ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri Applications Linéaires. I. Généralités Soient E et F deux espaces vectoriels sur ℝ Définition : Un application f de E dans F est une application linéaire si l'image d'une combinaison linéaire d'une famille de vecteurs est la combinaison linéaire des images de ces vecteurs. Autrement dit : f (λ 1 x 1+...+λ p x p)=λ1 f ( x1 )+...+λ p f ( x p ) ∀ x 1, ... , x p ∈E ∀ λ 1, ... , λ p ∈ℝ f (λ x+μ y )=λ f ( x)+μ f ( y) En particulier : ∀ x , y∈ E ∀ λ ,μ ∈ℝ On note l'ensemble des applications linéaire de E dans F L( E , F ) . Proposition : f est une application linéaire si et seulement si : f (λ x+ y )=λ f ( x)+ f ( y) ∀ x , y∈ E ∀ λ ∈ℝ Exemple : Id E ( x)=x est une application linéaire qu'on appelle -L'application Id E définie par ∀ x ∈E l'identité de E ou l'application identité de E. -Les applications linéaires de R dans R sont exactement les applications de la forme f ( x)=ax où a∈ℝ en effet : si f est de la forme f ( x)=ax , alors f est linéaire, car : f (λ x+ y )=a (λ x+ y)=λ ax +ay=λ f ( x)+ f ( y) ∀ x , y∈ E ∀ λ ∈ℝ Réciproquement , soit f ∈ L(ℝ ,ℝ) . Alors, pour tout ∀ x ∈ℝ , f ( x×1)=x× f (1) f ( x)=ax Ainsi, avec a= f (1) , on a bien ∀ x ∈ℝ II. Application du calcul matriciel aux applications linéaires Soit une application linéaire f définie de ℝ p vers ℝ n . On désigne par (e 1, . . . ,e p) les vecteurs de la base canonique de ℝ p . Soit un vecteur quelconque v de x1 v= . = x 1 e 1+ x 2 e 2+...+ x p e p . xp () Calculons f (v) : f (v) = f ( x 1 e 1+x 2 e2 +...+ x p e p ) = x 1 f (e1)+x 2 f (e 2)+...+ x p f (e p) En désignant par ( e 1, . . . () a 11 f (e1 )= . . a n1 , … ,, ,e n ) les vecteurs de la base canonique de ℝ n on aura : () a 1i f (ei )= . . a¿ () a 1p … , f (e p )= . . a np on peut alors poser A= [ f (e 1) , . . . , f (e p )] ∈ M n , p (ℝ) et finalement on a : 24 ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri f ( v)=[ f ( e 1), . . . , f (e p )] v= Av ∈ ℝn Le résultat du produit matriciel Av représente alors l’image par f du vecteur v dans la base canonique de ℝ n et A ∈ M n , p (ℝ) représente l’application linéaire f ∈ L( E , F ) par p rapport aux base canoniques de ℝ et de ℝ n . Réciproquement, toute matrice A de n lignes et p colonnes peut s’interpréter comme une application linéaire de ℝ p vers ℝ n relativement à deux bases fixées. Notation : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de F et f une application linéaire de E dans F. On note Mat B , B ' ( f ) la matrice de f relativement à B et à B'. Remarques : p n Comme ℝ et ℝ ont une infinité de bases, une application linéaire a une infinité de représentations matricielle, mais il existe une unique représentation de f par rapport à deux bases fixées. L’équation matricielle Av = b est équivalente à l'équation f (v) = b où b est l’image de v par f ce qui revient à dire que v est un antécédent de b par f. Attention cependant, on ne peut identifier une application linéaire a une matrice que dans le cadre des espaces vectoriels de dimensions finis. Exemple : Détermination pratique de la matrice d'une application linéaire. (TODO:) III. Image et noyau d'une application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de F et f une application linéaire de E dans F. Définition : On appelle image de l'application linéaire f et on note ℑ m( f ) l'ensemble des images de E par f , f ( E) , c'est un sous-ensemble de F défini par : ℑ m( f )={v ∈F tel que ∃u , f (u)=v } Exemple : Définition: On appelle noyau de l'application linéaire f et on note ker ( f ) l'ensemble définit par : ker ( f )={u∈E tel que f (u)=0} Remarque : Soit A= Mat B , B ' ( f ) . Av =0 signifie que v ∈ker ( f ) . On peut donc parler du noyau de A qui correspond au noyau de l’application linéaire représentée par A. Proposition : a) f ( E)=ℑ m( f ) est un sous-espace vectoriel de F. 25 ESIEE Paris – E3FI b) ker ( f ) est un sous-espace vectoriel de E. Démonstration : a) i) ℑ m( f )⊂E et 0∈ ℑ m( f ) car f (0)=0 . ii) Soient x , x ' ∈ℑ m (E ) et λ ∈ℝ . ∃ y , y ' ∈ E Carmelo Guarneri tels que y= f ( x) , y ' = f (x ' ) . Alors λ y+ y ' =λ f (x)+ f (x ' )= f (λ x+ x ' ) . Donc λ x+x ' ∈ℑ m(E ) . b) i) ker ( f )⊂ E , donc 0∈ker ( f ) . ii) Soient x , y∈ E et λ ∈ℝ . On a : f (λ x+ y )=λ f ( x)+ f ( y)=λ 0+0=0 Définition: La dimension de ℑm( f ) est appelé le rang de l'application linéaire f et on le note rg ( f ) , on a donc : rg ( f ) =dim( ℑ m( f ) ). Remarque : Soit A= Mat B , B ' ( f ) . Av =b signifie que b∈ℑ m( f ) . On peut donc parler de l'image et du rang de la matrice A qui correspondent à l'image et au rang de f. Théorème du rang : dim( E)=dim(ℑ m( f ))+dim(ker ( f ))=rg ( f )+ dim(ker ( f )) . IV. Injectivité, surjectivité et bijectivité Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , et de E dans F. f une application linéaire Définition : Une application g : E → F est dite injective si des éléments distinct de E on des images distinctes c'est à dire : soient u , v ∈E : u≠v ⇒ g (u)≠g (v) ou par contraposition g (u)=g (v)⇒ u=v Proposition : f est injective si et seulement si ker ( f )={0} Définition : Une application g : E → F est dite surjective si tout vecteur v de F possède au moins un ∃ u∈ E tel que g (u)=v antécédent u par f dans E autrement dit : ∀ v ∈F Proposition : f est surjective si et seulement si f ( E)=ℑ m( f )= F Définition : Une application g : E → F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Proposition : si f est bijective alors dim E =dim F 26 ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri Définition : Une application f ∈ L(E , F ) est aussi appelée un morphisme. Une application f ∈ L(E , E) est appelée un endomorphisme. Une application bijective f ∈ L(E , F ) est appelée un isomorphisme. Une application bijective f ∈L (E , E) est appelée un automorphisme. V. Opérations sur les applications linéaires. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de F et f une application linéaire de E dans F. a. Addition de deux applications linéaires Définition : Soient f , g ∈ L( E , F ) l'addition de f et de g , qu'on note définie par : ∀ x ∈E ( f + g )( x)= f ( x)+ g ( x) f + g , est l'application Proposition: L( E , F ) muni de la loi d'addition définie précédemment est un groupe commutatif. Démonstration : b. Multiplication par un scalaire Définition : Soit f ∈ L(E , F ) et λ ∈ℝ la multiplication f par par le scalaire λ , qu'on note λ f , est l'application définie par : ∀ x ∈E (λ f )(x)=λ f (x) Proposition: L( E , F ) muni de la lois additive et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel. Démonstration : TODO : Remarque : L( E , F ) et M n , p (ℝ) sont deux espaces vectoriels de même dimension. Ils sont « équivalant ». c. Composition de deux applications linéaires Définition : Soient E, F et G trois espaces vectoriels, f ∈ L(E , F ) et g ∈ L( F , G) . On définit la loi de composition de deux applications linéaires f et g , et on note g ∘ f l'application : h∈ L( E , G) définie par : ∀ x ∈E g ∘ f ( x)=g ( f ( x)) Proposition: Soient E, F et G trois espaces vectoriels : 27 ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri i) Si g ∈ L ( F ,G) et f 1, f 2 ∈ L (E , F ) alors g ∘( f 1+ f 2)= g ∘ f 1+g ∘ f 2 ii) Si, g 1, g 2∈ L ( F ,G ) et h ∈ L (E , F ) alors ( g 1+g 2 )∘ h=g 1 ∘h+ g 2 ∘ h iii) Si λ ∈ℝ et f ∈ L( E , F ) g∈ L( F , G) alors λ (g ∘ f )=(λ g )∘ f =g ∘(λ f ) d. Application réciproque d'une application linéaire Définition : Soit f ∈ L(E , F ) une application linéaire bijective, on appelle application réciproque −1 −1 on note f l'application f ∈L (F , E ) qui à y=f(x) associe x. Proposition : Soit f ∈ L(E , F ) alors f ∘ f −1= Id F et f et f −1 ∘ f = Id E Remarque : Inverse matrices... 28