TD4 et corrections

Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014
TD 4 : accélération,
mouvement parabolique, mouvement oscillant
1 Exercices d’introduction
1. Evolution de la population mondiale
Année (1er janvier) 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2013
Population (109) 0,500 0,560 0,640 0,900 1,650 6,020 7,100
Dans la table 1 est indiquée l’évolution de la population mondiale, en milliard(s)
d’habitants, de l’an 1500 à nos jours.
1. Vitesse
(a) Sans chercher à être rigoureux, définir, puis calculer la vitesse moyenne d’accroissement
de la population mondiale en fonction du temps, jusqu’à l’an 2013 inclus, en
précisant les unités choisies.
(b) Cette vitesse est-elle constante?
(c) Définir, puis calculer la vitesse moyenne d’accroissement de cette vitesse, en
fonction du temps, en conservant le même choix d’unités.
(d) Au premier janvier 2014, quelle sera selon vous la population mondiale?
2. Représentation graphique
(a) Représenter graphiquement l’évolution de la population en fonction du temps.
(b) Même question pour la vitesse.
3. Accélération
(a) Rappeler la définition mathématique de la dérivée première d’un fonction
f(x).
(b) Quelle est la définition mathématique d’une vitesse?
(c) En déduire la définition mathématique d’une accélération.
(d) Calculer l’accélération de la population mondiale.
Réponses
(1.a) Notant P(t)la population Mondiale au temps t, la vitesse moyenne entre deux
temps est :
˙
P=P(t0)−P(t)
t0−t(1)
En la calculant entre deux temps consécutifs, on obtient la troisième ligne du tableau
ci-dessous:

Année (1er janvier) 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2013
Population (109) 0,500 0,560 0,640 0,900 1,650 6,020 7,100
˙
P(Milliard par siècle) - 0,06 0,08 0,26 0,75 4,37 8,31
¨
P(Milliard par siècle2) - - 0,02 0,18 0,49 3,62 30,31
(1.b) non
(1.c) On a:
¨
P=˙
P(t0)−˙ P(t)
t0−t'˙
P(t0)−˙ P(t)
t0−t(2)
d’où la dernière ligne du tableau ci-dessus.
(1.d) Le plus simple est de négliger la variation de ˙ Pentre 2000 et 2014. Alors, la
prédiction est:
P(2014) 'P(2013) + ˙ P(2013)∆t= 7,1+8,31 ×10−2'7,2 Milliards (3)
L’effet de l’accélération est numériquement négligeable sur un intervalle d’un an (∆t2=
10−4siècle2). Une estimation plus fine (via des modèles) donne P(2014) = 7,207 Mil-
liards.
(2.a et 2.b) dessin
(3.a)
(f0(x) =)df
dx= lim
∆x→0
f(x+ ∆x)−f(x)
∆x(4)
(3.b)
~v(t) = d~r
dt(5)
c’est une vecteur à trois composantes (en général) avec par exemple vx(t) = dx(t)
dt, noté
aussi x0(t)ou ˙x(t).
(3.c)
~a(t) = d~v
dt=d2~r dt2(6)
c’est une vecteur à trois composantes (en général) avec par exemple ax(t) = dvx(t)
dt, noté
aussi v0
x(t)ou ˙vx(t)(ou x00 (t)ou ¨x(t)).
(3.d) Cf. question 1.c
2. Mouvement rectiligne
(a) Rappeler les relations mathématiques (dérivées et intégrales) entre la position, la
vitesse et l’accélération.
(b) Représenter graphiquement le mouvement (position, vitesse et accélération) en
fonction du temps, d’un corps se déplaçant à vitesse constante le long d’une droite.
Page 2

(c) Même question pour un corps se déplaçant à accélération constante.
Réponses
(a)
v(t) = dx(t)
dt= ˙x(t)⇐⇒ x(t1) = x(t0) + Zt1
t0
v(t)dt(7)
a(t) = dv(t)
dt= ˙v(t)⇐⇒ v(t1) = v(t0) + Zt1
t0
a(t)dt(8)
(b) vitesse constante
v(t) = v=⇒x(t1) = x(t0) + Zt1
t0
v(t)dt=x(t0) + Zt1
t0
vdt(9)
=x(t0) + vZt1
t0
dt=x(t0) + v(t1−t0)(10)
et a(t) = ˙v= 0. Représentation graphique: une droite dans le plan {x, t}.
(c) accélération constante
a(t) = a=⇒v(t1) = v(t0) + Zt1
t0
a(t)dt=v(t0) + Zt1
t0
adt(11)
=v(t0) + aZt1
t0
dt=v(t0) + a(t1−t0)(12)
donc v(t) = v(t0) + a(t−t0), d’où (calcul direct comme il semblera naturel de le mener
par les étudiants)
x(t1) = x(t0) + Zt1
t0
v(t)dt=x(t0) + Zt1
t0
(v(t0) + a(t−t0)) dt(13)
=x(t0)+(v(t0)−at0)Zt1
t0
dt+aZt1
t0
tdt(14)
=x(t0)+(v(t0)−at0)(t1−t0) + a[1
2t2]t1
t0(15)
=x(t0)+(v(t0)−at0)(t1−t0) + a1
2(t2
1−t2 0)(16)
=x(t0) + v(t0)(t1−t0) + a1
2(t2
1−t2 0−2t0(t1−t0)) (17)
=x(t0) + v(t0)(t1−t0) + a1
2(t2
1−t2 0−2t0t1+ 2t2 0)(18)
=x(t0) + v(t0)(t1−t0) + a1
2(t2
1+t2 0−2t0t1)(19)
=x(t0) + v(t0)(t1−t0) + a1
2(t1−t0)2(20)
Page 3

puis (peut-être) le refaire de manière plus simple par le changement de variable
dt→d(t−t0)(21)
Représentation graphique: une parabole dans le plan {x, t}.
3. Train
Un train de banlieue circule sur une voie rectiligne reliant deux gares. Sa vitesse en
fonction du temps est représentée sur la figure ci-dessous.
1. Décrire qualitativement chaque phase du mouvement
phase 1: uniformément accéléré
phase 2 et 4 : mvt uniforme
phase 3 et 5 uniformément décéléré
2. Calculer algébriquement l’accélération pour chaque phase en fonction des paramètres
:v1,v2,t1,t2,t3,t4,t5. Faire ensuite l’application numérique. On donne :
v1= 108km/h, v2= 36km/h, t1= 50s, t2= 300s, t3= 310s, t4= 500s, t5= 520s.
Réponses :a1= 0,6m/s2;a2=a4= 0; a3=−2m/s2;a5=−0,5m/s2
3. Calculer algébriquement puis numériquement la distance parcourue pendant chaque
phase. Représenter la distance parcourue x(t)en fonction du temps. Quelle est la
distance entre les deux gares ? Quelle est la vitesse moyenne du train pendant le
trajet ?
Réponses :d1= 750m;d2= 7500m;d3= 200m;d4= 1900m;d5= 100m;dtot =
10450m;< v >= 20,1m/s
4. Freinage d’un véhicule.
1. Une automobile roule à la vitesse de 50 km/h. Lorsqu’elle se trouve à 50 m d’un
feu de circulation, celui-ci passe au rouge. Le conducteur ne commence à freiner
qu’après un temps de réaction t0= 0.5s, la décélération vaut 5m.s−2. Est ce que
le véhicule s’arrêtera avant le feu ? Même question si la vitesse initiale est de 80
Page 4

km/h.
Réponses : avant début de freinage, le véhicule parcourt d0=v0t0= 6,95m;
pendant le freinage, d1=v2
0
a= 19,26msoit au total d= 26,21m; à 80km/h,
d= 60,48m.
5. Mouvement oscillant sinusoidal
On considère la membrane d’un haut-parleur qui émet un son à la fréquence f. Pour
cela, la membrane oscille de façon sinusoïdale à la fréquence fet cette vibration est
transmise à l’air environnant.
1. Le mouvement d’un point M de la membrane s’écrit x(t) = x0sin(ωt). Quelle est
la relation entre ωet f?
rep :ω= 2πf
2. Calculer la vitesse v(t)du point M et son accélération a(t). Représenter x(t),v(t)et
a(t)sur un même graphe. Commenter. Comment varient v(t)et a(t)en fonction
de la fréquence f? En éliminant la variable temps, établir une relation simple
entre x(t)et a(t).
rep :v(t) = x0ωcos(ωt); a(t) = x(t) = −x0ω2sin(ωt);a(t) = −x(t)ω2
3. Citer d’autres exemples de mouvements oscillatoires sinusoïdaux.
rep : pendule, masse au bout d’un ressort, lame vibrante, vagues à la surface de
l’eau, colonne d’air dans un tube... etc.
6. Voyageur en retard
Un voyageur en retard court le long du quai à vitesse constante V= 6m/s. Quand il est
à 20 m du dernier wagon, le train démarre avec une accélération constante a= 1m.s−2
(le train et le voyageur ont des trajectoires rectilignes parallèles.)
1. Écrire les équations horaires du voyageur et du dernier wagon considérés comme
des points matériels. Représenter graphiquement leurs positions en fonction du
temps.
Réponse :xv=V t;xt=x0+1
2at2.
2. Montrer que le voyageur ne peut pas rattraper le train. Quelle sera la distance
minimale entre le voyageur et le dernier wagon?
Réponse :1
2at2−V t +x0= 0 n’a pas de solution avec les valeurs numériques
données (∆ = V2−2ax0=−4<0) : distance minimale dmin telle que at −V= 0
soit tmin = 6set dmin = 2m.
3. A quelle vitesse le voyageur devrait-il courir pour pouvoir monter dans le train, et
à quelle distance cela se produirait-il (acrobatie fortement déconseillée...)?
Réponse : vitesse minimale V0telle que V02−2ax0= 0 soit V0= 6,32m/s ,
t0=p2x0/a = 6,32s,x0= 2x0= 40m
Page 5