Algèbre Linéaire Chapitre 4 - FR

ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri
Applications Linéaires.
I. Généralités
Soient E et F deux espaces vectoriels sur
ℝ
Définition :
Un application
f
de E dans F est une application linéaire si l'image d'une combinaison linéaire
d'une famille de vecteurs est la combinaison linéaire des images de ces vecteurs.
Autrement dit :
∀x1, ... , x p∈E
∀λ1, ... ,λp∈ℝ
f(λ1x1+...+λpxp)=λ1f(x1)+...+λ pf(xp)
En particulier :
∀x , y∈E
∀λ ,μ∈ℝ
f(λ x+μ y)=λ f(x)+μ f(y)
On note l'ensemble des applications linéaire de E dans F
L(E , F )
.
Proposition :
f
est une application linéaire si et seulement si :
∀x , y∈E
∀λ ∈ℝ
f(λ x+y)=λ f(x)+ f(y)
Exemple :
-L'application
Id E
définie par
∀x∈E
Id E(x)=x
est une application linéaire qu'on appelle
l'identité de E ou l'application identité de E.
-Les applications linéaires de R dans R sont exactement les applications de la forme
f(x)=ax
où
a∈ℝ
en effet :
si f est de la forme
f(x)=ax
, alors f est linéaire, car :
∀x , y∈E
∀λ∈ℝ
f(λ x+y)=a(λ x+y)=λax +ay=λ f(x)+ f(y)
Réciproquement , soit
f∈L(ℝ ,ℝ)
.
Alors, pour tout
∀x∈ℝ
,
f(x×1)=x×f(1)
Ainsi, avec
a=f(1)
, on a bien
∀x∈ℝ
f(x)=ax
II. Application du calcul matriciel aux applications linéaires
Soit une application linéaire f définie de
ℝp
vers
ℝn
.
On désigne par
(e1, . . . ,e p)
les vecteurs de la base canonique de
ℝp
.
Soit un vecteur quelconque v de
v=
(
x1
.
.
xp
)
=
x1e1+x2e2+...+xpep
Calculons f (v) :
f(v)
=
f(x1e1+x2e2+...+xpep)
=
x1f(e1)+x2f(e2)+...+xpf(ep)
En désignant par
(e1, . . . ,en)
les vecteurs de la base canonique de
ℝn
on aura :
f(e1)=
(
a11
.
.
an1
)
, … ,,
f(ei)=
(
a1i
.
.
a¿
)
… ,
f(ep)=
(
a1p
.
.
anp
)
on peut alors poser A=
[f(e1),. . . , f (ep)] ∈ Mn , p (ℝ)
et finalement on a :
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f(v)=[ f(e1),. . . , f (ep)] v=Av ∈ ℝn
Le résultat du produit matriciel Av représente alors l’image par f du vecteur v dans la base
canonique de
ℝn
et
A∈Mn , p (ℝ)
représente l’application linéaire
f∈L(E , F )
par
rapport aux base canoniques de
ℝp
et de
ℝn
.
Réciproquement, toute matrice A de n lignes et p colonnes peut s’interpréter comme une
application linéaire de
ℝp
vers
ℝn
relativement à deux bases fixées.
Notation :
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur
ℝ
, B une base de E, B' une base de
F et
f
une application linéaire de E dans F. On note
Mat B ,B ' (f)
la matrice de f relativement à
B et à B'.
Remarques :
Comme
ℝp
et
ℝn
ont une infinité de bases, une application linéaire a une infinité de
représentations matricielle, mais il existe une unique représentation de f par rapport à deux bases
fixées.
L’équation matricielle Av = b est équivalente à l'équation f (v) = b où b est l’image de v par f ce qui
revient à dire que v est un antécédent de b par f.
Attention cependant, on ne peut identifier une application linéaire a une matrice que dans le cadre
des espaces vectoriels de dimensions finis.
Exemple :
Détermination pratique de la matrice d'une application linéaire. (TODO:)
III. Image et noyau d'une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur
ℝ
, B une base de E, B' une base de
F et
f
une application linéaire de E dans F.
Définition :
On appelle image de l'application linéaire
f
et on note
ℑm(f)
l'ensemble des images de E
par
f
,
f(E)
, c'est un sous-ensemble de F défini par :
ℑm(f)={v∈F tel que ∃u , f (u)=v}
Exemple :
Définition:
On appelle noyau de l'application linéaire
f
et on note
ker (f)
l'ensemble définit par :
ker (f)={u∈E tel que f (u)=0}
Remarque :
Soit A=
Mat B ,B ' (f)
.
Av =0
signifie que
v∈ker (f)
. On peut donc parler du noyau de A
qui correspond au noyau de l’application linéaire représentée par A.
Proposition :
a)
f(E)=ℑ m(f)
est un sous-espace vectoriel de F.
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b)
ker (f)
est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration :
a) i)
ℑm(f)⊂E
et
0∈ℑm(f)
car
f(0)=0
.
ii) Soient
x , x ' ∈ℑm(E)
et
λ∈ℝ
.
∃y , y ' ∈E
tels que
y=f(x), y ' =f(x ' )
.
Alors
λy+y ' =λ f(x)+ f(x ')= f(λ x+x ' )
. Donc
λx+x ' ∈ℑ m(E)
.
b) i)
ker (f)⊂E
, donc
0∈ker (f)
.
ii) Soient
x , y∈E
et
λ∈ℝ
. On a :
f(λ x+y)=λ f(x)+ f(y)=λ 0+0=0
Définition:
La dimension de
ℑm(f)
est appelé le rang de l'application linéaire f et on le note
rg (f)
,
on a donc :
rg (f)
=dim(
ℑm(f)
).
Remarque :
Soit A=
Mat B ,B ' (f)
.
Av =b
signifie que
b∈ℑm(f)
. On peut donc parler de l'image et du
rang de la matrice A qui correspondent à l'image et au rang de f.
Théorème du rang :
dim(E)=dim(ℑ m(f))+dim(ker (f))=rg (f)+dim(ker (f))
.
IV. Injectivité, surjectivité et bijectivité
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur
ℝ
, et
f
une application linéaire
de E dans F.
Définition :
Une application
g:E→F
est dite injective si des éléments distinct de E on des images
distinctes c'est à dire : soient
u , v ∈E
:
u≠v⇒g(u)≠g(v)
ou par contraposition
g(u)=g(v)⇒ u=v
Proposition :
f est injective si et seulement si
ker (f)={0}
Définition :
Une application
g:E→F
est dite surjective si tout vecteur v de F possède au moins un
antécédent u par f dans E autrement dit :
∀v∈F
∃u∈E tel que g (u)=v
Proposition :
f est surjective si et seulement si
f(E)=ℑ m(f)=F
Définition :
Une application
g:E→F
est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Proposition :
si f est bijective alors
dim E =dim F
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Définition :
Une application
f∈L(E , F )
est aussi appelée un morphisme.
Une application
f∈L(E , E)
est appelée un endomorphisme.
Une application bijective
f∈L(E , F )
est appelée un isomorphisme.
Une application bijective
f∈L(E , E)
est appelée un automorphisme.
V. Opérations sur les applications linéaires.
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur
ℝ
, B une base de E, B' une base de
F et
f
une application linéaire de E dans F.
a. Addition de deux applications linéaires
Définition :
Soient
f , g ∈L(E , F )
l'addition de
f
et de
g
, qu'on note
f+g
, est l'application
définie par :
∀x∈E
(f+g)( x)= f(x)+g(x)
Proposition:
L(E , F )
muni de la loi d'addition définie précédemment est un groupe commutatif.
Démonstration :
b. Multiplication par un scalaire
Définition :
Soit
f∈L(E , F )
et
λ∈ℝ
la multiplication
f
par par le scalaire
λ
, qu'on note
λf
,
est l'application définie par :
∀x∈E
(λ f)(x)=λ f(x)
Proposition:
L(E , F )
muni de la lois additive et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel.
Démonstration :
TODO :
Remarque :
L(E , F )
et
Mn , p (ℝ)
sont deux espaces vectoriels de même dimension. Ils sont « équivalant ».
c. Composition de deux applications linéaires
Définition :
Soient E, F et G trois espaces vectoriels,
f∈L(E , F )
et
g∈L(F , G)
. On définit la loi de
composition de deux applications linéaires
f
et
g
, et on note
g∘f
l'application :
h∈L(E , G)
définie par :
∀x∈E
g∘f(x)=g(f(x))
Proposition:
Soient E, F et G trois espaces vectoriels :
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i) Si
g∈L(F ,G)
et
f1, f2∈L(E , F )
alors
g∘( f1+f2)=g∘f1+g∘f2
ii) Si,
g1, g2∈L(F ,G )
et
h∈L(E , F )
alors
(g1+g2)∘ h=g1∘h+g2∘h
iii) Si
λ∈ℝ
et
f∈L(E , F )
g∈L(F , G)
alors
λ(g∘f)=(λ g)∘ f=g∘(λ f)
d. Application réciproque d'une application linéaire
Définition :
Soit
f∈L(E , F )
une application linéaire bijective, on appelle application réciproque
f
et
on note
f−1
l'application
f−1∈L(F , E )
qui à y=f(x) associe x.
Proposition :
Soit
f∈L(E , F )
alors
f∘f−1=IdF
et
f−1∘f=IdE
Remarque :
Inverse matrices...
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