M5 Mouvement d`une particule chargée dans un champ électrique

M5Mouvement d’une particule chargée dans un champ
électrique et (ou) dans un champ magnétique
PCSI22007 – 2008
I Position du problème, forces en présence
1. Hypothèses de travail R
z
y
O
x
~
E
~
BM(m, q)
~v
•Étude dans Rgaliléen.
•Particule Mde masse met de charge électrique qconstantes.
Pour un électron, m≃10−30 kg et q≃1,6.10−19 C.
•Le poids de la particule est toujours négligeable devant
les autres interactions.
•Champ ~ Eassez faible pour que la particule ne soit pas
relativiste (v≪c).
•Champs ~ Eet ~ Buniformes (identique en tout point de
l’espace considéré)
et permanents (indépendants du temps).
Exemple : ~ Edans un condensateur plan ou ~ Bdans un
solénoïde infini en régime permanent.
2. Force de Lorentz
Msubit la force de LORENTZ ~ FL=~ Fe+~ Fm=q~ E+q~v ∧~ Bà ajouter sur la fig.
~
Feselon ±~ Eselon le signe de qet ~ Fmnormale au plan défini par ~ Bet ~v, c’est à dire que ~ Fmest
toujours normale au déplacement.
Exemples :
q > 0
~v
~
B
~
Fm
q < 0
~
B
~v
~
Fm
q < 0
~v
~
B
~
Fm
q > 0
~
Fm=~ 0
~
B
~v q > 0~
E
~
B
~v
~
Fm
~
Fe
~
FL
Remarque : d’après le théorème de la puissance cinétique,
dEc
dt =P(~
F) = ~ F .~v =q~ E.~v +q(~v ∧~ B).~v =q~ E.~v
Seul le champ ~ Epeut modifier Ecet donc la vitesse numérique de la particule, le champ ~ Bne peut
que la dévier.
Pour déterminer la vitesse numérique d’une particule, on utilisera donc souvent le théorème de la
puissance cinétique ou un théorème dérivé (énergie cinétique, énergie mécanique ...).
1

M5Particule dans ~ Eet ~ B
II Particule chargée dans un champ ~ Eou ~ Bseul
1. Action de ~ E
1.a. Détermination de v: aspect énergétique
On peut produire ~ Econstant entre deux plaques métalliques chargées et distantes de d. On a alors
~
Eorienté de l’anode +vers la cathode −et a pour norme U
d=VA−VC d.
0
d
z
Anode
Cathode
U U
Vide poussé
~
E=U
d~ez
~
F=q~ E
+++++++++++++++++++++
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
A
C
~
F=q~ Eest constant et dérive d’une énergie potentielle Eptelle que
δW =~ F . ~ dr =qEdz =−dEp avec Ep(z) = −qEz +Cte
Exemple : si un électron (q=−e) part de Cavec une vitesse nulle, il arrive en Aavec la vitesse vA
telle que, d’après le théorème de l’énergie cinétique,
∆Ec=W⇒1
2mv2
A−1
2mv2
C=ZA
C
~
F .d~r ⇒1
2mv2
A−0 = (−e)EZ0
d
dz ⇒v2
A=2e
mEd =2e m(VA−VC)
⇒vA=r2e
mU
et Ec(A) = eU J=UeV avec 1 eV = 1,6.10−19 J : énergie cinétique acquise par un électron accéléré
entre deux électrodes sous une différence de potentiel de 1 V.
A.N : Si U= 220 V, Ec= 220 eV et vA=8,8.106m.s−1.
L’électron devient relativiste si vproche de c≃3.108m.s−1⇒Ec>500 keV.
1.b. Trajectoire : application du PFD.
R
z
y
O
x
~
E
~v0
α
On peut choisir Rtel que Men Oàt= 0,~v0dans yOz et ~
E=E~ez.
m¨x=0⇒˙x=0⇒x=0
m¨y=0⇒˙y=v0cos α⇒y=v0tcos α
m¨z=qE ⇒˙z=qE
mt+v0sin α⇒z=qE 2mt2+v0tsin α
Pour déterminer la trajectoire, on doit éliminer le paramètre t.
•Si α=±π
2,MRUA.
•Sinon, t=y
v0cos αet z=qEy2
2mv2
0cos2α+ytan αparabole
PCSI22007 – 2008 Page 2/10

M5Particule dans ~ Eet ~ B
Application : déviation d’un faisceau de particules.
0
z
y
Cathode
Anode
U d
~
E=U
d~ez
pD
D′=D+p
2
Parabole
~vS
vy
vz
S
Z
MRU
Écran
Z
β
~
F
~v0
Entre les deux plaques, ~
E=U
d~ezet ~
E=~ 0partout ailleurs.
On recherche la déviation Zsur l’écran. On se retrouve dans le cas précédent avec
α= 0 ⇒z=qEy2
2mv2
0
=qUy2
2dmv2
0
tant que 0≤y≤p
tan β=vz
vyS
=dz/dt
dy/dtS
=dz
dy S
=qUp
dmv2
0
=Z
D′⇒Z=qUp dmv2
0
D′=q
m
U
d
p
v2
0
(D+p
2)
Utilisations :
•Oscilloscope car Zproportionnel à U.
•En plaçant une fente en Z, on peut obtenir un filtre de particules car Zproportionnel à q
mou
un filtre de vitesse car Zdépend de v0.
2. Action de ~ B
2.a. Aspect énergétique : conservation de l’énergie cinétique
Si ~ FL=~ Fm=q~v ∧~ B,dEc
dt =P(~
F) = ~ F .~v = 0 et comme m=Cte et q=Cte,v=Cte.
Remarque : ~v peut varier car ~a =~
F
m6=~
0.
2.b. Trajectoire : PFD + méthode classique ou complexe. R
z
y
O
x
~
B
~v0
α
On peut choisir Rtel que ~ B=B~ez,Men Oàt= 0 et ~v0dans
xOz.
Par utilisation du PFD
m~a =q~v ∧~ B⇐⇒
˙vxvx0qBvy
m˙vy=q vy∧0 = −qBvx
˙vzvzB0
Et en posant ω=qB
m(s−1) la pulsation dite “cyclotron”,
⇒système d’équations couplées suivant :
˙vxωvy(1)
˙vy=−ωvx(2)
˙vz0 (3)
(3) ⇒vz=v0cos α⇒z=v0tcos α
PCSI22007 – 2008 Page 3/10

M5Particule dans ~ Eet ~ B
Pour résoudre le système {(1) + (2)}, on peut utilier deux méthodes :
Méthode classique : par dérivation temporelle de (1), ¨vx=ω˙vy=−ω2vxen utilisant (2).
On en déduit vx=Cte. cos ωt et comme vx(t= 0) = v0sin α,vx(t) = v0sin αcos ωt.
En reprenant (2), on obtient ˙vy=−ωv0sin αcos ωt et par integration, vy(t) = −v0sin αcos ωt + 0
Méthode des complexes on peut retrouver ce résultat en passant par l’intermédiaire de calcul,
qui n’a pas de signification physique, Ctel que
C=vx+jvy⇒˙
C= ˙vx+j˙vy=ωvy−jωvx=−jωC
On se ramène ainsi à une équation différentielle (complexe) : ˙ C=−jωC ⇒C=C0e−jωt
et à t= 0,C=C0=vx0+jvy0=v0sin αd’où
C=v0sin αe−jωt =v0sin α(cos(−ωt) + jsin(−ωt)) = vx+jvy
et par identification,
vx=v0sin αcos ωt et vy=−v0sin αsin ωt
Équations paramétriques : et en utilisant les conditions initiales,
⇒x=v0sin α
ωsin ωt et y=v0sin α ωcos ωt +Cte =v0sin α ω(cos ωt −1) z=v0tcos α
C’est l’équation paramétrique d’une hélice de rayon R=v0sin α
ω=v0msin α qB et de pas h=v0cos αT =
2πv0cos α
ω.
x
y
z
~
B
~v0
C
ωt
H
~v
~eθ
~er
~
F
Pour q < 0R
z
y
x
~
B
~v0
α
C
M
H
z
Remarque : on a superposition d’un MCU autour de Cet d’un MRU suivant Oz, la trajectoire de
la particule tourbillonne autour de la direction du champ magnétique (lignes de champ Cf. EM2).
PCSI22007 – 2008 Page 4/10

M5Particule dans ~ Eet ~ B
2.c. Cas particulier de la trajectoire circulaire
Dans le cas particulier mais assez courant où ~v0est dans le plan Oxy,α=π
2et on a un MCU dans
xOy de rayon
R=v0
ω=v0m |q|B
À savoir retrouver rapidement par utilisation du PFD dans la base polaire de centre C:
−−→
OM =R~er⇒~v =R˙ θ~eθd’où v=R|˙ θ|et ~a =R¨ θ.~eθ−R˙ θ2.~er=dv
dt .~eθ−v2 R.~er
~
F=q~v ∧~ B=
0 0 qBR ˙ θ
qR˙
θ∧0 = 0
0B0
=qvB.~er
•Projection du PFD sur ~eθ⇒dv
dt = 0 donc R˙
θ=Cte, on a donc un MCU.
•Projection du PFD sur ~er⇒mr2
R=−qvB =|q|vB donc R=mv |q|B.
2.d. Applications
•Figure ci-dessous à gauche : détermination de la quantité de mouvement (p=mv) ou de la
charge d’une particule dans une chambre à bulles, par mesure de R=p
qB
•Spectrographes de masse, figure ci-dessus à droite. Rdépend de M=mNAoù NAest la
constante d’Avogadro et filtres de vitesse.
•Accélérateurs de particules non linéaires : exemple du cyclotron.
D1D2
u(t)
~
B
~v0
PCSI22007 – 2008 Page 5/10