Université Pierre et Marie Curie
Modèles stochastiques pour la finance 2013-2014
TD 20-21 : Mouvement brownien
Exercice 1.
Soit {W(t); t≥0}un mouvement brownien réel et Xt=Wt+µt, où µ∈R.
Un réel a > 0étant fixé, on pose T= inf{t≥0; Xt=a}.
a) Montrer que, pour tout σ∈R,
Zt= exp{σXt−(σ2
2+µσ)t} − 1
est une martingale
b) Montrer que E(Zt∧T)=0. En déduire que si σ≥(−2µ)+,
E(1{T <+∞} exp{−(σ2
2+µσ)T}) = exp(−σa).
c) Montrer que P(T < +∞)=1∧e2µa.
d) Quelle est la loi de supt≥0Xt?
Exercice 2. (Principe de réflexion)
a) Montrer que, si x≤a,
P(Ta≤t, Bt< x) = P(Bt≥2a−x)
b) En déduire la densité de (Bt, St)
Exercice 3. Ornstein Uhlenbeck Stationnaire. Soit Wun mouvement
Brownien. On pose Xt=e−tW(e2t).
a. Montrer que Xtest un processus stationnaire (i.e., la loi de (Xt1+s,··· , Xtn+s)
ne dépend pas de s≥0pour tout n∈Net tout t1,··· , tn).
b. Montrer que Wt=1
√2(Xt−X0+Rt
0Xudu)est un mouvement brownien
(symboliquement dXt=−Xtdt +√2dWt).
c. On considère l’équation différentielle stochastique linéaire
Vt=V0−aZt
0
Vsds +σWt
La résoudre en posant Zt=Vt−σWt. Montrer que la solution s’écrit
Vt=V0e−at +σZt
0
e−a(t−s)dW (s).
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