M5 Mouvement d`une particule chargée dans un champ électrique

M5 Mouvement d’une particule chargée dans un champ
électrique et (ou) dans un champ magnétique
PCSI2 2007 – 2008
I
Position du problème, forces en présence
1.
Hypothèses de travail
zR
• Étude dans R galiléen.
• Particule M de masse m et de charge électrique q constantes.
Pour un électron, m ≃ 10−30 kg et q ≃ 1, 6.10−19 C.
• Le poids de la particule est toujours négligeable devant
les autres interactions.
~ assez faible pour que la particule ne soit pas
• Champ E
relativiste (v ≪ c).
~ et B
~ uniformes (identique en tout point de
• Champs E
l’espace considéré)
et permanents (indépendants du temps).
~
E
~v
~
B
M(m, q)
O
y
x
~ dans un condensateur plan ou B
~ dans un
Exemple : E
solénoïde infini en régime permanent.
2.
Force de Lorentz
~ + q~v ∧ B
~
M subit la force de LORENTZ F~L = F~e + F~m = q E
à ajouter sur la fig.
~ selon le signe de q et F~m normale au plan défini par B
~ et ~v, c’est à dire que F~m est
F~e selon ±E
toujours normale au déplacement.
Exemples :
~
B
~
B
~v
~
B
~v
q>0
F~m
F~m
q<0
F~m
F~m = ~0
~
B
~v
~v
q<0
q>0
~v
q>0
~
B
F~L
~m
F
b
~
E
F~e
Remarque : d’après le théorème de la puissance cinétique,
dEc
~ v + q(~v ∧ B).~
~ v = q E.~
~ v
= P(F~ ) = F~ .~v = q E.~
dt
~ peut modifier Ec et donc la vitesse numérique de la particule, le champ B
~ ne peut
Seul le champ E
que la dévier.
Pour déterminer la vitesse numérique d’une particule, on utilisera donc souvent le théorème de la
puissance cinétique ou un théorème dérivé (énergie cinétique, énergie mécanique ...).
1
~ et B
~
Particule dans E
M5
~ ou B
~ seul
Particule chargée dans un champ E
II
~
Action de E
1.
1.a.
Détermination de v : aspect énergétique
~ constant entre deux plaques métalliques chargées et distantes de d. On a alors
On peut produire E
~ orienté de l’anode + vers la cathode − et a pour norme U = VA −VC .
E
d
d
z
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Cathode
C
~
F~ = q E
~ = U ~ez
E
U
d
U
d
Vide poussé
A
Anode
+++++++++++++++++++++
0
~ est constant et dérive d’une énergie potentielle Ep telle que
F~ = q E
~ = qEdz = −dEp avec Ep (z) = −qEz + Cte
δW = F~ .dr
Exemple : si un électron (q = −e) part de C avec une vitesse nulle, il arrive en A avec la vitesse vA
telle que, d’après le théorème de l’énergie cinétique,
Z A
Z 0
2e
1 2
2e
1 2 1 2
~
F .d~r ⇒ mvA − 0 = (−e)E
dz ⇒ vA2 = Ed = (VA − VC )
∆Ec = W ⇒ mvA − mvC =
2
2
2
m
m
C
d
⇒ vA =
r
2e
U
m
et Ec (A) = eU J = U eV avec 1 eV = 1, 6.10−19 J : énergie cinétique acquise par un électron accéléré
entre deux électrodes sous une différence de potentiel de 1 V.
A.N : Si U = 220 V, Ec = 220 eV et vA = 8, 8.106 m.s−1 .
L’électron devient relativiste si v proche de c ≃ 3.108 m.s−1 ⇒ Ec > 500 keV.
1.b.
Trajectoire : application du PFD.
z R
~ = E~ez .
On peut choisir R tel que M en O à t = 0, ~v0 dans yOz et E
mẍ = 0
mÿ = 0
mz̈ = qE
⇒
⇒
⇒
ẋ = 0
ẏ = v0 cos α
t + v0 sin α
ż = qE
m
⇒ x=0
⇒ y = v0 t cos α
qE 2
t + v0 t sin α
⇒ z = 2m
~v0
~
E
α
Pour déterminer la trajectoire, on doit éliminer le paramètre t.
O
• Si α =
± π2 ,
• Sinon, t =
y
MRUA.
y
v0 cos α
PCSI2 2007 – 2008
et z =
qEy 2
2mv02 cos2 α
+ y tan α
parabole
x
Page 2/10
~ et B
~
Particule dans E
M5
Z
Application : déviation d’un faisceau de particules.
Z
z
Cathode
U
d
~v0
~vS
S
F~
Parabole
MRU
vz
vy
Écran
β
b
0
~ =
E
Anode
U
e~
d z
D′ = D +
y
p
2
p
D
~ =
Entre les deux plaques, E
U
e~
d z
~ = ~0 partout ailleurs.
et E
On recherche la déviation Z sur l’écran. On se retrouve dans le cas précédent avec
tan β =
vz
vy
=
S
α=0⇒z=
qUy 2
qEy 2
=
2mv02
2dmv02
dz/dt
dy/dt
=
S
dz
dy
S
=
tant que
0≤y≤p
qUp
qUp ′
Z
q U p
p
= ′ ⇒Z=
D =
(D + )
2
2
2
dmv0
D
dmv0
m d v0
2
Utilisations :
• Oscilloscope car Z proportionnel à U.
• En plaçant une fente en Z, on peut obtenir un filtre de particules car Z proportionnel à
un filtre de vitesse car Z dépend de v0 .
2.
2.a.
ou
~
Action de B
Aspect énergétique : conservation de l’énergie cinétique
~
Si F~L = F~m = q~v ∧ B,
dEc
dt
= P(F~ ) = F~ .~v = 0 et comme m = Cte et q = Cte, v = Cte.
Remarque : ~v peut varier car ~a =
2.b.
q
m
~
F
m
6= ~0.
z R
Trajectoire : PFD + méthode classique ou complexe.
~ = B~ez , M en O à t = 0 et ~v0 dans
On peut choisir R tel que B
xOz.
Par utilisation du PFD
v̇x
vx
0
qBvy
~
m~a = q~v ∧ B ⇐⇒ m v̇y = q vy ∧ 0 = −qBvx
v̇z
vz
B
0
qB
m
(s−1 ) la pulsation dite “cyclotron”,
v̇x
ωvy
⇒ système d’équations couplées suivant : v̇y = −ωvx
v̇z
0
(3) ⇒ vz = v0 cos α ⇒ z = v0 t cos α
Et en posant ω =
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(1)
(2)
(3)
α
~v0
~
B
O
y
x
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~ et B
~
Particule dans E
M5
Pour résoudre le système {(1) + (2)}, on peut utilier deux méthodes :
Méthode classique :
par dérivation temporelle de (1), v̈x = ω v̇y = −ω 2 vx en utilisant (2).
On en déduit vx = Cte. cos ωt et comme vx (t = 0) = v0 sin α, vx (t) = v0 sin α cos ωt.
En reprenant (2), on obtient v̇y = −ωv0 sin α cos ωt et par integration, vy (t) = −v0 sin α cos ωt + 0
Méthode des complexes on peut retrouver ce résultat en passant par l’intermédiaire de calcul,
qui n’a pas de signification physique, C tel que
C = vx + jvy ⇒ Ċ = v̇x + j v̇y = ωvy − jωvx = −jωC
On se ramène ainsi à une équation différentielle (complexe) : Ċ = −jωC ⇒ C = C 0 e−jωt
et à t = 0, C = C 0 = vx0 + jvy0 = v0 sin α d’où
C = v0 sin αe−jωt = v0 sin α(cos(−ωt) + j sin(−ωt)) = vx + jvy
et par identification,
vx = v0 sin α cos ωt
et
vy = −v0 sin α sin ωt
Équations paramétriques : et en utilisant les conditions initiales,
⇒x=
v0 sin α
sin ωt
ω
et
y=
v0 sin α
v0 sin α
cos ωt + Cte =
(cos ωt − 1)
ω
ω
C’est l’équation paramétrique d’une hélice de rayon R =
2πv0 cos α
.
ω
v0 sin α
ω
Pour q < 0
~ z
B
C
v0 m sin α
qB
et de pas h = v0 cos αT =
z R
y
~
B
b
b
=
z = v0 t cos α
ωt
~v0
~er
α
F~
H
~v0
C
M
z
b
y
b
~eθ
b
~v
x
H
x
Remarque : on a superposition d’un MCU autour de C et d’un MRU suivant Oz, la trajectoire de
la particule tourbillonne autour de la direction du champ magnétique (lignes de champ Cf. EM2 ).
PCSI2 2007 – 2008
Page 4/10
~ et B
~
Particule dans E
M5
2.c.
Cas particulier de la trajectoire circulaire
Dans le cas particulier mais assez courant où ~v0 est dans le plan Oxy, α =
xOy de rayon
v0 m
v0
=
R=
ω
|q|B
π
2
et on a un MCU dans
À savoir retrouver rapidement par utilisation du PFD dans la base polaire de centre C :
−−→
2
.~e − vR .~er
OM = R~er ⇒ ~v = Rθ̇~eθ d’où v = R|θ̇| et ~a = Rθ̈.~eθ − Rθ̇2 .~er = dv
dt θ
~ = q
F~ = q~v ∧ B
• Projection du PFD sur ~eθ ⇒
dv
dt
0
Rθ̇
0
0
∧ 0=
B
qBRθ̇
= qvB.~er
0
0
= 0 donc Rθ̇ = Cte, on a donc un MCU.
2
• Projection du PFD sur ~er ⇒ m rR = −qvB = |q|vB donc R =
2.d.
mv
.
|q|B
Applications
• Figure ci-dessous à gauche : détermination de la quantité de mouvement (p = mv) ou de la
p
charge d’une particule dans une chambre à bulles, par mesure de R = qB
• Spectrographes de masse, figure ci-dessus à droite. R dépend de M = mNA où NA est la
constante d’Avogadro et filtres de vitesse.
• Accélérateurs de particules non linéaires : exemple du cyclotron.
D1 D2
~v0
~
B
u(t)
PCSI2 2007 – 2008
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~ et B
~
Particule dans E
M5
TD–Cours : un cyclotron comporte deux demi-boîtes cylindriques métalliques creuses ou "D",
séparées par un intervalle, entre lesquelles on établit une tension u(t) sinusoïdales de fréquence
convenable f .
~ uniforme
Les “D” sont situés dans l’entrefer d’un électroaimant qui fournit un champ magnétique B
parallèle aux génératrices des "D".
On injecte des protons (m = 1, 66.10−27 kg, q = 1, 6.10−19 C) dans une direction perpendiculaire à
~ avec une vitesse initiale négligeable. On donne B = 1, 5 T la norme de B.
~
B,
~ seul) la vitesse numérique v des protons est constante.
1. Montrer que dans les "D" (action de B
2. En déduire R le rayon de courbure de la trajectoire des protons ayant une vitesse v ainsi que
le temps de passage d’un proton dans un "D".
3. Quelle doit être la fréquence f de la tension u(t) pour que le proton soit accéléré de façon
optimale (pendant un temps très court) à chaque passage entre les "D" ?
4. La tension u(t) a une amplitude Um = 200 kV
(a) Déterminer en fonction de n le rapport des rayons Rn et Rn+1 des deux demi-cercles
consécutifs numérotés n et n + 1 , si le premier demi-cercle décrit après la première
accélération porte le numéro 1.
(b) Calculer le rayon de la trajectoire après 1 tour (2 passages entre les "D") et après 10
tours.
5. Le rayon de la dernière trajectoire décrite par les protons accélérés avant de bombarder une
cible est Rm = 35 cm, déterminer :
(a) l’énergie cinétique du proton avant le choc contre la cible proche du cyclotron,
(b) le nombre de tours décrits par le proton après sa première accélération.
N.B. : On traitera le problème dans le cadre de la mécanique non relativiste.
~ et B
~ permanents et uniformes
Action simultanée de E
III
1.
z R
~ et B
~ colinéaires : TD – Cours
E
~
Par rapport au cas II.2, on ne fait que rajouter E
selon Oz, le MRU selon Oz sera ici un MRUA et
~
B
~ + q~v ∧ B
~
m~a = q E
v̇x
⇒ v̇y
v̇z
ωvy
x=
= −ωvx
⇒ y=
− qE
= − ωE
m
B
v0 sin α
ω
α
sin ωt
v0 sin α
(cos ωt
ω
2.
b
y
− 1)
t2 + v0 t cos α
z = − ωE
2B
On obtient alors une hélice à pas non constant.
C
~v0
x
~
E
~ et B
~ normaux : TD – Cours
E
Une particule M de masse m et de charge q > 0 pénètre à t = 0 en O avec une vitesse ~v0 dans une
~ orienté selon Oy, et un champ B
~ uniforme et
région où règnent un champ uniforme et permanent E
permanent selon Oz (Cf dessin).
On posera ω =
qB
m
PCSI2 2007 – 2008
dans les calculs.
Page 6/10
~ et B
~
Particule dans E
M5
z R
1. La vitesse ~v0 est suivant Oz.
Écrire les équations différentielles du mouvement de P et z(t)
~
B
Déterminer les équations du mouvement x(t) et y(t)
par la méthode complexe, en introduisant C = vx + jvy
~v0
2. Étude du cas où v0 = 0.
~v0
Déterminer les équations paramétriques du mouvement
de P et définir sa trajectoire.
Déterminer la distance à l’origine O du point A
où la trajectoire aboutit pour la 1ère fois sur l’axe Ox.
~ et B.
~
3. La vitesse ~v0 est maintenant normale à E
O ~
E
y
x
Donner les nouvelles équations paramétriques du mouvement.
Pour quelle valeur de v0 la particule n’est elle pas déviée ? Application ?
IV
1.
Mouvement d’ensemble de porteurs de charges
Description du phénomène
Dans un matériau conducteur (métal, solution ionique, semi-conducteur...), il existe des porteurs de
charge libres c’est à dire capables de se déplacer. (Cf. EC1 ).
Définition : si un volume V du matériau contient N porteurs de charges, la densité particulaire de
.
ces porteurs ou nombre de particules par unité de volume, dans le matériau est n∗ = N
V
∗
Et si q est la charge d’un porteur, ρv = n q est la densité volumique de charges.
Exemple : dans le cas du cuivre de masse volumique µv = 8960 kg.m−3 et de masse molaire
M = 63, 54 g.mol−1 , chaque atome apporte un électron de conduction.
On a donc, en notant NA la constante d’Avogadro.
n∗ =
N
nNA
mNA
µv NA
=
=
=
≃ 8, 48.1028 m−3
V
V
MV
M
et ρv = −en∗ où e est la charge élémentaire d’où ρv =
(on retiendra que n∗ est très grand)
−eµv NA
M
≃ −1, 36.1010 C.m−3 .
Mise en mouvement
• Même si on n’applique pas de champ électrique, les porteurs de charges sont animés d’un
mouvement désordonné dû à l’agitation thermique : chaque porteur possède une vitesse non
nulle mais qui varie de façon aléatoire à chaque "choc" si bien que en moyenne, sur l’ensemble
des porteurs, < ~v >= ~0 (figure de gauche).
La vitesse d’ensemble est nulle et on ne mesure aucun courant électrique.
q>0
~u
< ~v >= ~0
~ = ~0
E
PCSI2 2007 – 2008
< ~v >= ~u
~
E
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~ et B
~
Particule dans E
M5
~ les porteurs de charges se déplacent selon ±E
~ selon le
• Si on applique un champ électrique E,
signe de leur charge q. Il se créé ainsi un mouvement d’ensemble de porteurs de charges d’où
~
apparition d’un courant électrique dont l’intensité dépend de E.
2.
Modèle classique de la conduction, loi d’Ohm locale
Hypothèses : dans ce modèle, on considère que les porteurs de charges q et de masse m subissent
~ et que l’action du matériaux (chocs sur le réseau atomique dans le cas d’un métal)
la force F~e = q E
équivaut à une force de frottements fluides modélisée par f~ = −λ~v .
On confond ainsi la vitesse moyenne, "de dérive" (notée ~u précédemment) avec la vitesse instantanée
de chaque porteur et le PFD appliqué à UN porteur donne ainsi.
d~v
~
~ − λ~v ⇐⇒ d~v + 1 ~v = q E
= qE
dt
dt τ
m
avec τ = m
le temps de relaxation du phénomène.
λ
Au bout de quelques τ , un régime permanent est atteint et
m
~ = µE
~
~ = ~vl = qτ E
~v = Cte
m
la vitesse limite avec µ la mobilité des particules µ =
qτ
m
=
q
λ
(Cf. Chimie).
Vecteur densité de courant ~j observons ce qui se passe dans une tranche de longueur L d’un
conducteur cylindrique de section S lorsqu’on applique à ses bornes une différence de potentiels
U = VA − VB .
~ = U .~ex qui va provoquer la mise en mouvement des
On admet qu’il apparaît un champ uniforme E
L
porteurs de charges (q > 0 sur la figure).
Au bout de quelques τ , ces derniers ont tous pour vitesse de dérive ~vl =
qτ ~
E
m
d~l = ~vl .dt
q>0
q
d~l = ~vl .dt
~
E
q
~ex
S
U = VA − VB > 0
A
B
Pendant la durée élémentaire dt, la quantité d’électricité dq qui traverse une surface S dans le sens
positif défini par ~ex est la charge contenue dans le cylindre de génératrice ~vl et de base S.
C’est à dire dq = ρv dV où dV = Sdl = Svl dt = dt~vl .~ex est le volume du cylindre.
⇒ dq = ρv S~vl .~ex dt
L’intensité du courant I est égale au débit des charges qui traversent S :
I=
dq
~
= ρv S~vl .~ex = ~j.S~ex ⇒ I = ~j.S
dt
avec ~j = ρv~vl = n∗ q~vl le vecteur densité de courant.
PCSI2 2007 – 2008
Page 8/10
~ et B
~
Particule dans E
M5
Dans le cadre du modèle étudié, on avait v~l =
~
qτ E
,
m
d’où
∗ 2 ~
~ loi d’Ohm locale.
~j = n q τ E = γ E
m
Remarques :
• Pour le cuivre, on mesure γ ≃ 5, 9 S.m−1 , on en déduit τ =
~ avec γ =
• ~j = γ E
mγ
n∗ q 2
≃ 2, 5.10−14 s !
n∗ q 2 τ
m
= n∗ qµ = ρv µ > 0 la conductivité du milieu étudié ρ =
~
résistivité. On a toujours γ > 0 donc ~j est toujours selon +E.
1
γ
est sa
• Pour un conducteur de section S, de longueur L et de résistivité ρ aux bornes duquel on
applique U = VA − VB = EL, le courant I qui le traverse est I = jS.
En tenant compte de la loi d’Ohm locale,
j = γE ⇒ I = γES =
LI
ρL
ρL
γUS
⇒U =
=
I = RI avec ici R =
Cf. EC1 .
L
γS
S
S
• La puissance dissipée par les forces de frottement est, par unité de volume :
2
2
2
~ vl = ~j.E
~ = γE 2 = U = U = RI
PV = −P(f~) = −n∗ .f~.~vl = n∗ q E.~
ρL2
RSL
SL
et on retrouve P = RI 2 pour un échantillon de volume SL : puissance dissipée par effet Joule.
On en déduit que notre hypothèse de départ est acceptable et que l’effet moyen des collisions sur la
vitesse des électrons de conduction est analogue à celui d’un freinage visqueux.
3.
Loi de Laplace pour un conducteur filiforme
~ selon
Soit un conducteur filiforme parcouru par un courant I et plongé dans un champ magnétique B
la figure ci-contre.
dF~
~
B
dq < 0
I >0
~v
d~l
~
Chaque porteur de charges subit la force de Lorentz F~ = q~v ∧ B
La charge dq = Idt qui traverse la section S pendant dt ressent la force de Laplace
~
~ ∧B
~ ⇒ dF~ = I dl
~
~ = Idt dl ∧ B
dF~ = dq~v ∧ B
dt
On peut définir une force par unité de longueur
On a aussi dF = jSdlB = jBdV soit
PCSI2 2007 – 2008
~ est orienté selon I.
où dl
dF
= IB densité linéique de force.
dl
dF
= jB la densité volumique de force.
dV
Page 9/10
~ et B
~
Particule dans E
M5
4.
Effet Hall
C’est un effet qui apparaît dans les métaux et les semi-conducteurs.
Soit n∗ la densité particulaire des porteurs de charges q (positives sur la figure).
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
C
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
c
a
S = bc
z
~H
E
F~H
~j
y
I
q>0
x
b
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
~v
I
x
F~L
~
B
+
b
+
+
+
+ + + + + + + +
+A + + + + + + +
➀ Une plaquette de ce matériaux est traversée par un courant I. Cela correspond à un déplacement
d’ensemble des particules libres chargées à la vitesse ~v telle que I = jS = ρv vS d’où ~v = ρvIS .~ex .
~ uniforme et permanent.
➁ On applique alors un champ magnétique B
~
La trajectoire des porteurs s’incurve sous l’effet de F~L = q~v ∧ B
~ H qui s’oppose à l’action de B.
~
➂ Une face se charge ce qui crée un champ électrostatique E
➃ Rapidement, un nouveau régime permanent est atteint lorsque
~ H = −q~v ∧ B
~ ⇐⇒ E
~ H = −~v ∧ B
~
F~H = −F~L ⇐⇒ q E
et les particules ne sont plus déviées : ~v à nouveau selon ~ex .
~ H = I ~ex ∧ (B~ey ) = IB ~ez
E
Sρv
Sρv
IB
avec S = bc et
➄ On mesure la tension entre les points A et C : UH = VA − VC = EH b = b Sρ
v
ρv = n∗ q, on obtient alors
I
UH = ∗ B
n qc
On a UH proportionnelle à B, sa mesure permet de déterminer la valeur de B, c’est le principe
de la sonde à effet Hall (Teslamètre).
PCSI2 2007 – 2008
Page 10/10
~ et B
~
Particule dans E
M5
Table des matières
I
Position du problème, forces en présence
1. Hypothèses de travail
2. Force de Lorentz
~ ou B
~ seul
II Particule chargée dans un champ E
~
1. Action de E
1.a.
Détermination de v : aspect énergétique
1.b.
Trajectoire : application du PFD.
~
2. Action de B
2.a.
Aspect énergétique : conservation de l’énergie cinétique
2.b.
Trajectoire : PFD + méthode classique ou complexe.
2.c.
Cas particulier de la trajectoire circulaire
2.d.
Applications
~ et B
~ permanents et uniformes
III Action simultanée de E
~
~
1. E et B colinéaires : TD – Cours
~ et B
~ normaux : TD – Cours
2. E
IV Mouvement d’ensemble de porteurs de charges
1. Description du phénomène
2. Modèle classique de la conduction, loi d’Ohm locale
3. Loi de Laplace pour un conducteur filiforme
4. Effet Hall
PCSI2 2007 – 2008
Lycée Fabert de Metz