Chapitre 3 : Cinématique 3d

Chapitre 3 : Cinématique 3d

1. Vecteurs
• Vecteurs 2d et 3d :
un vecteur est caractérisé par une longueur, une orientation et un sens
• Scalaires et vecteurs :
un vecteur est un ensemble de nombres
soumis aux lois de l’algèbre vectorielle.
un scalaire est un nombre soumis aux lois de l’algèbre.
⇤a=(ax,a
y,a z)
m
!a=(ax,a
y)
x
y
ax
ay
2d :
!a=(ax,a
y,a z)
3d :
x
y
ax
ay
az
z
un vecteur définit une position

2. Bases de l’algèbre vectorielle
• Norme :
|!a |=a=!a2
x+a2 y+a2 z
“longueur” du vecteur
• Notations anglosaxonnes :
• Base orthonormée :
{⇤ex,⇤ey,⇤ez}
|⇥ex|=|⇥ey|=|⇥ez|=1
⇥ex⇥ey⇥ez
vecteurs unitaires
⇥ex
⇥ey
⇥ez
• Vecteur position :
⇥r=r
|r|=r
⌃r=(x, y, z)

• Addition de vecteurs :
!a−!a=! 0
!a+! b=!c
!a+! b+!c+! d+!e=! 0
!a
!
b
!c
!
d
!e
• Produit scalaire :
!a . ! b=axbx+ayby+azbz
!a . ! b=ab cos θ
utile pour les projections
!a
!
b
θ
a2 =!a . !a
cercle trigonométrique !
⇧c=(ax+bx,a
y+by,a z+bz)
m⌅a=(max, may, maz)
!a
m⇤a
dilatation

!a×! b=
!
!
!
!
!
!
!e x!e y!e z
axayaz
bxbybz
!
!
!
!
!
!
|!a×! b|=|!a ||! b|sin ϕ
(!a×! b).!c=(
!
b×!c ).!a=−(!a×!c ).
!
b
• Produit vectoriel :
!
b
(!a×! b).!a=0=(!a×! b).
!
b
ϕ
!a
!a×! b
• Base dextrorsum :
⇥ex⇥ey=⇥ez
repaire “droit”