Université Pierre et Marie Curie Modèles stochastiques pour la

Université Pierre et Marie Curie
Modèles stochastiques pour la finance 2013-2014
TD 20-21 : Mouvement brownien
Exercice 1.
Soit {W(t); t≥0}un mouvement brownien réel et Xt=Wt+µt, où µ∈R.
Un réel a > 0étant fixé, on pose T= inf{t≥0; Xt=a}.
a) Montrer que, pour tout σ∈R,
Zt= exp{σXt−(σ2
2+µσ)t} − 1
est une martingale
b) Montrer que E(Zt∧T)=0. En déduire que si σ≥(−2µ)+,
E(1{T <+∞} exp{−(σ2
2+µσ)T}) = exp(−σa).
c) Montrer que P(T < +∞)=1∧e2µa.
d) Quelle est la loi de supt≥0Xt?
Exercice 2. (Principe de réflexion)
a) Montrer que, si x≤a,
P(Ta≤t, Bt< x) = P(Bt≥2a−x)
b) En déduire la densité de (Bt, St)
Exercice 3. Ornstein Uhlenbeck Stationnaire. Soit Wun mouvement
Brownien. On pose Xt=e−tW(e2t).
a. Montrer que Xtest un processus stationnaire (i.e., la loi de (Xt1+s,··· , Xtn+s)
ne dépend pas de s≥0pour tout n∈Net tout t1,··· , tn).
b. Montrer que Wt=1
√2(Xt−X0+Rt
0Xudu)est un mouvement brownien
(symboliquement dXt=−Xtdt +√2dWt).
c. On considère l’équation différentielle stochastique linéaire
Vt=V0−aZt
0
Vsds +σWt
La résoudre en posant Zt=Vt−σWt. Montrer que la solution s’écrit
Vt=V0e−at +σZt
0
e−a(t−s)dW (s).
1

Exercice 4. Une caractérisation du Mouvement Brownien.
Soit Bun processus continu issu de 0(i.e. B0= 0). Montrer que Best un
mouvement Brownien si et seulement si, pour tout λ∈R, le processus complexe
Mλdéfini par
Mλ
t=eiλBt+λ2t
2
est une martingale. On rappelle que pour toute famille (X1, . . . , Xd, Y )de v.a.
réelles,
Yindépendant de (X1, . . . , Xd)⇐⇒
∀ν∈Rd, µ ∈R,E(ei(<ν,X>+µY )) = E(ei<ν,X>)E(eiµY ).
Exercice 5. Loi des grands nombres pour le mouvement Brownien.
Soit Bun mouvement Brownien réel.
1. En utilisant l’inégalité de Doob et l’inégalité de Markov, montrer, pour tout
n≥0et ε > 0,
P( max
2n≤t≤2n+1 |Bt|
2n> ε)≤8ε−22−n.
2. En déduire que presque sûrement, il existe n0tel que pour tout n≥n0,
l’événement
{max
2n≤t≤2n+1 |Bt|
t≤ε}
est réalisé, puis conclure que presque sûrement,
lim
t→∞
Bt
t= 0.
Exercice 6. Le pont brownien. Soit Wun mouvement Brownien Montrer que
pour tout 0≤t≤1, les v.a. Y(t) = W(t)−tW (1) et W(1) sont indépendantes.
Montrer que si fest une fonction uniformément continue,
lim
ε→0E[f(W(t))/|W(1)| ≤ ε] = E[f(Y(t))].