Université Pierre et Marie Curie Modèles stochastiques pour la

Université Pierre et Marie Curie
Modèles stochastiques pour la finance 2013-2014
TD 20-21 : Mouvement brownien
Exercice 1.
Soit {W(t); t0}un mouvement brownien réel et Xt=Wt+µt, où µR.
Un réel a > 0étant fixé, on pose T= inf{t0; Xt=a}.
a) Montrer que, pour tout σR,
Zt= exp{σXt(σ2
2+µσ)t} − 1
est une martingale
b) Montrer que E(ZtT)=0. En déduire que si σ(2µ)+,
E(1{T <+∞} exp{−(σ2
2+µσ)T}) = exp(σa).
c) Montrer que P(T < +)=1e2µa.
d) Quelle est la loi de supt0Xt?
Exercice 2. (Principe de réflexion)
a) Montrer que, si xa,
P(Tat, Bt< x) = P(Bt2ax)
b) En déduire la densité de (Bt, St)
Exercice 3. Ornstein Uhlenbeck Stationnaire. Soit Wun mouvement
Brownien. On pose Xt=etW(e2t).
a. Montrer que Xtest un processus stationnaire (i.e., la loi de (Xt1+s,··· , Xtn+s)
ne dépend pas de s0pour tout nNet tout t1,··· , tn).
b. Montrer que Wt=1
2(XtX0+Rt
0Xudu)est un mouvement brownien
(symboliquement dXt=Xtdt +2dWt).
c. On considère l’équation différentielle stochastique linéaire
Vt=V0aZt
0
Vsds +σWt
La résoudre en posant Zt=VtσWt. Montrer que la solution s’écrit
Vt=V0eat +σZt
0
ea(ts)dW (s).
1
Exercice 4. Une caractérisation du Mouvement Brownien.
Soit Bun processus continu issu de 0(i.e. B0= 0). Montrer que Best un
mouvement Brownien si et seulement si, pour tout λR, le processus complexe
Mλdéfini par
Mλ
t=eiλBt+λ2t
2
est une martingale. On rappelle que pour toute famille (X1, . . . , Xd, Y )de v.a.
réelles,
Yindépendant de (X1, . . . , Xd)
νRd, µ R,E(ei(<ν,X>+µY )) = E(ei<ν,X>)E(eiµY ).
Exercice 5. Loi des grands nombres pour le mouvement Brownien.
Soit Bun mouvement Brownien réel.
1. En utilisant l’inégalité de Doob et l’inégalité de Markov, montrer, pour tout
n0et ε > 0,
P( max
2nt2n+1 |Bt|
2n> ε)8ε22n.
2. En déduire que presque sûrement, il existe n0tel que pour tout nn0,
l’événement
{max
2nt2n+1 |Bt|
tε}
est réalisé, puis conclure que presque sûrement,
lim
t→∞
Bt
t= 0.
Exercice 6. Le pont brownien. Soit Wun mouvement Brownien Montrer que
pour tout 0t1, les v.a. Y(t) = W(t)tW (1) et W(1) sont indépendantes.
Montrer que si fest une fonction uniformément continue,
lim
ε0E[f(W(t))/|W(1)| ≤ ε] = E[f(Y(t))].
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