TD9. Convergence en loi. - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD9. Convergence en loi.
1. Supposons que E[X2]=1et E[X4]≤K < ∞. Montrer que pour chaque y < 1il
existe une constante cy,K >0telle que P[|x|> y]≥cy,K .
Solution de l’exercice 1. Cauchy-Schwartz inequality implies that
E[X21{|X|>y}]2≤E[X4]P[|X|> y]≤KP[|X|> y].
Further, we have
E[X21{|X|>y}] = E[X2]−E[X21{|X|≤y}]≥1−y2.
Therefore we have P[|X|> y]≥(1−y2)2
K.
2. Soient Ynune suite de variables aléatoires. Supposons que E[Yn]→1et E[Y2
n]→1.
Montrer que Yn→1en loi.
Solution de l’exercice 2. By Chebyshev inequality, we have
P|Yn−E[Yn]|> ≤E[Y2
n]−(E[Yn])2
2→0.
Therefore, Yn−E[Yn]→0in probability, and thus Yn→1in probability.
3. Soient (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace
(Ω,F,P)et fune application continue de Rdans R. On suppose que (Xn)n∈Nconverge
en loi vers une variable aléatoire X.
Montrer que la suite (f(Xn))n∈Nconverge en loi vers f(X).
Solution de l’exercice 3. Tout d’abord, f(Xn)est bien une variable aléatoire comme
composée de la variable aléatoire Xnet de l’application fqui est continue. Si ϕest une
application de Rdans Rcontinue bornée, remarquons que ϕ◦fest également continue
bornée. L’hypothèse de convergence en loi de la suite (Xn)n∈Nvers Ximplique lim E[ϕ◦
f(Xn)] = E[ϕ◦f(X)] que l’on peut écrire lim E[ϕ(f(Xn))] = E[ϕ(f(X))]. Ceci étant
valable pour toute ϕcontinue bornée, (f(Xn))n∈Nconverge en loi vers f(X).
4. a. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une
variable aléatoire réelle constante a. Montrer que la convergence a lieu aussi en probabilité.
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b. Soit (Xn)n≥1une suite indépendante de variables aléatoires réelles de même loi de
Cauchy de paramètre 1. Soit Sn=Pn
k=1 Xk. Etudier les convergences en probabilité et
en loi des suites (1
√nSn)n≥1,(1
nSn)n≥1et (1 n2Sn)n≥1.
Indication : la fonction caractéristique de la loi de Cauchy est donnée par φ(t) = e−|t|.
Solution de l’exercice 4. a. Soit ε > 0et fεdéfinie par fε(x) = ]a−ε,a+ε[c(x) + 1
ε|x−
a|]a−ε,a+ε[. Cette fonction est continue bornée, donc la suite (E[fε(Xn)])n≥1converge vers
E[fε(a)] = 0. Comme
P(|Xn−a≥ε|) = E[]a−ε,a+ε[c(Xn)] ≤E[fε(Xn)],
(Xn)n≥1converge en probabilité vers a.
b. La fonction caractéristique de 1
√nSnest donnée par
φ(t) = E[e
it
√nSn] = E[e
it
√nX1]n
=e−|t|√n,
car les Xnsont indépendantes. Comme la suite e−|t|√nn≥1tend vers 1{0}(t)qui définit
une application non continue en 0. Donc la limite des fonctions caractéristiques n’est pas
une fonction caractéristique, et (1
√nSn)n≥1ne converge ni en loi, ni en probabilité.
La fonction caractéristique de 1
nSnest φ(t) = e−|t|. La suite (1 nSn)n≥1converge donc en
loi vers une variable aléatoire de loi de Cauchy. Mais elle ne converge pas en probabilité. En
effet, sinon, la suite (Sn
n−S2n 2n)n≥1convergerait en probabilité, donc aussi en loi, vers 0. Or,
la fonction caractéristique de Sn
n−S2n 2nest donnée par φ(t) = E[eit
2n(X1+···+Xn−(Xn+1+···+X2n))] =
e−|t|, qui ne converge pas vers 1, fonction caractéristique de la variable aléatoire 0.
La fonction caractéristique de 1
n2Snest φ(t) = e−|t|
nqui converge vers 1. Ainsi, la suite
(1
n2Sn)n≥1converge en loi et donc en probabilité vers 0.
5. Soient Xune variable aléatoire réelle, (Xn)n∈Net (Yn)n∈Ndeux suites de v.a.r.
a. Montrer que pour tout t∈R,a > 0et n∈N,
|φXn+Yn(t)−φXn(t)| ≤ 2P(|Yn|> a) + E[]−∞,a](|Yn|)|eitYn−1|].
b. Montrer que si (Xn)n∈Nconverge en loi vers Xet (Yn)n∈Nconverge en loi vers 0,
alors la suite (Xn+Yn)n∈Nconverge en loi vers X.
c. Montrer que la convergence en loi de (Xn)n∈Nvers Xn’implique pas la convergence
en loi de (Xn−X)n∈Nvers 0.
Solution de l’exercice 5.
a) Pour tous t∈R,a > 0et n∈N,
|φXn+Yn(t)−φXn(t)|=|E[eitXn(eitYn−1)]| ≤ E[|eitYn−1|]
=Z{|Yn|>a} |eitYn−1|dP+Z{|Yn|≤a} |eitYn−1|dP
≤2P(|Yn|> a) + Z{|Yn|≤a} |eitYn−1|dP
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b) En fait, Ynconverge en probabilité vers 0. Soit ε > 0. Il existe a0>0tel que
pour y≤a0,|eit −1| ≤ ε. De plus, il existe n0∈Ntel que pour tout n≥n0,
P(|Yn|> a0)≤ε. Donc, |φXn+Yn(t)−φXn(t)| ≤ 3ε. La convergence en loi de (Xn)n∈N
vers Ximplique qu’il existe n1(que l’on peut prendre plus grand que n0), tel que,
pour tout n≥n1,|φXn(t)−φX(t)| ≤ ε. On a montré que pour tout n≥n1,
|φXn+Yn(t)−φX(t)| ≤ 4εd’où la convergence en loi demandée.
Pour éviter les on peut utiliser la notion de limite supérieure. Pour tout apositif
on a :
|φXn+Yn(t)−φX(t)| ≤| φXn+Yn(t)−φXn(t)|+|φXn(t)−φX(t)|
≤2P[|Yn|≥ a] + E[11[0,a](|Yn|)|eitYn−1|]+ |φXn(t)−φX(t)|
≤2P[|Yn|≥ a] + sup
x∈[0,a]
|eitx −1|+|φXn(t)−φX(t)|
or la limite supérieur d’une somme est plus petite que la somme des limites supé-
rieures et si une suite converge sa limite supérieure est égale à sa limite donc pour
tout réel apositif :
limn|φXn+Yn(t)−φX(t)| ≤ 2limnP[|Yn|≥ a] + sup
x∈[0,a]
|eitx −1|+limn|φXn(t)−φX(t)|
= sup
x∈[0,a]
|eitx −1|,
la dernière égalité provenant de la convergence en loi de Xnvers Xet de la conver-
gence en probabilité de Ynvers 0. Ainsi pour tout aréel positif :
limn|φXn+Yn(t)−φX(t)|≤ sup
x∈[0,a]
|eitx −1|,
en faisant tendre avers 0on obtient donc limn|φXn+Yn(t)−φX(t)|= 0.
Or (|φXn+Yn(t)−φX(t)|)nest une suite de termes positifs donc elle est convergente
et converge vers 0.
c) On prend Xde loi symétrique (Xa la même loi que −X), et on pose Xn=−X.
Alors Xnconverge en loi vers X, mais Xn−Xconverge en loi vers −2X.
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