Machine asynchrone d..

Machine asynchrone diphasée
Une machine électrique bipolaire (p = 1) est constituée d’un stator bobiné diphasé et d’un rotor bobiné
monophasé (voir fig. 1). L’entrefer est constant ; le matériau ferromagnétique est non saturé, sa perméabilité est
constante ; les f.m.m. sont à répartition spatiale sinusoïdale.
Notation
Ls: inductance propre des phases statoriques (identiques) ;
Lr: inductance propre de la phase rotorique ;
M: maximum de l’inductance mutuelle entre la phase rotorique et une phase statorique.
Rr: résistance de la phase rotorique.
axe de la phase 1
statorique
axe de la phase 2
statorique
axe de la
phase rotorique i
i
i
α
αα
α
r
s1
s2
O
Figure 1 Disposition des enroulements de la machine de la machine bipolaire.
Rappels
− L’inductance mutuelle entre deux phases est une fonction cosinusoïdale de l’angle entre leurs axes.
− L’énergie électromagnétique Wem emmagasinée dans la machine a pour expression :
[][ ][]
WiLi
em t
=1
2()
α
avec
[] [ ]
iiii
ss r
t
=12
,, ,
[]
L
LMM
MLM
MM L
sr
sr
rrr
() α =
12 1
21 2
12
MMMMMM
rr rr21 12 1 1 2 2
===
,,
− La relation entre les flux d’induction totalisés dans les phases et leurs courants s’écrit par définition :
[] [ ][]
φα =Li()
avec
[] [ ]
φφφφ =ss r
t
12
,,
− Couple électromagnétique Ce exercé sur le rotor :
CW
eem
=
∂
∂α
à courants constants

QUESTION 1
Établir les expressions des inductances mutuelles MMM
rr12 1 2
,, en fonction de 
M et
α
; en déduire
celle de Ce en fonction de
,, , ,Miii
ss r
α
12 .
QUESTION 2
Les phases statoriques sont alimentées par un convertisseur statique et les courants ii
ss12
,, asservis à des
références sinusoïdales ont pour expressions respectives :
iI ti I t
ss ss s s12 2==−
cos( ), cos( ( / ))
ωωπ
2.1Montrer qu’on peut associer aux courants statoriques une force magnétomotrice tournante d’amplitude
constante proportionnelle à 
Is. Quelle est sa vitesse angulaire de rotation ?
2.2On dispose un court-circuit aux bornes de la phase rotorique, supposée tourner à la vitesse angulaire
Ω
constante ()
α = Ω
t.
Déterminer la relation différentielle dont le courant rotorique ir est solution. En déduire, pour le régime
permanent, son expression instantanée. Montrer que :
iI t
rr r r
=−
sin( )
ωψ
, avec
ωω
rs
=− Ω
Préciser les expressions de 
Ir et
ψ
r.
2.3Exprimer le couple électromagnétique en fonction de
,, ,,,Mi I
rs s
ωΩ
.
Montrer qu’il est la somme d’un couple moyen Ce et d’un couple fluctuant sinusoïdal de pulsation 2
ω
r.
Tracer le graphe de Ce en fonction de
ω
r, quelles sont les coordonnées du maximum ? A quel type de
fonctionnement correspondent les valeurs négatives de
ω
r ?
Quelle modification faudrait-il apporter au rotor pour supprimer le couple fluctuant ?

CORRIGE SUCCINCT
QUESTION 1
• MM M M MM
rr1 2 12 21 0
====
cos( ) ; sin( ) ;
αα
.
•
[]
Wiii
LM
LM
MM L
i
i
i
em s s r
s
s
r
s
s
r
=
1
2
0
0
12
1
2
cos( )
sin( )
cos( ) sin( )
α
α
αα
• []
CWMi i i
e
em
à courants cons ts
rs s
==−+
∂
∂α αα
tan
sin( ) cos( )
12
QUESTION 2
2.1 Chaque phase statorique parcourue par un courant sinusoïdal développe une force magnétomotrice
(f.m.m.) à répartition spatiale sinusoïdale (monophasée ou vibrante), représentée par un vecteur porté
par l’axe de la phase dont la mesure algébrique est proportionnelle au courant :
εε
112 2
==
ki ki
ss
., .
La f.m.m. en un point M de l’entrefer repéré par l’angle
θ
par rapport à l’axe de la phase 1 statorique
résulte de la somme des projections des vecteurs f.m.m. &
ε
1 et &
ε
2 sur l’axe OM
&, soit :
[]
εθ θ θ π
(,) cos() cos( ( / ))tki i
ss
=+−
12 2 = kI t ss
cos( )
ωθ
−
C’est l’expression caractéristique de la propagation d’une onde sinusoïdale le long de l’entrefer à la
vitesse
ω
s.
2.2 Au rotor la f.e.m. induite d
dt
r
φ
est égale à −Ri
rr
, d’où :
[]
Ri d
dt Mi Mi L i
rr s s rr
+++=
cos( ) sin( )
12 0
αα
,
soit : Ri L di
dt MI t
rr r
r
sr r
+=
 sin( )
ωω
, on déduit :
()
 ,arctan /IMI
RL LR
r
sr
rrr
rrrr
=+=
ω
ωψω
222
2.3
[]
CMiI t MI
RL t
ers s
sr
rrr
rrr
=−=
+−−
sin(( ) )  cos( ) cos( )
ωω
ωψωψΩ
22
222 2,
avec cos( )
ψω
r
r
rrr
R
RL
=+
222
, d’où CMIR
RL
e
srr
rrr
=+
22
222
ω
ω
ω
ω
rM r r
eM
s
r
rM
s
r
RL
CMI
R
MI
L
=
==
/
2222
22
pour
ω
r<0, la machine fonctionne en frein pour le système
mécanique accouplé.
Afin de supprimer le couple fluctuant, il suffit d’ajouter au rotor une deuxième phase en
quadrature spatiale sur la première ; alors le couple fluctuant associé à la deuxième phase s’oppose au
premier.
C
ω
ωω
ω
e
eM
r
rM
0
C
ω
ωω
ω