Calcul stochastique, applications en finance.

ENSAI, 3A, GDRIF
Semestre 1
Calcul stochastique,
applications en finance.
Alexandre POPIER
Année : 2016-2017

Table des matières
Introduction. 3
1 Processus : généralités et exemples fondamentaux 9
1.1 Premières notions sur les processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Filtration et adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Tempsd’arrêt............................. 12
1.2 Lévy, Poisson and compound Poisson processes . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Poissonprocess ............................ 15
1.2.2 Compound Poisson processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Moments................................ 21
1.3 Mouvementbrownien............................. 22
1.3.1 Invariance par translation et propriétés de Markov . . . . . . . . . 25
1.3.2 Propriétés trajectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 Construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.4 Mouvement brownien vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4 Jump-diffusion process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5 Exercices.................................... 40
2 Intégrale et calcul stochastique 45
2.1 Martingales de carré intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Intégrale stochastique par rapport à une martingale continue . . . . . . . 46
2.2.1 Variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2 Rappel : intégrale de Lebesgue–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3 Intégrale d’Itô ou stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.4 Cas particulier : intégrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.5 Extensions............................... 56
2.3 Formule d’Itô dans le cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Stochastic calculus when there are jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.1 Stochastic integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.2 Quadratic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.3 TheItôformula............................ 67
2.5 Exercices.................................... 70
1

3 Équations différentielles stochastiques, changement de probabilité 75
3.1 Équations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 Théoried’Itô ............................. 77
3.1.2 Cas où on sait résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.3 Connexion avec les EDP (hors programme) . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 ThéorèmedeGirsanov ............................ 83
3.2.1 Pour le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.2 For a compound Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.3 For a jump-diffusion process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3 Exercices.................................... 92
4 Application en finance 95
4.1 Cadre, autofinancement, arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.1 Autofinancement............................ 96
4.1.2 Arbitrage ............................... 97
4.2 Modèle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.1 Modélisation du prix des actifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.2 Arbitrage, probabilité risque-neutre et pricing . . . . . . . . . . . 101
4.2.3 Portefeuille dynamique et couverture. . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.4 EDP de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.5 Formule de Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Pricing and hedging for jump diffusion processes models . . . . . . . . . 112
4.3.1 Asset driven by a Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.2 Asset driven by a compound Poisson process and a Brownian motion115
4.4 Exercices....................................119
Bibliographie. 125
2A. Popier

Introduction
Le calcul stochastique a pris une place primordiale dans la finance de marché depuis
le milieu des années 1970. Le besoin de modélisation pour gérer au mieux les risques,
pour automatiser les tâches, bref pour « industrialiser » une activité au départ très
artisanale, a trouvé des moyens de calculs très sophistiqués dans la théorie développée
à partir des années 1930 par Kolmogorov, Itô et bien d’autres mathématiciens. De plus
la finance a poussé les mathématiciens à développer certaines de leurs théories, pour
le meilleur mais aussi pour le pire, quand la croyance en un modèle se confronte à la
réalité.
Commençons par rappeler quelques notions clés de la finance. Un marché financier
est composé (en simplifiant beaucoup) de titres de base :
— devises,
— opérations de prêt ou d’emprunt avec intérêts,
— actions et indices (S&P 500, CAC 40),
— matières premières.
Ces produits sont cotés, leur prix étant alors fixé suivant la loi de l’offre et de la de-
mande. Sur ces titres, se greffent des produits dérivés. Ils sont créés suite à une demande
de transfert des risques et existent depuis longtemps (blé dans l’Antiquité, métaux à
Amsterdam au 18ème siècle, etc.). Le prix de ces produits résultait d’un accord entre les
parties. Mais ils ont connu un formidable essor grâce à l’existence de marchés organisés
(Chicago 1973, Paris 85-87).
Parmi ces nombreux produits, concentrons nous sur la classe des options.
Définition 0.1 Une option est un titre donnant à son détenteur le droit, et non l’obli-
gation d’acheter ou de vendre (selon qu’il s’agit d’une option d’achat ou de vente) une
certaine quantité d’un actif financier, à une date convenue et à un prix fixé d’avance.
C’est donc un contrat disymétrique dont la description précise est la suivante.
—Nature de l’option :call pour une option d’achat et put pour une option de vente.
—Actif sous-jacent, sur lequel porte l’option : une action, une obligation, une devise,
etc.
—Montant : quantité d’actif sous-jacent à acheter ou à vendre.
—Échéance ou date d’expiration ou maturité, qui limite la durée de vie de l’option.
—Date d’exercice : option américaine (exercice à n’importe quelle date précédant
l’échéance), option européenne (exercice à terme).
—Prix d’exercice ou strike, qui est le prix (fixé d’avance) auquel se fait la transaction
en cas d’exercice de l’option.
3

Sur les marchés organisés, les options sont parfois cotées. En général avec les règles
suivantes :
— 3 échéances cotées simultanément : 3, 6 et 9 mois (sur les mois de mars, juin,
septembre, décembre).
— Au moins 3 prix d’exercice avec écart standard entre eux et proches des cours de
l’action.
—Valeur intrinsèque : différence positive ou nulle entre le cours côté du titre support
et le prix d’exercice.
—Valeur temps : différence entre le cours de l’option et sa valeur intrinsèque.
Parmi ces cotations d’options, les plus liquides sont celles dites à la monnaie (prix d’exer-
cice proche de la valeur du cours). On dit qu’une option est dans la monnaie si sa valeur
intrinsèque est positive ; elle est en dehors de la monnaie sinon.
Le problème de tout produit dérivé, et donc en particulier d’une option, est d’en
fixer le prix (on parle aussi de prime). Si l’option est cotée sur un marché, la prime est
donnée par le marché. Mais en l’absence de cotation, comment calculer la prime ? Et
même pour une option cotée, disposer d’une formule ou d’un modèle pour calculer le
prix peut permettre de détecter d’éventuelles anomalies de marché.
Prenons l’exemple du call européen d’échéance T, de strike K, sur une action (stock
en anglais) de prix Stà l’instant t.
— Si ST≤K, le détenteur de l’option n’exerce pas.
— Si ST> K, il exerce, achète au prix Ket revend immédiatement l’action au prix
ST: il gagne donc ST−K.
— Donc la valeur à échéance de l’option (ou payoff en anglais) est : (ST−K)+=
max(ST−K, 0).
Il y a alors deux problèmes à résoudre pour le vendeur de l’option.
—Pricing ou valorisation : comment évaluer à t= 0 une richesse (ST−K)+disponible
en T?
—Hedging ou couverture : comment reproduire à partir de la prime, la richesse
(ST−K)+à la date T?
Pour pouvoir surmonter ces problèmes, quelques hypothèses sont nécessaires.
Définition 0.2 (Marché sans friction) Un marché financier est dit sans friction si
— il n’y a pas de coûts de transaction ;
— il n’y a pas d’impôts ou taxes (sur les transactions ou les plus values) ;
— il n’y a pas d’écart entre prix d’achat et prix de vente des titres (fourchette de
prix nulle) ;
— les transactions sont instantanées ;
— les titres négociables sont très liquides et indéfiniment fractionnables ;
— il n’y a pas de restriction sur les ventes à découvert ;
— les participants du marché sont preneurs de prix (ils n’influencent pas les prix par
leurs achats et ventes).
En pratique ces conditions ne sont pas vérifiées, mais elles simplifient considérablement
la théorie. L’hypothèse qui suit est fondamentale.
Loi fondamentale de la finance de marché. Dans un marché sans friction, il n’y
a pas d’opportunité d’arbitrage s’il n’est pas possible de gagner de l’argent à coup sûr à
4A. Popier