Signaux aléatoires - Sylvain Tisserant

S. Tisserant – ESIL – Traitement du signal – 2009-2010 10 - 1
Signaux aléatoires
A. Définitions
A.1. Description probabiliste
La notion de signal aléatoire est plus ou moins intuitive. Mais pour être capable de les traiter
nous devons en donner une définition formelle.
Un signal aléatoire peut être défini comme une fonction x(t,α) à deux paramètres. Le premier
représente le temps (continu ou discret) et l’autre une variable aléatoire. Pour une valeur
donnée de α, x
α
(t) = x(t,α) est une réalisation du signal temporel. On parle aussi d’échantillon
ou de trajectoire (fig. 10-1).
Fig. 10-1 : Quatre réalisations ou échantillons d’un même processus stochastique
Citons à titre d’exemple quelques signaux aléatoires :
- )tsin(A)t(X
ϕ
+
ω
=
avec ϕ aléatoire uniformément distribué entre 0 et 2 π ;
- )tsin(A)t(X
ϕ
+
ω
=
avec A et ϕ indépendants et aléatoires ;
- X(t) = A avec A suivant une loi de Gauss.
Il est cependant souvent difficile de définir un signal aléatoire d’une manière aussi compacte.

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A chaque instant t, X(t) = x(t,α) est une variable aléatoire. Le signal aléatoire peut donc être
décrit par une densité de probabilité que nous noterons p(x,t) ou une fonction de répartition
F(x,t). Nous avons :
[
]
x)t(XP)t,x(F
≤
=
[ ]
x
)t,x(F
)t,x(pdxx)t(XxPdx)t,x(p ∂
∂
=⇒+<≤=
La densité p(x,t) est dite
densité de probabilité du premier ordre .
Il est également important de pouvoir décrire les relations pouvant exister entre tout couple de
variables aléatoires prises à deux instants t
1
et t
2
. Pour cela nous définissons la fonction de
répartition et la densité de probabilité de deuxième ordre , avec :
[
]
2
2
1
1
2
2
1
1
x)t(X;x)t(XP)t,x;t,x(F
≤
≤
=
21
2211
2
2211
xx )t,x;t,x(F
)t,x;t,x(p ∂∂
∂
=
De manière similaire nous pouvons également définir des probabilités d’ordres supérieurs.
A.2. Stationnarité
Un signal aléatoire est dit stationnaire (au sens strict) si toutes ses propriétés statistiques, à
tous les ordres, sont invariantes dans le temps. C’est-à-dire que les deux signaux X(t) et
Y(t) = X(t + τ) ont les mêmes propriétés statistiques.
Dans la pratique on se limite très souvent aux signaux aléatoires stationnaires du deuxième
ordre , pour lesquels les propriétés statistiques d’ordre 1 et 2 sont indépendantes des instants
d’observation. Nous avons alors :
)x(p)t,x(pet)x(F)t,x(F
=
=
2
x
2
x
22
x
µ)x(E)t,x(Eetµ)x(E)t,x(E σ+====
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
ttavec),x,x(p)t,x;t,x(pet),x,x(F)t,x;t,x(F
−
=
τ
τ
=
τ
=
La probabilité du premier ordre est indépendante du temps et celle du deuxième ordre ne
dépend que de l’intervalle séparant les deux instants d’observation.
Les deux figures suivantes illustrent cette notion. Le premier signal aléatoire (fig. 10-2.a) est
stationnaire au deuxième ordre au moins, alors que les trois autres exemples ne sont pas
stationnaires.

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Fig. 10-2 : Exemples d’un processus stochastique stationnaire au 2
ème
ordre (a)
et d’un processus stochastique non stationnaire (b).
Fig. 10-3 : Exemples de deux processus stochastiques non stationnaires.
A.3. Ergodisme
Considérons un échantillon (ou trajectoire) d’un signal aléatoire, que nous notons x(t) pour
alléger l’écriture. C’est un signal temporel dont nous pouvons calculer la valeur moyenne :
∫
∞→
=
T
0
T
dt)t(x
T
1
limx
Un signal aléatoire est dit ergodique si ses valeurs moyennes statistiques sont identiques à ses
valeurs moyennes temporelles. C’est-à-dire pour un signal stationnaire :
∫∫
∞→
∞
+
∞−
=⇔=
T
0
n
T
nnn
dt)t(x
T
1
limdx)x(pxx)x(E
Il est alors possible d’estimer les propriétés statistiques d’un signal aléatoire par l’analyse
temporelle d’un de ses échantillons.

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B. Autocorrélation statistique et densité spectrale de puissance
B.1. Fonction d’autocorrélation statistique
La fonction d’autocorrélation statistique d’un signal aléatoire X(t) est définie par :
[
]
)xx(E)t(X)t(XE)t,t(R
2
1
2
1
2
1
X
=
=
Soit :
∫ ∫
∞
+
∞−
∞
+
∞−
=
2122112121X
dxdx)t,x;t,x(pxx)t,t(R
en se souvenant que x
1
= X(t
1
) et x
2
= X(t
2
).
La fonction d’autocovariance est définie comme la variance du couple x
1
et x
2
:
)x(E)x(E)xx(E)t,t(C
2
1
2
1
2
1
X
−
=
Pour un signal stationnaire, la densité de probabilité du deuxième ordre ne dépend que de
l’intervalle τ = t
2
– t
1
. Il en est donc de même pour les fonctions d’autocorrélation et
d’autocovariance :
2
XX212121X
)x(E)(R)(Cetdxdx),x,x(pxx)(R −τ=ττ=τ
∫ ∫
∞
+
∞−
∞
+
∞−
Nous avons les propriétés suivantes :
)(C)(Cet)(R)(R
X
X
X
X
τ
=
τ
−
τ
=
τ
−
2
x
X
2
x
2
x
2
X
)0(Cetµ)x(E)0(R σ=σ+==
R
X
(0) représente l’espérance mathématique de la puissance du signal.
L’inégalité de Cauchy-Schwartz permet de montrer que :
2
x
2
xX
2
x
2
xXXXX
µ)(Rµet)0(C)(C;)0(R)(R σ+≤τ≤σ−≤τ≤τ
Cela permet d’introduire la fonction d’autocovariance normalisée :
)0(C )(C
)(
X
X
X
τ
=τρ
B.2. Densité spectrale de puissance
Considérons un signal aléatoire stationnaire X(t). Comme son comportement est indépendant
du temps, donc jusqu’à l’infini, il est comparable aux signaux déterministes à énergie infinie.

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Pour ce type de signaux nous avons défini (cf. chap. 8) la densité spectrale de puissance à
partir du signal mutilé sur un intervalle de largeur T, en cherchant la limite lorsque T tend
vers l’infini :
T)(X)(X
lim)(S
*
TT
T
x
νν
=ν
∞→
Attention aux notations ! Dans l’expression précédente X
T
(ν) représente la transformée de
Fourier du signal tronqué.
Procédons de même pour un signal aléatoire stationnaire. Considérons le signal aléatoire
mutilé X
T
(t) qui se confond avec X(t) sur l’intervalle [0, T] et est nul à l’extérieur. Pour tout
échantillon x
T
(t) de ce signal aléatoire tronqué nous pouvons calculer sa transformée de
Fourier :
[ ]
∫
ω−
=
T
0
tj
T
dte)t(x)t(xTF
Ce qui définit une grandeur aléatoire, la transformée de Fourier du signal aléatoire TF[X
T
(t)],
qui correspond à l’ensemble des transformées des échantillons de X
T
(t).
Par analogie avec les signaux déterministes à énergie infinie définissons la quantité suivante :
[ ]
2
Tx
)t(xTF
T
1
)T,( =νΦ
Elle nous donne la densité spectrale de puissance de l’échantillon lorsque T tend vers l’infini.
Pour chaque échantillon donné x
T
(t) cette quantité est appelée périodogramme de la
réalisation. Il s’agit d’une variable aléatoire dont nous pouvons calculer l’espérance
mathématique.
Nous pouvons écrire :
∫ ∫∫∫
−ω−ωω−
==νΦ
T
0
T
0
)ut(j
T
0
uj
T
0
tj
x
dudte)u(x)t(x
T
1
due)u(xdte)t(x
T
1
)T,(
Calculons l’espérance mathématique de ce périodogramme :
[ ] [ ]
∫ ∫
−ω−
=νΦ
T
0
T
0
)ut(j
x
dudte)u(x)t(xE
T
1
)T,(E
[ ]
∫ ∫
−ω−
=νΦ
T
0
T
0
)ut(j
Xx
dudte)u,t(R
T
1
)T,(E
Si le signal est stationnaire nous avons :
[ ]
∫ ∫
−ω−
−=νΦ
T
0
T
0
)ut(j
Xx
dudte)ut(R
T
1
)T,(E