Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD9. Convergence en loi.
1. Supposons que E[X2]=1et E[X4]K < . Montrer que pour chaque y < 1il
existe une constante cy,K >0telle que P[|x|> y]cy,K .
Solution de l’exercice 1. Cauchy-Schwartz inequality implies that
E[X21{|X|>y}]2E[X4]P[|X|> y]KP[|X|> y].
Further, we have
E[X21{|X|>y}] = E[X2]E[X21{|X|≤y}]1y2.
Therefore we have P[|X|> y](1y2)2
K.
2. Soient Ynune suite de variables aléatoires. Supposons que E[Yn]1et E[Y2
n]1.
Montrer que Yn1en loi.
Solution de l’exercice 2. By Chebyshev inequality, we have
P|YnE[Yn]|> E[Y2
n](E[Yn])2
20.
Therefore, YnE[Yn]0in probability, and thus Yn1in probability.
3. Soient (Xn)nNune suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace
(Ω,F,P)et fune application continue de Rdans R. On suppose que (Xn)nNconverge
en loi vers une variable aléatoire X.
Montrer que la suite (f(Xn))nNconverge en loi vers f(X).
Solution de l’exercice 3. Tout d’abord, f(Xn)est bien une variable aléatoire comme
composée de la variable aléatoire Xnet de l’application fqui est continue. Si ϕest une
application de Rdans Rcontinue bornée, remarquons que ϕfest également continue
bornée. L’hypothèse de convergence en loi de la suite (Xn)nNvers Ximplique lim E[ϕ
f(Xn)] = E[ϕf(X)] que l’on peut écrire lim E[ϕ(f(Xn))] = E[ϕ(f(X))]. Ceci étant
valable pour toute ϕcontinue bornée, (f(Xn))nNconverge en loi vers f(X).
4. a. Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une
variable aléatoire réelle constante a. Montrer que la convergence a lieu aussi en probabilité.
1
b. Soit (Xn)n1une suite indépendante de variables aléatoires réelles de même loi de
Cauchy de paramètre 1. Soit Sn=Pn
k=1 Xk. Etudier les convergences en probabilité et
en loi des suites (1
nSn)n1,(1
nSn)n1et (1
n2Sn)n1.
Indication : la fonction caractéristique de la loi de Cauchy est donnée par φ(t) = e−|t|.
Solution de l’exercice 4. a. Soit ε > 0et fεdéfinie par fε(x) = ]aε,a+ε[c(x) + 1
ε|x
a|]aε,a+ε[. Cette fonction est continue bornée, donc la suite (E[fε(Xn)])n1converge vers
E[fε(a)] = 0. Comme
P(|Xnaε|) = E[]aε,a+ε[c(Xn)] E[fε(Xn)],
(Xn)n1converge en probabilité vers a.
b. La fonction caractéristique de 1
nSnest donnée par
φ(t) = E[e
it
nSn] = E[e
it
nX1]n
=e−|t|n,
car les Xnsont indépendantes. Comme la suite e−|t|nn1tend vers 1{0}(t)qui définit
une application non continue en 0. Donc la limite des fonctions caractéristiques n’est pas
une fonction caractéristique, et (1
nSn)n1ne converge ni en loi, ni en probabilité.
La fonction caractéristique de 1
nSnest φ(t) = e−|t|. La suite (1
nSn)n1converge donc en
loi vers une variable aléatoire de loi de Cauchy. Mais elle ne converge pas en probabilité. En
effet, sinon, la suite (Sn
nS2n
2n)n1convergerait en probabilité, donc aussi en loi, vers 0. Or,
la fonction caractéristique de Sn
nS2n
2nest donnée par φ(t) = E[eit
2n(X1+···+Xn(Xn+1+···+X2n))] =
e−|t|, qui ne converge pas vers 1, fonction caractéristique de la variable aléatoire 0.
La fonction caractéristique de 1
n2Snest φ(t) = e|t|
nqui converge vers 1. Ainsi, la suite
(1
n2Sn)n1converge en loi et donc en probabilité vers 0.
5. Soient Xune variable aléatoire réelle, (Xn)nNet (Yn)nNdeux suites de v.a.r.
a. Montrer que pour tout tR,a > 0et nN,
|φXn+Yn(t)φXn(t)| ≤ 2P(|Yn|> a) + E[]−∞,a](|Yn|)|eitYn1|].
b. Montrer que si (Xn)nNconverge en loi vers Xet (Yn)nNconverge en loi vers 0,
alors la suite (Xn+Yn)nNconverge en loi vers X.
c. Montrer que la convergence en loi de (Xn)nNvers Xn’implique pas la convergence
en loi de (XnX)nNvers 0.
Solution de l’exercice 5.
a) Pour tous tR,a > 0et nN,
|φXn+Yn(t)φXn(t)|=|E[eitXn(eitYn1)]| ≤ E[|eitYn1|]
=Z{|Yn|>a}
|eitYn1|dP+Z{|Yn|≤a}
|eitYn1|dP
2P(|Yn|> a) + Z{|Yn|≤a}
|eitYn1|dP
2
b) En fait, Ynconverge en probabilité vers 0. Soit ε > 0. Il existe a0>0tel que
pour ya0,|eit 1| ≤ ε. De plus, il existe n0Ntel que pour tout nn0,
P(|Yn|> a0)ε. Donc, |φXn+Yn(t)φXn(t)| ≤ 3ε. La convergence en loi de (Xn)nN
vers Ximplique qu’il existe n1(que l’on peut prendre plus grand que n0), tel que,
pour tout nn1,|φXn(t)φX(t)| ≤ ε. On a montré que pour tout nn1,
|φXn+Yn(t)φX(t)| ≤ 4εd’où la convergence en loi demandée.
Pour éviter les on peut utiliser la notion de limite supérieure. Pour tout apositif
on a :
|φXn+Yn(t)φX(t)| ≤| φXn+Yn(t)φXn(t)|+|φXn(t)φX(t)|
2P[|Yn|≥ a] + E[11[0,a](|Yn|)|eitYn1|]+ |φXn(t)φX(t)|
2P[|Yn|≥ a] + sup
x[0,a]
|eitx 1|+|φXn(t)φX(t)|
or la limite supérieur d’une somme est plus petite que la somme des limites supé-
rieures et si une suite converge sa limite supérieure est égale à sa limite donc pour
tout réel apositif :
limn|φXn+Yn(t)φX(t)| ≤ 2limnP[|Yn|≥ a] + sup
x[0,a]
|eitx 1|+limn|φXn(t)φX(t)|
= sup
x[0,a]
|eitx 1|,
la dernière égalité provenant de la convergence en loi de Xnvers Xet de la conver-
gence en probabilité de Ynvers 0. Ainsi pour tout aréel positif :
limn|φXn+Yn(t)φX(t)|≤ sup
x[0,a]
|eitx 1|,
en faisant tendre avers 0on obtient donc limn|φXn+Yn(t)φX(t)|= 0.
Or (|φXn+Yn(t)φX(t)|)nest une suite de termes positifs donc elle est convergente
et converge vers 0.
c) On prend Xde loi symétrique (Xa la même loi que X), et on pose Xn=X.
Alors Xnconverge en loi vers X, mais XnXconverge en loi vers 2X.
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