
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
)6 15 18 3 2 5 6
)5 10 5 2
)12 18 6 2 3
)21 14 28 7 3 2 4
) 2 5 2 2 5
)2 3 1 2 3 2 3 3
2 3 2 3 1 2 3 2 3 3
2 3 2 3 1
a x x x x x x
b x x
c a b ab ab a b
d x y z x y z x y z x y z x yz z
e x x x x x
f x x x x x
x x x x x x
x x x x
+ − = + +
− = −
+ = +
− + = − +
+ + + = + +
− + + − + − + =
− − + + − + − + =
− − + + + +
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
3
2 3 4 1
) 1 3 1
1 3 1
1 3 1
1 3
) 1 2 6 2 3 9
1 2 3 2 3 3
3 2 1 3 2
3 2 2 3 6
3 8
)3 4 1
x x
g x x x
x x x
x x x
x x
h x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
i x x
  =
− +
− − − =
− + − + =
− + − =
− +
+ + − − +
+ + − − + =
+ + − − =
+ + − + =
+ − +
− + +
( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
6 8 3 4 3
3 4 1 2 3 4 3 4 3
3 4 1 2 3
3 4 4 2
3 4 2 2 1
2 3 4 2 1
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
− + − − =
− + + − + − − =
− + + + − =
− − =
− − =
− −

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3.2 La mise en évidence double
Procédé qui permet de factoriser un polynôme en deux étapes. La première étape
consiste à effectuer une simple mise en évidence sur des groupes de termes du polynôme
de façon à faire ressortir un binôme commun à tous les termes. La deuxième étape
consiste à mettre en évidence le binôme commun afin d'obtenir un produit de facteurs.
Exemples :
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
)9 12 6 8
3 3 4 2 3 4
3 4 3 2
)6 15 2 5
3 2 5 2 5
2 5 3
)6 3 10 5 4 2
3 2 5 2 2 2
2 3 5 2
a x xy xy y
x x y y x y
x y x y
b a a ab b
a a b a
a a b
c ax ay bx by x y
a x y b x y x y
x y a b
− + − =
− + − =
− +
− + − =
− + − =
− +
− + − − + =
− + − − − =
− + −

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3.3 La différence de 2 carrés
Une différence de deux carrés est une expression algébrique de la forme:
Toute différence de deux carrés est factorisable. Il suffit d'appliquer l'identité remarquable:
Exemples :
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
)9 4
3 2 3 2
)36 5
6 5 6 5
)2 1 25
2 1 5 2 1 5
2 6 2 4
2 3 2 2
4 3 2
)3 5 2 1
3 5 (2 1) 3 5 (2 1)
5 6
a x y
x y x y
b x
x x
c x
x x
x x
x x
x x
d x x
x x x x
x x
− =
+ −
− =
+ −
+ − =
+ + + − =
+ − =
+ − =
+ −
+ − + =
+ + + + − + =
+
( )
4
25 4
)
16 9
5 2 5 2
4 3 4 3
e x y z
xy z xy z
+
− =
+ +
−
(
)
(
)
+ −

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3.4 Factorisation d'un trinôme par la méthode de la somme et du produit
Avant de factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c on calcule son discriminant :
Si
∆〈
le trinôme ne peut pas se factoriser
Si
0
∆ ≥
le trinôme est factorisable en utilisant la règle suivante :
- Faire une simple mise en évidence (sur tous les termes) si possible
- Chercher deux nombres entiers m et n tel que :
 Leur somme S=b
 Leur produit P=a.c
- Remplacer
ax bx c
+ +
par
ax mx nx c
+ + +
- Factoriser le polynôme par mise en évidence double
Exemple #1
4 9
x x
+ +
4 4.1.9 20
∆ = − = −
⇔
pas factorisable
Exemple #2
2 8
x x
+ −
2 4.1. 8 36
∆ = − − =
⇔
factorisable
On cherche deux entiers m et n tel que :
S=2 et P=1.-8=-8
On trouve m=4 et n=-2
2 8
x x
+ + ⇔
4 2 8
x x x
+ − + ⇔
(en remplaçant bx par mx+nx)
( 4) 2( 4)
x x x
+ − + ⇔
(mise en évidence double)
( 4 )( 2)
x x
+ ⋅ −
∆ = −
4
b ac
La recherche de deux
nombres satisfaisant à la
fois une somme et un
produit donnés remonte
probablement aussi loin
que le III
ème
siècle A.V.J.C.
On retrouve la résolution de
ce problème dans les écrits
d’Euclide et de Diophante.

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Exemple #3
2 15 7
x x
+ +
15 4.2.7 169
∆ = − =
⇔
factorisable
On cherche deux entiers m et n tel que :
S=15 et P=2.7=14
On trouve m=1 et n=14
2 15 7
x x
+ + ⇔
2 1 14 7
x x x
+ + + ⇔
(en remplaçant bx par mx+nx)
(2 1) 7(2 1)
x x x
+ + + ⇔
(mise en évidence double)
(2 1)( 7)
x x
+ ⋅ +
Exemple #4
10 3 18
x x
− −
( 3) 4.10. 18 729
∆ = − − − =
⇔
factorisable Attention
( 3)
b
= −
et non
3
b
= −
On cherche deux entiers m et n tel que :
S=-3 et P=10.-18=-180
On trouve m=-15 et n=12
10 3 18
x x
− − ⇔
10 15 12 18
x x x
− + − ⇔
(en remplaçant bx par mx+nx)
5 (2 3) 6(2 3)
x x x
− + − ⇔
(mise en évidence double)
(2 3)(5 6)
x x
− ⋅ +