TD4 et corrections

Université Paris 7 - Denis Diderot
2013-2014
TD 4 : accélération,
mouvement parabolique, mouvement oscillant
1
Exercices d’introduction
1. Evolution de la population mondiale
Année (1er janvier)
Population (109 )
1500 1600 1700 1800 1900 2000 2013
0,500 0,560 0,640 0,900 1,650 6,020 7,100
Dans la table 1 est indiquée l’évolution de la population mondiale, en milliard(s)
d’habitants, de l’an 1500 à nos jours.
1. Vitesse
(a) Sans chercher à être rigoureux, définir, puis calculer la vitesse moyenne d’accroissement
de la population mondiale en fonction du temps, jusqu’à l’an 2013 inclus, en
précisant les unités choisies.
(b) Cette vitesse est-elle constante?
(c) Définir, puis calculer la vitesse moyenne d’accroissement de cette vitesse, en
fonction du temps, en conservant le même choix d’unités.
(d) Au premier janvier 2014, quelle sera selon vous la population mondiale?
2. Représentation graphique
(a) Représenter graphiquement l’évolution de la population en fonction du temps.
(b) Même question pour la vitesse.
3. Accélération
(a) Rappeler la définition mathématique de la dérivée première d’un fonction
f (x).
(b) Quelle est la définition mathématique d’une vitesse?
(c) En déduire la définition mathématique d’une accélération.
(d) Calculer l’accélération de la population mondiale.
Réponses
(1.a) Notant P (t) la population Mondiale au temps t, la vitesse moyenne entre deux
temps est :
P (t0 ) − P (t)
Ṗ =
(1)
t0 − t
En la calculant entre deux temps consécutifs, on obtient la troisième ligne du tableau
ci-dessous:
1500 1600 1700 1800 1900 2000 2013
0,500 0,560 0,640 0,900 1,650 6,020 7,100
Année (1er janvier)
Population (109 )
Ṗ (Milliard par siècle)
-
0,06
0,08
0,26
0,75
4,37
8,31
P̈ (Milliard par siècle2 )
-
-
0,02
0,18
0,49
3,62
30,31
(1.b) non
(1.c) On a:
Ṗ (t0 ) − Ṗ (t)
Ṗ (t0 ) − Ṗ (t)
'
t0 − t
t0 − t
d’où la dernière ligne du tableau ci-dessus.
P̈ =
(2)
(1.d) Le plus simple est de négliger la variation de Ṗ entre 2000 et 2014. Alors, la
prédiction est:
P (2014) ' P (2013) + Ṗ (2013)∆t = 7, 1 + 8, 31 × 10−2 ' 7, 2 Milliards
(3)
L’effet de l’accélération est numériquement négligeable sur un intervalle d’un an (∆t2 =
10−4 siècle2 ). Une estimation plus fine (via des modèles) donne P (2014) = 7, 207 Milliards.
(2.a et 2.b) dessin
(3.a)
(f 0 (x) =)
df
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
dx ∆x→0
∆x
(4)
(3.b)
~v (t) =
d~r
dt
c’est une vecteur à trois composantes (en général) avec par exemple vx (t) =
aussi x0 (t) ou ẋ(t).
(5)
dx(t)
,
dt
noté
(3.c)
~a(t) =
d~v
d2~r
= 2
dt
dt
c’est une vecteur à trois composantes (en général) avec par exemple ax (t) =
aussi vx0 (t) ou v̇x (t) (ou x00 (t) ou ẍ(t)).
(3.d) Cf. question 1.c
(6)
dvx (t)
,
dt
noté
2. Mouvement rectiligne
(a) Rappeler les relations mathématiques (dérivées et intégrales) entre la position, la
vitesse et l’accélération.
(b) Représenter graphiquement le mouvement (position, vitesse et accélération) en
fonction du temps, d’un corps se déplaçant à vitesse constante le long d’une droite.
Page 2
(c) Même question pour un corps se déplaçant à accélération constante.
Réponses
(a)
Z t1
dx(t)
v(t)dt
v(t) =
= ẋ(t) ⇐⇒ x(t1 ) = x(t0 ) +
dt
t0
Z t1
dv(t)
a(t) =
a(t)dt
= v̇(t) ⇐⇒ v(t1 ) = v(t0 ) +
dt
t0
(7)
(8)
(b) vitesse constante
Z
t1
Z
t1
v dt
v(t)dt = x(t0 ) +
v(t) = v =⇒ x(t1 ) = x(t0 ) +
t0
Z t1
= x(t0 ) + v
dt = x(t0 ) + v(t1 − t0 )
(9)
t0
(10)
t0
et a(t) = v̇ = 0. Représentation graphique: une droite dans le plan {x, t}.
(c) accélération constante
Z
t1
Z
a(t) = a =⇒ v(t1 ) = v(t0 ) +
a(t)dt = v(t0 ) +
t0
Z t1
= v(t0 ) + a
dt = v(t0 ) + a(t1 − t0 )
t1
a dt
(11)
t0
(12)
t0
donc v(t) = v(t0 ) + a(t − t0 ), d’où (calcul direct comme il semblera naturel de le mener
par les étudiants)
Z t1
Z t1
x(t1 ) = x(t0 ) +
v(t)dt = x(t0 ) +
(v(t0 ) + a(t − t0 )) dt
(13)
t0
t0
Z t1
Z t1
= x(t0 ) + (v(t0 ) − at0 )
dt + a
t dt
(14)
t0
t0
1
= x(t0 ) + (v(t0 ) − at0 )(t1 − t0 ) + a[ t2 ]tt10
2
1 2
= x(t0 ) + (v(t0 ) − at0 )(t1 − t0 ) + a (t1 − t20 )
2
1 2
= x(t0 ) + v(t0 )(t1 − t0 ) + a (t1 − t20 − 2t0 (t1 − t0 ))
2
1 2
= x(t0 ) + v(t0 )(t1 − t0 ) + a (t1 − t20 − 2t0 t1 + 2t20 )
2
1 2
= x(t0 ) + v(t0 )(t1 − t0 ) + a (t1 + t20 − 2t0 t1 )
2
1
= x(t0 ) + v(t0 )(t1 − t0 ) + a (t1 − t0 )2
2
Page 3
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
puis (peut-être) le refaire de manière plus simple par le changement de variable
dt → d(t − t0 )
(21)
Représentation graphique: une parabole dans le plan {x, t}.
3. Train
Un train de banlieue circule sur une voie rectiligne reliant deux gares. Sa vitesse en
fonction du temps est représentée sur la figure ci-dessous.
1. Décrire qualitativement chaque phase du mouvement
phase 1: uniformément accéléré
phase 2 et 4 : mvt uniforme
phase 3 et 5 uniformément décéléré
2. Calculer algébriquement l’accélération pour chaque phase en fonction des paramètres
: v1 , v2 , t1 , t2 , t3 , t4 , t5 . Faire ensuite l’application numérique. On donne :
v1 = 108km/h, v2 = 36km/h, t1 = 50s, t2 = 300s, t3 = 310s, t4 = 500s, t5 = 520s.
Réponses : a1 = 0, 6m/s2 ; a2 = a4 = 0; a3 = −2m/s2 ; a5 = −0, 5m/s2
3. Calculer algébriquement puis numériquement la distance parcourue pendant chaque
phase. Représenter la distance parcourue x(t) en fonction du temps. Quelle est la
distance entre les deux gares ? Quelle est la vitesse moyenne du train pendant le
trajet ?
Réponses : d1 = 750m; d2 = 7500m; d3 = 200m; d4 = 1900m; d5 = 100m; dtot =
10450m; < v >= 20, 1m/s
4. Freinage d’un véhicule.
1. Une automobile roule à la vitesse de 50 km/h. Lorsqu’elle se trouve à 50 m d’un
feu de circulation, celui-ci passe au rouge. Le conducteur ne commence à freiner
qu’après un temps de réaction t0 = 0.5s, la décélération vaut 5m.s− 2. Est ce que
le véhicule s’arrêtera avant le feu ? Même question si la vitesse initiale est de 80
Page 4
km/h.
Réponses : avant début de freinage, le véhicule parcourt d0 = v0 t0 = 6, 95m ;
v2
pendant le freinage, d1 = a0 = 19, 26m soit au total d = 26, 21m ; à 80km/h,
d = 60, 48m.
5. Mouvement oscillant sinusoidal
On considère la membrane d’un haut-parleur qui émet un son à la fréquence f . Pour
cela, la membrane oscille de façon sinusoïdale à la fréquence f et cette vibration est
transmise à l’air environnant.
1. Le mouvement d’un point M de la membrane s’écrit x(t) = x0 sin(ωt). Quelle est
la relation entre ω et f ?
rep : ω = 2πf
2. Calculer la vitesse v(t) du point M et son accélération a(t). Représenter x(t),v(t) et
a(t) sur un même graphe. Commenter. Comment varient v(t) et a(t) en fonction
de la fréquence f ? En éliminant la variable temps, établir une relation simple
entre x(t) et a(t).
rep : v(t) = x0 ωcos(ωt) ; a(t) = x(t) = −x0 ω 2 sin(ωt) ; a(t) = −x(t)ω 2
3. Citer d’autres exemples de mouvements oscillatoires sinusoïdaux.
rep : pendule, masse au bout d’un ressort, lame vibrante, vagues à la surface de
l’eau, colonne d’air dans un tube... etc.
6. Voyageur en retard
Un voyageur en retard court le long du quai à vitesse constante V = 6m/s. Quand il est
à 20 m du dernier wagon, le train démarre avec une accélération constante a = 1m.s−2
(le train et le voyageur ont des trajectoires rectilignes parallèles.)
1. Écrire les équations horaires du voyageur et du dernier wagon considérés comme
des points matériels. Représenter graphiquement leurs positions en fonction du
temps.
Réponse : xv = V t; xt = x0 + 12 at2 .
2. Montrer que le voyageur ne peut pas rattraper le train. Quelle sera la distance
minimale entre le voyageur et le dernier wagon?
Réponse : 21 at2 − V t + x0 = 0 n’a pas de solution avec les valeurs numériques
données (∆ = V 2 − 2ax0 = −4 < 0) : distance minimale dmin telle que at − V = 0
soit tmin = 6s et dmin = 2m.
3. A quelle vitesse le voyageur devrait-il courir pour pouvoir monter dans le train, et
à quelle distance cela se produirait-il (acrobatie fortement déconseillée...)?
Réponse
: vitesse minimale V 0 telle que V 02 − 2ax0 = 0 soit V 0 = 6, 32m/s ,
p
t0 = 2x0 /a = 6, 32s, x0 = 2x0 = 40m
Page 5
7. Analyse de trajectoire plane
La figure 1 représente une trajectoire suivie par un objet dans un plan. A l’instant t0
l’objet se trouve au joint M0 , à l’instant t1 = t0 + ∆t, il se trouve au point M1 ; plus
généralement, à l’instant ti = t0 + i × ∆t (∆t = 1s), il se trouve au point Mi .
Figure 1: Trajectoire suivie par un objet, dans un plan. Les points M1 (... M10 ) sont
atteints 1 (... 10) seconde(s) après le passage par le point M0 . L’origine des coordonnées est
initialement située en O (voir texte).
(a) Donnez l’expression de la vitesse moyenne entre M1 et M2, puis entre M8 et M9.
Représentez qualitativement la vitesse instantanée ~v en chacun de ces points.
(b) En utilisant un raisonnement analogue, représentez qualitativement le vecteur
accélération ~a aux points M1 et M8.
(c) Comment les résultats précédents sont-ils modifiés si on prend comme origine des
coordonnées le point O0 ?
Réponses
(a)
~ 2 − OM
~ 1
M1~M2
OM
=
V~12 =
t2 − t1
∆t
idem pour V~89
(22)
(b)
~a12 =
V~2 − V~1
t2 − t1
Page 6
idem pour ~a89
(23)
=⇒ addition graphique des deux vecteurs et constatation que ~a pointe vers l’intérieur
de la courbe.
(c) Rien n’est changé: l’origine n’apparait pas dans les expressions des vitesses et des
accélérations.
8. Mouvement bidimensionnel
Un objet A a une trajectoire dans le plan, repérée, dans un repère cartésien (Oxy),
par ses coordonnées en fonction du temps t :
x(t) = αt
y(t) = γt2 + δt
(a) Déterminer les dimensions des paramètres α, γ et δ.
Réponse :[α] = [L][T ]−1 , [γ] = [L][T ]−2 , [δ] = [L][T ]−1 .
(b) En éliminant la variable de temps t, déterminer l’équation y(x) de la trajectoire.
Réponse : y = γx2 /α2 + δx/α.
(c) Tracer la trajectoire en prenant les valeurs α = 2, γ = 1/2 et δ = 1 dans le système
international d’unités (on pourra se limiter à l’intervalle de temps [−3 s, 4 s].
Réponse :
12
10
y (m)
8
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x (m)
(d) Déterminer les coordonnées (vx , vy ) du vecteur vitesse instantanée ~v (t).
Réponse : vx = α (= 2 m/s), vy = 2γt + δ.
(e) Quelle est la vitesse de l’objet aux temps t = −1 s, t = 0 s, et t = 1 s. Tracer les
vecteurs vitesse correspondants.
Réponse : t = −1 s, (2, 0), v = 2 m/s; t = 0, (2, 1), v = 2.24 m/s; t = 1 s, (2, 2),
v = 2.83 m/s;
Page 7
(f) Quelle est l’accélération moyenne entre l’intervalle de temps [−1 s, 0 s] ? Et dans
l’intervalle [−1 s, 1 s] ?
Réponse : ā = 0.24 m/s2 , ā = 0.42 m/s2 .
(g) Déterminer le vecteur accélération instantanée ~a(t) et comparer avec la question
précédente.
Réponse : ~a(t) = (0, 2γ) = (0, 1). À nouveau discussion sur valeur moyennes
"absolues", "algébriques" ou "vectorielles"...
(h) Dans le cas où les coordonnées de l’objet sont de la forme
x(t) = αt + β
y(t) = γt2 + δt + montrer que l’on peut se ramener au cas précédent en prenant l’origine du système
de coordonnées en un point O0 dont on donnera les coordonnées dans le repère
(Oxy).
Réponse : O0 (β, )
2
Mise en application
9. Fusée
Une fusée miniature est placée sur sa rampe de lancement au niveau du sol (z=0) et
mise à feu à l’instant t = 0. Sa trajectoire est verticale et son accélération s’écrit
a(t) = A + Bt, avec A = 5m.s−2 , B = 0.5m.s−3 . A l’instant t1 = 30s, le moteur de la
fusée s’arrête faute de carburant.
1. Calculer sa vitesse v(t) et son altitude z(t) en fonction du temps, entre t = 0 et
t = t1 . Représenter a(t), v(t) et z(t) sur un graphe. Calculer la vitesse v1 et
l’altitude z1 atteinte à t = t1
Réponses : a(t) = A + Bt ; v(t) = At + B2 t2 ; z(t) = A2 t2 + B6 t3 . A t = t1 = 30s,
v1 = 375m/s et z1 = 4500m.
2. Que se passe-t-il pour t > t1 ? Est ce que la fusée va retomber immédiatement ?
Réponse : non, la fusée continue son ascension (mouvement uniformément accéléré,
avec accélération négative mais vitesse initiale positive).
3. Au delà de t1 , la fusée n’est plus soumise qu’à l’accélération de la pesanteur dont le
module vaut g = 10m.s−2 . Quelle est l’altitude maximale z2 atteinte par la fusée
? Au bout de combien de temps retombera-t-elle au sol ?
Réponse : équation du mouvement z(t) = z1 + v1 (t − t1 ) − g2 (t − t1 )2 ; vitesse
s’annule pour t − t1 = v1 /g = 37, 5s → altitude max : z2 = 11531m. Retombée
au temps t3 tel que 0 = z1 + v1 ∆t − g2 ∆t2 avec ∆t = t3 − t1 , soit ∆t = 85, 5s et
t3 = 115, 5s.
Page 8
Note : pour toutes les questions, on donnera l’expression littérale de la réponse
avant de faire l’application numérique
10. Fête foraine
Dans une fête foraine, une cage est attachée à un grand élastique tendu verticalement.
A l’instant t0 = 0 la cage est lâchée à vitesse nulle depuis le sol. Elle prend alors un
mouvement vertical ascendant. A l’instant t1 = 2 s, alors qu’elle a atteint une vitesse
v1 = 15 m s−1 , l’élastique est détaché de la cage.
(a) Calculer l’accélération moyenne de la cage entre t0 et t1 .
(b) En supposant que la cage est soumise à une accélération constante entre t0 et t1 ,
calculer la hauteur à laquelle elle se trouve à l’instant t1 .
(c) La cage continue ensuite à monter sur sa lancée, alors qu’elle est maintenant
soumise à la seule force de la pesanteur. Jusqu’à quelle hauteur monte-t-elle? On
note t2 l’instant où elle atteint cette hauteur maximale.
(d) Après t2 , la cage retombe. Quelle est sa vitesse à l’instant t3 = t2 + 1 s ?
(e) A partir de l’instant t3 , la cage est freinée par un dispositif adéquat de sorte qu’elle
arrive à vitesse nulle au niveau du sol. A quelle accélération, supposée constante,
la cage doit-elle être soumise pendant le freinage ?
Réponses
Choix des axes: on prend l’axe Ox orienté vers le haut.
(a) amoy =
v1 −v0
t1 −t0
=
v1
t1
= 7.5 m s−2 (> 0 vu l’orientation de l’axe Ox).
(b) a(t) = cst on peut donc utiliser le résultat de l’exercice (2.c) Eq.(20) :
1
x1 = x(t1 ) = x(t0 ) + v(t0 )(t1 − t0 ) + a (t1 − t0 )2
2
1 2 1
= amoy t1 = v1 t1
2
2
1
= ( × 15 × 2) m = 15 m
2
(24)
(25)
(26)
(c) On a toujours a = cst mais maintenant a = −g (cf. Eq(12) et Eq.(20)):
v2 = v(t2 ) = v(t1 ) + a(t2 − t1 )
= v1 − g(t2 − t1 )
1
x2 = x(t2 ) = x(t1 ) + v(t1 )(t2 − t1 ) + a (t2 − t1 )2
2
1
2
= x1 + v1 (t2 − t1 ) − g (t1 − t1 )
2
Page 9
(27)
(28)
(29)
(30)
à l’instant t2 la vitesse s’annulle, d’où:
t2 − t1 =
v1
g
(31)
v1
1 v1
1 v2
− g ( )2 = x1 + 1
g
2 g
2 g
2
1 15
' (15 +
) m ' 26 m
2 10
x2 = x1 + v1
(32)
(33)
(d) L’accélération est toujours a = −g.
v3 = v(t3 ) = v(t2 ) + a(t3 − t1 ) = −g(t3 − t2 ) ' −10 ms−1
(34)
(e) Notant t4 l’instant d’arrivée au sol, à vitesse nulle:
v4 = v(t3 ) + a(t4 − t3 )
0 = v3 + a(t4 − t3 )
v3
t4 − t3 = −
a
(35)
(36)
(37)
au sol, on a x(t4 ) = 0:
1
x4 = x(t3 ) + v(t3 )(t4 − t3 ) + a (t4 − t3 )2
2
1
0 = x3 + v3 (t4 − t3 ) + a (t4 − t3 )2
2
v3
1 v3 2
0 = x3 + v3 (− ) + a (− )
a
2
a
1 v32
0 = x3 −
2a
2
1 v3
a =
2 x3
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
Il reste à calculer x3 :
1
x3 = x(t2 ) + v(t2 )(t3 − t2 ) − g (t3 − t2 )2
2
1
= x2 − g (t3 − t2 )2
2
1
' (26 − 10 × 12 ) m = 21 m
2
(43)
(44)
(45)
ce qui donne:
1 102
) ms−2 ' 2, 4 ms−2
(46)
2 21
L’accélération a ci-dessus est la résultante de l’attraction terrestre et du mécanisme de
freinage. Ce dernier doit donc produire une accélération af = 2, 4 + g ms−2 telle que
a = af − g = 2, 4 ms−2 .
a'(
Page 10
11. Lancer de ballon
Depuis un point O situé sur sa tête, un joueur lance un ballon. Ce dernier a une vitesse
initiale ~v0 faisant un angle θ avec l’axe horizontal, noté Ox, orienté dans le sens du
mouvement du ballon. On note Oz l’axe vertical, orienté dans le sens ascendant.
(a) En négligeant les frottements du ballon avec l’air, écrire l’équation qui permet de
déterminer sa trajectoire.
(b) Calculer la portée du lancer du ballon.
(c) Pour quelle valeur de θ cette portée est-elle maximale, | v0 | étant fixée ?
(d) Quelle est la vitesse minimale | v0 | que doit avoir le ballon pour qu’il parvienne
sur la tête d’un autre joueur de même taille, placé à une distance D du premier.
(e) Pour une vitesse initiale plus grande que cette vitesse minimale, déterminer en
fonction de | v0 | et de D les deux valeurs possibles de θ (tir "tendu" ou en
"cloche").
Réponses
(a) La seule force présente est ici l’attraction terrestre, on a donc l’équation vectorielle
:
F~ (= m~g ) = m~a
(47)
(b) En explicitant les composantes suivant Ox et Oz:
Fx = 0 = max
Fz = −mg = maz
(48)
(49)
ax = 0
az = −g
(50)
(51)
soit donc:
Chaque composante de l’accélération étant constante, on peut utiliser les résultats de
l’exercice (2):
1
x(t) = x(t0 ) + vx (t0 )(t − t0 ) + ax (t − t0 )2
2
= vx (0) t (On peut choisir x0 = 0 et t0 = 0)
1
z(t) = z(t0 ) + vz (t0 )(t − t0 ) + az (t − t0 )2
2
1 2
= vz (0)t − gt (On peut choisir z0 = 0)
2
(52)
(53)
(54)
(55)
avec
vx (0) = v0 cos θ
vz (0) = v0 sin θ
Page 11
(56)
(57)
La portée du ballon est la distance qu’il parcourt sur l’axe horizontal avant de retomber
(i.e. de revenir à z = 0) ce qui correspond à:
1
0 = v0 sin θ t − gt2
2
2v0 sin θ
t =
g
(58)
(59)
La portée est donc:
x = v0 cos θ t
2v0 sin θ
= v0 cos θ
g
2
v sin(2θ)
= 0
g
(60)
(61)
(62)
(c) La portée est maximale (à v0 fixée) quand sin(2θ) est maximal, soit pour 2θ =
et donc pour θ = π4 . On a donc Dmax =
v02
g
π
2
.
(d) La portée du ballon doit donc être égale à D ce qui implique que D soit inférieur
ou égal à la portée maximale:
v02
g
p
>
Dg
D <
(63)
v0
(64)
(e) On doit résoudre l’équation:
v02 sin(2θ)
g
D
sin(2θ) =
(< 1)
Dcloche
D =
(65)
(66)
Notant θtendu la plus petite solution de cette équation, il existe une autre solution qui
est donnée par θcloche = π2 − θtendu . En effet:
sin(2θcloche ) = sin(π − 2θtendu ) = sin(2θtendu )
(67)
12. Voilier
Un voilier baisse les voiles à l’instant t = 0, alors que sa vitesse vaut v0 . Freiné par les
frottements dans l’eau, le voilier ralenti. Plus précisement, l’accélération du voilier est
proportionnelle au carré de sa vitesse.
(a) Représenter graphiquement les vecteurs vitesse et accélération mis en jeu.
Page 12
(b)
(c)
(d)
(e)
Déterminer la distance parcourue en fonction du temps.
Calculer sa vitesse en fonction de la distance parcourue.
Après quelle distance parcourue le voilier s’arrête-t-il?
Proposer une résolution physique de ce paradoxe.
Réponses
(a) Prenant l’axe Ox orienté dans le sens de déplacement du voilier, on a
~v (t) = v(t)~i avec v(0) = v0 > 0
~a(t) = −α v 2 (t)~i
(68)
(69)
(b)
Vitesse:
d~v (t)
dt
dv(t)
dt
dv(t)
− 2
v (t)
Z v(t)
−1
dv
2
v(0) v
1
1
−
v(t) v0
1
v(t)
v0
1 + v0 α t
(73)
v(t)dt + x0 (= 0)
(77)
v0
dt
1 + v0 α t
(78)
1
ln(1 + v0 α t)
α
(79)
~a(t) =
−α v 2 (t) =
α dt =
Z
t
α dt =
0
αt =
α t+
1
=
v0
v(t) =
(70)
(71)
(72)
(74)
(75)
(76)
Distance:
Z
t
x(t) =
0
Z
=
0
=
t
(c)
1
ln(1 + v0 α t)
α
eαx(t) = 1 + v0 α t
v0
v0
v(t) =
= αx(t)
1 + v0 α t
e
−αx(t)
v(x) = v0 e
x(t) =
Page 13
(80)
(81)
(82)
(83)
(d) D’après la dernière relation, v = 0 correspond à une distance parcourue x → ∞:
le voilier ne s’arrète donc jamais.
(e) La force de freinage considérée ici est ∝ v 2 (trainée) mais, à faible vitesse, une fois
le voilier suffisamment ralenti, le terme de ∝ v 1 (viscosité) va devenir dominant. Si on
le prend en compte on obtient v = 0 après un parcourt fini.
3
Approfondissement
13. Manège
Un manège est constitué d’une nacelle fixée à l’extrémité d’un bras qui tourne autour
de l’autre extrémité fixée au sommet d’un pylône.
y
O
L
θ
N
x
On cherche à déterminer les caractéristiques du mouvement de la nacelle, que l’on
repère par le point N , et qui tourne donc autour du point O choisi comme origine du
repère cartésien Oxy décrit sur la figure ci-dessus. On repère la position du bras, de
longueur L = 10 m, par l’angle θ(t) que fait le bras avec l’axe Ox à l’instant t.
(a) Quelle est la trajectoire de la nacelle ?
Réponse : circulaire.
(b) Déterminer les coordonnées (x(t), y(t)) de la nacelle au temps t en fonction de L
et de θ(t).
Réponse : x(t) = L cos θ(t), y(t) = L sin θ(t).
(c) En déduire les coordonnées du vecteur vitesse instantané ~v (t) et sa norme en
fonction de L, θ et θ̇, la dérivée par rapport au temps de θ.
Réponse : vx = −Lθ̇ sin θ, vy = Lθ̇ cos θ.
(d) En déduire les coordonnées du vecteur accélération instantanée ~a(t) et sa norme
en fonction de L, θ, θ̇ et θ̈.
Réponse : ax = −L(θ̈ sin θ + θ̇2 cos θ), ay = L(θ̈ cos θ − θ̇2 sin θ)
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(e) À quelle condition le mouvement est-t-il uniforme ? Dans ce cas, déterminer le
−−→
produit scalaire ON · ~a et en déduire la direction de l’accélération.
Réponse : Mouvement uniforme si k~v k = L|θ̇| = cste ⇔ θ̇ constant. Alors ax =
−−→
−Lθ̇2 cos θ, ay = −Lθ̇2 sin θ et ~a = −θ̇2 ON . Accélération "centripète" (il n’y a
pas besoin de calculer le produit scalaire).
À l’instant initial, la nacelle est au plus bas avec une vitesse nulle. Le moteur du
manège est alors mis en marche et impose une rotation telle que θ̈ = 4π/100 rad.s−2 .
(f) Que vaut la norme de l’accélération de la nacelle ?
Réponse : à t = 0, θ = 0 et θ̇ = 0 ⇔ ax = 0, ay = Lθ̈. k~ak = Lθ̈ = 1.26 m/s2 .
(g) Déterminer θ̇(t) puis θ(t).
Réponse : θ̇ = θ̈0 t, θ = θ̈0 t2 /2
(h) Au bout de combien de temps la nacelle a-t-elle fait un tour complet ? Quelle est
alors sa vitesse ?
q
Réponse : tour complet θ = 2π ⇔ t1 =
4π/θ̈0 = 10 s.
(i) À ce moment là, le moteur maintient sa vitesse de rotation θ̇ constante. Déterminer la période de rotation de la nacelle dans cette phase.
Réponse : θ̇(t1 ) = θ̈0 t1 = 4π/10 rad.s−2 reste constant par la suite ⇔ T = 2π/θ̇ =
5 s.
14. Tir
Dans l’expérience illustrée ci-dessous, un projectile est tiré en même temps que la cible
est lâchée sans vitesse initiale. Montrer que si le canon vise la position initiale de la
cible, celle-ci est atteinte comme le montre la photo.
Réponse : Les deux projectiles ont la même accélération verticale (~g ). Dans le référentiel lié à la cible, celle-ci est fixe et la trajectoire du projectile est rectiligne, vers la cible.
Il est surement plus judicieux de traiter le problème dans le référentiel "du laboratoire"
dans un premier temps...
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15. Bip-Bip
Le coyote est plus que jamais déterminé à capturer l’insaisissable grand géocoucou
(alias Bip-Bip le roadrunner). Le coyote s’est acheté une paire de patins à roulettes à
réaction (de la marque Acme), qui lui fournissent une accélération horizontale constante
de 15 m/s2 . Le coyote est à l’arrêt à 70 m du bord d’une falaise quand le roadrunner
file devant lui dans la direction de la falaise.
(a) Si le roadrunner se déplace à vitesse constante, déterminer la vitesse minimum
qu’il doit avoir pour parvenir à la falaise avant le coyote. Au bord de la falaise,
le roadrunner s’écarte brusquement tandis que le coyote continue tout droit.
p
Réponse : vmin = aL/2 = 5.92 m/s = 21.3 km/h.
(b) La falaise surplombe un canyon dont le fond est situé 100 m plus bas. Déterminer où atterrit le coyote dans le canyon (en supposant que ses patins restent à
l’horizontale et continuent à fonctionner quand il est en "vol").
√
2aL = 45.8 m/s, z p
= h − gt2 /2, x = v0 t + at2 /2. z = 0 à
Réponse
:
v
=
0
p
t1 = 2h/g = 4.47 s, x(t1 ) = ah/g + 2 ahL/g = 355 m.
(c) Déterminer les composantes de la vitesse d’impact du coyote.
Réponse : vx = v0 + at1 = 113 m/s, vz = −gt1 = −44.7 m/s, |~v | = 122 m/s
(' 440 km/h, même pas mal).
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