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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Algébre2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices
Applications Linéaires
(11 Avril 2016)
Exercise 1 Déterminer si les applications fisuivantes sont linéaires :
f1:R2!R3f1(x; y) = (2x+y; x y)
f2:R3!R3f2(x; y; z) = (xy; x; y)
f3:R2!R3f3(x; y; z) = (2x+y+z; y z; x +y)
f4:R2!R4f4(x; y) = (2x+y+z; y z; x +y)
f5:R3[X]!R3f5(P) = (P(1); P (0); P (1))
Exercise 2 Soit Eun espace vectoriel et soient E1et E2deux sous-espaces
vectoriels de dimension …nie de E, on dé…nit l’application f:E1E2!Epar
f(x1; x2) = x1+x2.
1. Montrer que fest linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f.
3. Que donne le théorème du rang?
Exercise 3 Soient fe1; e2get ff1; f2; f3gles bases canoniques respectives des
R-espaces vectoriels R2et R3.
a) Déterminer l’application linéaire fde R2dans R3véri…ant :
f(e1) = 2f2+f3; f (e2) = f2f1:
b) Montrer que Im fest un plan vectoriel. En donner une équation cartésienne.
Exercise 4 On considère les applications linéaires fde R3dans R2et gde R2
dans R3dé…nies par :
f(x; y; z) = (x+y+z; x y+z)
et
g(x; y) = (y; x; x +y):
a) Déterminer ker f; Im f; ker g; Im get préciser leurs dimensions.
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b) Déterminer gfet fg:
c) Existe-t-il une application linéaire hde R3dans R2véri…ant hg=IdR2?g
h=IdR3?
Exercise 5 On considère les applications linéaires fet gsuivantes :
f:R2!R2
(x; y)7! (2x4y; x 2y)
et
g:R2!R2
(x; y)7! (3x4y; x y):
1. Déterminer ker f et Im f: Préciser leurs dimensions. f est-elle injective?
surjective?
2. Montrer que g est bijective? Déterminer g?. En déduire les dimensions de
ker g et Im g:
Exercise 6 Soient fe1; e2gla base canonique de R2et fl’endomorphisme de
R2dé…ni par
f(x; y) = (x; 2yx):
1. Trouver ker fet Im f: Conclusion.
2. Trouver tous les vecteurs (x; y)invariants par f: Montrer qu’ils forment
un sous espace vectoriel de R2de dimension 1.
3. Existe-il des droites vectoielles Dde R2telles que f(D) = D?
4. On pose
I=e1+e2; J =e1+e2:
Montrer que fI; Jgest une base de R2:
5. Soit
u=xe1+ye2=XI +Y J:
Trouver les coordonnées de f(u)dans la base fI; Jgen fonction de Xet
Y.
Exercise 7 Soit f:R!Rune application linéaire quelconque. On considère
l’application g:R2!R2dé…nie par
g(x; y) = (x; y f(x)) :
a) Montrer que gest linéaire. Déterminer ker g:
b) gest-elle bijective? si oui déterminer g1:
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