Épreuve de MATHÉMATIQUES

CX8611
Banque commune École Polytechnique – ENS de Cachan
PSI
Session 2008
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Épreuve de MATHÉMATIQUES
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Durée : 4 heures
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Aucun document n’est autorisé
L’usage de toute calculatrice est interdit
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être un erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il
est amené à prendre. __________

Indice de rotation d’une courbe simple.
Dans tout ce probl`eme, Td´esigne un r´eel strictement positif.
1 Premi`ere partie
On note Ul’ensemble des nombres complexes de module 1. On note FT
l’ensemble des applications T-p´eriodiques et continues de R`a valeurs dans
Uet F1
Tl’ensemble des applications T-p´eriodiques de classe C1de R`a valeurs
dans U. On appelle rel`evement de u∈ FTune fonction continue f:R→R
telle que u=eif .
1.Montrez que si u∈ F1
T, et si fest un rel`evement de uque l’on suppose
de plus d´erivable, alors f0=−i¯uu0.
Montrez que, r´eciproquement, tout u∈ F1
Tadmet un rel`evement fqui est
de classe C1et qui est une primitive de −i¯uu0.
2.Montrez que si fest un rel`evement de uet gest un rel`evement de v, alors
f+gest un rel`evement de uv.
3.Montrez que si z∈Uest de partie r´eelle positive, alors z=eiArcsin y, o`u
yest la partie imaginaire de z, puis que si u∈ FTv´erifie ku−1k∞≤√2,
alors uadmet un rel`evement f`a valeurs dans [−π/2, π/2].
4.Montrez que pour tout u∈ FT, il existe w∈ F1
Ttel que ku−wk∞≤√2/2.
Montrez que wne s’annule pas et que v=w/|w|v´erifie kv−wk∞≤√2/2
et ku
v−1k∞≤√2. D´eduisez-en que tout u∈ FTadmet un rel`evement.
5.Montrez que si fet gsont deux rel`evements d’un mˆeme u∈ FT, alors f−g
est une fonction constante, ´egale `a un multiple entier de 2π. D´eduisez-en
que si u∈ F1
Tet si fest un rel`evement de u, alors fest de classe C1.
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2 Deuxi`eme partie
6.Soit u∈ FT, soit fun rel`evement de uet soit aun r´eel. On pose
dT(u) = 1
2π(f(a+T)−f(a)) (1)
et on appelle ce nombre le degr´e de u. Montrez que dT(u) est un entier et
ne d´epend ni du choix du rel`evement f, ni de a.
7.Soient u∈ FTet k∈Ntels que |dT(u)| ≥ k. Montrez que pour tout
z0∈Uet tout r´eel al’´equation u(t) = z0admet au moins ksolutions
distinctes dans l’intervalle [a, a +T[.
8.Que vaut dT(u) si un’est pas surjective ?
9.Montrez que pour tous u, v ∈ FTon a dT(uv) = dT(u) + dT(v) et
dT(u/v) = dT(u)−dT(v).
10.Montrez que si u, v ∈ FTet si ku−vk∞<2, alors dT(u/v) = 0, puis
que dT(u) = dT(v).
11.Montrez que si u∈ FTest de classe C1par morceaux alors pour tout
r´eel aon a
dT(u) = −1
2πZa+T
a
iu0(t)¯u(t)dt.
12.Montrez que si u∈ F2πest de classe C1par morceaux alors
d2π(u) = X
n∈Z
n|cn|2,
o`u (cn)n∈Zd´esignent les coefficients de Fourier de u.
13.Soit u∈ F1
Tet soit fun rel`evement de u. Soit z∈Uet
F={t∈[a, a +T[|u(t) = z}.
Montrez que si Fest fini et si pour tout t∈Fon a f0(t)6= 0, alors dT(u) =
p−q, o`u p= Card{t∈F|f0(t)>0}et q= Card{t∈F|f0(t)<0}.
3 Troisi`eme partie
On appelle homotopie entre u∈ FTet v∈ FTune application continue
ϕ: [0,1] ×R→U
(λ, t)7→ ϕλ(t)
telle que, ϕ0=u,ϕ1=v, et
(i) ∀s∈[0,1], ϕλ∈ FT, (ii) ∀λ0∈[0,1], lim
λ→λ0kϕλ−ϕλ0k∞= 0.
S’il existe une homotopie entre uet v, on dit que uest homotope `a v.
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14.Montrez que si ϕsatisfait la condition (i) ci-dessus et est lipschitzienne
sur [0,1] ×[a, a +T], o`u aest un r´eel arbitraire, alors la condition (ii) est
v´erifi´ee.
15.Montrez que si ϕest une homotopie entre u∈ FTet v∈ FT, alors
dT(u) = dT(v).
16.Montrez que pour tout nombre complexe ztel que |z|<1, l’application
Mzd´efinie pour t∈Rpar
Mz(t) = z−eit
1−¯zeit
appartient `a F2π, puis que d2π(Mz) = 1. (Indication: on pourra consid´erer
les applications Mλz, o`u λparcourt l’intervalle [0,1].)
17.Montrez que si u∈ FTet dT(u) = 0, alors uest homotope `a l’application
constante ´egale `a 1.
18.Montrez que u, v ∈ FTsont homotopes si et seulement si dT(u) = dT(v).
4 Quatri`eme partie
On note ATl’ensemble des arcs param´etr´es de classe C2et T-p´eriodiques
de Rdans R2identifi´e `a C, r´eguliers `a l’ordre 1 en chaque point, c’est-`a-
dire dont la d´eriv´ee ne s’annule pas. On dira que Γ ∈ ATest simple si la
restriction de Γ `a [0, T [ est injective.
Si Γ ∈ AT, on appellera application tangente de Γ l’application −→ TΓ∈ FT
d´efinie par
−→
TΓ(t) = Γ0(t)
|Γ0(t)|,
pour t∈R. On appellera indice de Γ ∈ ATl’entier
iT(Γ) = dT(−→ TΓ).
19.D´eterminez i2π(Γn), o`u n∈Zet Γn(t) = eint.
20.On pose Γ(t) = cos t+isin(2t), et on d´esigne par −→ TΓson application
tangente. Montrez que pour tout r´eel ton a −→ TΓ(t)6=i, puis que i2π(Γ) = 0.
21.Montrez que si Γ ∈ ATest param´etr´ee par l’abcisse curviligne, alors
2πiT(Γ) est l’int´egrale de la courbure de Γ entre 0 et T.
On suppose `a pr´esent que Γ∈ ATet que de plus Γest simple. Pour tous
(x, y)∈R2tels que (x−y)/T /∈Z, on pose
SΓ(x, y) = Γ(x)−Γ(y)
sin π
T(x−y),
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