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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Algébre2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices
Applications Linéaires
(11 Avril 2016)
Exercise 1 Déterminer si les applications fi suivantes sont linéaires :
f1
f2
f3
f4
f5
: R2 ! R3 f1 (x; y) = (2x + y; x y)
: R3 ! R3 f2 (x; y; z) = (xy; x; y)
: R2 ! R3 f3 (x; y; z) = (2x + y + z; y z; x + y)
: R2 ! R4 f4 (x; y) = (2x + y + z; y z; x + y)
: R3 [X] ! R3 f5 (P ) = (P ( 1); P (0); P (1))
Exercise 2 Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous-espaces
vectoriels de dimension …nie de E, on dé…nit l’application f : E1 E2 ! E par
f (x1 ; x2 ) = x1 + x2 .
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f .
3. Que donne le théorème du rang?
Exercise 3 Soient fe1 ; e2 g et ff1 ; f2 ; f3 g les bases canoniques respectives des
R-espaces vectoriels R2 et R3 .
a) Déterminer l’application linéaire f de R2 dans R3 véri…ant :
f (e1 ) = 2f2 + f3 ; f (e2 ) = f2
f1 :
b) Montrer que Im f est un plan vectoriel. En donner une équation cartésienne.
Exercise 4 On considère les applications linéaires f de R3 dans R2 et g de R2
dans R3 dé…nies par :
f (x; y; z) = ( x + y + z; x
y + z)
et
g (x; y) = (y; x; x + y) :
a) Déterminer ker f; Im f; ker g; Im g et préciser leurs dimensions.
1
b) Déterminer g f et f
g:
c) Existe-t-il une application linéaire h de R3 dans R2 véri…ant h g = IdR2 ? g
h = IdR3 ?
Exercise 5 On considère les applications linéaires f et g suivantes :
et
f : R2
! R2
(x; y) 7! (2x
4y; x
2y)
g : R2
! R2
(x; y) 7! (3x
4y; x
y)
:
1. Déterminer ker f et Im f: Préciser leurs dimensions. f est-elle injective?
surjective?
2. Montrer que g est bijective? Déterminer g?. En déduire les dimensions de
ker g et Im g:
Exercise 6 Soient fe1 ; e2 g la base canonique de R2 et f l’endomorphisme de
R2 dé…ni par
f (x; y) = (x; 2y x) :
1. Trouver ker f et Im f: Conclusion.
2. Trouver tous les vecteurs (x; y) invariants par f: Montrer qu’ils forment
un sous espace vectoriel de R2 de dimension 1.
3. Existe-il des droites vectoielles D de R2 telles que f (D) = D?
4. On pose
I = e1 + e2 ; J =
e1 + e2 :
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Montrer que fI; Jg est une base de R :
5. Soit
u = xe1 + ye2 = XI + Y J:
Trouver les coordonnées de f (u) dans la base fI; Jg en fonction de X et
Y.
Exercise 7 Soit f : R ! R une application linéaire quelconque. On considère
l’application g : R2 ! R2 dé…nie par
g (x; y) = (x; y
f (x)) :
a) Montrer que g est linéaire. Déterminer ker g:
b) g est-elle bijective? si oui déterminer g
2
1
: