Université Pierre et Marie Curie Modèles stochastiques pour la

Université Pierre et Marie Curie
Modèles stochastiques pour la finance 2013-2014
TD 20-21 : Mouvement brownien
Exercice 1.
Soit {W (t); t ≥ 0} un mouvement brownien réel et Xt = Wt + µt, où µ ∈ R.
Un réel a > 0 étant fixé, on pose T = inf{t ≥ 0; Xt = a}.
a) Montrer que, pour tout σ ∈ R,
Zt = exp{σXt − (
σ2
+ µσ)t} − 1
2
est une martingale
b) Montrer que E(Zt∧T ) = 0. En déduire que si σ ≥ (−2µ)+ ,
E(1{T <+∞} exp{−(
σ2
+ µσ)T }) = exp(−σa).
2
c) Montrer que P(T < +∞) = 1 ∧ e2µa .
d) Quelle est la loi de supt≥0 Xt ?
Exercice 2. (Principe de réflexion)
a) Montrer que, si x ≤ a,
P(Ta ≤ t, Bt < x) = P(Bt ≥ 2a − x)
b) En déduire la densité de (Bt , St )
Exercice 3. Ornstein Uhlenbeck Stationnaire. Soit W un mouvement
Brownien. On pose Xt = e−t W (e2t ).
a. Montrer que Xt est un processus stationnaire (i.e., la loi de (Xt1 +s , · · · , Xtn +s )
ne dépend pas de s ≥ 0 pour tout n ∈ N et tout t1 , · · · , tn ).
Rt
b. Montrer que Wt = √12 (Xt − X0 + 0 Xu du) est un mouvement brownien
√
(symboliquement dXt = −Xt dt + 2dWt ).
c. On considère l’équation différentielle stochastique linéaire
Z t
Vt = V0 − a
Vs ds + σWt
0
La résoudre en posant Zt = Vt − σWt . Montrer que la solution s’écrit
Z t
−at
Vt = V0 e + σ
e−a(t−s) dW (s).
0
Exercice 4. Une caractérisation du Mouvement Brownien.
Soit B un processus continu issu de 0 (i.e. B0 = 0). Montrer que B est un
mouvement Brownien si et seulement si, pour tout λ ∈ R, le processus complexe
M λ défini par
λ2 t
Mtλ = eiλBt + 2
est une martingale. On rappelle que pour toute famille (X1 , . . . , Xd , Y ) de v.a.
réelles,
Y indépendant de (X1 , . . . , Xd ) ⇐⇒
∀ν ∈ Rd , µ ∈ R, E(ei(<ν,X>+µY ) ) = E(ei<ν,X> )E(eiµY ).
Exercice 5. Loi des grands nombres pour le mouvement Brownien.
Soit B un mouvement Brownien réel.
1. En utilisant l’inégalité de Doob et l’inégalité de Markov, montrer, pour tout
n ≥ 0 et ε > 0,
|Bt |
P ( n maxn+1 n > ε) ≤ 8ε−2 2−n .
2 ≤t≤2
2
2. En déduire que presque sûrement, il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0 ,
l’événement
|Bt |
{ n maxn+1
≤ ε}
2 ≤t≤2
t
est réalisé, puis conclure que presque sûrement,
Bt
= 0.
lim
t→∞ t
Exercice 6. Le pont brownien. Soit W un mouvement Brownien Montrer que
pour tout 0 ≤ t ≤ 1, les v.a. Y (t) = W (t) − tW (1) et W (1) sont indépendantes.
Montrer que si f est une fonction uniformément continue,
lim E[f (W (t))/|W (1)| ≤ ε] = E[f (Y (t))].
ε→0