Analyse - Printed 5 juillet

⋇ Fonctions usuelles ⋇
Logarithme népérien et exponentielle
Définition
* La fonction logarithme népérien, notée ln est l’unique primitive sur ℝ∗+ de x ⟼ 1/x qui s’annule en 1. Elle est donc défini
x du
sur ℝ∗+ par ln x = ∫1
u
* La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien
ln o exp = exp o ln = Id
Ensemble de définition
La fonction ln est défini sur ℝ∗+ et la fonction exp est défini sur ℝ
Continuité et dérivabilité
Les fonctions ln et exp sont continues et dérivables sur leur ensemble de définition
1
∀x ∈ ℝ∗+ (ln x)′ = et ∀x ∈ ℝ (exp x)′ = exp x
x
Variations et limites
Les fonctions ln et exp sont des bijections strictement croissantes
lim ln x = −∞ et lim ln x = +∞
x→−∞
x→+∞
lim ex = 0 et lim ex = +∞
x→−∞
x→+∞
Transformation somme / produit
∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln(xy) = ln x + ln y
ln(xy) = ln|x| + ln|y| (si on sait que xy > 0 mais on ne connaît pas le signe de x et y)
∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln(x n ) = n ln x
x
∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln ( ) = ln x − ln y
∀(x, y) ∈ ℝ2 , ex+y = ex ey
∀x ∈ ℝ, e−x = 1/ex
y
Graphe
27/03/2012
Analyse – Nombres réels | 1
Fonctions puissances
Définition
On appelle fonction puissance toute fonction du type x ⟼ x α
Propriétés
Soient x, x’ ∈ ℝ∗+ et y, y’ ∈ ℝ
x y ∈ ℝ∗+ et ln x y = y ln x
x y+y′ = x y x y′
x yy′ = (x y )y′ = (x y′ )y
xx′y = x y x′y
x −y =
1
xy
1 y
=( )
x
Ensemble de définition
L’ensemble de définition de x ⟼ x α est ℝ∗+
Continuité et dérivabilité
La fonction x ⟼ xα est continue et dérivable sur son ensemble de définition.
Sa dérivée est la fonction x ⟼ αxα -1
Variations et limites
Si α > 0 la fonction x ⟼ xα est strictement croissante et lim+ x α = 0 et lim x α = +∞
x→+∞
x→0
Si α < 0 la fonction x ⟼ xα est strictement décroissante et lim+ x α = +∞ et lim x α = 0
x→0
x→+∞
Si α = 0, la fonction x ⟼ xα est constante égale à 1
Bijectivité
Pour α ≠ 0, la fonction réalise une bijection de ℝ∗+ sur ℝ∗+ . Sa bijection réciproque est la fonction x ⟼ x1/α
Graphes
27/03/2012
Analyse – Nombres réels | 2
Fonctions circulaires directes
Définition
On appelle fonctions circulaires ou trigonométriques directes les fonctions
sin, cos et tan
* tan se retrouve grâce à Thalès
Ensemble de définition
π
Les fonctions sin et cos sont définies sur ℝ. La fonction tan est définie sur ℝ\{ + πℤ}
2
Parité
La fonction cos est paire. Les fonctions sin et tan sont impaires
Périodicité
Les fonctions sin et cos sont 2𝜋-périodiques. La fonction tan est 𝜋-périodique.
Continuité et dérivabilité
Les fonctions sin, cos et tan sont continues et dérivables sur leur intervalle de définition.
sin' = cos
cos’ = -sin
tan’ = 1 + tan² = 1/cos²
Graphes
Equations trigonométriques
On appelle équations trigonométriques des équations faisant intervenir les fonctions trigonométriques. L’idée est de se
ramener à une des trois équations types suivantes dont la solution se retient aisément grâce à un dessin.
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Analyse – Nombres réels | 3
a ≡ b[2π]
sin a = sin b ⇔ {
ou a ≡ π − b[2π]
a ≡ b[2π]
cos a = cos b ⇔ {
ou a ≡ −b[2π]
tan a = tan b ⇔ {a ≡ b[π]
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Analyse – Nombres réels | 4
Fonctions circulaires réciproques
Définitions
π π
La fonction sin induit une bijection strictement croissante de [− , ] sur [-1, 1].
2 2
On appelle la fonction arcsinus sa fonction réciproque notée arcsin
La fonction cos induit une bijection strictement décroissante de [0, π] sur [-1, 1].
On appelle la fonction arccosinus sa fonction réciproque notée arccos
π
π
2
2
La fonction tan induit une bijection strictement croissante de ] , − [ sur ℝ.
On appelle la fonction arctan sa fonction réciproque notée arctan
Ensemble de définition et image
Les fonctions arcsin et arccos sont définies sur [-1, 1] et la fonction arctan est définie sur ℝ.
π π
L’image de arcsin est [− , ]
2 2
L’image de arccos est [0, π]
π
π
2
2
L’image de arctan est ] , − [
Variations et limites
Les fonctions arcsin et arctan sont strictement croissantes. La fonction arccos est strictement décroissante.
lim arctan x =
x→+∞
π
lim arctan x = −
2
x→−∞
π
2
Parité
Les fonctions arcsin et arctan sont impaires.
La fonction arccos n’est ni paire ni impaire. On a néanmoins la relation pour x ∈ [-1, 1] arccos(-x) = 𝜋 – arccos x
Continuité et dérivabilité
Les fonctions arcsin, arccos, et arctan sont continues sur leur ensemble de définition.
Les fonctions arcsin, arccos sont dérivables sur ]-1, 1[ et la fonction arctan est dérivable sur ℝ
arcsin’(x) =
1
√1−x²
arccos’(x) = −
1
√1−x²
arctan’(x) =
1
1+x²
Graphes
Les courbes de arcsin et arccos admettent des tangentes verticales en -1 et 1
(arcsin et arccos ne sont pas dérivables en -1 et 1)
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Analyse – Nombres réels | 5
Propriétés
π π
∀x ∈ [-1, 1] sin(arcsin x) = x
∀x ∈ ℝ arcsin(sin x) = x ⇔ x ∈ [− , ]
∀x ∈ [-1, 1] cos(arccos x) = x
∀x ∈ ℝ arccos(cos x) = x ⇔ x ∈ [0, π]
∀x ∈ ℝ tan(arctan x) = x
∀x ∈ ℝ arctan(tan x) = x ⇔ x ∈ ] , − [
2 2
π
π
2
2
* Attention arcsin o sin ≠ Id et arccos o cos ≠ Id et arctan o tan ≠ Id car ce sont des bijections réciproques de restrictions de
sin, cos et tan
∀x ∈ [-1, 1] sin(arccos x) = cos(arcsin x) = √1 − 𝑥²
∀x ∈ [-1, 1] arcsin x + arcos x =
*
π
2
1
π
x
2
∀x ∈ ℝ arctan x + arctan = signe(x)
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Analyse – Nombres réels | 6
Fonctions hyperboliques directes
Définition
On appelle sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique les trois fonctions suivantes
Pour tout x ∈ ℝ sinh 𝑥 =
ex −e−x
2
cosh 𝑥 =
ex +e−x
2
tanh 𝑥 =
sinh 𝑥
cosh 𝑥
Parité
Le sinus hyperbolique est la partie impaire de la fonction exponentielle.
Le cosinus hyperbolique est la partie paire de la fonction exponentielle.
Les fonctions sinh et tanh sont paires et la fonction cosh est impaire.
Continuité et dérivabilité
Les 3 fonctions sont continues et dérivables sur ℝ
sinh' = cosh
cosh’ = sinh
tanh’ = 1 – tanh² = 1/cosh²
Variations et limites
lim sinh x = −∞ et lim sinh x = +∞
x→−∞
x→+∞
lim cosh x = +∞ et lim cosh x = +∞
x→−∞
x→+∞
lim tanh x = −1 et lim tanh x = 1
x→−∞
x→+∞
Graphes
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Analyse – Nombres réels | 7
Fonctions hyperboliques réciproques
Définition
La fonction sinus hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ sur ℝ. On appelle fonction argument sinus
hyperbolique, sa fonction réciproque notée argsh.
La fonction cosinus hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ+ sur [1, +∞[. On appelle fonction
argument cosinus hyperbolique, sa fonction réciproque notée argch.
La fonction tangente hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ sur ]-1, 1[. On appelle fonction argument
tangente hyperbolique, sa fonction réciproque notée argth.
Parité
Les fonctions argsh et argth sont impaires
argch n’est ni paire ni impaire
Ensemble de définition et image
argsh est une bijection de ℝ sur ℝ.
argch est une bijection de [1, +∞[ sur ℝ+.
argth est une bijection de ]-1, 1[ sur ℝ.
Variations et limites
lim argsh x = −∞ et lim argsh x = +∞
x→−∞
x→+∞
lim argch x = +∞
x→+∞
lim argth x = −∞ et lim− argth x = +∞
x→−1+
x→1
Continuité et dérivabilité
Les 3 fonctions sont continues sur leur ensemble de définition
argsh et argth sont dérivables sur leur ensemble de définition
argch est dérivable sur ]1, +∞[
argsh’(x) =
1
√1+x²
argch’(x) =
1
√x²−1
argth’(x) =
1
1−x²
Propriétés – Expressions logarithmiques des fonctions hyperboliques réciproques
argsh x = ln(x + √1 + x 2 )
argch x = ln(x + √x 2 − 1)
1
1+x
2
1−x
argth x = ln
Propriétés
∀ x ∈ ℝ, sinh(argsh x) = x
∀ x ∈ [1, +∞[, cosh(argch x) = x
∀ x ∈ ]-1, 1[, tanh(argth x) = x
∀ x ∈ ℝ, argsh(sinh x) = x
∀ x ∈ ℝ, argch(cosh x) = x ⇔ x ∈ [1, +∞[
∀ x ∈ ℝ, argth(tanh x) = x ⇔ x ∈ ]-1, 1[
∀ x ∈ [1, +∞[, sinh(argch x) = √x 2 − 1)
∀ x ∈ ℝ, cosh(argsh x) = √x 2 + 1)
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Analyse – Nombres réels | 8
Graphes
27/03/2012
Analyse – Nombres réels | 9
⋇ Nombres réels ⋇
Ordre dans ℝ
Proposition
(ℝ, +, 𝗑, ≤) est un corps archimédien commutatif totalement ordonné qui possède la propriété de la borne supérieure.
* ℝ est archimédien ⇔ ∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, (x > 0) ⇒ (∃n ∈ ℕ nx > y)
* ≤ est compatible avec l’addition et la multiplication par un réel positif
Définition – Plus grand et plus petit élément
Soit A une partie de ℝ et a un élément de A
On dit que a est le plus grand élément de A si ∀x ∈ A, x ≤ a et on le note max(A) ou max A
On dit que a est le plus petit élément de A si ∀x ∈ A, a ≤ x et on le note min(A) ou max A
* Si le plus grand élément de A existe il est unique et c’est la borne supérieure de A
* Si le plus petit élément de A existe il est unique et c’est la borne inférieure de A
Définition – Majorant et minorant
Si A est une partie de ℝ , un élément de a ∈ ℝ est :
- un majorant de A si ∀x ∈ A, x ≤ a
- un minorant de A si ∀x ∈ A, a ≤ x
* Lorsqu’il existe le plus grand élément de A est l’unique majorant de A qui se trouve dans A
Définition – Borne supérieure et borne inférieure
Soit A une partie de ℝ
La borne supérieure de A est si elle existe le plus petit des majorants de A. Elle se note sup(A) ou sup A
La borne supérieure de A est si elle existe le plus grand des minorants de A. Elle se note inf(A) ou inf A
Propriété de la borne supérieure et de la borne inférieure
Toute partie non vide et majorée de ℝ possède une borne supérieure
Toute partie non vide et minorée de ℝ possède une borne inférieure
* L'ensemble ordonné ℚ des rationnels ne possède pas cette propriété
Proposition – Caractérisation de la borne supérieure
La borne supérieure a d’une partie X de ℝ est caractérisé par :
∀x ∈ X, x ≤ a (a est un majorant de X) et ∀ 𝜀 > 0, ∃x ∈ X, a – 𝜀 < x (a – 𝜀 n’est pas un majorant)
Proposition – Caractérisation de la borne inférieure
La borne inférieure d’une partie X de ℝ est caractérisé par :
∀x ∈ X, x ≥ a (a est un minorant de X) et ∀ 𝜀 > 0, ∃x ∈ X, a + 𝜀 > x (a + 𝜀 n’est pas un minorant)
Définition – Droite numérique achevée
̅ = ℝ ∪ {−∞, +∞}
On appelle droite numérique achevée l’ensemble ℝ
̅ en posant :
On prolonge la relation d’ordre ≤ sur ℝ
̅ , 𝑥 ≤ +∞
̅ , 𝑥 ≥ −∞
∀𝑥 ∈ ℝ
et
∀𝑥 ∈ ℝ
̅
+∞ est le plus grand élément de ℝ
̅
−∞ est le plus petit élément de ℝ
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Analyse – Nombres réels | 11
Valeur absolue
Définition
Soit x ∈ ℝ. On définit la valeur absolue de x par |x| = {
x si x ≥ 0
−x sinon
Propriétés
∀x ∈ ℝ, |x| ≥ 0
∀x ∈ ℝ, |x| = 0 ⟹ x = 0
∀(x, y) ∈ ℝ2 , |xy| = |x||y|
1
∀(x, y) ∈ ℝ2 sup(x, y) = (x + y + |x − y|)
2
1
∀(x, y) ∈ ℝ2 inf(x, y) = (x + 𝑦 − |x − y|)
2
Proposition
Soient x, y ∈ ℝ et ℰ≥ 0,
|x − y| ≤ ℰ ⇔ x − ℰ ≤ y ≤ x + ℰ ⇔ y ∈ [x − ℰ, x + ℰ]
* La quantité |x − y| mesure la distance entre deux points de la droite réelle x et y.
* Astuce : les réels de l’intervalle sont décrits par x + t(y - x) avec t ∈ [0, 1]
Inégalités triangulaires
∀(x, y) ∈ ℝ2 , ||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
∀(x, y) ∈ ℝ2 , ||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|
Inégalité de Cauchy-Schwartz
Soit n ∈ ℕ* Soient (a1, a2, …, an) et (b1, b2, …, bn) deux n-uplets de réels. Alors
n
2
n
n
(∑ a k bk ) ≤ (∑ a k ) (∑ bk 2 )
2
k=1
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k=1
k=1
Analyse – Nombres réels | 12
Topologie de ℝ
Définition – Intervalle de ℝ
Un intervalle de ℝ a une des formes suivantes :
[a, b] = {x ∈ ℝ, a ≤ x ≤ b} (fermé)
]-∞, a] = {x ∈ ℝ, x ≤ a } (fermé)
[a, b[ = {x ∈ ℝ, a ≤ x < b} (semi-ouvert)
]-∞, a[ = {x ∈ ℝ, x < a } (ouvert)
]a, b] = {x ∈ ℝ, a < x ≤ b} (semi-ouvert)
[a, +∞[ = {x ∈ ℝ, x ≥ a } (fermé)
]a, b[ = {x ∈ ℝ, a < x < b} (ouvert)
]a, +∞[ = {x ∈ ℝ, x > a } (ouvert)
ℝ = ]-∞, +∞[
∅ = ]a, a[
∅ et ℝ sont à la fois ouverts et fermés
{a} = [a, a]
[0,1[ ni fermé ni ouvert (fermé n’est pas le contraire de ouvert)
Un segment est un intervalle fermé borné [a,b] avec a et b réels
Propositions
* Une partie I de ℝ est un intervalle ssi pour tout x, y dans I x < a < y ⇒ a ∈ I
* Si I est un intervalle non vide, majoré et non minoré de ℝ alors I est un intervalle de la forme
] -∞, sup I] ou de la forme ] -∞, sup I[
* Si I est un intervalle non vide, minoré, non majoré de ℝ alors I est de la forme [inf I, +∞ [ ou de la forme ]inf I, +∞ [
* Si I est un intervalle non vide minoré et majoré il est de la forme [inf I, sup I] ou ] inf I, sup I[ ou
]inf I, sup I] ou [inf I, sup I[
* intersection d’intervalles => intervalle
* réunion d’intervalles non disjoints => intervalle
Proposition
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b alors [a, b] ={(1-t)a + tb, t ∈ [0, 1]} ={a + t(b-a), t ∈ [0, 1]}
Définition – Intérieur
On appelle intérieur de A le sous-ensemble de ℝ formé par les points x de A tels que il existe un intervalle ouvert I de ℝ tel
que x ⊂ I ⊂ A. Noté Int A ou Å. On a Int A ⊂ A
Définition – Adhérence
Soit A une partie de ℝ. On appelle adhérence de A le sous-ensemble de ℝ fermé par les points x tels que pour tout intervalle
̅ et A ⊂ A
̅
ouvert I de ℝ contenant A ∩ I ≠ ∅. On note Adh A ou A
c
c
c
̅ = (Int A ) et Int A = (A
̅̅̅c )
* Soit A une partie de ℝ. Alors A
[0 ,1] adhérence de ]0, 1[
Définition – Ouvert /fermé
Soit A une partie de ℝ. On dit que A est ouverte lorsque pour tout x ∈ A il existe un intervalle ouvert I de ℝ tel que x ∈ I et I ⊂
A. On dit que A est fermé lorsque son complémentaire A c est ouvert.
* La réunion d’une famille d’ouvert est un ouvert de ℝ
* L’intersection de deux fermés de ℝ est un fermé de ℝ
* Une partie est fermée ssi elle est égale à son adhérence
* Une partie est ouverte ssi elle est égale à son intérieur
Définition – Voisinage
Soit a ∈ ℝ. Une partie de ℝ est un voisinage de a si elle contient un intervalle ouvert contenant a.
* Une partie de ℝ est ouverte si c’est un voisinage de chacun de ses points
*[0, 1[ est un voisinage de 1 mais pas de 0
* En général on prend ]a-1, a+1[
* voisinage épointé de a = voisinage de a privé de a
* voisinage de +∞ = partie de ℝ contenant un intervalle de la forme ]A, +∞[
* voisinage de -∞ = partie de ℝ contenant un intervalle de la forme ] -∞, A[
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Analyse – Nombres réels | 13
Rationnels et irrationnels
* ℚ ⊂ ℝ et les éléments de ℝ qui n’appartiennent pas à ℚ sont des irrationnels
* La somme ou le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel
* Par contre la somme ou le produit de deux irrationnels peut être un rationnel
Définition – Densité
Une partie A de ℝ est dite dense dans ℝ si entre deux réels distincts il existe toujours au moins un éléments de A
Densité de ℚ et de ℝ\ℚ dans ℝ
ℚ et son complémentaire ℝ\ℚ sont denses dans ℝ donc étant donné deux réels x et y vérifiant x < y il existe au moins un
rationnel et un irrationnel dans l’intervalle ] x, y [
* Tout réel est limite d’une suite de nombre rationnels
* Tout réel est limite d’une suite de nombres irrationnels
Approximations décimales
Définition – Valeurs approchées
Soit a ∈ ℝ et b ∈ ℝ. On dit que b est une valeur approchée de a à 𝜀 si |a − b| < ε. C'est-à-dire si b ∈ ]a − ε, a + ε[
* On parle de valeur approchée par excès si b > a et par défaut si b < a
Définition – Partie entière
Etant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif noté E(x) ou [x] tel que E(x) ≤ x. On l’appelle partie entière
de x et donc par définition E(x) ≤ x ≤ E(x) + 1
* Attention E(-8,5) = - 9
* on peut encadrer E(x) par : x - 1 ≤ E(x) ≤ x
Définition – Valeurs décimales approchées
Soit x ∈ ℝ et n ∈ ℕ. Il existe un entier d unique tel que d × 10−n ≤ x < (d + 1) × 10−n
d est la partie entière de 10n 𝑥
d × 10−n est la valeur décimale approchée de x à 10−n près par défaut
(d + 1) × 10−n est la valeur décimale approchée de x à 10−n près par excès
27/03/2012
Analyse – Nombres réels | 14
⋇ Suites numériques ⋇
Définitions
Définition – Suite réelle
On appelle suite réelle toute application de ℕ dans ℝ. L’ensemble des suites réelles est donc ℝℕ. Pour tout u ∈ ℝℕ et n ∈ ℕ,
on note Un = U(n). Une suite réelle est aussi notée (Un) ou encore (Un)n∈ℕ. On appelle Un le terme général de la suite (Un).
* une suite peut être définie de deux manières différentes
- de manière explicite : on donne une formule de Un en fonction de n du type Un = f(n)
- par récurrence : on donne les k premiers termes de la suite et une relation de récurrence exprimant U n en fonction des k
termes précédents. On dit alors (Un) est une suite récurrente d’ordre k. Une suite récurrente d’ordre 1 vérifie donc une
relation de récurrence du type Un = f(Un)
Définition – Suite constante
Une suite (Un) est constante s’il existe C ∈ ℝ tel que Un = C ∀n ∈ ℕ
Une suite est stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang
Définition – Suite majorée
On dit qu’une suite (Un) est majorée (resp. minorée) s’il existe C ∈ ℝ tel que Un ≤ C (resp. Un ≥ C) ∀n ∈ ℕ. On dit qu’une suite
est bornée si elle est majorée et minorée.
Définition – Sens de variation
Une suite est croissante (resp. décroissante) si Un ≤ Un+1 (resp. Un ≥ Un+1) ∀n ∈ ℕ. Une suite est monotone si elle est croissante
ou décroissante. On parle de stricte croissante, décroissance ou monotonie si les inégalités sont strictes.
* Pour démontrer qu’une suite est croissante
Montrer que Un+1 - Un > 0
Si la suite est positive montrer que
Un+1
Un
≥1
Proposition
Si une suite (Un) est définie explicitement par Un = f(n) ∀n ∈ ℕ, si f est constante, majorée, minorée, bornée, croissante ou
décroissante, alors (Un) est constante, majorée, minorée, bornée, croissante ou décroissante.
Définition – Suites extraites
Etant donné une suite (Un)n∈ℕ, on dit qu’une suite (Vn)n∈ℕ est extraite de (Un)n∈ℕ s’il existe une application
φ : ℕ ⟼ ℕ strictement croissante telle que ∀ n ∈ ℕ Vn = Uφ(n).
19/04/2017
Analyse – Limite de fonctions | 15
Limites
suite convergente
suite divergeant vers l’infini
suite divergente
vers une limite l finie (l ∈ ℝ ou l ∈ ℂ)
définition
limite
∀ ε > 0, ∃ N entier naturel tel que
n ≥ N implique |Un − l| < ε
lim 𝑢𝑛 = 𝑙
𝑛→+∞
∀ A > 0, ∃ N entier naturel tel que
n ≥ N implique Un ≥ A
∀ A > 0, ∃ N entier naturel tel que
n ≥ N implique Un ≤ −A
lim 𝑢𝑛 = +∞ ou lim 𝑢𝑛 = −∞
⇔ lim 𝑢𝑛 − 𝑙 = 0
𝑛→+∞
𝑛→+∞
toutes les autres suites
pas de limite
𝑛→+∞
suite
monotone
suite bornée
Théorème de la limite monotone
toute suite croissante et majorée toute suite réelle croissante et non
converge vers sa borne supérieure
majorée diverge vers +∞
toute suite décroissante et minorée toute suite réelle décroissante et
converge vers sa borne inférieure
non minorée diverge vers -∞
toute suite convergente est bornée
réciproque fausse
par exemple (-1)n
les suites monotones ne sont jamais
divergentes
toute suite réelle divergeant vers +∞
est minorée et non majorée
toute suite réelle divergeant vers -∞
est majorée et non minorée
réciproque fausse
par exemple n(-1)n
somme
l’
+∞
−∞
+∞
+∞
+∞
?
l
l + l’
+∞
−∞
−∞
−∞
?
−∞
produit
l’ > 0
l’ = 0
l<0
+∞
−∞
l>0
ll’
0
ll’
+∞
−∞
l=0
0
0
0
?
?
l<0
ll’
0
ll’
−∞
+∞
+∞
+∞
?
−∞
+∞
−∞
−∞
−∞
?
+∞
+∞
Cas indéterminés
+∞ − ∞
0 x ∞ et donc aussi
19/04/2017
0
0
et
∞
∞
Analyse – Limite de fonctions | 16
Théorèmes sur les limites
Théorème – Unicité de la limite
Si (Un)n∈ℕ converge alors sa limite est unique
Proposition
Soit (Un)n∈ℕ une suite admettant l > 0. Alors (Un) est minorée par un réel strictement positif à partir d’un certain rang.
Théorème du passage à la limite dans les inégalités
Soient (Un)n∈ℕ et (Vn)n∈ℕ des suites réelles convergeant respectivement vers l et l’
Soient m et M, 2 réels
S’il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, Un ≤ M alors l ≤ M
S’il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, m ≤ Un alors m ≤ l
S’il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, Un ≤ Vn alors l ≤ l’
Théorème de l’encadrement
Soient (Un)n∈ℕ ,(Vn)n∈ℕ et ,(Wn)n∈ℕ trois suites réelles vérifiant la propriété qui suit :
∃ n0 ∈ ℕ, ∀ n ∈ ℕ n ≥ n0 ⟹ Un ≤ Vn ≤ Wn et Un →
l et Wn →
l
n→+∞
n→+∞
Alors Vn converge aussi vers l
Théorème de minoration et de majoration
Soient (Un)n∈ℕ et (Vn)n∈ℕ deux suites réelles.
Si lim Un = +∞ et Un ≤ Vn à partir d’un certain rang alors (Vn) tend vers +∞
n→+∞
Si lim Un = −∞ et Un ≥ Vn à partir d’un certain rang alors (Vn) tend vers −∞
n→+∞
Si lim Un = 0 et |Vn| ≤ Un à partir d’un certain rang alors lim Vn = 0
n→+∞
n→+∞
Corollaires
Soient (Un)n∈ℕ une suite bornée et (Vn)n∈ℕ une suite de limite nulle. Alors lim Un Vn = 0
n→+∞
Soient (Un)n∈ℕ et (Vn)n∈ℕ deux suites réelles :
- Si (Un) est minorée et si lim Vn = +∞ alors lim Un + Vn = +∞
n→+∞
n→+∞
- Si (Un) est majorée et si lim Vn = −∞ alors lim Un + Vn = −∞
n→+∞
n→+∞
Suites adjacentes
* On dit que deux suites réelles (Un)n∈ℕ et (Vn)n∈ℕ sont adjacentes si :
(Un)n∈ℕ est croissante, (Vn)n∈ℕ est décroissante et Un − Vn →
0
n→+∞
* Deux suites adjacentes convergent et ont même limite
Suites extraites
* Si (Un)n∈ℕ admet l pour limite alors toute suite extraite de (Un)n∈ℕ admet l pour limite.
* On utilise souvent la contraposée : s’il existe 2 suites extraites qui convergent vers des limites différentes alors la suite
diverge
* Si les indices des suites extraites décrivent tout ℕ (par exemple 2n et 2n+1) alors la réciproque est vraie.
Proposition
̅ et f une fonction de limite L ∈ ℝ
̅ en l. Alors la suite (f(Un)) admet L pour limite.
Soit (Un)n∈ℕ est une suite de limite l ∈ ℝ
Théorème du point fixe
Si (Un)n∈ℕ est une suite numérique convergente définie par récurrence par son premier terme et la relation
Un+1 = f(Un), où f est une fonction continue, alors la limite l de (Un)n∈ℕ est un point fixe de f.
l vérifie f(l) = l ou f(l) – l = 0
19/04/2017
Analyse – Limite de fonctions | 17
Suites de Cauchy
Soit (Un)n∈ℕ une suite de réels. On dit que (Un)n∈ℕ est une suite de Cauchy si pour tout ε > 0 les distances entre les termes
|Un+k – Un| sont inférieures à ε à partir d’un certain rang.
∀ε > 0, ∃n0, ∀n ≥ n0, ∀k ∈ ℕ, |Un+k - Un| ≤ ε
* Tout suite convergente dans ℝ est une suite de Cauchy et réciproquement
Suites complexes
Soit (Zn)n∈ℕ une suite de complexes. La suite (Zn)n∈ℕ converge vers l dans ℂ ssi les suites Re((Zn)n∈ℕ) et Im((Zn)n∈ℕ) convergent
respectivement vers Re(l) et Im(l).
19/04/2017
Analyse – Limite de fonctions | 18
Autres théorèmes
Proposition – Densité de ℚ et ℝ\ℚ dans ℝ
Pour tout réel x, il existe une suite de rationnels et une suite d’irrationnels tendant vers x.
Théorème des segments emboîtés
Soit (In) une suite décroissante de segments dont la suite des longueurs tend vers 0. Alors ⋂n∈ℕ 𝐼𝑛 est un singleton
Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente
Caractérisation des bornes supérieures et inférieures
Soit 𝒜 une partie de ℝ. Alors c = sup 𝒜 (resp. c = inf 𝒜) ssi c est un majorant (resp. un minorant) de 𝒜 et s’il existe une suite
d’éléments de 𝒜 convergeant vers c.
Limites de suite à connaître
lim (
𝑛→+∞
𝑛+1 𝑛
𝑛
1 𝑛
1
1
ln(1+𝑢)
𝑛
𝑢
) = lim (1 + ) = lim 𝑒 𝑛 ln(1+𝑛) = 𝑒 car 𝑛 ln (1 + ) =
19/04/2017
𝑛→+∞
𝑛
𝑛→+∞
tend vers 1 quand u tend vers 0
Analyse – Limite de fonctions | 19
Suites classiques
Suites arithmétique
* Un+1 = Un + r
Un = U0 + n.r
Un = Up + (n-p).r
* si r > 0 la suite est croissante et sa limite est +∞
si r < 0 la suite est décroissante et sa limite est -∞
si r = 0 la suite est constante
* somme des termes
∑ni=0 Ui =
n+1
2
(Uo + Un )
Suites géométriques
* Un+1 = q Un et Un = qn U0
* Somme des n+1 premiers termes (de 0 à n)
1 − qn+1
1 − raisonnb termes
S = Uo
= premier terme ×
1−q
1 − raison
* monotonie
Si q = 1 ou U0 = 0 la suite est constante
Si q > 1 et U0 > 0 la suite est strictement croissante
Si q > 1 et U0 < 0 la suite est strictement décroissante
Si 0 < q < 1 et U0 > 0 la suite est strictement décroissante
Si 0 < q < 1 et U0 < 0 la suite est strictement croissante
Si q < 0 la suite est alternée
* convergence
Si q = 1 la suite est constante
Si |q| < 1 la suite converge vers 0
Si q > 1 la suite diverge vers +∞ ou -∞ (en fonction du signe de U0)
Si q ≤-1 la suite est alterné et elle diverge
Suites arithmético-géométriques
* Un+1 = a Un + b (avec a ≠ 1 sinon c’est une suite arithmétique)
* Pour calculer le terme général d’une suite arithmético-géométrique
- On résoud l’équation x = ax + b pour déterminer son point fixe
- On montre que la suite (Un – l) est géométrique de raison a
- On en déduit une expression du terme (Un – l) puis de Un
Suites périodiques
Un+p = Un suite de période p
Une suite périodique ne prend qu’un nombre fini de valeurs différentes elle est donc bornée
Elle ne peut pas être strictement monotone (seulement constante)
Suites de Riemann
Un = nα
Si α > 0 la suite diverge vers +∞
Si α = 0 la suite est constante
Si α < 0 la suite converge vers 0
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Analyse – Limite de fonctions | 20
Suites récurrentes linéaires d’ordres 2
Définition – Suite récurrente linéaire d’ordre 2
Soit (a, b) ∈ 𝕂 ⨯ 𝕂*. Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 est une suite (Un)n∈ℕ qui satisfait la relation de récurrence pour
tout n ≥ 0 : Un+2 = aUn+1 + bUn
Théorème
Soit (a, b) ∈ 𝕂 ⨯ 𝕂*. L’ensemble ℒa,b de suites récurrentes linéaires d’ordre 2.
ℒa,b = {(Un)n∈ℕ ∈ 𝕂ℕ | ∀n ∈ ℕ Un+2 = aUn+1 + bUn}
ℒa,b est un espace vectoriel de dimension 2
Méthode
Une suite géométrique non nulle (rn)n∈ℕ est dans ℒa,b ssi r est solution de l’équation caractéristique (E) : X2 – aX + b = 0
1er cas : (E) a deux racines distinctes α et β
(αn)n∈ℕ et (βn)n∈ℕ sont dans ℒa,b et sont linéairement indépendantes, elles forment donc une base de ℒa,b
Et donc u ∈ ℒa,b ssi il existe deux scalaires λ et μ tels que ∀n ∈ ℕ Un = λ αn + μ βn
On trouve λ et μ en utilisant les valeurs de U1 et U0
2ème cas : (E) a une racine double α
(αn)n∈ℕ et (n αn)n∈ℕ sont dans ℒa,b et sont linéairement indépendantes, elles forment donc une base de ℒa,b
Et donc u ∈ ℒa,b ssi il existe deux scalaires λ et μ tels que ∀n ∈ ℕ Un = λ αn + μ n αn
On trouve λ et μ en utilisant les valeurs de U1 et U0
3ème cas : 𝕂=ℝ et (E) n’a pas de racine réelle
L’équation (E) a deux racines complexes conjuguées α et α
̅. On pose r = |α| et 𝜃 = arg α.
n
n
On vérifie que les suites (r cos(n𝜃))n∈ℕ et (r sin(n𝜃))n∈ℕ sont dans ℒa,b et sont linéairement indépendantes, elles forment
donc une base de ℒa,b.
Et donc u ∈ ℒa,b ssi il existe deux scalaires λ et μ tels que ∀n ∈ ℕ Un = λ rn cos(n𝜃) + μ rn sin(n𝜃)
On trouve λ et μ en utilisant les valeurs de U1 et U0
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Analyse – Limite de fonctions | 21
⋇ Limite de fonctions ⋇
Définitions
Définition – Voisinage
Etant donné un réel a, on dit qu’une fonction f est définie au voisinage de a s’il existe un réel h > 0 tel que l’on soit dans l’un
des trois cas suivants :
voisinage à gauche : (Df ∩ [a – h, a + h]) \ {a} = [a – h , a[
voisinage à droite : (Df ∩ [a – h, a + h]) \ {a} = ]a, a + h]
(Df ∩ [a – h, a + h]) \ {a} = [a – h , a + h]
Une fonction f est définie au voisinage de +∞ s’il existe un réel A tel que [A, +∞[ ⊂ Df
Une fonction f est définie au voisinage de -∞ s’il existe un réel A tel que ]-∞, A] ⊂ Df
Définition – Limites finies
La fonction f converge vers 𝓁 en a (a ∈ ℝ) ssi ∀ℰ > 0, ∃𝜂 > 0, ∀x ∈ Df, |x - a| ≤ 𝜂 ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
La fonction f converge vers 𝓁 en a = +∞ ssi ∀ℰ > 0, ∃A ∈ ℝ, ∀x ∈ Df, x ≥ A ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
La fonction f converge vers 𝓁 en a = -∞ ssi ∀ℰ > 0, ∃A ∈ ℝ, ∀x ∈ Df, x ≤ A ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
On dit que f admet une limite finie 𝓁 en a et on écrit lim f = 𝓁 ou lim f = 𝓁
a
x→a
Définition – Limites infinies
̅ si elle est définie au voisinage de a et si l’on a :
Une fonction f tend vers +∞ en a ∈ ℝ
* pour a ∈ ℝ
∀A ∈ ℝ, ∃𝜂 > 0, ∀x ∈ Df, |x - a| ≤ 𝜂 ⇒ f(x) ≥ A
* pour a = +∞ ∀A ∈ ℝ, ∃B ∈ ℝ, ∀x ∈ Df, x ≥ B ⇒ f(x) ≥ A
* pour a = -∞
∀A ∈ ℝ, ∃B ∈ ℝ, ∀x ∈ Df, x ≤ B ⇒ f(x) ≥ A
On dit que f admet +∞ pour limite en a et on écrit lim f = +∞ ou lim f = +∞
a
x→a
Théorème – Unicité de la limite
Soit f une fonction définie au voisinage de a. Si f admet une limite 𝓁 en a, elle est unique.
Si f est définie en a et admet une limite en a alors lim f = f(a)
x→a
Proposition – Retour au zéro
̅ . Soit 𝓁 ∈ ℝ
̅ . Alors :
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ℝ
Si 𝓁 ∈ ℝ alors lim f (x) = 𝓁 ⇔lim f (x) − 𝓁 = 0
x→a
x→a
Si a ∈ ℝ alors lim f (x) = 𝓁 ⇔lim f (a + h) = 𝓁
x→a
h→0
Proposition – Limite et borne
̅ . Si f admet une limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ
Proposition – Limite et signe
̅ . Si f admet une limite finie 𝓁 > 0 en a, alors f est minorée par un réel
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ
strictement positif au voisinage de a.
Définition – Limite à gauche, à droite
̅ . Soit f une fonction définie au voisinage de a
Soit a ∈ ℝ et l ∈ ℝ
* On dit que f admet 𝓁 pour limite à gauche en a si la restriction de f à Df ∩ ]-∞, a] admet 𝓁 pour limite en a. Dans ce cas,
cette limite est unique et on la note lim− f
x→a
∀ℰ > 0, ∃𝜂 > 0, ∀x ∈ Df, a – 𝜂 ≤ x < a ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
* On dit que f admet 𝓁 pour limite à droite en a si la restriction de f à Df ∩ [a, +∞[ admet 𝓁 pour limite en a. Dans ce cas,
cette limite est unique et on la note lim+ f
x→a
∀ℰ > 0, ∃𝜂 > 0, ∀x ∈ Df, a < x ≤ a + 𝜂 ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
Proposition – Lien entre limite simple, limite à droite, limite à gauche
̅ . Soit f une fonction définie au voisinage de a
Soit a ∈ ℝ et l ∈ ℝ
19/04/2017
Analyse – Limite de fonctions | 23
Si f est définie en a, lim f = 𝓁 ⇔lim
f = lim
f = 𝓁 et f(a) = 𝓁
−
+
a
a
a
Si f n’est pas définie en a, lim f = 𝓁 ⇔lim
f = lim
f= 𝓁
−
+
a
19/04/2017
a
a
Analyse – Limite de fonctions | 24
Propriétés des limites
Théorème – Caractérisation séquentielle de la limite
̅ . Soit 𝓁 ∈ ℝ
̅ . Les propositions suivantes sont équivalentes :
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ
(i)
lim f = 𝓁
a
Pour toute suite (Un) à valeurs dans Df de limite a, (f(Un)) a pour limite 𝓁
(ii)
* Pour montrer qu’une fonction n’admet pas de limite en a, il suffit de trouver deux suites (Un) et (Vn) de même limite a telles
que (f(Un)) et (f(Vn)) possèdent des limites différentes
Proposition – Limite et borne supérieure/inférieure
Soit f : I ⟶ ℝ. Soit a ∈ I̅
Si f est majorée par M sur I et si lim f = M alors supI f = M
a
Si f est minorée par m sur I et si lim f = m alors infI f = m
a
Opérations sur les limites
somme
l’
+∞
−∞
+∞
+∞
+∞
?
l
l + l’
+∞
−∞
−∞
−∞
?
−∞
Cas indéterminés
+∞ − ∞
0 x ∞ et donc aussi
0
0
et
produit
l’ > 0
l’ = 0
l<0
+∞
−∞
l>0
ll’
0
ll’
+∞
−∞
l=0
0
0
0
?
?
l<0
ll’
0
ll’
−∞
+∞
+∞
+∞
?
−∞
+∞
−∞
−∞
−∞
?
+∞
+∞
∞
∞
0
attention lim = 0
0 x
Proposition – Composition de limites
̅ et g une fonction définie au voisinage de b ∈ ℝ
̅ . Soit enfin l ∈ ℝ
̅.
Soient f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ
Si lim f = b et lim g = 𝓁 alors lim g o f = 𝓁
a
b
a
Passage à la limite
Si lim f = 𝓁 et lim g = 𝓁′ et si f ≤ g au voisinage de a alors 𝓁 ≤ 𝓁’
a
a
Si lim f = 𝓁 et f ≤ M au voisinage de a alors 𝓁 ≤ M
a
Si lim f = 𝓁 et f ≥ m au voisinage de a alors 𝓁 ≥ m
a
(attention il faut des inégalités larges)
19/04/2017
Analyse – Limite de fonctions | 25
Théorèmes d’existence des limites
Théorème d’encadrement, de minoration, de majoration
Soient a ∈ ℝ et 𝓁 ∈ ℝ. Soit f, m et M trois fonctions définies au voisinage de a
Si lim m = lim M = 𝓁 et m ≤ f ≤ M au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut 𝓁
a
a
Si lim m = +∞ et m ≤ f au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut +∞
a
Si lim M = −∞ et f ≤ M au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut −∞
a
Corollaire
̅ . Si |f| ≤ ℰ au voisinage de a et si lim ℰ = 0 alors lim f = 0
Soient f et ℰ deux fonctions définies au voisinage de a ∈ ℝ
a
a
Corollaire
̅ . Si f est bornée au voisinage de a et si lim ℰ = 0 alors lim fℰ = 0
Soient f et ℰ deux fonctions définies au voisinage de a ∈ ℝ
a
a
Corollaire
̅
Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a ∈ ℝ
Si f est minorée au voisinage de a et si lim g = +∞ alors lim f + g = +∞
a
a
Si f est majorée au voisinage de a et si lim g = −∞ alors lim f + g = −∞
a
a
Théorème de la limite monotone
Soit f une fonction croissante sur un intervalle I. On pose m = inf I et M = sup I (avec éventuellement m = −∞ et M = +∞)
(i)
f admet une limite à gauche et à droite en tout point a intérieur à I. De plus, lim
f ≤ f(a) ≤ lim
f
−
+
a
(ii)
(iii)
19/04/2017
a
f admet une limite en m+. Si f est minorée cette limite est finie et vaut infI f sinon elle vaut −∞
f admet une limite en M-. Si f est majorée, cette limite est finie et vaut supI f, sinon elle vaut +∞
Analyse – Limite de fonctions | 26
Calcul de limites
Utiliser les développements limités (surtout en 0)
A l’infini penser aux croissance comparées
1 ≪ ln(ln(x)) ≪ ln(x) ≪ √n ≪ x ≪ x 2 ≪ 2x ≪ 10x ≪ x!
1
1
1
1
1
1
1
1
≪ x≪ x≪ 2≪ ≪
≪
≪
≪1
x! 10
2
x
x √x ln(x) ln(ln(x))
Lorsqu’il y a des arcsin arccos chercher un changement de variable y = sin x ou y = cos x
Lorsqu’il y a une partie entière, majorer ou minorer la fonction
Lorsqu’il y a des racines penser à la quantité conjuguée
Lorsqu’il y a des sin cos tan utiliser les formules trigonométriques et le développement limité de sin x / x et de tan x / x en 0
19/04/2017
Analyse – Limite de fonctions | 27
⋇ Comparaison de suites et de fonctions ⋇
Définitions et propriétés
Domination
Négligeabilité
Equivalence
Soient f et g deux fonctions définies dans un voisinage 𝒱 de a
(éventuellement privé de a si f ou g n’est pas défini en a).
On dit que f est dominée par g s’il
existe une constante K telle que
|f(x)| ≤ K|g(x)| pour tout x de 𝒱.
Définition pour une
fonction
On note f =a 𝒪(g) ou
f(x) =x→a 𝒪(g(x))
« f est un grand 𝒪 de g »
Quand g ne s’annule pas au
voisinage de a f(x) =x→a 𝒪(g(x))
f
équivaut à bornée
g
au voisinage de a
On dit que la suite (Un) est dominée
par la suite (Vn) si ∃M ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ,
|Un| ≤ M|Vn|
Définition pour une
suite
(Un) est dominée par la suite (Vn) ⟺
U
| n | est bornée ⟺ ∃M ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ,
Vn
Un
Opérations
Produit
x→a
On dit que f est équivalente à g
s’il existe une fonction η : 𝒱⟶ ℝ
telle que : f(x) = g(x)η(x)
pour tout x de 𝒱
et lim η(x) = 1
x→a
On note alors f =a o(g) ou
f(x) =x→a o(g(x)).
« f est un petit o de g »
On note alors f~a g ou
f(x)~x→a g(x)
Quand g ne s’annule pas au
voisinage de a f(x) =x→a o(g(x))
Quand g ne s’annule pas au
voisinage de a f(x) =x→a g(x)
équivaut à lim
f(x)
x→a g(x)
=0
On dit que la suite (Un) est
négligeable devant la suite (Vn) si
∀ε >0, ∃n0, ∀n ≥ n0, |Un| ≤ ε|Vn|
(Un) est négligeable devant la suite
U
(Vn) ⟺ | n | tend vers 0 ⟺ ∀ε > 0,
Vn
Un
| |≤M
∃n0, ∀n ≥ n0, | | ≤ ε
si f =a 𝒪(g) alors f =a 𝒪(λg)
si f =a o(g) alors f =a o(λg) et
λ f =a o(g)
Vn
Multiplicatio
n par un réel
λ≠0
Addition
Combinaison
linéaire
λ1, λ2 ∈ ℝ
On dit que f est négligeable devant
g s’il existe une fonction ε : 𝒱⟶ ℝ
telle que : f(x) = g(x)ε(x) pour tout
x de 𝒱 et lim ε(x) = 0
Vn
équivaut à lim
f(x)
x→a g(x)
=1
On dit que la suite (Un) est
équivalente à la suite (Vn) si ∀ε >
0, ∃n0, ∀n ≥ n0, |Un - Vn| ≤ ε|Vn|
(Un) est équivalente à la suite (Vn)
U
⟺ | n | tend vers 1 ⟺ ∀ε > 0,
Vn
Un
∃n0, ∀n ≥ n0, |
Vn
− 1| ≤ ε
pas d’addition membre à membre
Si f1 =a 𝒪(g) et f2 =a 𝒪(g), alors
λ1 f1 + λ2 f2 =a 𝒪(g)
Si f1 =a o(g) et f2 =a o(g), alors
λ1 f1 + λ2 f2 =a o(g)
Si f1 =a 𝒪(g1 ) et f2 =a 𝒪(g 2 ), alors
f1 f2 =a 𝒪(g1 g 2 )
Si f =a 𝒪(g) alors fh =a 𝒪(gh)
Si f1 =a o(g1 ) et f2 =a o(g 2 ),
alors f1 f2 =a o(g1 g 2 )
Si f =a o(g) alors fh =a o(gh)
Si f1 ~a g1 et f2 ~a g 2 , alors
f1 f2 ~a g1 g 2
Inverse
Si f~a g et si f et g ne s’annulent
1
1
pas au voisinage de a alors ~a
Puissance
Si f~a g et f >0 au voisinage de 0,
alors f α ~a g α pour tout α de ℝ
Réflexivité
f~a f
Relation
d’équivalence
f
Si f~a g alors g~a f
Symétrie
Transitivité
Composition à droite
g
Si f =a 𝒪(g) et g =a 𝒪(h) alors
f =a 𝒪(h)
Si f =a o(g) et g =a o(h) alors
f =a o(h)
Si f~a g et si g~a h alors f~a h
Si f =a 𝒪(g) et lim φ = a alors f ○
Si f =a o(g) et lim φ = a alors f ○
Si f~a g et lim φ = a alors f ○
φ =b 𝒪(g ○ φ)
φ =b o(g ○ φ)
φ~b g ○ φ
b
b
b
La négligeabilité et l’équivalence implique la domination
19/04/2017
Analyse – Fonctions convexes | 28
Négligeabilité
Notation
On note souvent f =a g + o(h) ce qui signifie f =a g + y où y =a o(h) ou encore f et g ne diffère que d’un petit o de h
au voisinage de a
Limites et petits o
Soit f une fonction définie au voisinage de a (éventuellement non définie en a).
Alors lim f = 𝓁 ⟺ f =a 𝓁 + o(1)
a
En particulier lim f = 0 ⟺ f =a o(1)
a
Si lim fg = 0 et g ne s’annule pas au voisinage de a alors f = o(1/g)
a
Croissances comparées
Factorielle (pour les entiers seulement) l’emporte sur exponentielle, qui l’emporte sur puissance, qui l’emporte sur
logarithme
Entiers au voisinage de +∞
1 ≪ ln(ln(n)) ≪ ln(n) ≪ √n ≪ n ≪ n2 ≪ 2n ≪ 10n ≪ n! ≪ pour la relation de domination
1
1
1
1
1
1
1
1
≪
≪ n≪ 2≪ ≪
≪
≪
≪1
n! 10n
2
n
n √n ln(n) ln(ln(n))
* n entier, a et b deux réels strictement positifs tels que 0 < a < b
ln(n)a = o(ln(n)b )
na = o(nb )
n entier, a et b deux réels positifs tels que 1 < a < b
an = o(bn )
* n entier, a et b deux réels strictement positifs et c réel > 1
ln(n)a = o(nb )
na = o(c n )
c n = o(n!)
* n entier, a et b deux réels strictement positifs et c réel 0 < c < 1
1
1
1
1
= o(
)
cn = o ( a)
= o(c n )
b
a
n
ln(n)
n
n!
Réels au voisinage de +∞
Soit α, β ∈ ℝ alors α < β ⟺ x α =x→+∞ o(x β )
Soit a, b ∈ ℝ∗+ alors a < b ⟺ ax =x→+∞ o(bx )
Si a > 1 alors x α =x→+∞ o( ax )
Soit α ∈ ℝ alors x α =x→+∞ o(eαx )
Soit α, β ∈ ℝ∗+ alors ln(x)α =x→+∞ o(x β )
Au voisinage de 0
Soit α, β ∈ ℝ alors α > β ⟺ x α =x→0 o(x β )
1
Soit α, β ∈ ℝ avec β > 0 alors |ln x|α =x→0 o ( β )
x
β
Soit α, β ∈ ℝ avec α > 0 alors x α =x→0 o(|ln x| )
Au voisinage de -∞
Soit α, β ∈ ℝ∗+ alors eαx =x→−∞ o (
1
)
|xβ |
Soit a, b ∈ ℝ∗+ alors a > b ⟺ ax =x→−∞ o(bx )
19/04/2017
Analyse – Fonctions convexes | 29
Equivalence
Equivalence et limite
Etant données deux fonctions f et g équivalentes en a, si g a une limite finie ou infinie en a alors f a une limite en a et lim f =
a
lim g sinon aucune des deux fonctions ne possèdent de limite en a.
a
Si lim f = 𝓁 où 𝓁 est un réel non nul alors f ~a 𝓁
a
Equivalence et petits o
f ~a g ⟺ f = g + o(g)
Si f et g sont deux fonctions telles que g = o(f) alors f + g ~ f
Si f1 =a o(g1 ) et si f1 ~a f2 et g1 ~a g 2 alors f2 =a o(g 2 )
Composition par l’exponentielle
ef ~a eg ⇔ f − g →
a
0
Composition par le logarithme
Supposons que g soit à valeurs positives au voisinage de a. Si f ~a g et si g admet une limite en a (positive et différente de 1)
alors ln(f) ~a ln(g)
Equivalents usuels
* Un polynôme est équivalent en 0 (resp. en + ou -∞) à son polynôme de plus bas (resp. de plus haut) degré
* Toute fraction rationnelle est équivalente en 0 au quotient de ses termes de plus bas degré
Toute fraction rationnelle est équivalente en + ou -∞ au quotient de ses termes de plus haut degré
* Si f est dérivable en a et si f’(a) ≠ 0 alors
f(x)−f(a)
x−a
→ f′(a) on a f(x) − f(a)~x→a f′(a)(x − a)
x→a
(permet de retrouver les équivalents suivants)
ln(1 + x)~x→0 x ou bien
ln(1 + x) =x→0 x + o(x)
ex − 1~x→0 x
ou bien
ex =x→0 1 + x + o(x)
α
(1 + x) − 1~x→0 αx
ou bien (1 + x)α = ~x→0 1 + αx + o(x)
sin x ~x→0 x
tan x ~x→0 x
sh x ~x→0 x
th x ~x→0 x
arcsin x ~x→0 x
arctan x ~x→0 x
α
(1 + x) − 1 ~x→0 αx
* cos x − 1 ~x→0 −
x2
2
ch x − 1 ~x→0
(pour α ∈ ℝ)
x2
2
* astuce (−1)n + n~n→+∞ n
19/04/2017
Analyse – Fonctions convexes | 30
⋇ Continuité de fonctions ⋇
Définitions et propriétés
Définition – Continuité en un point
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ et définie en a. On dit que f est continue en a si f admet une limite finie en a.
Dans ce cas lim f = f(a)
a
* Pour montrer que f est continue en a il suffit de montrer que lim
f(x) = f(a)
x→a
x≠a
Définition – Continuité à droite et à gauche
Soit f définie au voisinage de a et définie en a
On dit que f est continue à gauche en a si sa restriction à D f ∩ ] − ∞; 𝑎] est continue en a c'est-à-dire si lim
f = f(a)
−
a
On dit que f est continue à droite en a si sa restriction à Df ∩ [𝑎; +∞[ est continue en a c'est-à-dire si lim
f = f(a)
+
a
Proposition
Soit f une fonction continue au voisinage de a. Alors f est continue en a ssi elle est continue à gauche et à droite en a.
* Pour montrer que f est continue en a il suffit de montrer que lim
f = lim
f = f(a)
−
+
a
a
Définition – Prolongement par continuité
Soit f une fonction définie au voisinage de a mais non définie en a. On dit que f est prolongeable par continuité en a si f
admet une limite finie en a. Le prolongement f̅ de f obtenu en posant f(̅ a) = lim f est alors continu en a.
a
Théorème – Caractérisation séquentielle de la continuité
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ et définie en a. Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i)
f est continue en a
(ii)
Pour toute suite (Un) à valeurs dans Df de limite a f((Un)) a pour limite f(a)
Proposition – Opérations et composition
* Soit f une fonction définie au voisinage de a et continue en a. Soit g une fonction définie au voisinage de f(a) et continue en
f(a). Alors g o f est continue en a.
* Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a. Si f et g sont continues en a alors f + g et fg sont continues en a
19/04/2017
Analyse – Fonctions convexes | 31
Continuité sur un intervalle
Définition – Continuité sur un intervalle
Soit f : I ⟶ ℝ. On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I
On note (I,ℝ) l’ensemble des fonctions continues de I à valeurs dans ℝ
Définition – Segment
On appelle segment de ℝ tout intervalle non vide, fermé et borné.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a, b ∈ I. Alors f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b)
* Une fonction continue qui ne peut prendre qu’un nombre fini de valeur est constante
* Si f(a) > 0 et f(b) < 0 alors il existe c dans [a, b] tel que f(c) = 0
(par exemple tout fonction polynôme de degré impair admet une racine réelle)
Corollaire
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle
L’image d’un segment par une application continue est un segment
* attention l’image d’un intervalle ouvert (resp. semi-ouvert) n’est pas forcément ouvert (resp. semi-ouvert)
Théorème
Toute application continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes
Corollaire – Théorème de la bijection monotone
Soit I un intervalle de ℝ et f une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle I. Alors
(i)
f réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f(I)
(ii)
l’application réciproque f-1 : J ⟶ I est une bijection continue et strictement monotone sur J de même sens de
variation que f
De plus si I = [a, b] on a
Si f est croissante f(I) = [f(a), f(b)]
Si f est décroissante f(I) = [f(b), f(a)]
On a des résultats analogue si I est un intervalle ouvert ou semi-ouvert (a et b pouvant être égaux respectivement à −∞ ou
+∞ avec éventuellement des limites.
* f continue strictement croissante sur I = ]a, b], f réalise une bijection de I sur f(I) = ] lim
f, f(b)]
+
a
* dans le cas d’une application continue strictement monotone l’image d’un intervalle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert) est
bien un intervalle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert). Sans monotonie stricte on ne peut rien dire si ce n’est que l’image est
bien un intervalle
Proposition
Soit f : I ⟶ ℝ une fonction continue et injective sur I. Alors f est strictement monotone sur I.
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Analyse – Fonctions convexes | 32
Continuité uniforme
Définition – Continuité uniforme
Soit f : I ⟶ ℝ une application. On dit que f est uniformément continue sur I si
∀ℰ > 0, ∃𝜂 > 0, ∀x,y ∈ I, |x - y| ≤ 𝜂 ⇒|f(x) – f(y) | ≤ ℰ
Théorème
Un application uniformément continue sur I est continue sur I
Théorème de Heine
Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment
Définition – Fonctions lipschitziennes
Soient f : I ⟶ ℝ une application et K ∈ ℝ+. On dit que f est lipschitzienne de rapport K ou plus simplement K- lipschitzienne
si ∀x,y ∈ I, |f(x) – f(y) | ≤ K|x - y|
Proposition
Soit f : I ⟶ ℝ une application. Si f est lipschitzienne sur I alors f est uniformément continue sur I.
19/04/2017
Analyse – Fonctions convexes | 33
⋇ Dérivabilité ⋇
Définitions
Définition – Dérivée en un point
Soient f : I ⟶ ℝ une application et a ∈ I. On dit que la fonction f est dérivable en a si la fonction 𝜏a, appelée taux
d’accroissement de f en a définie sur I \ {a} par :
τ𝑎 (x) =
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
possède une limite finie en a. Cette limite s’appelle nombre dérivé de f en a et se note f’(a) ou
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑎)
Interprétation géométrique
La tangente au graphe de f au point (a,f(a)) est la droite passant par (a,f(a)) et
dont un vecteur directeur est (1,f’(a)) (coefficient directeur f’(a))
Une équation cartésienne de cette tangente est donc
y = f ′ (a)(x − a) + f(a)
Si la courbe admet un point anguleux, la fonction n’est pas dérivable (existence de
2 demi-tangentes de coefficients directeur différents)
Si la courbe admet en un point une tangente parallèle à l’axe des ordonnées, la
fonction n’est pas dérivable en ce point
Définition – Dérivée à droite et à gauche en un point
Soient f : I ⟶ ℝ une application et a ∈ 𝐼 .̇
On dit que f est dérivable à gauche en a si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie à gauche en a. Cette limite
s’appelle nombre dérivée à gauche de f en a et se note f’g(a).
On dit que f est dérivable à droite en a si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie à droite en a. Cette limite
s’appelle nombre dérivée à droite de f en a et se note f’d(a).
La fonction f est dérivable en a ssi f est dérivable à droite et à gauche en a et f’d(a) = f’g(a)
Dans ce cas f’(a) = f’d(a) = f’g(a)
Proposition
Si f : I ⟶ ℝ est une fonction dérivable en a ∈ I alors f est continue en a
* La continuité est donc une condition de dérivabilité : si non continue, f non dérivable
* Contre exemple : la fonction f(x) = |x| continue mais non dérivable en 0
Proposition – Dérivabilité sur un intervalle
Soit f : I ⟶ ℝ une application. On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I. L’application x ⟼ f’(x) notée
f’ est appelée fonction dérivée de f ou plus simplement dérivée de f.
* Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un point a, on ne cherche pas la limite de sa fonction dérivée en a car cette
dernière peut exister en ce point sans pour autant avoir de limite en ce point. Passer à la limite peut être licite à condition de
savoir que f' est continue en a. (exemple x²cos(1/x))
Calculer une limite grâce à la dérivée
Si f est dérivable en a alors on sait que la fonction
19/04/2017
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
a une limite finie en a qui est f’(a)
Analyse – Fonctions convexes | 35
Opérations et dérivées usuelles
Opérations sur les dérivées
(f+g)’(a)=f’(a) + g’(a)
(f.g)(a) = f’(a).g(a) + f(a).g’(a)
1 ′
( ) (a) =
g
f ′
( ) (a) =
−g′(a)
g²(a)
(g(a) ≠ 0)
f′(a)g(a)−f(a)g′(a)
g
g²(a)
(g(a) ≠ 0)
(gof)’(a) = g’(f(a))f’(a)
(f −1 )’ =
1
f′of−1
(on retrouve la formule en dérivant f o f-1 = Id)
Dérivées simples
fonction
constante
xn, x ∈ ℝ, n ∈ ℕ
sin x, x ∈ ℝ
cos x, x ∈ ℝ
tan x, x ∈ ℝ, x≠𝜋/2+k𝜋, k ∈ℤ
exp x, x ∈ ℝ
ln x, x ∈ ]0, +∞[
xa, a ∈ ℝ , x ∈ ]0, +∞[
sinh x, x ∈ ℝ
cosh x, x ∈ ℝ
tanh x, x ∈ ℝ
arcsin x, x ∈ ]−1,1[
dérivée
0
nxn-1
cos x
- sin x
1+tan²x
exp x
1/x
axa-1
cosh x
sinh x
1 – tanh² = 1/cosh²
1
√1 − x²
1
−
√1 − x²
arccos x, x ∈ ]−1,1[
1
1 + x²
1
arctan x, x ∈ ℝ
argsh x, x ∈ ℝ
√1 + x²
1
argch x, x ∈ ]1, +∞[
√x² − 1
1
1 − x²
argth x, x ∈ ]−1,1[
Dérivées de fonctions composées
fonction
√f
dérivée
f′
ef
2√f
f ′ . ef
fa
af a−1 . f′
ln f
f′
f
log a f
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f′
f. ln b
Analyse – Fonctions convexes | 36
Etude globale des fonctions dérivables
Définition – Extremum local
Soit f : I→ℝ et a ∈ I mais n’est pas une borne de I
On dit que a admet un maximum (resp. minimum) local en a si f est majorée (resp. minorée ) par f(a) au voisinage de a
Théorème – Extremum local
Soit f définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en est pas une borne. Si la fonction f présente un extremum local en a
et si f est dérivable en a, alors nécessairement f’(a)=0.
* réciproque fausse (exemple x↦x3) car f’ doit s’annuler ET changer de signe
* Sur la représentation graphique, la tangente au graphe doit être horizontale en un tel point.
Théorème de Rolle
Etant donné deux réels a et b tels que a < b ainsi qu’une fonction f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifiant f(a)=f(b),
il existe alors c ∈ ]a,b[ tel que f’(c)=0.
Graphiquement cela signifie que l’une (au moins) des
tangentes au graphe de la fonction f doit être
horizontale
Attention c n’est pas forcément unique
Théorème des accroissements finis
Soit (a,b) ∈ ℝ², a<b . Soit f : [a,b]→ℝ une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[.
On a les propriétés suivantes :
* égalités des accroissements finis :
il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(b)-f(a) = (b-a)f’(c)
* inégalités des accroissements finis :
si en outre il existe des réels m et M tels que pour tout t ∈ [a,b], on ait m ≤ f’(t) ≤ M alors m(b - a) ≤ f(b) - f(a) ≤ M(b - a)
En particulier si, pour tout t ∈ ]a,b[, |f’(t)| ≤ M, alors |f(b) - f(a)| ≤ M(b - a)
On a donc la majoration |f(b)-f(a)|≤ supt∈]a,b[ |f’(t)|(b-a)
Graphiquement cela signifie l’existence d’une
tangente parallèle à la corde joignant les points
(a,f(a)) et (b,f(b))
Corollaire – Dérivation et fonctions lipschitzienne
Soit f : I→ℝ une application. Si |f’| est majorée par k réel positif sur I, alors f est k-lipschitzienne sur I
19/04/2017
Analyse – Fonctions convexes | 37
Constance, monotonie et dérivabilité
Théorème – Dérivée et fonction constante
Soient I un intervalle non vide et f : I ⟶ ℝ une fonction dérivable dans I. f’=0 ssi f est constante
Théorème – Dérivée et variations des fonctions
Soient I un intervalle non vide et f : I ⟶ ℝ une fonction dérivable.
* f’(t) ≥ 0 (resp. f’(t) ≤ 0) ssi la fonction f est croissante (resp. décroissante) sur I.
* Si pour tout t ∈ I, on a f’(t) > 0 (resp. f’(t) < 0) alors la fonction f est strictement croissante (resp. strictement décroissante)
sur I. (réciproque est fausse, par exemple x3 strictement croissante et la dérivée s’annule en 0)
Théorème – Stricte monotonie et dérivabilité
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f’ est de signe constant sur [a, b] et si elle ne
s’annule qu’en un nombre fini de points, alors f est strictement monotone sur [a, b].
Limite de la dérivée
Théorème – Limite de la dérivée
̅ en a alors x ⟼ f(x)−f(a) admet aussi une limite l
Soient f : I ⟶ ℝ une fonction dérivable sur I\{a}. Si f’ admet une limite l ∈ ℝ
x−a
en a. En particulier, si l est fini, f est dérivable en a et f’ continue en a.
Corollaire
Soit f : [a, b] ⟶ ℝ continue sur [a, b] et de classe 𝒞1 sur ]a, b]. Si f’ admet une limite finie en a, alors f est de classe 𝒞1 sur
[a, b].
19/04/2017
Analyse – Fonctions convexes | 38
Dérivées successives
Dérivées d’ordre supérieur
Pour une fonction n-fois dérivable, n ∈ ℕ, on note f, f’, f ", f(3), …., f(k),…f(n) les dérivées successives dites dérivées k-ième de f
Par convention, f(0) = f.
Définition – Fonctions de classe 𝒞n
Soient f : I ⟶ ℝ et n ∈ ℕ. On dit que f est de classe 𝒞n si f est n fois dérivable sur I et si f(n) est continue sur I.
On dit que f est de classe 𝒞∞ si f est indéfiniment dérivable sur I.
On note 𝒞n (I, ℝ) ou (I) (resp. 𝒞∞ (I, ℝ) ou 𝒞∞ (I)) l’ensemble des fonctions de classe 𝒞n (resp. 𝒞∞) sur I.
Formule de Leibniz
n
(fg)(n) (x) = ∑nk=0 ( ) f (k) (x)g (n−k) (x) dérivée n-ième d’un produit
k
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Analyse – Fonctions convexes | 39
⋇ Fonctions convexes ⋇
Définition
Définition et interprétation graphique
I est un intervalle de ℝ
Définition – Fonction convexe / concave
La fonction f est convexe sur I si :
∀(x1 , x2 ) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1] f(λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf(x1 ) + (1 − λ)f(x2 )
On dit que f est concave lorsque –f est convexe c’est-à-dire si :
∀(x1 , x2 ) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1] f(λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf(x1 ) + (1 − λ)f(x2 )
Interprétation graphique
Une fonction est convexe si son graphe est au-dessous de ses cordes
Théorème des 3 pentes
Pour f ∈ ℱ(I,ℝ) les propriétés suivantes sont équivalentes
(i)
f est convexe
f(y)−f(x)
(ii)
∀(x, y, z) ∈ I3, x < y < z ⟹
(iii)
3
∀(x, y, z) ∈ I , x < y < z ⟹
y−x
f(y)−f(x)
(iv)
3
y−x
f(z)−f(x)
19/04/2017
∀(x, y, z) ∈ I , x < y < z ⟹
z−x
≤
≤
≤
f(z)−f(x)
z−x
f(z)−f(y)
z−y
f(z)−f(y)
z−y
Analyse – Fonctions convexes | 41
Convexité et dérivabilité
Proposition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe ssi la fonction f’ est croissante.
Une fonction f deux fois dérivable sur l’intervalle I est convexe ssi f’’ ≥ 0.
Proposition
Si f est une fonction convexe et dérivable sur un intervalle I on a :
∀(x, a) ∈ I 2 , f(x) ≥ f(a) + (x − a)f′(a)
c’est-à-dire que le graphe d’une fonction convexe est
19/04/2017
situé
au-dessus
de
chacune
de
ses
tangentes
Analyse – Fonctions convexes | 42
⋇ Développements limités ⋇
Définition et propriétés
Théorème – Formule de Taylor-Lagrange
Soit f une fonction définie sur [a, b] ayant une dérivée n-ième sur [a, b] (f est de classe 𝒞n sur [a, b]) et une dérivée n+1-ième
en tout point de ]a, b[
Alors ∃ c ∈ ]a, b[ tel que : f(b) = f(a) + ∑nk=1
(b−a)k (k)
f (a)
k!
+
(b−a)n+1 (n+1)
f
(c)
(n+1)!
Théorème – Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, n fois dérivable sur I et a un point intérieur de I. Alors il existe une fonction 𝜀(x)
définie sur I qui tend vers 0 quand x tend vers a telle que l’on ait pour tout point x de I :
n
f(x) = f(a) + ∑
k=1
(b − a)k (k)
f (a) + (x − a)n ε(x)
k!
Définition – Développement limité
Cette formule f(x) = f(a) + ∑nk=1
(b−a)k (k)
f (a)
k!
+ (x − a)n ε(x) est appelée développement limité de Taylor d’ordre n de la
fonction f au point a
* f(a) + ∑nk=1
(b−a)k (k)
f (a)
k!
est appelé polynôme de Taylor ou la partie régulière du développement limité
* Un développement limité à l’ordre n s’il existe est unique (pour l’ordre n).
* (x − a)n ε(x) est le reste de la formule de Taylor d’ordre n au point a (ou terme complémentaire)
Proposition
Soit I un intervalle ouvert de ℝ, a un point de I et n un entier. Soit f une fonction définie sur I. Soit g la fonction qui à h associe
g(h) = f(a + h). La fonction f admet un développement limité d’ordre n en a ssi g admet un développement limité d’ordre n en
0.
f(x) = Pn (x) + o((x − a)n ) ⇔ g(h) = f(a + h) = Pn (a + h) + o(hn )
Proposition
Soit f une fonction admettant au voisinage de 0 un développement limité à l’ordre n dont la partie régulière est P n(x).
Si f est paire Pn(x) ne contient que des puissances paires de x.
Si f est impaire Pn(x) ne contient que des puissances impaires de x.
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Analyse – Fonctions intégrables | 43
Dérivabilité et développement limité
DL à l’ordre 0
* Soit f une fonction admettant une limite réelle l en x 0 ∈ ℝ alors la fonction f admet un développement limité à l’ordre 0 au
voisinage de x0
* Réciproquement : Soit f une fonction possédant un développement limité à l’ordre 0 en x0 ∈ ℝ telle que f(x) = a 0 + ε(x).
Avec lim ε(x) = 0. Alors f possède en x0 une limite égale à a0.
𝑥→𝑥0
DL à l’ordre 1
* Soit f une fonction dérivable en x0. La fonction f admet un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de x0.
* Réciproquement : Soit f admettant un développement limité à l’ordre 1 en x 0 pour laquelle on peut trouver des constantes
a0 et a1 telles que : f(x) = a 0 + a1 (x − x0 ) + o(x − x0 ). f est dérivable en x0 et f’(x0) = a1
DL à l’ordre n ≥ 2
* Si est une fonction de classe C n au voisinage de x0 alors la formule de Taylor-Young montre que f possède un
développement limité d’ordre n en x0
* En revanche une fonction peut admettre un développement limité d’ordre n en x 0 et ne pas être n fois dérivable en 0. Mais
si on sait qu’une fonction est de classe C n au voisinage de x0 et que l’on connait son développement limité, on peut en
déduire les valeurs des dérivées en x 0.
19/04/2017
Analyse – Fonctions intégrables | 44
Opérations sur les développements limités
Somme – Produit – Quotient – Composition
Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soient f et g deux fonctions définies sur I, admettant chacune un
développement limité d’ordre n en 0.
f(x) = Pn (x) + o(x n ) et g(x) = Q n (x) + o(x n )
* somme : f + g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est la somme de ceux de f et g
* produit : fg admet un développement limité en 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs
ou égaux à n dans le produit Pn Q n
* composition : si g(0) = 0 alors f o g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des
termes de degrés inférieurs ou égaux à n dans le polynôme composé Pn oQ n
* quotient : Le développement limité du quotient est égal au quotient de la partie régulière de f par g suivant les puissances
croissantes à l’ordre n (en supposant que g ne s’annule pas en 0)
* Si f admet un développement limité d’ordre n et g admet un développement limité d’ordre p alors fg d’ordre min(n,p). (on
ne peut rien dire à l’ordre n+p, les termes pouvant s’annuler)
* Si f admet un développement limité d’ordre n alors xpf admet un développement limité d’ordre p + n
Dérivation – Intégration
Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soit f une fonction n-1 fois dérivable sur I, dont la dérivée n-ième en 0
existe. Soit Pn son polynôme de Taylor d’ordre n et Rn le reste. f(x) = Pn (x) + R n (x) et R n (x) = o(x n )
* dérivation : la dérivée f’ admet un développement limité à l’ordre n-1 en 0 et son polynôme de Taylor est la dérivée de celui
de f
f′(x) = P′n (x) + o(x n−1 )
* intégration : toute primitive de f admet un développement limité d’ordre n+1 en 0, dont le polynôme de Taylor est une
primitive de celui de f
19/04/2017
Analyse – Fonctions intégrables | 45
Développements usuels
x x2
xn
+ + ⋯ + + o(x n )
1! 2!
n!
x x3
x 2n+1
sh x = + + ⋯ +
+ o(x 2n+2 )
(2n + 1)!
1! 3!
x2
x 2n
ch x = 1 + + ⋯ +
+ o(x 2n+1 )
(2n)!
2!
(−1)n x 2n+1
x3 x5
sin x = x − + + ⋯ +
+ o(x 2n+1 )
(2n + 1)!
3! 5!
(−1)n x 2n
x2 x4
cos x = 1 − + + ⋯ +
+ o(x 2n )
(2n)!
2! 4!
1
= 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o(x n )
1−x
α(α − 1) 2
α(α − 1) … (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx +
x +⋯+
x + o(x n )
2!
n!
(−1)n x n+1
x2 x3
ln(1 + x) = x − + + ⋯ +
+ o(x n+1 )
2
3
n+1
ex = 1 +
19/04/2017
Analyse – Fonctions intégrables | 46
Applications
Recherche d’équivalents
Quand une fonction f admet en x0 un développement limité d’ordre n dont la partie régulière est ∑nk=p a k (x − xo )k avec a p ≠
0 alors 𝑓(𝑥)~𝑥0 a p (x − xo )p
Etude de tangentes
Si une fonction f dispose en x0 d’un développement limité d’ordre p ≥ 2
f(x) = a 0 + a1 (x − xo ) + a p (x − xo )p + o((x − xo )p ) avec a p ≠ 0
alors la tangente est la droite d’équation 𝑦 = a 0 + a1 (x − xo )
et la position de la courbe par rapport à cette tangente est donnée par le signe de a p (x − xo )p
si p est pair : signe positif = au-dessus de la courbe et signe négatif = au-dessous de la courbe
si p est impair : le signe change avant et après x0
Recherche d’asymptotes
Soit f une fonction définie au voisinage de l’infini avec une limite infinie.
S’il existe un entier p ≥ 1 et des réels a0, a1 et ap+1 tels que ap+1≠ 0 et f(x) = a 0 x + a1 +
ap+1
xp
1
+ o ( p)
x
alors la droite d’équation 𝑦 = a 0 x + a1 est asymptote au graphe et au voisinage de l’infini, la position de la courbe par
rapport à son asymptote est donnée par le signe de
ap+1
xp
.
* On dit que f possède un développement asymptotique au voisinage de l’infini. Pour obtenir un tel développement on
calcule un développement limité de f(x)/x à l’ordre p+1
19/04/2017
Analyse – Fonctions intégrables | 47
⋇ Fonctions intégrables ⋇
Généralités
* On notera 𝓔 l’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b]
* I(φ) est la somme des aires des rectangles déterminés par φ (fonction en escalier)
Définition – Fonction Riemann-intégrable
On dit qu’une fonction est Riemann-intégrable sur un segment [a,b] s’il existe deux fonctions en escalier sur [a,b] dont les
intégrales sont arbitrairement voisines :
∀ ε > 0, ∃ φ ∈ 𝓔, ∃ ψ ∈ 𝓔, φ ≤ f ≤ ψ et I(ψ)-I(φ) < ε
* Les fonctions en escalier sur [a,b] sont donc intégrables selon Riemann sur [a,b].
Théorème
Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable selon Riemann sur [a,b].
Propriétés – Linéarité
Si f et g sont intégrables selon Riemann sur [a,b] alors :
b
b
b
∫ [f(x)dx + g(x)dx] = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
a
a
b
b
a
∫ λf(x)dx = λ ∫ f(x)dx (λ ∈ ℝ)
a
Si f ≥ 0 sur [a,b] alors
Si f ≥ g sur [a,b] alors
b
∫a f(x)dx
b
∫a f(x)dx
a
≥0
b
≥ ∫a g(x)dx
Théorème – Monotonie
b
b
Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a, b]. Si pour tout x ∈ [a,b], f(x) ≤ g(x), alors ∫a f(x)dx ≤ ∫a g(x)dx
Relation de Chasles
Si c ∈ [a,b] alors f est intégrable sur [a,c] et [c,b] et
b
c
b
∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
a
a
c
* Toute fonction continue par morceaux sur [a,b] est intégrable selon Riemann sur [a,b].
Inégalité de Schwarz
b
b
b
b
2
b
b
|∫a f(x)g(x)dx | ≤ √∫a f 2 (x)dx ∫a g 2 (x)dx ou (∫a f(x)g(x)dx ) ≤ ∫a f 2 (x)dx ∫a g 2 (x)dx
* L’égalité est obtenue lorsque ∀ x ∈ [a,b] f(x) + λg(x) = 0 (f et g proportionnelles)
Théorème de la moyenne
Si f et g sont continues sur [a,b], et si g garde un signe constant, il existe c ∈ [a,b] tel que
b
b
∫ f(x)g(x)dx = f(c) ∫ g(x)dx
a
a
Théorème
Si f est continue sur [a,b], il existe c ∈ [a,b] tel que
19/04/2017
b
1
∫ f(x)dx
b−a a
= f(c)
Analyse – Fonctions intégrables | 49
Primitive et intégrale
Définition – Intégrale
b
Si f est intégrable sur [a,b], le nombre réel ∫a f(x)dx est appelé intégrale de f sur [a,b]
Définition – Primitive
Si f est une fonction de [a,b] dans ℝ, on appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur ]a, b[ telle que F’ = f
Théorème fondamental de l’analyse
Soit F une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a, b[. On note f sa dérivée. Si la fonction f est intégrable sur [a, b] alors
b
∫a f(x)dx = F(b) − F(a)
Théorème
x
Toute fonction continue f de [a,b] dans ℝ admet une primitive F, définie pour tout x ∈ [a,b] par F(x) = ∫a f(x)dx
Les autres primitives sont de la forme x ⟼ F(x) + C où C est une constante
x
F(x) = ∫a f(x)dx est l’unique primitive de f nulle en a
19/04/2017
Analyse – Fonctions intégrables | 50
Théorème de Taylor-Young
Formule de Taylor avec reste intégral
(ou reste de Laplace)
Soit f une fonction de classe 𝒞n+1 sur un intervalle I. Soient x et x0 des points de I. Alors
x (n+1) (x
f
− t)
(x − x0 )n dt
f(x) = Pn (x) + ∫
n!
x0
où Pn (x) = ∑nk=0
f(k) (x0 )
k!
(x − x0 )k = f(x0 ) +
f′(x0 )
1!
(x − x0 ) +
f′′ (x0 )
1!
(x − x0 )2 + ⋯ +
fn (x0 )
n!
(x − x0 )n
Pn (x) est un polynôme de Taylor ou une approximation de Taylor d’ordre n
x (x−t)n n+1
(t)dt
f
n!
0
Et R n (x) = ∫x
est le reste intégral d’ordre n
* En x0 = 0 on retrouve la formule de Taylor-Mac Laurin
* Cette formule généralise le théorème fondamental de l’analyse que l’on retrouve pour n = 0
Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction dérivable sur I jusqu’à l’ordre n. Alors la fonction 𝜀 définie au voisinage de 0 par :
f(x0 + h) = f(x0 ) + hf ′ (x0 ) + ⋯ +
hn (n)
f (x0 )
n!
Ce qui revient à (x0 + h) = f(x0 ) + hf
19/04/2017
′ (x
0)
+ hn ε(h) est telle que lim ε(h) = 0
+⋯+
h→0
hn (n)
f (x0 )
n!
n
+ o(h )
Analyse – Fonctions intégrables | 51
Sommes de Riemann
Valeur moyenne d’une fonction intégrable
On appelle valeur moyenne d’une fonction intégrable sur [a,b] le réel :
n
b
1
1
b−a
μ=
∫ f(x)dx = lim ∑ f(a + k
)
n→+∞ n
b−a a
n
k=1
Définition
Soit f : [a,b] ⟶ ℝ une fonction partout définie sur le segment [a,b]. On considère n ∈ ℕ* et une subdivision régulière de [a,b]
xk = a + k
b−a
n
avec 0 ≤ k ≤ n.
La somme de Riemann associée à f est :
Sn =
b−a
n
∑nk=1 f (a + k
b−a
n
) = ∑nk=1(xk − xk−1 )f(xk )
b
Si f est intégrable au sens de Riemann lim Sn = ∫a f(t)dt
n→+∞
Exemple
Un = ∑nk=1
n
n2 +k2
1
1
n
1+ 2
n
= ∑nk=1
k2
On a donc une somme de Riemann pour la fonction continue sur [0, 1] définie par f =
1
1
Donc Un converge vers ∫0 f(x)dx = ∫0
19/04/2017
1
1+x2
dx = [arctan x]10 =
1
1+x2
π
4
Analyse – Fonctions intégrables | 52
⋇ Méthodes de calculs d’intégrales ⋇
Primitives usuelles
Fonction
a (réel donné)
Primitive
ax
Domaine de définition
ℝ
xn, n entier naturel
x n+1
n+1
ℝ
xn, n entier relatif ≠ -1
x n+1
n+1
ℝ*
xα, α réel ≠ -1
x α+1
α+1
1
x
cos x
sin x
1
= 1 + tan2 x
cos 2 x
1
1
=1+
2
sin x
1 + tan2 x
ℝ∗+
ln|x|
ℝ*
sin x
-cos x
ℝ
ℝ
tan x
x ≠ + kπ
−
π
2
1
tan x
ex
x ≠ kπ
ex
ℝ
x
ax a positif ≠ 1
a
ln a
ℝ
ch x
sh x
sh x
ch x
ℝ
ℝ
1
= 1 − th2 x
ch2 x
th x
ℝ
1
1
=
−1
sh2 x th2 x
1
2
x +1
1
1 − x2
1
√1 − x 2
1
√1 + x 2
1
√x 2 − 1
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−
1
th x
ℝ*
ℝ
arctan x
1
1+x
2
1−x
argth x = ln
]-1,+1[
arcsin x
]-1,+1[
argsh x = ln(x + √x 2 + 1)
ℝ
argch x = ln(x + √x 2 − 1)
]1,+∞[
Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 53
a2
Fonction
Primitive
ln |x|
x ln|x| - x
tan x
- ln |cos x|
1
tan x
ln |sin x|
x ≠ kπ
th x
ln ch x
ℝ
1
th x
ln |sh x|
ℝ*
1
sin x
ln |tan |
1
cos x
ln |tan ( + )|
1
sh x
ln |th |
ℝ*
1
ch x
2 arctan ex
ℝ
1
x
arctan
a
a
ℝ
1
x+a
ln |
|
2a x − a
x ≠ ±a
1
(a ≠ 0)
+ x2
1
(a ≠ 0)
a2 − x 2
1
√a2 − x 2
1
√a2 + k
19/04/2017
(a > 0)
(k ≠ 0)
x
2
x
π
2
4
x
2
arcsin
x
a
ln |x + √x 2 + k|
Domaine de définition
ℝ*
x≠
π
+ kπ
2
x ≠ kπ
x≠
π
+ kπ
2
]-a,+a[
ℝ si k > 0
{
}
|x| > √−k si k < 0
Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 54
Méthodes générales
Linéarisation (décomposition en somme)
On utilise ∫ λf(x)dx + μg(x)dx = λ ∫ f(x)dx + μ ∫ g(x)dx
- pour les puissances de sinus et cosinus qu’on transforme à l’aide de la formule de Moivre
- pour les fractions rationnelles
Intégration par parties
∫ u(x)v ′ (x)dx = u(x)v(x) − ∫ v(x)u′ (x)dx
b
b
∫ u(x)v ′ (x)dx = [u(x)v(x)]ba − ∫ v(x)u′ (x)dx
a
a
On l’emploie pour :
- Formule de Taylor avec reste intégral
-∫ P(x)eαx dx où P est un polynôme et α un réel donné
-∫ P(x) cos αx dx , ∫ P(x) sin αx dx, ∫ P(x) ch αx dx , ∫ P(x) sh αx dx
-∫ f(x)g(x)dx où g est une fonction rationnelle et f une fonction non algébrique de dérivée algébrique (par exemple arctan(x)
)
Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale indéfinie
Soit φ bijection
On a 𝐹(𝜑(𝑡)) = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡)). 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡
Soit on reconnait dans l’expression de l’intégrale fo𝜑 et 𝜑′ soit on introduit φ(t) pour simplifier l’intégrale
Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale définie
b
β
∫a f(x)dx = ∫α f[φ(t)]φ′ (t)dt avec α=φ-1(a) et β=φ-1(b)
On doit répercuter le changement de variable dans la fonction f, dans la différentielle dx et dans les bornes
Applications
F(ax)
Si ∫ f(x)dx = F(x) + C, ∫ f(ax)dx =
Si f est impaire
Si f est paire
a
∫−a f(x)dx
a
∫−a f(x)dx
a
+ C (a ≠ 0)
=0
a
= 2 ∫0 f(x)dx
b
b+T
Si f est T-périodique ∀a, b ∈ ℝ, ∫a f(x)dx = ∫a+T f(x)dx
a+T
Si f est T-périodique ∀a, b ∈ ℝ, ∫a
Si u ne s’annule pas ∫
19/04/2017
u′(x)
u(x)
b+T
f(x)dx = ∫b
f(x)dx
dx = ln|u(x)| + C
Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 55
Primitives des fractions rationnelles
Intégration d’un élément simple de première espèce
dx
∫ (x−a)α α entier
Si α = 1 ∫
dx
(x−a)
Si α ≥ 2 ∫
= ln|x − a| + C
dx
(x−a)α
= ∫(x − a)−α =
(x−a)1−α
1
+ C = (α−1)(x−a)α−1 + C
1−α
Intégration d’un élément simple de seconde espèce
Ax+B
∫ (x2+px+q)α dx α entier et p²-4q < 0
étape 1
on fait apparaître dans Ax+B la dérivée de x²+px+q
on se retrouve avec une intégrale du type ∫
du
uα
étape 2
il reste à calculer∫
dx
(x2 +px+q)α
on décompose x²+px+q comme somme de deux carrés
x²+px+q = t² + k² où t = x + p/2 et k = √q −
et donc ∫
dx
p2
4
dt
(x2 +px+q)α
= ∫ (t2 2 )α
+k
étape 3
Si α = 1 ∫
dt
t2 +k2
1
t
k
k
= arctan
Si α ≥ 2 on pose t = k tan θ et θ = arctan
1
k
dt
1 + tan2 𝜃
∫ 2
= 𝑘1−2𝛼 ∫
𝑑𝜃 = 𝑘1−2𝛼 ∫ cos 2𝛼−2 𝜃 𝑑𝜃
2
α
(t + k )
(1 + tan2 𝜃)𝛼
étape 4
puis on revient à x dans l’expression de l’intégrale
19/04/2017
Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 56
Primitives de fonctions trigonométriques ou hyperboliques
Forme sinpx cosqx avec p et q entiers relatifs
* si p est impair on prend pour variable u = sin x
avec la formule sin2x = 1 – cos2x on obtient une intégrale de la forme
∫ sin𝑝 𝑥 cos 𝑞 𝑥 dx = ∫ cos 𝑧 𝑥 sin 𝑥 dx = ∫ uz du
si q est impair même chose avec u = cos x
* Si p et q sont pair et positifs on abaisse le degré en utilisant les formules des angles doubles
cos 2 𝑥 =
1+cos 2𝑥
2
et sin2 𝑥 =
1−cos 2𝑥
2
on recommence plusieurs fois si nécessaire
* Si p et q pairs l’un au moins étant négatif
on prend pour variable tan x = t (valable aussi pour p et q impairs)
Cas général
∫ R(sin 𝑥 , cos 𝑥) dx où R est une fraction rationnelle
On essaie les changements de variables classique u = sin x, u = cos x, u = tan x
En cas d’échec la méthode générale consiste à prendre comme variable tan x/2 = t
On a alors
x
tan = t
2
cos 𝑥 =
1−𝑡 2
1+𝑡 2
x = 2 Arctan t
sin 𝑥 =
2𝑡
1+𝑡 2
dx =
tan 𝑥 =
2dt
1+t2
2𝑡
1−𝑡 2
On retrouve une fraction rationnelle classique
Primitives de fonctions hyperboliques
mêmes méthodes que pour les fonctions trigonométriques
19/04/2017
Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 57
Primitives de fonctions algébriques non rationnelles
Racine n-ième d’un quotient
𝑛 𝑎𝑥+𝑏
∫ √𝛼𝑥+𝛽 𝑑𝑥
𝑛 𝑎𝑥+𝑏
On prend pour variable 𝑦 = √
et on exprime x en fonction de y
𝛼𝑥+𝛽
On calcule dx et on remplace dans l’expression d’origine. On se ramène à une intégrale de fraction rationelle
Racine d’un polynôme du second degré
∫ √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
On transforme le polynôme et on le met sous la forme 𝑘(𝑢2 + 1) ou 𝑘(1 − 𝑢2 ) ou 𝑘(𝑢2 − 1)
On se retrouve donc à intégrer
∫ √𝑢2 + 1 changement de variable u = sh t
∫ √𝑢2 − 1 changement de variable u = (+ ou -)ch t
∫ √1 − 𝑢2 changement de variable u = sin t
19/04/2017
Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 58
⋇ Intégrales convergentes ⋇
Définitions
Définition – Intégrale localement intégrable
Soit f définie sur un intervalle I de ℝ. On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout segment inclus
dans I.
Définition – Cas d’un intervalle non borné
+∞
Soit f une fonction continue sur [a, +∞[. On dit que l’intégrale ∫a
+∞
Si c’est le cas on pose ∫a
x
f(t)dt converge si la limite de la primitive ∫a f(t)dt existe.
x
f(t)dt = lim ∫a f(t)dt
x→+∞
Dans le cas contraire on dit que l’intégrale diverge.
Définition – Cas d’une fonction non bornée sur un intervalle borné
b
b
Soit f une fonction continue sur ]a, b] On dit que l’intégrale ∫a f(t)dt converge si la limite de la primitive ∫x f(t)dt existe. Si
b
b
c’est le cas on pose ∫a f(t)dt = lim+ ∫x f(t)dt
x→a
Dans le cas contraire on dit que l’intégrale diverge.
Théorème – Relation de Chasles des intégrales convergentes
b
c
Soient f localement intégrable sur [a, b[ et c ∈ ]a, b[ alors ∫a f(t)dt et ∫a f(t)dt ont même nature et si elles convergent on a :
b
c
b
∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt
a
a
c
Théorème – Linéarité des intégrales convergentes
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de ℝ dont les intégrales convergent sur I. Soient λ et 𝜇 deux réels.
λ.f + 𝜇.g a une intégrale convergente sur I et ∫I (λf + μg)(x)dx = λ ∫I f(x)dx + μ ∫I g(x)dx
* Pour qu’une intégrale impropre soit convergente il suffit qu’il existe un changement de variable qui la ramène à un
intervalle propre
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Analyse – Intégrales convergentes| 59
Fonctions positives sur un intervalle non borné
Théorème – Limite non nulle à l’infini
Soit f localement intégrable sur [a, +∞[ on a alors
+∞
lim f(x) existe et est non nulle ⇒∫a
x→+∞
f(t)dt diverge
* on le montre par équivalence avec la fonction g(x) = la constante qui est limite de f à l’infini
+∞
* donc si ∫a
f(t)dt converge, soit f a une limite nulle en +∞, soit f n’a pas de limite
Théorème – Comparaison de fonctions sur un intervalle non borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, +∞[. Supposons que f soit majorée par g au voisinage de +∞.
∃A, ∀t > A, f(t) ≤ g(t)
+∞
Si ∫a
Si
+∞
g(t)dt converge alors ∫a
+∞
∫a f(t)dt
diverge alors
f(t)dt converge
+∞
∫a g(t)dt
diverge
* Astuce : utiliser la négligeabilité
Si f = o(g) au voisinage de l’infini, c'est-à-dire si lim
f(x)
x→+∞ g(x)
= 0 on a f ≤ g au voisinage de l’infini et on peut conclure …
Théorème – Fonctions équivalentes sur un intervalle non borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, +∞[, équivalentes au voisinages de +∞.
f(x)
lim
=1
x→+∞ g(x)
+∞
∫a
+∞
f(t)dt converge ssi ∫a
g(t)dt converge
Intégrales de Riemann
+∞ 1
∫1
tα
dt avec α réel strictement positif : diverge si α ≤ 1, converge si α > 1
Règle de l’ordre = trouver une fonction équivalente à une intégrale de Riemann
Règles de Riemann
+∞
Si 0 ≤ x α f(x) ≤ k, α > 1 alors ∫a
α
Si x f(x) ≥ k > 0, α ≤ 1 alors
f(t)dt converge
+∞
∫a f(t)dt
diverge
α
Si lim x f(x) = 0 pour tout réel k positif il existe un x0 à partir duquel −k ≤ x α f(x) ≤ k et donc pour x ≥ x0 |x α f(x)| ≤ k
x→+∞
donc |f(x)| ≤
k
xα
+∞
donc si α > 1 ∫a
f(t)dt converge
* La dernière règle est utilisée surtout pour les produits de logarithme, puissance, exponentielle
Intégrales de Bertrand
+∞
∫3
dt
t(ln(t))β
avec β réel strictement positif :
diverge si β ≤ 1, converge si β > 1
Théorème d’Abel
Soit f une fonction continument dérivable sur [a, +∞[ positive, décroissante, ayant une limite nulle en +∞. Soit g une
x
+∞
fonction continue sur [a, +∞[, telle que la primitive ∫a g(t)dt soit bornée. Alors l’intégrale ∫a
19/04/2017
f(t)g(t)dt converge.
Analyse – Intégrales convergentes| 60
Fonctions positives non bornées
Théorème – Limite finie en un point fini
f localement intégrable sur ]a, b], bornée telle que f est prolongeable par continuité en a, c'est-à-dire f de limite finie en a+,
b
alors ∫a f(t)dt converge.
1 sin t
* exemple ∫0
t
dt
Théorème – Comparaison de fonctions non bornées sur un intervalle borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur ]a, b]. Supposons que f soit majorée par g au voisinage de a
∃𝜀, ∀t ∈ ]a, a+𝜀[, f(t) ≤ g(t)
b
b
Si ∫a g(t)dt converge alors ∫a f(t)dt converge
b
b
Si ∫a f(t)dt diverge alors ∫a g(t)dt diverge
Théorème – Fonctions non bornées équivalentes sur un intervalle borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur ]a, b], équivalentes au voisinages de a.
f(x)
lim+
=1
x→a g(x)
b
b
Si ∫a f(t)dt ssi ∫a g(t)dt converge
Intégrales de Riemann
b
∫a
dt
diverge si α ≥ 1, converge si α < 1
(b−t)α
1 dt
∫0 tα diverge
si α ≥ 1, converge si α < 1
Règle de l’ordre
Trouver une fonction équivalente à une intégrale de Riemann en b−
k
Si f(x)~ (b−x)α lorsque x tend vers b− , (k réel non nul), alors f(x) diverge si α ≥ 1, converge si α < 1
Règles de Riemann
b
Si 0 ≤ (b − x)α f(x) ≤ k, α < 1 alors ∫a f(t)dt converge
b
Si (b − x)α f(x) ≥ k ≥ 0, α ≥ 1 alors ∫a f(t)dt diverge
Si lim x α f(x) = 0 pour tout réel k positif il existe un x0 tel que x ≤ x0 implique −k ≤ x α f(x) ≤ k et donc pour x ∈ ]0, 𝑥0 ]
x→0
|x α f(x)| ≤ k
donc |f(x)| ≤
k
xα
1
donc si α < 1 ∫0 f(t)dt converge
* La dernière règle est utilisée surtout pour les produits de logarithme, puissance, exponentielle
19/04/2017
Analyse – Intégrales convergentes| 61
Convergence absolue
Définition – Intégrale absolument convergente sur un intervalle non borné
+∞
Soit f une fonction continue sur un intervalle[a, +∞[. On dit que ∫a
+∞
f(t)dt est absolument convergente si ∫a |f(t)|dt est
convergente ;
Théorème
+∞
Si l’intégrale ∫a
f(t)dt est absolument convergente alors elle est convergente
Définition – Intégrale d’une fonction non bornée absolument convergente sur un intervalle borné
b
b
Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a, b] . On dit que ∫a f(t)dt est absolument convergente si ∫a |f(t)|dt est
convergente
Théorème
b
Si l’intégrale ∫a f(t)dt est absolument convergente alors elle est convergente
Définition – Semi-convergence
On dit que l’intégrale de f est semi-convergente sur un intervalle I si f est convergente mais n’est pas absolument
convergente
Plan d’étude
1 – Identifier les points incertains
2 – Découper l’intégrale pour isoler les points incertains
3 – Se ramener à une intégrale sur [a, +∞[ ou sur ]a, b]
4 – Calculer une primitive si c’est possible
5 – Si la fonction est de signe constant se ramener à une fonction toujours positive
Calculer un équivalent au voisinage du point incertain et utiliser les théorèmes de comparaison
6 – Si la fonction n’est pas de signe constant, étudier |f| comme dans le cas précédent
Si la fonction n’est pas absolument convergente, mettre la fonction sous forme d’un produit pour utiliser le théorème d’Abel
19/04/2017
Analyse – Intégrales convergentes| 62
⋇ Equations différentielles ⋇
Equations du premier ordre (non linéaires)
De nombreux problèmes d’origine physique économique etc… conduisent à rechercher une fonction y d’une variable réelle x
sachant qu’il existe une relation entre x, y et sa dérivée y’. Une telle relation est une équation différentielle.
Par solution d’une équation différentielle, on entend toute fonction 𝜑, dérivable sur un intervalle I de ℝ et satisfaisant
l’équation différentielle proposée.
Equations du premier ordre à variables séparées (ou séparables)
Il s’agit d’équation de la forme 𝑓(𝑦)𝑦 ′ = 𝑔(𝑥)
Soit F et G des primitives respectivement de f et de g
Si f ne s’annule pas F est bijective et on a 𝐹(𝑦(𝑥)) = 𝐺(𝑥) + 𝐶
D’où 𝑦(𝑥) = 𝐹 −1 (𝐺(𝑥) + 𝐶)
Equations du premier ordre incomplètes
* Absence de y 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥)
F primitive de f et 𝑦(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
* Absence de x 𝑦 ′ = 𝑓(𝑦)
Si f ne s’annule pas sur I on a
𝑦′
𝑓(𝑦)
= 1 et 𝑦(𝑥) = Ф−1 (𝑥 + 𝐶) où Ф est une primitive de
1
𝑓
Equations homogènes du premier ordre
𝑦
Il s’agit d’équations de la forme 𝐹 (𝑦 ′ , ) = 0
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
𝑥
* sous la forme 𝑦 ′ = 𝑓 ( ) on prend pour variable = 𝑧
* sous la forme 𝑦 = 𝑥𝑓(𝑦 ′ ), on prend pour variable y’=u
𝑦
* dans les autres cas on pose 𝑦’ = 𝑓(𝑡) et = 𝑔(𝑡) et le variables x et t se séparent
𝑥
Analyse – Equations différentielles | 63
Equations linéaires du premier ordre
Il s’agit d’équation de la forme 𝑦 ′ = 𝑎𝑦 + 𝑢 (1) où a et u sont deux fonctions continues sur un intervalle I
On appelle équation homogène (ou sans second membre) l’équation associée 𝑦 ′ = 𝑎𝑦 (2)
La solution générale de (1) est la somme d’une solution particulière de (1) et de la solution générale de (2)
Trouver une solution générale pour l’équation associée (2)
* S’il y a une solution particulière « évidente » y0 pour 𝑦 ′ = 𝑎𝑦, alors la solution générale de 𝑦 ′ = 𝑎𝑦 est 𝜆 y0 avec 𝜆 ∈ ℝ
* Sinon soit A(x) une primitive de a sur I, la fonction 𝑒 𝐴(𝑥) est une solution particulière de 𝑦 ′ = 𝑎𝑦 et 𝜆𝑒 𝐴(𝑥) est alors la
solution générale de 𝑦 ′ = 𝑎𝑦
Trouver une solution particulière pour l’équation (1)
(méthode de variation de la constante)
On cherche 𝑦1 (𝑥) solution générale de l’équation (2)
Puis on pose dans (1) 𝑦(𝑥) = 𝜆(𝑥)𝑦1 (𝑥) et on obtient 𝜆′ =
𝑢
𝑦1
. On trouve donc 𝜆(𝑥) en intégrant 𝜆′
Recollement des solutions
Si on a une équation de la forme 𝑎𝑦 ′ + 𝑏𝑦 = 𝑢 où est une fonction qui s’annule en certains points
On étudie l’équation différentielle sur les différentes parties du domaine de définition où a ne s’annule pas puis
on « recolle » les solutions en jouant avec les valeurs des constantes non définies.
Si a s’annule au point x0 et si la fonction f est solution de l’équation différentielle on doit avoir lim
𝑓 = lim
𝑓 pour que f soit
−
+
𝑥0
𝑥0
continue en x0 et lim
𝑓′ = lim
𝑓′ pour que f’ soit continue en x0
−
+
𝑥0
𝑥0
Analyse – Equations différentielles | 64
Equations classiques du premier ordre
Equation de Bernoulli
𝑦 ′ = 𝑎(𝑥)𝑦 + 𝑏(𝑥)𝑦 𝛼 où 𝛼 est un réel
Changement de variable 𝑧 = 𝑦1−𝛼 conduit à une équation linéaire
Equation de Riccati
𝑦 ′ = 𝑎(𝑥)𝑦 2 + 𝑏(𝑥)𝑦 + 𝑐(𝑥)
1
Si on connaît une solution particulière y1 on pose 𝑦 = 𝑦1 + et z se calcule grâce à une équation linéaire
𝑧
Equation de Clairaut
𝑦 ′ = 𝑥𝑦 ′ + 𝑓(𝑦 ′ )
On prend pour variable 𝑦 ′ = 𝑡
Equation de Lagrange
𝑦 = 𝑥𝑔(𝑦 ′ ) + 𝑓(𝑦 ′ )
On prend pour variable 𝑦 ′ = 𝑡
Analyse – Equations différentielles | 65
Equations linéaires du second ordre à coefficients constants sans 2nd membre
Il s’agit d’équations de la forme suivante 𝑦" + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0 (1)
(équation linéaire homogène du second ordre à coefficients constants)
La solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène du second ordre, sans second membre, est une
combinaison linéaire de deux solutions particulières indépendantes 𝑦1 et 𝑦2 c'est-à-dire 𝑦 = 𝜆1 𝑦1 + 𝜆2 𝑦2
𝜑(𝑟) = 𝑟 2 + 𝑎𝑟 + 𝑏 est appelé polynôme caractéristique de l’équation (1) et 𝜑(𝑟) = 0 est l’équation caractéristique de (1).
On calcule le déterminant 𝛥 de l’équation caractéristique.
Déterminant strictement positif
𝜑(𝑟) admet deux racines réelles distinctes 𝑟1 et 𝑟2 . (1) admet deux solutions indépendantes 𝑒 𝑟1𝑥 et 𝑒 𝑟2𝑥 et sa solution
générale est 𝑦(𝑥) = λ𝑒 𝑟1 𝑥 + 𝜇𝑒 𝑟2𝑥 avec 𝜆 et 𝜇 réels
Déterminant nul
𝑎
𝜑(𝑟) admet une racine double 𝛼 = − donc (1) admet la solution particulière 𝑒 𝛼𝑥 . On pose 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 𝑧(𝑥) dans (1) et on
2
obtient la solution générale 𝑦(𝑥) = (λ𝑥 + 𝜇)𝑒 𝛼𝑥 avec 𝜆 et 𝜇 réels
Déterminant strictement négatif
𝑎
√−𝛥
2
2
𝜑(𝑟) admet deux racines complexes. On pose 𝛼 = − , 𝜔 =
et 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 𝑧(𝑥). L’équation se réduit alors à 𝑧" + 𝜔2 𝑧 =
0 dont la solution générale est 𝑧(𝑥) = (𝜆 sin 𝜔𝑥 + 𝜇 cos 𝜔𝑥).
La solution générale de (1) est donc 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 (𝜆 sin 𝜔𝑥 + 𝜇 cos 𝜔𝑥) avec 𝜆 et 𝜇 réels
Analyse – Equations différentielles | 66
Equations linéaires du second ordre à coefficients constants – cas général
Il s’agit d’équations de la forme suivante 𝑦" + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 𝑓(𝑥) (1)
avec a et b réels.
𝑦" + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0 (2) est l’équation homogène associée.
La solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène du second ordre, est la somme d’une solution
particulière de (1) et de la solution générale de (2).
Trouver la solution particulière de (1)
On cherche la solution générale de (2) qui est sous la forme 𝜆𝑦1 + 𝜇𝑦2
Pour trouver la solution particulière de (1) on emploie la méthode de variation des constantes en posant dans l’équation (1)
𝑦(𝑥) = 𝜆1 (𝑥)𝑦1 + 𝜆2 (𝑥)𝑦2 . De plus on pose (arbitrairement) 𝜆′𝑦1 + 𝜇′𝑦2 = 0
𝜆′𝑦1 + 𝜇′𝑦2 = 0
𝜆’ et 𝜇’ sont solutions du système {
𝜆′𝑦1 ′ + 𝜇′𝑦2 ′ = 𝑓
On trouve ensuite 𝜆 et 𝜇 en intégrant 𝜆’ et 𝜇’
Analyse – Equations différentielles | 67
Equations linéaires du 2nd ordre à coeff. constants avec 2nd membre simple
Ce sont des équations du type 𝑦" + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 𝑓(𝑥) où f(x) est une somme ou un produit de polynômes, d’exponentielles
ou de fonctions sinusoïdales. Ça peut être aussi une équation du premier ordre.
f est un polynôme de degré n
Si b ≠ 0 : on peut déterminer une solution particulière sous forme d’un polynôme P(x) de degré n
Si b = 0 et a ≠ 0, on prend pour y’ un polynôme de degré n
Si b = 0 et a = 0, l’équation 𝑦" = 𝑓(𝑥) a pour solution un polynôme de degré n+2
Dans tous les cas on raisonne par identification
Exemple : 𝑦" + 𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥 3 + 1
On pose 𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
D’où 6𝐴𝑥 + 2𝐵 + 3𝐴𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶 − 2𝐴𝑥 3 − 2𝐵𝑥 2 − 2𝐶𝑥 − 2𝐷 = 𝑥 3 + 1
Par identification on obtient la solution particulière 𝑃(𝑥) = −
𝑥3
3
9
19
2
4
−2𝑥
4
8
Et la solution générale est donc 𝑥 ⟼ 𝑦(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝜆𝑒 𝑥 + 𝜇𝑒
− 𝑥2 − 𝑥 −
avec 𝜆 et 𝜇 réels
f est un produit d’exponentielle et d’un polynôme
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑚𝑥 𝑃(𝑥) avec 𝑃(𝑥) polynôme de degré n
On cherche une solution particulière de l’équation sous la forme 𝑒 𝑚𝑥 𝑄(𝑥) où Q est un polynôme
deg Q ≤ deg P si m n’est pas racine de l’équation caractéristique
deg Q ≤ deg P+1 si m est racine simple de l’équation caractéristique
deg Q ≤ deg P+2 si m est racine double de l’équation caractéristique
On raisonne par identification
f est produit de polynôme et d’une fonction sinus ou cosinus
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) cos 𝑘𝑥 ou 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) sin 𝑘𝑥
On remarque que sin 𝑘𝑥 = 𝐼𝑚(𝑒 𝑖𝑘𝑥 ) et cos 𝑘𝑥 = 𝑅𝑒(𝑒 𝑖𝑘𝑥 ). On remplace donc sin(kx) et cos(kx) par 𝑒 𝑖𝑘𝑥 et on traite le
problème de la même façon qu’avec des exponentielles réelles, sachant que (𝑒 𝑖𝑥 )′ = 𝑖𝑒 𝑖𝑥 . On ne garde ensuite que la partie
réelle ou imaginaire de la solution.
f est la somme de plusieurs fonctions du type précédent
On sépare le second membre en fonction de leur type. On a 𝑓(𝑥) = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥). On trouve y1 solution particulière de 𝑦" +
𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 𝑓1 (𝑥) et y2 solution particulière de 𝑦" + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 𝑓2 (𝑥).
y1+y2 est une solution particulière de l’équation de départ.
f est produit de polynôme et d’une fonction sinus ou cosinus hyperbolique
On transforme f en une somme d’exponentielles et on est ramené aux cas précédents.
Analyse – Equations différentielles | 68
Solution particulière de l’équation avec 2nd membre
méthode de variation de la constante
Solution générale
de l’équation homogène
Equations différentielles linéaires
solution = solution générale de l’équation homogène + une solution particulière de l’équation complète
Premier ordre 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑓(𝑥)
Second ordre 𝑦 ′′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑏 = 𝑓(𝑥) (et premier ordre 𝑎𝑦 ′ + 𝑏 = 𝑓(𝑥))
où a est une fonction
où a et b sont des coefficients constants
𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑏 = 0
* soit il y a une solution
particulière évidente 𝑦1 et la
solution générale est 𝜆𝑦1
* soit on calcule A une primitive
de a et la fonction 𝑒 𝐴(𝑥) est une
solution particulière de 𝑦 ′ = 𝑎𝑦
𝜆𝑒 𝐴(𝑥) est alors la solution
générale de 𝑦 ′ = 𝑎𝑦
On prend 𝑦1 (𝑥) solution générale
de l’équation homogène
On pose dans 𝑦(𝑥) = 𝜆(𝑥)𝑦1 (𝑥)
dans l’équation complète et on
𝑢
obtient 𝜆′ = .
𝑦1
On trouve donc 𝜆(𝑥) en intégrant
𝜆′
𝜑(𝑟) = 𝑟 2 + 𝑎𝑟 + 𝑏 polynôme caractéristique et 𝜑(𝑟) = 0 est l’équation caractéristique
𝛥 déterminant de l’équation caractéristique
𝛥>0, 𝜑(𝑟) a deux racines réelles
distinctes
L’équation admet deux solutions
indépendantes 𝑒 𝑟1 𝑥 et 𝑒 𝑟2𝑥
et sa solution générale est
𝑦(𝑥) = λ𝑒 𝑟1 𝑥 + 𝜇𝑒 𝑟2𝑥
avec 𝜆 et 𝜇 réels
𝛥>0, 𝜑(𝑟) a une racine double réelle
L’équation admet la solution particulière
𝑒 𝛼𝑥 .
On pose 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 𝑧(𝑥) dans
𝑦 ′′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑏 = 0
et on obtient la solution générale 𝑦(𝑥) =
(λ𝑥 + 𝜇)𝑒 𝛼𝑥 avec 𝜆 et 𝜇 réels
𝛥>0, 𝜑(𝑟) a deux racines complexes
𝑎
√−𝛥
On pose 𝛼 = − , 𝜔 =
et 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 𝑧(𝑥).
2
2
L’équation se réduit alors à 𝑧" + 𝜔2 𝑧 = 0 dont la
solution générale est 𝑧(𝑥) = (𝜆 sin 𝜔𝑥 +
𝜇 cos 𝜔𝑥).
La solution générale est donc 𝑦(𝑥) =
𝑒 𝛼𝑥 (𝜆 sin 𝜔𝑥 + 𝜇 cos 𝜔𝑥) avec 𝜆 et 𝜇 réels
- cas général * On cherche la solution générale de l’équation homogène qui est sous la forme 𝜆𝑦1 + 𝜇𝑦2
Pour trouver la solution particulière de 𝑦 ′′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑏 = 𝑓(𝑥) on pose dans l’équation 𝑦(𝑥) = 𝜆1 (𝑥)𝑦1 + 𝜆2 (𝑥)𝑦2 dans l’équation
complète. De plus on pose (arbitrairement) 𝜆′𝑦1 + 𝜇′𝑦2 = 0
𝜆′𝑦1 + 𝜇′𝑦2 = 0
𝜆’ et 𝜇’ sont solutions du système {
𝜆′𝑦1 ′ + 𝜇′𝑦2 ′ = 𝑓
On trouve ensuite 𝜆 et 𝜇 en intégrant 𝜆’ et 𝜇’
- cas particuliers de f * f est un produit d’exponentielle et d’un polynôme 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑚𝑥 𝑃(𝑥) avec 𝑃(𝑥) polynôme de degré n
On cherche une solution particulière de l’équation sous la forme 𝑒 𝑚𝑥 𝑄(𝑥) où Q est un polynôme
deg Q ≤ deg P si m n’est pas racine de l’équation caractéristique
deg Q ≤ deg P+1 si m est racine simple de l’équation caractéristique
deg Q ≤ deg P+2 si m est racine double de l’équation caractéristique
On raisonne par identification
* f est un polynôme de degré n : Idem avec solution particulière de la forme 𝑄(𝑥) où Q est un polynôme …
* f est un produit de polynôme et de sinus ou cosinus 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) cos 𝑘𝑥 ou 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) sin 𝑘𝑥
On remarque que sin 𝑥 = 𝐼𝑚(𝑒 𝑖𝑥 ) et cos 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑒 𝑖𝑥 ). On cherche une solution particulière complexe de l’équation sous la forme 𝑃(𝑥)𝑒 𝑖𝑘𝑥
On traite le problème de la même façon qu’avec des exponentielles réelles, sachant que (𝑒 𝑖𝑥 )′ = 𝑖𝑒 𝑖𝑥 . On ne garde ensuite que la partie
réelle ou imaginaire de la solution.
* f est un produit de polynôme et de sh ou ch. On replace sh et ch par des exponentielles.
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 69
f est la somme de plusieurs fonctions
On sépare le second membre en fonction de leur type. On a 𝑓(𝑥) = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥). On trouve y1 solution particulière de é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑓1 (𝑥) et y2 solution particulière de
é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑓2 (𝑥). y1+y2 est une solution particulière de l’équation de départ. (principe de superposition)
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 70
⋇ Fonctions de plusieurs variables ⋇
Normes
Définition – Norme
Soit E un espace vectoriel sur 𝕂 (en pratique 𝕂 = ℝ ou 𝕂 = ℂ).
On appelle norme sur E toute application : N : E ⟶ ℝ
x ⟼ N(x) = ‖x‖
vérifiant pour tous vecteurs x,y, … et scalaires λ,…
(N1) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0E
(N2) ‖λx‖ = |λ|‖x‖
(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ Inégalité triangulaire ou de Minkowski
* Muni d’une norme on dit que E est un espace vectoriel normé
* pour tout x de E : N(-x) = N(x) et N(x) ≥ 0
Définition – Normes équivalentes
On dit que deux normes N et N’ sur un même espace vectoriel sont équivalentes s’il existe deux scalaires strictement positifs α et β
tels que : ∀x ∈ E N(x) ≤ αN’(x) et N’(x) ≤ βN(x)
Théorème
Toutes les normes définies sur ℝp sont équivalentes
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 71
𝐩
Suites de ℝ
Définition – Suite vectorielle
On appelle suite vectorielle ou suite à valeurs dans ℝp , toute application de ℕ dans ℝp
On la note 𝑢 ou (un )n∈ℕ
Le vecteur un ∈ ℝp est appelée terme général de la suite
Définition – Convergence d’une suite vectorielle
On dit qu’une suite (un )n∈ℕ à valeurs dans ℝp converge vers 𝓁 ∈ ℝp si
∀𝜀 > 0, ∃N ∈ ℕ, n > N ⇒ ‖un − 𝓁‖ < ε
* On peut choisir n’importe quelle norme de ℝp
Les théorèmes valables pour les suites réelles convergentes sont les mêmes pour les suites vectorielles en remplaçant | | par ‖ ‖
Théorème
Soit (un )n∈ℕ une suite de ℝp
∀n, un = (u1n , u2n , … , upn ) où les p suite numériques (uin )n∈ℕ sont appelées suites coordonnées
lim u1n = 𝓁1
n→+∞
lim (u1n , u2n , … , upn ) = (𝓁1 , 𝓁2 , … 𝓁p ) ⇔{
n→+∞
⋮
lim upn = 𝓁p
n→+∞
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 72
𝐩
Topologies de ℝ
E espace vectoriel normé (E = ℝp )
Définition – Boule ouverte et fermée
Une boule ouverte de centre a et de rayon r est : B(a, r) = {x ∈ E / ‖x − a‖ < r}
Une boule fermée de centre a et de rayon r est : B(a, r) = {x ∈ E/ ‖x − a‖ ≤ r}
Définition – Voisinage
On dit qu’une partie V de E est un voisinage d’un point a ∈ E si V contient une boule ouverte contenant a
𝒱(a) ensemble des voisinages de a
V ∈ 𝒱(a) ⇔ ∃(x0 , r) ∈ E × ℝ∗+ B(x0 , r) ⊂ V et a ∈ B(x0 , r)
Définition – Intérieur
Soit A ⊂ E et soit un point a ∈ E. On dit que a est intérieur de A si A est voisinage de a
L’ensemble des points intérieurs à A est appelé intérieur de A et est noté Å
a ∈ Å ⇔ ∃(x0 , r) ∈ E × ℝ∗+ B(x0 , r) ⊂ A et a ∈ B(x0 , r)
Tout point intérieur à A est dans A
Å⊂A
Définition – Adhérence
Soit A ⊂ E et soit un point a ∈ E. On dit que a est adhérent à A si tout voisinage de a rencontre A
̅
L’ensemble des points adhérents à A est appelé adhérence de A et est noté A
̅ ⇔ ∀ V ∈ 𝒱(a) V ∩ A ≠ ∅
A∈A
̅
Tout point de A est adhérent à A
A⊂A
Définition – Point d’accumulation
Soit A ⊂ E et soit un point a ∈ E. On dit que a est un point d’accumulation de A si tout voisinage de a rencontre A en d’autres points
que a
∀ V ∈ 𝒱(a) V ∩ A\{a} ≠ ∅
Un point d’accumulation de a est forcément adhérent de A (réciproque fausse)
Un point qui n’est pas un point d’accumulation est dit point isolé
Définition – Ouvert / fermé
A ⊂ E est ouvert si (∀x ∈ A) ∃h > 0 : B(x, h) ⊂ A
A est fermé si E\A est ouvert (A est fermé ⇔ Ac est ouvert)
Propriétés des ouverts
* Toute boule ouverte est un ouvert de E
* A est une partie ouverte ⇔ Å = A
* Dans E si A est un ouvert pour une norme N, A est un ouvert pour toute autre norme N’ définie sur E
* L’intersection finie d’ouverts est un ouvert
* La réunion d’ouverts est un ouvert
* E et ∅ sont des ouverts
Propriétés des ouverts
* Toute boule fermée est un fermé de E
̅
* A est une partie fermée ⇔ A = A
* E et ∅ sont des fermés
* L’intersection de fermés est un fermé
* La réunion finie de fermés est un fermé
Définition – Partie bornée
Une partie A de E est une partie bornée de E si ∃r > 0, ∀x ∈ A ‖x‖ ≤ r
* Toute boule (ouverte ou fermée) est bornée dans E
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 73
Définition – Partie compacte
Une partie A de E est une partie compacte de E si A est à la fois fermée et bornée
* Toute boule ouverte de E est une compacte de E
Caractérisation des fermés par une suite
Une partie A de E est fermée ssi toute suite convergente à valeurs dans A a sa limite dans A
Caractérisation des compacts – Propriétés de Bolzano-Weierstrass
Une partie A de E est compacte ssi de toute suite à valeurs dans A on peut extraire une sous-suite convergente
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 74
Limite, continuité
E espace vectoriel normé (E = ℝp )
Définition – Limite en un point
Soit f : D ⟶ F (D ⊂ E) et a adhérent à D. On dit que f tend vers 𝓁 (𝓁 ∈ F) quand x tend vers a ou que f a pour limite 𝓁 au point a si : ∀𝜀
> 0, ∃α > 0, (x ∈ D et ‖x − a‖E < α) ⇒ ‖f(x) − 𝓁‖F < 𝜀
On note alors lim f = 𝓁
a
Propriétés des limites
* Si f admet une limite elle est unique
̅ : lim f = 𝓁 et lim g = 𝓂 alors lim f + g = 𝓁 + 𝓂
* Si f et g sont deux applications de D vers F et a ∈ D
a
a
a
̅ : lim f = 𝓁 ⇒ lim λf = λ𝓁
* Si f est une application de D vers F et a ∈ D
a
a
̅ alors lim f = b et lim g = 𝓁 ⇒ lim gof = 𝓁
̅ et b ∈ Δ
* Soit f: D ⟶ F et g : Δ ⟶ G, on suppose que f(D) ⊂ Δ ; Si a ∈ D
a
b
a
̅ . lim f = 𝓁 ssi pour toute suite (un ) de D de limite a (f(un )) converge vers 𝓁
* Soit f: D ⟶ F et a ∈ D
a
Définition – Applications coordonnées
Soit f : ℝp ⟶ ℝq . On appelle applications coordonnées de f, les q applications de ℝp ⟶ ℝ telles que
f(x1 , x2 , … , xp ) = (p1 (x1 , x2 , … , xp ), p2 (x1 , x2 , … , xp ), … , pq (x1 , x2 , … , xp ))
Théorème
̅
Soit f : D ⟶ ℝq (D ⊂ℝp ) et a ∈ D
f admet pour limite 𝓁 = (𝓁1 , 𝓁2 , … , 𝓁q ) quand x tend vers a ssi les q applications coordonnées de f ont pour limites respectives
𝓁1 , 𝓁2 , …, 𝓁q quand x tend vers a
Définition – Applications partielles
Soit f : D ⟶ ℝq (D ⊂ℝp ) et a = (a1 , a 2 , … , a p ) ∈ D. On appelle applications partielles associées à f au point a l’application
fia : x ⟼ fia (x) = f(a1 , … , a i−1 , x, a i+1 … , a p )
Théorème
Soit f : D ⟶ ℝq (D ⊂ℝp ) et = (a1 , a 2 , … , a p ) ∈ D. Si f admet pour limite 𝓁 quand x tend vers a , alors toutes les applications
partielles fi admettent pour limite 𝓁 quand xi tend vers ai
* S’ils existent deux applications partielles fi et fj au point a telles que lim fi (x) ≠ lim fj (x) alors f n’admet pas de limite quand x
x→ai
x→aj
tend vers a
Définition – Continuité
Soit f : D ⟶ F (D ⊂ E) et a ∈ D. On dit que f est continue au point a si lim f = f(a)
a
∀𝜀 > 0, ∃α > 0, (x ∈ D et ‖x − a‖E < α) ⇒ ‖f(x) − f(a)‖F < 𝜀
Propriétés des applications continues
* Si f et g sont continues en a (ou sur D) alors f + g est continue en a (ou sur D)
* Si f est continue en a (ou sur D) alors λf est continue en a (ou sur D)
* Si f est continue en a (ou sur D) et g continue en b = f(a) (ou sur f(D)) alors g o f est continue en a (ou sur D)
* f est continue en a ssi pour toute suite (un ) de D de limite a (f(un )) converge vers f(a)
* Si F = ℝ et si f et g sont continues en a (ou sur D) alors fg est continue en a (ou sur D)
f
* Si F = ℝ et si f et g sont continues en a (ou sur D) et si g(a) ≠ 0 alors est continue en a (ou sur D)
g
* Si F = ℝp et G = ℝq f est continue en a (ou sur D) ssi ses q applications coordonnées sont continues en a (ou sur D)
* Si F = ℝp et G = ℝq si f est continue en a (ou sur D) alors ses p applications partielles sont continues en a i (ou sur Di)
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 75
Dérivées partielles
On est dans le cas particulier où q = 1 i.e. f est une fonction numérique de plusieurs variables
Définition – Dérivée partielle
Soit f : U ⟶ ℝ, U étant un ouvert de ℝp . On dit que f admet en a = (a1 , a 2 , … , a p ) une ième dérivée partielle, si la ième application
partielle associée à f au point a, est dérivable en a i.
Elle est notée
∂f
∂xi
(a)
Définition – Classe 𝓒𝟏
On dit que f est de classe 𝒞 1 sur U, si f admet en tout point de U p dérivées partielles
∂f
,
∂f
∂x1 ∂x2
, …,
∂f
∂xp
continues sur U
Définition – Dérivées partielles secondes
On dit que f admet des dérivées partielles secondes en un point a de U, si les p dérivées partielles
∂f
,
∂f
∂x1 ∂x2
, …,
∂f
∂xp
admettent à leur
tour des dérivées partielles en a
On note
∂f
[
∂f
∂xi ∂xj
] (a) :
∂2 f
∂xi ∂xj
Théorème – Dérivées partielles d’une fonction composée
On écrit ce théorème pour la composée de fonctions de plusieurs variables avec 2 et 3 variables. Ceci est bien sûr arbitraire, le
théorème s'applique avec p et q variables…
Soit f : ℝ3 ⟶ ℝ, de classe 𝒞 1 sur U, U étant un ouvert de ℝ3 .
Soient u, v et w : ℝ2 ⟶ ℝ de classe 𝒞 1 sur V, V étant un ouvert de ℝ2 et telles que ∀x, y ∈ V, (u(x,y), v(x,y), w(x,y)) ∈ U.
Soit F : ℝ2 ⟶ ℝ classe 𝒞 1 sur V dans ℝ telle que F(x, y) = f(u(x, y), v(x, y), w(x, y))
∂F
∂x
=
∂f ∂u
∂u ∂x
+
∂f ∂v
∂v ∂x
+
∂f ∂w
∂w ∂x
et
∂F
∂y
=
∂f ∂u
∂u ∂y
+
∂f ∂v
∂v ∂y
+
∂f ∂w
∂w ∂y
Théorème de Schwartz
Soit f de classe 𝒞 1 sur U, U étant un ouvert de ℝp , admettant des dérivées partielles secondes sur U et i et j deux entiers différents
compris entre 1 et p :
- si
∂2 f
∂xi ∂xj
et
∂2 f
∂xj ∂xi
sont continues en a, alors
- si f est de classe 𝒞 2 sur U, alors on a sur U
∂2 f
∂xi ∂xj
∂2 f
∂xi ∂xj
(a) =
=
∂2 f
∂xj ∂xi
(a)
∂2 f
∂xj ∂xi
Définition – Matrice hessienne
La matrice hessienne d’une fonction de plusieurs variables est la matrice des dérivées partielles secondes.
* Exemple pour une application f de ℝ3 dans ℝ. Elle est symétrique à cause du théorème de Schwartz.
𝐻(𝑓) =
∂2 f
∂2 f
∂2 f
∂x2
∂x ∂y
∂x ∂z
∂2 f
∂2 f
∂2 f
∂x ∂y
∂y2
∂y ∂z
∂2 f
∂2 f
∂2 f
∂y ∂z
∂z2
(∂x ∂z
)
Définition – Gradient et laplacien
Soit f une fonction deux fois continûment dérivable de ℝp dans ℝ.
∂f
∂x1
⋮
On appelle gradient de f le vecteur noté ∇f : 𝛻𝑓 =
∂f
(∂xp)
On appelle laplacien de f le réel noté ∆f : ∆𝑓 =
∂2 f
∂x2
+
∂2 f
∂y2
+
∂2 f
∂z2
Type equation here.
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 76
Fonctions différentiables
Définition – Fonction différentiable
Soit f : U ⟶ ℝq , U étant un ouvert de ℝp . On dit que f est différentiable en un point a de U s’il existe une application linéaire 𝓁 de
ℝp dans ℝq telle que :
‖f(a + h) − f(a) − 𝓁(h)‖
lim
=0
h→0p
‖h‖
* Si elle existe, 𝓁 est appelée différentielle de f au point a et elle est unique. On la note d𝑓a
* Cela revient à dire qu’il existe une fonction 𝜀 définie au voisinage de 0p ∈ ℝp , à valeurs dans ℝq telle que :
f(a + h) = f(a) + d𝑓𝑎 (h) + ‖h‖𝜀(ℎ) et lim 𝜀(ℎ) = 0𝑞
h→0p
* Si f est différentiable en tout point de U, on dit qu’elle est différentiable sur U
Proposition
Soit f et g différentiables en a ∈ U
- f est continue en a
- f + g est différentiable en a et d(𝑓 + 𝑔)𝑎 = d𝑓a + d𝑔a
- αf est différentiable en a et d(𝛼𝑓)𝑎 = αd𝑓a
* pas de différentielle pour un produit ou un quotient
Cas particuliers
* Si p = 1 et q = 1 f est différentiable en a ssi f est dérivable en a
∀h ∈ ℝ d𝑓a (ℎ) = f′(a)ℎ
* Si p = 1 et q quelconque
f : U ⟶ ℝq , U étant un ouvert de ℝ avec f(t) = (f1 (t), f2 (t), … , fq (t))
f est différentiable en a de U ssi les q applications coordonnées sont dérivables en a
∀h ∈ ℝ d𝑓a (ℎ) = (f1 ′(a)ℎ, f2 ′(a)ℎ, … , fq ′(a)ℎ)
* Si p quelconque et q = 1 f : U ⟶ ℝ, U étant un ouvert de ℝp
Si f est différentiable en a, f admet admet p dérivées partielles en a (réciproque fausse)
𝑝
∀h ∈ ℝp d𝑓a (ℎ) = ∑𝑖=1
∂f(a)
∂xi
ℎ𝑖
Cas général
p et q quelconques, f : U ⟶ ℝq , U étant un ouvert de ℝp
On note f1, f2, …, fq les p fonctions coordonnées.
f est différentiable en a ssi ses q fonctions coordonnées le sont et d𝑓a (ℎ) = (d(𝑓1 )𝑎 (ℎ), d(𝑓2 )𝑎 (ℎ), … , d(𝑓q ) (ℎ))
𝑎
p
∑
dfa (h) =
i=1
p
∑
( i=1
∂f1 (a)
h
∂xi i
⋮
∂fq (a)
h
∂xi i )
∂f1
∂x1
Si f est différentiable en a , on appelle matrice jacobienne de f en a la matrice notée J f(a) définie par
∂f𝑞
(∂x1
(a)
⋮
(a)
…
…
∂f1
∂xp
(a)
⋮
(a)
∂xp
)
∂f𝑞
h1
h1
Si h = ( ⋮ ) alors dfa (h) = Jf (a) ( ⋮ )
hp
hp
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 77
Théorème – Différentielle d’une fonction composée
Soit f : U ⟶ ℝq , U étant un ouvert deℝp , de classe 𝒞 1 sur U et g : V ⟶ ℝs , V étant un ouvert deℝq , de classe 𝒞 1 sur V et telles que
f(U) ⊂ V
- Si f est différentiable en a et g différentiable en f(a) alors g o f est différentiable en a et d(𝑔𝑜𝑓)𝑎 = d𝑔f(a) o d𝑓a
Ou encore 𝐽𝑔𝑜𝑓 (𝑎) = 𝐽𝑔 (𝑓(𝑎))𝐽𝑓 (𝑎)
- Si f est différentiable sur U et g sur V, alors g o f est différentiable sur U
- g o f est de classe 𝒞 1 sur U
Définition – Rotationnel et divergence
Soit F : ℝ3 ⟶ ℝ3 une application deux fois continûment différentiable telle que F(x,y,z) = (f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z))
∂h
On appelle rotationnel de F le vecteur, noté rot(F) : rot(F) =
∂y
∂f
∂z
∂g
(∂x
On appelle divergence de F le réel noté div(F) : div(F) =
∂f
∂x
+
∂g
∂y
−
−
−
+
∂g
∂z
∂h
∂x
∂f
∂y)
∂h
∂z
Propriétés
div(∇f) = ∆f
div(rot(F)) = 0
rot(∇f) = 0
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 78
Extrema
On cherche à étudier les variations d’une fonction f de ℝp dans ℝ
Définition – Dérivée directionnelle
Soit D un domaine ouvert de ℝ2 et f : ℝ2 ⟶ ℝ une fonction continûment différentiable sur D. Soit (a, b) un point de D et (u, v) un
vecteur non nul de ℝ2 . On appelle dérivée directionnelle de f en (a, b) dans la direction de (u, v) la quantité :
∂f
∂f
(a, b)u + (a, b)v
∂x
∂y
* La dérivée directionnelle décrit les variations de f(a+tu, b+tv) dans autour de (a, b) dans la direction du vecteur (u,v)
Définition – Maximum et minimum
Soit D un domaine ouvert de ℝ2 et f : ℝ2 ⟶ ℝ définie sur D, et (a,b) un point de D ; On dit que f admet un maximum (resp. un
minimum) local en (a, b), s’il existe 𝜀 > 0 tel que f(a,b) ≥ f(x,y) (resp. f(a,b) ≤ f(x,y)) pour tout (x,y) tel que |x - a| < 𝜀 et
|y - b| < 𝜀
Théorème
Soit D un domaine ouvert de ℝ2 et f : ℝ2 ⟶ ℝ une fonction continûment différentiable sur D. Soit (a, b) un point de D. Si f admet un
minimum local ou un maximum local en (a, b) alors le gradient de f au point (a, b) est nul.
* Les points du plan où le gradient de f s’annule sont les points critiques de f.
Théorème
Soit D un domaine ouvert de ℝp , f une fonction deux fois continûment différentiable sur D et (a, b) un point de D. Notons ∇ le
gradient et H la matrice hessienne de f au point (a, b).
Si ∇ = 0 et si H a toutes ses valeurs propres strictement négatives, alors (a, b) est un maximum local pour f
Si ∇ = 0 et si H a toutes ses valeurs propres strictement positives, alors (a, b) est un minimum local pour f
Théorème – Extrema liés
Soit D un domaine ouvert de ℝp et f, g1, …, gk des applications continûment différentiables de D dans ℝ.
Soit A = {x ∈ D, g1= …= gk(x) = 0}
Si la restriction de f à A présente un extremum au point a de A, et si les vecteurs ∇g1(a), …, ∇gk(a) sont linéairement indépendants
alors il existe k réels λ1, …, λk tels que ∇f(a) = λ1∇g1(a) + … + λk ∇gk(a)
* f est une fonction dont on cherche un maximum ou un minimum, g 1, …, gk sont les contraintes
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 79
Difféomorphismes
Définition – Difféomorphismes
Soient D et ∆ deux domaines ouverts de ℝp . Soit Φ une application de D dans ∆. On dit que Φ est un difféomorphisme si :
- Φ est une bijection de D sur ∆
- Φ et sa réciproque Φ-1 sont continûment différentiables
* Ces applications sont utilisées comme changements de variables
Proposition
Les différentielles de Φ et Φ-1 sont elles aussi réciproques l’une de l’autre et les matrices jacobiennes sont des matrices carrées p ⨯
p inverses l’une de l’autre
Soit Φ un difféomorphisme de D sur ∆, a un point de D et b un point de ∆. Alors :
−1
dΦ−1 (Φ(a)) = (dΦ(a))
JΦ−1 (Φ(a)) = (JΦ (a))
−1
−1
dΦ(Φ−1 (b)) = (dΦ−1 (b))
JΦ (Φ−1 (b)) = (JΦ−1 (b))
−1
Définition – Déterminant jacobien
Soient D et ∆ deux domaines ouverts de ℝp . Soit Φ une application continûment différentiable de D dans ∆. On appelle déterminant
jacobien, ou plus simplement jacobien le déterminant de la matrice jacobienne.
J(Φ) = Det(JΦ )
Analyse – Fonctions de plusieurs variables | 80
⋇ Séries numériques ⋇
Généralités
Définition – Série numérique
Soit (un )n∈ℕ une suite de réels ou de complexes. On appelle série de terme général un et on note ∑ un la suite des sommes
partielles, (sn )n∈ℕ où pour tout n ∈ ℕ, sn = u0 + ⋯ + un = ∑ni=0 ui
* Une série est un cas particulier de suite
Définition – Convergence d’une série
On dit que la série ∑ un converge vers S si la suite des sommes partielles converge vers S, qui est appelée somme de la série.
+∞
n
∑ un = S ⇔ lim ∑ ui = S
n=0
n→∞
i=0
* Pour manipuler la somme d'une série, il est indispensable de justifier à priori que celle-ci est convergente.
Théorème
Si la série ∑ un converge, alors la suite (un )n∈ℕ tend vers 0
∑+∞
n=0 un = S ⇒ lim un = 0
n→∞
* On utilise souvent la contraposée : une série dont le terme général ne tend pas vers 0 ne peut pas converger
* Si (un )n∈ℕ diverge on dit que la série de terme général un diverge grossièrement.
* Si (un )n∈ℕ converge et la série de terme général un diverge, elle diverge non grossièrement.
Définition – Reste d’une série convergente
Si la série ∑ un converge vers S, on introduit R n = ∑+∞
k=n+1 uk = 𝑆 − sn appelé reste de rang n de cette série
* Le reste n’a de sens que pour une série convergente
Proposition
n
+∞
+∞
Si ∑ un converge alors pour tout n ∈ ℕ, ∑+∞
k=0 uk = ∑k=0 uk + ∑k=n+1 uk . De plus ∑k=n+1 uk →
n→+∞
0
* Une série est convergente ssi son reste R n converge vers 0
Théorème
Soit n0 ∈ ℕ. ∑n≥0 un converge ssi ∑n≥n0 un converge
* On ne modifie pas la nature d'une série en modifiant la valeur d'un nombre fini de ses termes.
Théorème – Linéarité
Soient ∑ un et ∑ vn deux séries convergentes, de sommes respectives s et t. Soient α et β deux réels quelconques. Alors la
série de terme général ∑(αun + βvn ) est convergente et sa somme est αs + βt
* Si ∑ un converge et et ∑ vn diverge alors ∑ un + vn diverge
* Si ∑ un diverge et ∑ vn diverge on ne peut rien dire
* Si k est un réel non nul ∑ un et ∑ kun sont de même nature. Si ∑ un converge vers S alors ∑ kun converge vers kS
Définition – Absolue convergence
On dit que la série ∑ un est absolument convergente si la série ∑|un | converge
Théorème
+∞
Une série absolument convergente est convergente et |∑+∞
n=0 un | ≤ ∑n=0|un |
* La réciproque est vraie pour une série à termes positifs à partir d’un certain rang
19/04/2017
Analyse - Séries numériques | 81
Série à termes positifs ou nuls
Les séries à termes (réels) positifs ou nuls (SATP) sont plus faciles à étudier car la suite des sommes partielles est croissante
donc cette suite n’a que deux comportements possibles : elle converge ou diverge vers +∞
On étudie le plus souvent la nature de ces séries par comparaison.
Théorème
Pour qu’une série à termes positifs ou nuls converge il faut et il suffit que la somme de ses n premiers termes soit majorée
quel que soit n. Autrement dit il existe une constante K telle que ∀n, ∑np=0 up ≤ K
Théorème – Comparaison avec une intégrale
Soit f une fonction de ℝ+ dans ℝ continue et décroissante. La série de terme général un = f(n) est de même nature
+∞
(convergente ou divergente) que l’intégrale ∫0
f(t)dt
Théorème – Comparaison sur inégalité
Soient ∑ un et ∑ vn deux séries à termes positifs ou nuls. On suppose qu’il existe n 0 ≥ 0 tel que pour tout n ≥ n0 un ≤ vn
Si ∑ vn converge alors ∑ un converge
Si ∑ un diverge alors ∑ vn diverge
* vrai même pour les séries qui ne sont pas à termes positifs ou nuls
Théorème – Comparaison de séries absolument convergente
Soient ∑ un et ∑ vn deux séries à termes positifs ou nuls.
Si un = O(vn ) et si ∑ vn est convergente alors ∑ un est convergente
Si un = o(vn ) et si ∑ vn est convergente alors ∑ un est convergente
Si un ~ vn et si ∑ vn est convergente ssi ∑ un est convergente
Théorème
Soient ∑ un et ∑ vn deux séries à termes positifs ou nuls telles que lim
un
n→+∞ vn
= 𝓁, 𝓁 fini non nul, les deux séries sont de même
nature
Corollaire – Règle n𝛼un
On compare les séries de termes généraux un et
1
𝑛𝛼
en faisant le quotient des termes généraux
un
1
𝑛𝛼
= 𝑛𝛼 un . On suppose que
𝑛𝛼 un tend vers une limite 𝓁 quand n tend vers +∞
Si 𝓁 fini et non nulle : si α > 1, ∑ un converge, si α ≤ 1 ∑ un diverge
𝓁 = 0 et α > 1 : ∑ un converge
𝓁 = +∞ et α ≤ 1 : ∑ un diverge
Théorème
Soient ∑ un et ∑ vn deux séries à termes positifs ou nuls.
v
u
Si à partir d’un certain rang n+1 < n+1 et si la série ∑ un converge alors la série ∑ vn converge aussi
Si à partir d’un certain rang
vn
vn+1
vn
≥
un
un+1
un
et si la série ∑ un diverge alors la série ∑ vn diverge aussi
Proposition
r n
Soient r et r’ deux réels tels que 0 < r < r’ < 1. Soit (a n)n∈ℕ une suite telle que ( ) a n soit bornée.
r′
Alors la série ∑ r n |a n | converge
Proposition
′
Soient α et α’ deux réels tels que 1 < α’ < α et (an)n∈ℕ une suite telle que nα −α a n soit bornée.
Alors la série ∑ n−α |an | converge
19/04/2017
Analyse - Séries numériques | 82
Critères de Cauchy et de d’Alembert
Théorème – Critère de Cauchy
Soit ∑ un une série à termes positifs ou nuls.
S’il existe une constante r < 1 et un entier n0 tels que pour tout n ≥ n0 n√un ≤ r < 1 alors ∑ un converge
S’il existe un entier n0 tels que pour tout n ≥ n0 n√un ≥ 1 alors ∑ un diverge
Corollaire
Soit ∑ un une série à termes positifs telles que n√un converge vers 𝓁
Si 𝓁 < 1 alors ∑ un converge
Si 𝓁 > 1 alors ∑ un diverge
(Si 𝓁 = 1 on ne peut pas conclure)
Théorème – Critère de d’Alembert
Soit ∑ un une série à termes strictement positifs
S’il existe une constante r < 1 et un entier n0 tels que pour tout n ≥ n0
S’il existe un entier n0 tels que pour tout n ≥ n0
un+1
un
un+1
un
≤ r < 1, alors ∑ un converge
≥ 1 alors ∑ un diverge
* Le critère de d’Alembert est plus facile à appliquer mais il échoue plus souvent que celui de Cauchy
Corollaire
Soit ∑ un une série à termes positifs telle que
un+1
un
converge vers 𝓁
Si 𝓁 < 1 alors ∑ un converge
Si 𝓁 > 1 alors ∑ un diverge
(Si 𝓁 = 1 on ne peut pas conclure)
Proposition
Soit (Un)n∈ℕ une suite à termes positifs
Si lim
un+1
n→∞ un
= 𝓁 alors lim n√un = 𝓁
n→∞
19/04/2017
Analyse - Séries numériques | 83
Séries de référence
Rappel suite géométrique
Un+1 = q Un et Un = qn U0
S = uo
Somme des n+1 premiers termes (de 0 à n)
1− qn+1
1−q
= premier terme ×
1− raisonnb termes
1−raison
Séries géométriques
On appelle série géométrique une série dont le terme général est le terme général d’une suite géométrique
* Une série géométrique converge ssi |q| < 1 (car qn+1 converge vers 0 donc la somme converge)
Série exponentielle
Le série de terme général un =
∑+∞
n=0
xn
n!
xn
n!
est appelée série exponentielle et elle est convergente pour tout réel x.
= ex
Séries de Riemann
Si α ≤ 1 ∑+∞
n=1
Si α > 1
1
nα
1
+∞
∑n=1 α
n
α
diverge
converge
* Si un ~ C/n alors ∑ un converge ssi α > 1
* Si on trouve α tel que nα un →
n→+∞
1
0 alors un = o( α ) et ∑ un converge
n
Séries de Bertrand
Si β ≤ 1 ∑+∞
n=1
1
n(ln n)β
1
+∞
Si β > 1 ∑n=1
n(ln n)β
ln 𝑛
∑+∞
n=1 n diverge
19/04/2017
diverge
converge
Analyse - Séries numériques | 84
Outils pour la semi-convergence
Définition – Semi-convergence
Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente
* (exemple ∑n≥1
(−1)n−1
n
)
Définition – Série alternée
Une suite (un ) est dite alternée à partir d’un certain rang, si pour n assez grand un et un+1 sont de signe contraires.
Ou encore si à partir d’un certain rang si un = (−1)𝑛 a n et a n de signe constant
Une série ∑ un est dite alternée ssi la suite (un ) l’est ;
Théorème – Critère de Leibnitz ou Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA)
Soit ∑ un une série alternée
Si la suite (|un |) est décroissante et si |un | →
𝑛→+∞
0 alors la série ∑ un est convergente
De plus la série est encadrée par les sommes partielles consécutives
Corollaire
Le signe de la somme est le signe de son premier terme
Théorème d’Abel (version 1)
Soient (a n ) et (bn ) deux suites telles que :
- Il existe une constante positive K et ∀n, ∀p |a n+1 + ⋯ + a n+p | ≤ M
- La série (bn − bn+1 ) est absolument convergente
- lim bn = 0
𝑛→+∞
Alors la série ∑ a n bn converge (n’a rien à voir avec le produit de deux séries)
Théorème d’Abel (version 2)
Soient (a n ) et (bn ) deux suites telles que
- Il existe une constante positive K et ∀n, ∀p |a n+1 + ⋯ + a n+p | ≤ M
- la fonction 𝑛 ⟼ bn est positive, décroissante et tend vers 0 quand n tend vers +∞
Alors la série ∑ a n bn converge (n’a rien à voir avec le produit de deux séries)
Corollaire
Soit 𝜃 un réel tel que 𝜃 ≠ 2k𝜋, ∀k ∈ ℤ. Soit (an)n∈ℕ une suite de réels positifs, décroissante tendant vers 0 à l’infini.
Les séries ∑ einθ a n , ∑(cos nθ)a n , ∑(sin nθ)a n convergent
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Analyse - Séries numériques | 85
Méthodologie
1. Le terme général de la série tend-il vers 0 ?
Si la réponse est non, la série est divergente, si la réponse est oui, il faut poursuivre l'étude.
2. Peut-on calculer Sn ? (par exemple, dans le cas d'une somme télescopique)
Si oui, vous pouvez conclure quant à la nature de la série via la définition et calculer la somme.
3. Est-ce une série de référence ? Ou peut-elle se ramener (par un équivalent ou un D.L.) à une série de référence ?
Si oui, vous pouvez conclure quant à la nature de la série (résultats du cours), et calculer la somme.
4. Le terme général est-il positif ? Si oui, essayez de majorer (ou minorer) les sommes partielles (S n)
pour obtenir la convergence (ou la divergence). (On commencera par majorer (minorer) le terme
général).
Utiliser le critère de D’Alembert, Cauchy, comparaison avec une série de Riemann
5. Si non, étudiez l'absolue convergence, pour vous ramener à une série à termes positifs ...
19/04/2017
Analyse - Séries numériques | 86
⋇ Séries entières ⋇
Généralités
⋇ ANALYSE ⋇
⋇ Fonctions usuelles ⋇ ......................................................................... 1
Logarithme népérien et exponentielle ................................................1
Fonctions puissances ...........................................................................2
Fonctions circulaires directes ..............................................................3
Fonctions circulaires réciproques ........................................................5
Fonctions hyperboliques directes........................................................7
Fonctions hyperboliques réciproques .................................................8
⋇ Nombres réels ⋇............................................................................. 11
Ordre dans ℝ .....................................................................................11
Valeur absolue...................................................................................12
Topologie de ℝ ..................................................................................13
Rationnels et irrationnels ..................................................................14
Approximations décimales ................................................................14
⋇ Suites numériques ⋇ ...................................................................... 15
Définitions .........................................................................................15
Limites ...............................................................................................16
Théorèmes sur les limites ..................................................................17
Autres théorèmes..............................................................................19
Limites de suite à connaître ..............................................................19
Suites classiques ................................................................................20
Suites récurrentes linéaires d’ordres 2 ..............................................21
⋇ Limite de fonctions ⋇...................................................................... 23
Définitions .........................................................................................23
Propriétés des limites ........................................................................25
Théorèmes d’existence des limites ...................................................26
Calcul de limites ................................................................................27
⋇ Comparaison de suites et de fonctions ⋇ ........................................ 28
Définitions et propriétés ...................................................................28
Négligeabilité ....................................................................................29
Equivalence .......................................................................................30
⋇ Continuité de fonctions ⋇ ............................................................... 31
Définitions et propriétés ...................................................................31
Continuité sur un intervalle ...............................................................32
Continuité uniforme ..........................................................................33
⋇ Dérivabilité ⋇ ................................................................................. 35
Définitions .........................................................................................35
Opérations et dérivées usuelles ........................................................36
Etude globale des fonctions dérivables .............................................37
Constance, monotonie et dérivabilité ...............................................38
Limite de la dérivée ...........................................................................38
Dérivées successives .........................................................................39
⋇ Fonctions convexes ⋇ ..................................................................... 41
Définition ..........................................................................................41
Convexité et dérivabilité ...................................................................42
⋇ Développements limités ⋇.............................................................. 43
Définition et propriétés .....................................................................43
Dérivabilité et développement limité ................................................44
Opérations sur les développements limités ......................................45
Développements usuels ....................................................................46
Applications .......................................................................................47
⋇ Fonctions intégrables ⋇ .................................................................. 49
Généralités ........................................................................................49
Primitive et intégrale .........................................................................50
Théorème de Taylor-Young ...............................................................51
Sommes de Riemann .........................................................................52
⋇ Méthodes de calculs d’intégrales ⋇................................................. 53
Primitives usuelles .............................................................................53
Méthodes générales ..........................................................................55
Primitives des fractions rationnelles .................................................56
Primitives de fonctions trigonométriques ou hyperboliques ............57
Primitives de fonctions algébriques non rationnelles ........................58
⋇ Intégrales convergentes ⋇ .............................................................. 59
Définitions .........................................................................................59
Fonctions positives sur un intervalle non borné ................................60
Fonctions positives non bornées .......................................................61
Convergence absolue ....................................................................... 62
Plan d’étude ..................................................................................... 62
⋇ Equations différentielles ⋇ ............................................................. 63
Equations du premier ordre (non linéaires) ...................................... 63
Equations linéaires du premier ordre ............................................... 64
Equations classiques du premier ordre............................................. 65
Equations linéaires du second ordre à coefficients constants sans 2nd
membre ............................................................................................ 66
Equations linéaires du second ordre à coefficients constants – cas
général.............................................................................................. 67
Equations linéaires du 2nd ordre à coeff. constants avec 2nd membre
simple ............................................................................................... 68
⋇ Fonctions de plusieurs variables ⋇.................................................. 71
Normes ............................................................................................. 71
Suites de ℝ𝐩 ..................................................................................... 72
Topologies de ℝ𝐩 ............................................................................. 73
Limite, continuité.............................................................................. 75
Dérivées partielles ............................................................................ 76
Fonctions différentiables .................................................................. 77
Extrema ............................................................................................ 79
Difféomorphismes ............................................................................ 80
⋇ Séries numériques ⋇ ...................................................................... 81
Généralités ....................................................................................... 81
Série à termes positifs ou nuls .......................................................... 82
Critères de Cauchy et de d’Alembert ................................................ 83
Séries de référence ........................................................................... 84
Outils pour la semi-convergence ...................................................... 85
Méthodologie ................................................................................... 86
⋇ Séries entières ⋇ ............................................................................ 87
Généralités ....................................................................................... 87