TD4 Loi Normale correction non détaillée

Université d’Évry -Val -d' Essonne Année 2014-2015
L2 STAPS
« Statistiques descriptives »
ALEX KOUM
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TD4 Loi Normale
correction non détaillée
Exercice 1
Z est une Variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite, Z~ N(0;1).
Calculer :
P(Z<0,55)=0,7088 P(Z ≤ 1,67)=0,9525 P(Z < -1,24)=0,10749 P(Z < -2,36)=0,0091
P(Z > 2,52)=0,0059 P(Z ≥ -1,54)=0,9382 P(Z > -1)=0,8413 P(Z ≥ 1,96)=0,025
P(0,22 < Z < 2,13)=0,3963 P( -1 ≤ Z ≤2,46)=0,8344 P( -1,34 ≤ Z ≤-0,56)=0,1976
Exercice 2
Z est une Variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite, Z~ N(0;1).
Soit une réel a : calculer :
P( -a ≤ Z ≤ a) = 2 P(Z a ) -1
Calculer :
P( -1 ≤ Z ≤1)= 0,6827 P( -1,96 ≤ Z ≤1,96)=0,95 P( -3 ≤ Z ≤ 3)=0,9973
Que remarquez vous lorsqu'on est à 1σ P( -1 ≤ Z ≤1)= 0,6827
environ 2σ P( -1,96 ≤ Z ≤1,96)=0,95,
3σ autour de la moyenne P( -3 ≤ Z ≤ 3)=0,9973
Rappel la moyenne m=0 et l'écart-type σ =1 en Loi normale centrée réduite.
Exercice 3
Z est une Variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite, Z~ N(0;1).
Déterminer les nombres a, b, c , d tels que :
P(Z ≤ a) = 0,6736 a=0,45 P(Z ≤ b) = 0,486 b= -0,035
P(Z > c)=0,8749 c= -1,15 P( -d ≤ Z ≤ d) = 90% d=1,645 -d=-1,645
Exercice 4
X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres (150;20). X~ N(150;20).
Calculer : P(X < 186) =0,9641 P(X >120)=0,9332 P(110 < X ≤ 190)=0,9545
La Variable aléatoire Y suit une loi normale Y~ N(1200;100).
Calculer : P(Y < 1320)=0,8849 P(Y >1050)=0,9332 P(1170 < Y < 1350)=0,5511

Exercice 5
La Variable aléatoire X suit une loi normale X~ N(20;5).
Déterminer les nombres a et b tels que :
Méthode -placer vous en loi normale centrée réduite,
-Trouver z tel que P(Z ≤ z)=0,86
-Faites le changement de variable (formule) pour trouver x ce petit x est =...
P(X ≤ a)=0,86 a = 25,4016 P(X> b)=0,905 b = 13,4471
Exercice 6
La variable aléatoire Z suit la loi Normale de moyenne 0 et d’écart-type 1;
La Variable X suit N(60 ; 5)
a- Déterminer la valeur de P(Z< 1,54) =0,9382
Illustrer et calculer : P(Z< - 1,54)=0,0618 P(Z> 2,36)=0,0091 P(Z< -2,36)=0,0091
b- Déterminer le quantile de Z correspondant à la probabilité : 0,60 puis 0,75 puis 0,80
Traduction de la question P(Z ≤ a) = 0,60P(Z ≤ a) = 0,75 P(Z ≤ a) = 0,80
lecture table : a=0,255 précision 0,2535(calculatrice) a=0,675 a =0,845
la troisième décimale apporte plus de précision si la valeur de Z n'est pas lisible en première lecture
table.
c- Déterminer la valeur de : P(X<72) P(X>68) P(X<52)
idem que dans l'exercice 4 Résultats dans l'ordre : 0,9918 / 0,0548 /0,0548
d- Déterminer le quantile de X correspondant à la probabilité 0,75 puis celui correspondant à la
probabilité 0,60. Suivre la méthode de l'exercice 5.
Exercice 7
la durée de vie d'un yaourt avant péremption et selon le conditionnement, suit une loi normale de
moyenne 15jours et d'écart type 3jours. Traduction X suit N(15 ; 3)
Vous achetez un yaourt en grande surface ;
Quelle est la probabilité qu'il soit périmé au bout de 10 jours ? =0,0478
Quelle est la probabilité qu'il soit encore bon au bout de 21 jours ? 0,9772
Quelle est intervalle regroupe de 95% des yaourts consommable ?
2 méthodes :
Traduction ( -d ≤ Z ≤ d) = 95% on travaille en loi normale centrée réduite Z suit N(0 ; 1)
ensuite on effectue le changement de variable pour retrouver les valeurs en x.
On peut aussi se rappeler que l'intervalle contenant 95% de valeurs est à 1,96 écart type de la
moyenne donc à +/-1,96 *3 [ 15 - 1,96*3 ; 15 + 1,96*3 ]