Algèbre Linéaire Chapitre 4 - FR

ESIEE Paris – E3FI
Carmelo Guarneri
Applications Linéaires.
I.
Généralités
Soient E et F deux espaces vectoriels sur ℝ
Définition :
Un application f de E dans F est une application linéaire si l'image d'une combinaison linéaire
d'une famille de vecteurs est la combinaison linéaire des images de ces vecteurs.
Autrement dit :
f (λ 1 x 1+...+λ p x p)=λ1 f ( x1 )+...+λ p f ( x p )
∀ x 1, ... , x p ∈E ∀ λ 1, ... , λ p ∈ℝ
f (λ x+μ y )=λ f ( x)+μ f ( y)
En particulier : ∀ x , y∈ E ∀ λ ,μ ∈ℝ
On note l'ensemble des applications linéaire de E dans F L( E , F ) .
Proposition :
f est une application linéaire si et seulement si :
f (λ x+ y )=λ f ( x)+ f ( y)
∀ x , y∈ E ∀ λ ∈ℝ
Exemple :
Id E ( x)=x est une application linéaire qu'on appelle
-L'application Id E définie par ∀ x ∈E
l'identité de E ou l'application identité de E.
-Les applications linéaires de R dans R sont exactement les applications de la forme f ( x)=ax
où a∈ℝ en effet :
si f est de la forme f ( x)=ax , alors f est linéaire, car :
f (λ x+ y )=a (λ x+ y)=λ ax +ay=λ f ( x)+ f ( y)
∀ x , y∈ E ∀ λ ∈ℝ
Réciproquement , soit f ∈ L(ℝ ,ℝ) .
Alors, pour tout ∀ x ∈ℝ , f ( x×1)=x× f (1)
f ( x)=ax
Ainsi, avec a= f (1) , on a bien ∀ x ∈ℝ
II. Application du calcul matriciel aux applications linéaires
Soit une application linéaire f définie de ℝ p vers ℝ n .
On désigne par (e 1, . . . ,e p) les vecteurs de la base canonique de ℝ p .
Soit un vecteur quelconque v de
x1
v= . = x 1 e 1+ x 2 e 2+...+ x p e p
.
xp
()
Calculons f (v) :
f (v) = f ( x 1 e 1+x 2 e2 +...+ x p e p ) = x 1 f (e1)+x 2 f (e 2)+...+ x p f (e p)
En désignant par ( e 1, . . .
()
a 11
f (e1 )= .
.
a n1
, … ,,
,e n ) les vecteurs de la base canonique de ℝ n on aura :
()
a 1i
f (ei )= .
.
a¿
()
a 1p
… , f (e p )= .
.
a np
on peut alors poser A= [ f (e 1) , . . . , f (e p )] ∈ M n , p (ℝ) et finalement on a :
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f ( v)=[ f ( e 1), . . . , f (e p )] v= Av ∈ ℝn
Le résultat du produit matriciel Av représente alors l’image par f du vecteur v dans la base
canonique de ℝ n et A ∈ M n , p (ℝ) représente l’application linéaire f ∈ L( E , F ) par
p
rapport aux base canoniques de ℝ et de ℝ n .
Réciproquement, toute matrice A de n lignes et p colonnes peut s’interpréter comme une
application linéaire de ℝ p vers ℝ n relativement à deux bases fixées.
Notation :
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de
F et f une application linéaire de E dans F. On note Mat B , B ' ( f ) la matrice de f relativement à
B et à B'.
Remarques :
p
n
Comme ℝ et ℝ ont une infinité de bases, une application linéaire a une infinité de
représentations matricielle, mais il existe une unique représentation de f par rapport à deux bases
fixées.
L’équation matricielle Av = b est équivalente à l'équation f (v) = b où b est l’image de v par f ce qui
revient à dire que v est un antécédent de b par f.
Attention cependant, on ne peut identifier une application linéaire a une matrice que dans le cadre
des espaces vectoriels de dimensions finis.
Exemple :
Détermination pratique de la matrice d'une application linéaire. (TODO:)
III. Image et noyau d'une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de
F et f une application linéaire de E dans F.
Définition :
On appelle image de l'application linéaire f et on note ℑ m( f ) l'ensemble des images de E
par f , f ( E) , c'est un sous-ensemble de F défini par :
ℑ m( f )={v ∈F tel que ∃u , f (u)=v }
Exemple :
Définition:
On appelle noyau de l'application linéaire f et on note ker ( f ) l'ensemble définit par :
ker ( f )={u∈E tel que f (u)=0}
Remarque :
Soit A= Mat B , B ' ( f ) . Av =0 signifie que v ∈ker ( f ) . On peut donc parler du noyau de A
qui correspond au noyau de l’application linéaire représentée par A.
Proposition :
a) f ( E)=ℑ m( f ) est un sous-espace vectoriel de F.
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b) ker ( f ) est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration :
a) i) ℑ m( f )⊂E et 0∈ ℑ m( f ) car f (0)=0 .
ii) Soient x , x ' ∈ℑ m (E ) et λ ∈ℝ . ∃ y , y ' ∈ E
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tels que y= f ( x) , y ' = f (x ' ) .
Alors λ y+ y ' =λ f (x)+ f (x ' )= f (λ x+ x ' ) . Donc λ x+x ' ∈ℑ m(E ) .
b) i) ker ( f )⊂ E , donc 0∈ker ( f ) .
ii) Soient x , y∈ E et λ ∈ℝ . On a : f (λ x+ y )=λ f ( x)+ f ( y)=λ 0+0=0
Définition:
La dimension de ℑm( f ) est appelé le rang de l'application linéaire f et on le note rg ( f ) ,
on a donc : rg ( f ) =dim( ℑ m( f ) ).
Remarque :
Soit A= Mat B , B ' ( f ) . Av =b signifie que b∈ℑ m( f ) . On peut donc parler de l'image et du
rang de la matrice A qui correspondent à l'image et au rang de f.
Théorème du rang :
dim( E)=dim(ℑ m( f ))+dim(ker ( f ))=rg ( f )+ dim(ker ( f )) .
IV. Injectivité, surjectivité et bijectivité
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , et
de E dans F.
f
une application linéaire
Définition :
Une application g : E → F est dite injective si des éléments distinct de E on des images
distinctes c'est à dire : soient u , v ∈E :
u≠v ⇒ g (u)≠g (v) ou par contraposition g (u)=g (v)⇒ u=v
Proposition :
f est injective si et seulement si ker ( f )={0}
Définition :
Une application g : E → F est dite surjective si tout vecteur v de F possède au moins un
∃ u∈ E tel que g (u)=v
antécédent u par f dans E autrement dit : ∀ v ∈F
Proposition :
f est surjective si et seulement si f ( E)=ℑ m( f )= F
Définition :
Une application g : E → F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Proposition :
si f est bijective alors dim E =dim F
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Définition :
Une application f ∈ L(E , F ) est aussi appelée un morphisme.
Une application f ∈ L(E , E) est appelée un endomorphisme.
Une application bijective f ∈ L(E , F ) est appelée un isomorphisme.
Une application bijective f ∈L (E , E) est appelée un automorphisme.
V. Opérations sur les applications linéaires.
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de
F et f une application linéaire de E dans F.
a.
Addition de deux applications linéaires
Définition :
Soient f , g ∈ L( E , F ) l'addition de f et de g , qu'on note
définie par : ∀ x ∈E ( f + g )( x)= f ( x)+ g ( x)
f + g , est l'application
Proposition:
L( E , F ) muni de la loi d'addition définie précédemment est un groupe commutatif.
Démonstration :
b.
Multiplication par un scalaire
Définition :
Soit f ∈ L(E , F ) et λ ∈ℝ la multiplication f par par le scalaire λ , qu'on note λ f ,
est l'application définie par : ∀ x ∈E (λ f )(x)=λ f (x)
Proposition:
L( E , F ) muni de la lois additive et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel.
Démonstration :
TODO :
Remarque :
L( E , F ) et M n , p (ℝ) sont deux espaces vectoriels de même dimension. Ils sont « équivalant ».
c.
Composition de deux applications linéaires
Définition :
Soient E, F et G trois espaces vectoriels, f ∈ L(E , F ) et g ∈ L( F , G) . On définit la loi de
composition de deux applications linéaires f et g , et on note g ∘ f l'application :
h∈ L( E , G) définie par : ∀ x ∈E
g ∘ f ( x)=g ( f ( x))
Proposition:
Soient E, F et G trois espaces vectoriels :
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i) Si g ∈ L ( F ,G) et f 1, f 2 ∈ L (E , F ) alors g ∘( f 1+ f 2)= g ∘ f 1+g ∘ f 2
ii) Si, g 1, g 2∈ L ( F ,G ) et h ∈ L (E , F ) alors ( g 1+g 2 )∘ h=g 1 ∘h+ g 2 ∘ h
iii) Si λ ∈ℝ et f ∈ L( E , F )
g∈ L( F , G) alors λ (g ∘ f )=(λ g )∘ f =g ∘(λ f )
d.
Application réciproque d'une application linéaire
Définition :
Soit f ∈ L(E , F ) une application linéaire bijective, on appelle application réciproque
−1
−1
on note f
l'application f ∈L (F , E ) qui à y=f(x) associe x.
Proposition :
Soit f ∈ L(E , F ) alors
f ∘ f −1= Id F et
f et
f −1 ∘ f = Id E
Remarque :
Inverse matrices...
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