LA LOI NORMALE 1 Variable aléatoire ∑ − 2 La loi normale

Senechal conseil 30/10/09
Objet: résumé sur la loi normale 1/2
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LA LOI NORMALE
Ceci exprime, d'une façon utilisée dans la pratique industrielle, des concepts mathématiques.
L'expression pratique se fait au prix d'une perte de rigueur. Cette perte de rigueur est acceptable du
fait du domaine restreint d'application.
1 Variable aléatoire
Une variable aléatoire, est la transcription numérique d'un phénomène (longueur, consommation par
jour, résistivité, poids...). Ici il ne sera question que de variable aléatoires mesurables et représentants
des phénomènes continus. Elles sont appelées, par simplification, "variables" dans le langage
industriel.
Remarque: les phénomènes discontinus et non mesurables (bon/mauvais, couleur rouge, verte, bleu...)
sont appelés "attributs" dans le langage industriel. Mathématiquement "variables" et "attributs" sont
des variables aléatoires.
La variable aléatoire reprend l'ensemble des valeurs possibles pour un phénomène. Dans cet ensemble
de valeurs possibles chaque valeur a une probabilité de réalisation. La loi de la variable aléatoire est la
fonction de la probabilité de réalisation.
Ex:Variable aléatoire: L le diamètre en 1/1000 de mm d'un arbre d'hélice d'aviation.
Valeur numérique: x ∈ {valeurs possibles de L}.
Loi de la variable aléatoire: P(x).
La loi de la variable aléatoire étant une probabilité sa somme sur l'ensemble des valeurs possibles est
égale à 1:
∫
=1dx)x(P avec x ∈ {valeurs possibles de la variable aléatoire}
On caractérise une variable aléatoire à l'aide deux grandeurs (exprimées ici à partir d'un échantillon de
N valeurs prisent par la variable aléatoire et non de façon mathématique à partir de la variable
aléatoire continue):
La moyenne: m =
N
x
∑
avec N nombre de valeurs prisent par la variable aléatoire.
La moyenne est la valeur la plus probable.
Et l'écart type (racine carré de la
variance):
σ = ∑−2
)mx(
N
1 L'écart type exprime la dispersion des
valeurs autour de la moyenne.
D'une façon plus rigoureuse, et dans l'espace des réels, il est possible de définir des fonctions ayant
les caractéristiques des variables aléatoires. Parmi ces fonctions certaines ont un intérêt particulier car
proche de la répartition de probabilité de variables aléatoires décrivant des phénomènes réels. Ce sont
les lois traditionnelles (Poisson, Normale...). Ces lois sont étudiées mathématiquement et leurs
propriétés sont utilisées directement.
Divers techniques permettent de rechercher quelle loi théorique se rapproche le plus d'une variable
aléatoire réelle et de chiffrer le degré d'écart entre la loi mathématique et la variable réelle.
2 La loi normale
Cette loi de répartition est très utilisée et il est nécessaire d'en connaitre les principales propriétés.
La formule de la loi est: P(x) = 2
2
2
)mx(
e
2
1
σ
πσ
−
−
On note la loi X(m;σ) avec m moyenne et σ écart type. En tracé on obtient la courbe en cloche centrée
sur m:

Senechal conseil 30/10/09
Objet: résumé sur la loi normale 2/2
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3 Loi normale centrée réduite
Un cas particulier de la loi normale correspond à U(0;1). Cette loi est appelée loi normale centrée (la
moyenne est zéro) réduite (l'écart type est égal à 1).
Pour les calculs de probabilités on réalise une transformation entre une loi normale quelconque et la
loi normale centrée réduite à l'aide du changement de variable: u =
σ
mx
−
Les tables de valeurs sont données pour la loi normale centrée réduite.
4 Addition des lois normales
Théorème central-limite.
Pour des lois normales indépendantes l'addition donne une loi normale suivant les règles:
X1(m1;σ1) + X2(m2 ;σ2) = X(m1+ m2 ; 2
2
2
1
σσ +)
5 Multiplication des lois normales
La multiplication d'une loi normale par un nombre réel donne une loi normale:
b X1(m1;σ1) = X(b m1;bσ1)
6 Table et principe d'utilisation
Voici une table réduite de la loi normale:
,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9
0 0,500 0,540 0,579 0,618 0,655 0,691 0,726 0,758 0,788 0,816
1 0,841 0,864 0,885 0,903 0,919 0,933 0,945 0,955 0,964 0,971
2 0,977 0,982 0,986 0,989 0,992 0,994 0,995 0,997 0,997 0,998
Cette table donne la surface couverte par la loi normale centrée réduite entre -∞ et la valeur
recherchée c'est-à-dire la surface grisée du graphique:
Ex: la probabilité pour que la valeur soit inférieure ou égale à 1,4 est de 0,919.
Pour trouver la probabilité pour que la valeur soit inférieure ou égale à une valeur négative on utilise
les propriétés de symétrie de la loi normale et le fait que la surface totale délimitée par la courbe soit
égale à 1.
Ex: la probabilité pour que la valeur soit inférieure ou égale à -1,4 est de 1-0,919 soit 0,081.
la probabilité pour que la valeur soit comprise entre - 1,4 et 1,4 est de 0,919 - 0,081 soit 0,838.
7 Bibliographie
"Aide mémoire de probabilité et statistiques" Jacques MARCEIL
Référence infothèque MATH 71 MARC
"Probabilités et statistiques 1" Christine VIGNERON et Elisabeth LOGAK
Référence infothèque MATH 71 VIGN