Machine asynchrone diphasée Une machine électrique bipolaire (p = 1) est constituée d’un stator bobiné diphasé et d’un rotor bobiné monophasé (voir fig. 1). L’entrefer est constant ; le matériau ferromagnétique est non saturé, sa perméabilité est constante ; les f.m.m. sont à répartition spatiale sinusoïdale. Notation Ls Lr M Rr : inductance propre des phases statoriques (identiques) ; : inductance propre de la phase rotorique ; : maximum de l’inductance mutuelle entre la phase rotorique et une phase statorique. : résistance de la phase rotorique. axe de la phase 1 statorique axe de la phase rotorique is1 ir axe de la phase 2 statorique α is2 O Figure 1 Disposition des enroulements de la machine de la machine bipolaire. Rappels − L’inductance mutuelle entre deux phases est une fonction cosinusoïdale de l’angle entre leurs axes. − L’énergie électromagnétique Wem emmagasinée dans la machine a pour expression : 1 Wem = [i]t [ L(α )][i] 2 t avec [i] = [is1 , is 2 , ir ] Ls , [ L(α )] = M 21 M r1 M12 Ls Mr2 M1r M 2r Lr M 21 = M12 , M1r = M r1 , M 2r = M r 2 − La relation entre les flux d’induction totalisés dans les phases et leurs courants s’écrit par définition : [φ ] = [L(α )][i] avec [φ ] = [φ s1 , φ s 2 , φr ]t − Couple électromagnétique Ce exercé sur le rotor : Ce = ∂Wem ∂α à courants constants QUESTION 1 Établir les expressions des inductances mutuelles M12 , M1r , M 2r en fonction de M et α ; en déduire celle de Ce en fonction de M , α , is1 , is2 , ir . QUESTION 2 Les phases statoriques sont alimentées par un convertisseur statique et les courants is1 , is2 , asservis à des références sinusoïdales ont pour expressions respectives : is1 = Is cos(ω s t ), is 2 = Is cos(ω s t − (π / 2 )) 2.1Montrer qu’on peut associer aux courants statoriques une force magnétomotrice tournante d’amplitude constante proportionnelle à Is . Quelle est sa vitesse angulaire de rotation ? 2.2On dispose un court-circuit aux bornes de la phase rotorique, supposée tourner à la vitesse angulaire Ω constante (α = Ω t ) . Déterminer la relation différentielle dont le courant rotorique ir est solution. En déduire, pour le régime permanent, son expression instantanée. Montrer que : ir = Ir sin(ω r t − ψ r ) , avec ω r = ω s − Ω Préciser les expressions de Ir et ψ r . 2.3Exprimer le couple électromagnétique en fonction de M , ir , Is , ω s , Ω , . Montrer qu’il est la somme d’un couple moyen Ce et d’un couple fluctuant sinusoïdal de pulsation 2ω r . Tracer le graphe de Ce en fonction de ω r , quelles sont les coordonnées du maximum ? A quel type de fonctionnement correspondent les valeurs négatives de ω r ? Quelle modification faudrait-il apporter au rotor pour supprimer le couple fluctuant ? CORRIGE SUCCINCT QUESTION 1 cos(α ) ; M 2 r = M sin(α ) ; M12 = M 21 = 0 . • M1r = M cos(α ) is1 Ls M 0 1 sin(α ) is2 Ls M 0 • Wem = [is1 is2 ir ] 2 cos(α ) M sin(α ) M ir Lr ∂Wem ir [− is1 sin(α ) + is2 cos(α )] • Ce = = M ∂α à courants cons tan ts QUESTION 2 2.1 Chaque phase statorique parcourue par un courant sinusoïdal développe une force magnétomotrice (f.m.m.) à répartition spatiale sinusoïdale (monophasée ou vibrante), représentée par un vecteur porté par l’axe de la phase dont la mesure algébrique est proportionnelle au courant : ε1 = k. is1 , ε2 = k . is2 La f.m.m. en un point M de l’entrefer repéré par l’angle θ par rapport à l’axe de la phase 1 statorique & & & résulte de la somme des projections des vecteurs f.m.m. ε1 et ε2 sur l’axe OM , soit : ε (θ , t ) = k [is1 cos(θ ) + is 2 cos(θ − (π / 2))] = kIs cos(ω s t − θ ) C’est l’expression caractéristique de la propagation d’une onde sinusoïdale le long de l’entrefer à la vitesse ω s . dφ 2.2 Au rotor la f.e.m. induite r est égale à − Rr ir , d’où : dt d Rr ir + [ Mi s1 cos(α ) + Mis 2 sin(α ) + Lr ir ] = 0 , dt di sωr sin(ω r t ) , on déduit : soit : Rr ir + Lr r = MI dt sωr MI Ir = , ψ r = arctan( Lrωr / Rr ) Rr2 + L2rωr2 2 Is2ωr M 2.3 Ce = Mir I s sin((ω s − Ω )t ) = [cos(ψ r ) − cos( 2ωr t − ψ r )] , Rr2 + L2rωr2 2 Is2 Rrω r M Rr avec cos(ψ r ) = , d’où Ce = 2 Rr + L2rω r2 Rr2 + L2rω r2 Ce 0 CeM ω rM ω r ωrM = Rr / Lr 2 Is2 2 Is2 M M ωrM = CeM = 2 Rr 2 Lr pour ωr < 0 , la machine fonctionne en frein pour le système mécanique accouplé. Afin de supprimer le couple fluctuant, il suffit d’ajouter au rotor une deuxième phase en quadrature spatiale sur la première ; alors le couple fluctuant associé à la deuxième phase s’oppose au premier.