05 Puissances et racines

- 1 - Puissances et racines
A. Arnautovic
5. Puissances et racines
§ 5.1 Puissances d’exposant positif
Il arrive souvent qu’on multiplie un entier plusieurs fois pas lui-même.
Par exemple : 222222 ⋅⋅⋅⋅⋅ est le produit de 6 facteurs égaux à 2.
La notation « puissance » permet d’écrire plus brièvement ce produit.
On note :
6
2222222 =⋅⋅⋅⋅⋅
Qui se lit : « 2 à la puissance 6 » ou plus simplement : « 2 puissance 6 »
D’une manière plus générale, pour un nombre a et un entier n > 0, on note :
n facteurs
n
aaa a a⋅⋅⋅ ⋅=…
 On appelle la puissance n
n
aème de a.
Ce symbole se lit : « a puissance n ».
Dans le symbole , l’entier n s’appelle l’exposant et le nombre a
s’appelle la base.
n
a
Remarques :
1) Par définition, on écrit : si
01a=0a>
2) , on n’écrit pas l’exposant 1.
1
a=a
3)
0
0?=
Exercice 1 :
Calculer :
a) e) =
4
39 1
=
i) =+ 23 32
b) f) =
2
100 2 0,1
=
j) =⋅
23 32
c) g) =− 2 )5( 3 400
=
k)
0
4=
d) h) = l) =
2
12 −3 )2( =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛4
3
2
Exercice 2 :
Calculer :
a) e) i)
3
30 =2 0,01 50 (1)−=
b) f)
2
600 =3 0,2
=
j)
51
(1)−=
c) g)
4
(3)−= 3 0,3
=
k)
1
40 =
d) h)
2
70 =0 35
=
l)
3
5
4
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

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A. Arnautovic
Exercice 3 :
Calculer :
a)
()
23
43 2−− − =
b)
22
( 4) ( 2)( 3) ( 2)−−−−−−
3
=
c)
233
(9) (3) (5)−−−+−=
d)
3
(2)16 (4) (2)(8)−⋅ −− −−⋅−=
§ 5.2 Propriétés des puissances
()mn mn
aa a
+
⋅= ()
mmn
n
aa
a
−
= ( 0a
≠
) ()
mn mn
aa
⋅
=
()
nn
ab a b⋅=⋅
n
nn
n
aa
bb
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠ (b0
≠
) 1
nn
aa
−= ( 0a
≠
)
Exemples :
; 85
3
44
4
=
;
(
)
3
5
77
15
=
; 33
3
44
55
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠ ; 22
1
55
−= 624 333 =⋅
Exercice 4 :
Compléter par les exposants manquants :
1) 5) 9)
(⋅
6... 8
55 5⋅= 22...... 777 =⋅ ......4 )2.0()2.0()2.0 =
=⋅ −=−−
⋅=⋅⋅⋅
2) 6) 10 10) (⋅
6 4 ....
22 2⋅= 32..... 1010 .......53 )2()2()2
3) 7) 11)
....23 222 =+ .........5442 322232 ⋅=⋅⋅⋅ 96........43 737337 ⋅=⋅⋅⋅
4) 8) 3 12)
96.........52 323233 ⋅=⋅⋅⋅ 57....4.....2 32223 47....4.....7 323322 ⋅=⋅⋅⋅
Exercice 5 :
Compléter par l’exposant manquant :
1) 4)
3ba ⋅⋅ ....53 aaa =⋅ ........242 baaa ⋅=⋅
baba ⋅=⋅⋅
yxxy ⋅=⋅⋅
2) 5)
5ba ⋅
.....24 xxxx =⋅⋅ 582.........
3) 6)
5yx ⋅ ....025 yyyyy =⋅⋅⋅ 46....4....

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A. Arnautovic
Exercice 6 :
Ecrire aussi simplement que possible chacune des expressions, sans exposant négatif :
a) f) =⋅ −35 22=
π
π
5
3
b) 6
5
(0,4)
(0,4) = g)
=⋅ −2 )95(
c) h) =
2
(3 7)+= −13 )5(
d) i)
=
−32 )4( 4
3
2
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
e) j) =⋅ −53 1010 0 0
=
Exercice 7 :
Ecrire aussi simplement que possible chacune des expressions, sans exposant négatif :
a) e) =−⋅−⋅− 43 )5()5()5( =⋅ 432 )77(
b) f)
23
(3)=−⋅+⋅−⋅+ 324 )2()3()2()3( 4 (3)(3) (3)
−
⋅− ⋅− ⋅− =
c) 7 g) =⋅ 432 )7(
[
]
=⋅)
2
432 35(
4)44 5332
d) h)
⋅()( =⋅⋅ )33(3 425 =⋅

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A. Arnautovic
§ 5.3 Les puissances de 10 & l’écriture scientifique
Les puissances de 10 sont souvent utilisées par les scientifiques pour exprimer des nombres très
grands ou très petits. L’exposant est un nombre positif, négatif ou nul.
3
2
1
0
1
2
3
10 1000
10 100
10 10
10 1
1
10 0,1 10 1
10 0,01 100
1
10 0,001 1000
−
−
−
=
=
=
=
==
==
==
On observe que :
0nsi00110
zérosn
n>= 
…
0nsi010,0
10
1
10
virgule
laaprès
chiffresn
n
n>==
−
…
Forme caractéristique ou notation scientifique ou puissances de 10 :
Tout nombre réel X peut toujours s’écrire sous la forme d’un produit de deux facteurs dont l’un est
une puissance de 10 :
p
10nX ⋅= où 10n1
<
≤
et p est un nombre entier
Cette notation se rencontre très couramment en sciences et en technique pour exprimer des nombres
très grands ou très petits.
Par exemple : [kg] ;
24
610
terre
M=⋅ 27
1,672 10
proton
M
−
=⋅
[kg]
Exercice 8 :
Écrire les nombres suivants en notation scientifique :
1) 31,02 = 5) 14,476 =
2) 341,5 = 6) 0,023056 =
3) 10000 = 7) 18519 =
4) = 8) 0,999991=
1015,6721 4 ⋅
Exercice 9 :
Écrire les nombres suivants en écriture décimale :
1) 5)
=⋅ 1 1043,2 =⋅ −1 10023,0
2) 6)
=⋅ 2 10002,2 =⋅ −2 104,562
3) 7)
=⋅ 4 1056,3 =⋅ 3 1007304,0
4) 8)
=⋅ 0 10012,0 =⋅ −4 1004,13

- 5 - Puissances et racines
A. Arnautovic
Exercice 10 :
Écrire les nombres suivants en notation scientifique :
1) 145,023 = 5) 4,963 =
2) 0,0455 = 6) 0,007307 =
3) 20'000 = 7) =
4
19,671 10 ⋅
4) 8)
30 2
7 10 2 10 3 10 5 10
−−
⋅+⋅+⋅ +⋅
3
=521 510 410 310
−−
⋅
+⋅ +⋅ =
Exercice 11 :
On dispose de trois pièces de monnaie identiques. On les aligne soit côté pile, soit côté face. Par
exemple :
1) De combien de façons différentes peut-on les disposer ?
2) Même question avec cinq pièces.
3) Même question avec n pièces. (Donner la réponse en fonction de n.)
Exercice 12 :
Monsieur Babille au cours d'un voyage a entendu une rumeur... Le 1er
jour de son retour dans la ville de Racontar il répète cette rumeur à trois
personnes. Le 2ème jour chacune des trois personnes met au courant trois
nouvelles personnes. Les jours suivants, la diffusion de la rumeur se
poursuit de la même manière dès qu'une personne l'apprend, elle en
informe trois autres dès le lendemain.
1. Combien de personnes apprennent la rumeur le 3ème jour ?
2. Écrire le calcul permettant de trouver combien de personnes apprennent la rumeur le 10ème
jour. (On ne demande pas d'effectuer le calcul.)
3. Même question pour le 18ème jour.
4. En proposant un codage qui permette d'écrire les calculs ci-dessus de manière condensée,
trouver une formulation générale.