3 La factorisation 3.1 mise en évidence simple (révision) Procédé

3 La factorisation
3.1 mise en évidence simple (révision)
Procédé qui permet de factoriser un polynôme en mettant en évidence un facteur commun
à tous les termes.
Exemples :
a)
6 x 4 + 15 x 3 − 18 x 2 = 3 x 2 2 x 2 + 5 x + 6
b)
5 x − 10 = 5 ( x − 2 )
(
)
c)
12a 2b + 18ab 2 = 6ab ( 2a + 3b )
d)
21x 3 y 2 z − 14 x 2 y 3 z 2 + 28 x 2 y 2 z 2 = 7 x 2 y 2 z ( 3 x − 2 yz + 4z )
e)
x ( x + 2 ) + 5 ( x + 2 ) = ( x + 2 )( x + 5 )
f )
( 2x − 3 ) + ( x + 1)( 2 x − 3 ) + ( 2x − 3 )( x + 3 ) =
2
( 2x − 3 )( 2x − 3 ) + ( x + 1)( 2x − 3 ) + ( 2x − 3 )( x + 3 ) =
( 2x − 3 ) ( 2 x − 3 ) + ( x + 1) + ( x + 3 ) =
( 2x − 3 )( 4x + 1)
g)
x ( x − 1) − 3 (1 − x ) =
x ( x − 1) + 3 ( −1 + x ) =
x ( x − 1) + 3 ( x − 1) =
( x − 1)( x + 3 )
h)
( x + 1)( 2x + 6 ) − ( x − 2 )( 3x + 9 )
( x + 1) 2 ( x + 3 ) − ( x − 2 ) 3 ( x + 3 ) =
( x + 3 ) 2 ( x + 1) − 3 ( x − 2 ) =
( x + 3 ) 2x + 2 − 3x + 6  =
( x + 3 )( −x + 8 )
i)
( 3x − 4 )( x + 1) + 6x 2 − 8x + ( 3 x − 4 )( x − 3 ) =
( 3 x − 4 )( x + 1) + 2x ( 3x − 4 ) + ( 3x − 4 )( x − 3 ) =
( 3 x − 4 ) ( x + 1) + 2x + ( x − 3 ) =
( 3 x − 4 )( 4 x − 2 ) =
( 3 x − 4 ) 2 ( 2x − 1) =
2 ( 3 x − 4 )( 2 x − 1)
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3.2 La mise en évidence double
Procédé qui permet de factoriser un polynôme en deux étapes. La première étape
consiste à effectuer une simple mise en évidence sur des groupes de termes du polynôme
de façon à faire ressortir un binôme commun à tous les termes. La deuxième étape
consiste à mettre en évidence le binôme commun afin d'obtenir un produit de facteurs.
Exemples :
a)
9 x 2 − 12 xy 2 + 6 xy − 8 y 3 =
3x 3x − 4 y 2 + 2 y 3x − 4 y 2 =
(
)
(
( 3x − 4 y ) ( 3x + 2 y )
)
2
b)
6a 2 − 15a + 2ab − 5b =
3a ( 2a − 5 ) + b ( 2a − 5 ) =
( 2a − 5 )( 3a + b )
c)
6ax − 3ay + 10bx − 5by − 4 x + 2 y =
3a ( 2 x − y ) + 5b ( 2 x − y ) − 2 ( 2 x − y ) =
( 2x − y )( 3a + 5b − 2 )
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3.3 La différence de 2 carrés
Une différence de deux carrés est une expression algébrique de la forme:
a2 −b2
Toute différence de deux carrés est factorisable. Il suffit d'appliquer l'identité remarquable:
(a + b )(a − b )
Exemples :
a)
9x 2 − 4y 2 =
( 3x + 2 y )( 3x − 2 y )
b)
36x 2 − 5 =
(6x + 5 )(6x − 5 )
c)
( 2x + 1) − 25 =
2
( ( 2x + 1) + 5 ) ( ( 2x + 1) − 5) =
( 2x + 6 )( 2x − 4 ) =
2 ( x + 3) 2 ( x − 2) =
4 ( x + 3 )( x − 2 )
2
2
d)
( 3x + 5 ) − ( 2x + 1) =
( 3 x + 5 ) +(2 x + 1)
 ( 3x + 5 ) −(2x + 1)
=



( 5x + 6 ) ( x + 4 )
25
4
e ) x 2y 4 − z 6 =
16
9
 5 2 2 3  5 2 2 3 
 xy + z  xy + z 
3  4
3 
4
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3.4 Factorisation d'un trinôme par la méthode de la somme et du produit
Avant de factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c on calcule son discriminant :
∆ = b 2 − 4ac
Si ∆⟨0 le trinôme ne peut pas se factoriser
Si ∆ ≥ 0 le trinôme est factorisable en utilisant la règle suivante :
-
Faire une simple mise en évidence (sur tous les termes) si possible
Chercher deux nombres entiers m et n tel que :
Leur somme S=b
La recherche de deux
Leur produit P=a.c
-
Remplacer ax 2 + bx + c par ax 2 + mx + nx + c
-
Factoriser le polynôme par mise en évidence double
x 2 + 4x + 9
Exemple #1
∆ = 42 − 4.1.9 = −20
nombres satisfaisant à la
fois une somme et un
produit donnés remonte
probablement aussi loin
que le IIIème siècle A.V.J.C.
On retrouve la résolution de
ce problème dans les écrits
d’Euclide et de Diophante.
⇔ pas factorisable
x 2 + 2x − 8
Exemple #2
∆ = 22 − 4.1. − 8 = 36 ⇔ factorisable
On cherche deux entiers m et n tel que :
S=2 et P=1.-8=-8
On trouve m=4 et n=-2
x 2 + 2x + 8 ⇔
x 2 + 4x − 2x + 8 ⇔ (en remplaçant bx par mx+nx)
x(x + 4 )
− 2(x + 4 )⇔ (mise en évidence double)
(x + 4 )
(
⋅ x − 2)
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2x 2 + 15x + 7
Exemple #3
∆ = 152 − 4.2.7 = 169 ⇔ factorisable
On cherche deux entiers m et n tel que :
S=15 et P=2.7=14
On trouve m=1 et n=14
2x 2 + 15x + 7 ⇔
2x 2 + 1x + 14x + 7 ⇔ (en remplaçant bx par mx+nx)
x(2x + 1)
+ 7(2 x + 1)⇔ (mise en évidence double)
(2x + 1)
(
⋅ x + 7)
10 x 2 − 3x − 18
Exemple #4
2
∆ =(−3 )
− 4.10. − 18 = 729 ⇔ factorisable
2
Attention b 2 =(−3)
et non b 2 = −32
On cherche deux entiers m et n tel que :
S=-3 et P=10.-18=-180
On trouve m=-15 et n=12
10x 2 − 3x − 18 ⇔
10x 2 − 15x + 12x − 18 ⇔ (en remplaçant bx par mx+nx)
5 x(2 x − 3)
+ 6(2 x − 3 )⇔ (mise en évidence double)
(2x − 3 )
(
⋅ 5x + 6 )
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On peut utiliser la calculatrice graphique pour trouver les entiers m et n
1) Appuyer sur c et ouvrir une page graphique
2) Entrer la fonction f(x)=produit/x
3) Appuyer sur la touche Ctrl et sur la touche T pour obtenir la table de valeurs
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x 2 + 4 xy − 12 y 2
Exemple #5
Attention ce trinôme présente deux variables mais la procédure reste la même.
∆ = 42 − 4.1. − 12 = 64 ⇔ factorisable
On cherche deux entiers m et n tel que :
S=4 et P=1.-12=-12
On trouve m=6 et n=-2
x 2 + 4 xy − 12 y 2 ⇔
x 2 + 6 xy − 2 xy − 12 y 2 ⇔ (en remplaçant bx par mx+nx)
( 6 )2 ( 6 )
(x − 2 y )(⋅ x + 6 y )
x x + y − y x + y ⇔ (mise en évidence double)
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3.5 Trinôme carré parfait
Un trinôme de la forme ax²+bx+c est un carré parfait s’il possède les caractéristiques
suivantes:
- a et c sont des carrés
- b est le double produit des bases de ces carrés
Pour factoriser un trinôme carré parfait:
- On vérifie si le trinôme possède les caractéristiques d’un carré parfait
- On détermine si les facteurs sont des sommes ou des différences selon le signe
du terme médian
- On détermine les bases des carrés
- On écrit directement le carré du binôme
Exemple #1:
x 2 + 4x + 4
- x et 2 sont les bases des carrés
- Le signe du terme médian est positif, les facteurs sont des sommes
2
x 2 + 4 x + 4 =(x + 2)
Exemple #2:
9 x 2 − 24 xy + 16 y 2
- 3x et 4y sont les bases des carrés
- Le signe du terme médian est négatif, les facteurs sont des différences
2
9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 =(3 x − 4 y )
Exemple #3:
2
4 x 2 + 36 x + 81 =(2 x + 9 )
Exemple #4:
2
49 x 2 − 14 x + 1 =(7 x − 1)
Exemple #5 :
2
− x 2 + 6 x − 9 = −(
1 x 2 − 6 x + 9)= −(
1 x − 3)
Attention : Dans un carré parfait seul le terme médian peut être négatif
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3.6 Complétion du trinôme carré parfait
Certains trinômes sont très facilement décomposables, d’autres le sont difficilement et
d’autres ne le sont pas du tout.
Pour venir à bout de trinômes récalcitrants, les anciens utilisaient une technique, encore
utile aujourd’hui, appelée “la complétion de carré”. (on connaissait la méthode -1700
AVJC)
Exemple le trinôme 18x 2 − 24 x + 1 est factorisable car ∆ = 504 cependant on ne peut
trouver deux nombre dont S=-24 et P=18. Il faut donc utiliser la méthode de la complétion
de carré.
Pour factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c par la technique de la complétion de
carré:
- On place a, le coefficient de x², en évidence.
- On ajoute et on retranche la quantité nécessaire pour obtenir un trinôme carré
b2
parfait. Cette quantité est
4
- On l’écrit sous la forme d’une différence de carrés.
- On factorise.
Exemple #1 :
x 2 + 2 x - 195
⇔ x 2 + 2 x + 1- 1 - 195
2
⇔(x + 1)196
2
⇔(x + 1)142
⇔(
( x + 1)+ 14 )((x + 1)-14 )
Des tablettes d’argile remontant
aussi loin qu’au roi babylonien
Hammurabi (vers -1700) laissent
croire que déjà, à cette époque, on
connaissait la méthode de
“complétion de carré”.
⇔ ( x + 15 )( x − 13 )
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Exemple #3 :
Exemple #2 :
2 x − 24 x + 54
2
⇔ 2 x − 12 x + 27
(
⇔ 2(x
2
2
3x 2 − 8x + 5
)
− 12 x + 36 − 36 + 27
)
⇔ 2 ( x − 6) − 9
2
)
(
⇔ 2 (( x − 6) − 3 )
2
2
⇔ 2 ( x − 6 + 3 )( x − 6 − 3 )
(
⇔ 2 ( x − 3 )( x − 9 )
)
Exemple #4 :
6x 2 − 5x − 6


5
⇔ 6  x 2 − x − 1
6




5
25
25
⇔ 6 x 2 − x +
−
− 1
6
144 144 


8
5
⇔ 3 x 2 − x + 
3
3


8
16 16 5 
⇔ 3 x 2 − x +
−
+ 
3
9
9 3

2

4 1
⇔ 3 x −  − 

3 9


2
2

4  1 
⇔ 3 x −  −   

3 3 



4 1 
4 1 
⇔ 3   x − +  x − −  
3 3 
3 3 


5
⇔ 3 ( x − 1)  x − 
3

⇔ ( x − 1)( 3 x − 5 )
2

5  169 

⇔ 6 x −  −

12  144 


2
2

5   13  
⇔ 6 x −  −   

12   12  



5 13 
5 13  
⇔ 6 x −
+
− 
 x −
12 12 
12 12  


2 
3
⇔ 6  x +  x − 
3 
2

⇔ ( 3 x + 2 )( 2 x − 3 )
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