Université d’Évry -Val -d' Essonne L2 STAPS « Statistiques descriptives » ALEX KOUM [email protected] Année 2014-2015 TD4 Loi Normale correction non détaillée Exercice 1 Z est une Variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite, Z~ N(0;1). Calculer : P(Z<0,55)=0,7088 P(Z ≤ 1,67)=0,9525 P(Z < -1,24)=0,10749 P(Z < -2,36)=0,0091 P(Z > 2,52)=0,0059 P(Z ≥ -1,54)=0,9382 P(0,22 < Z < 2,13)=0,3963 P(Z > -1)=0,8413 P( -1 ≤ Z ≤2,46)=0,8344 P(Z ≥ 1,96)=0,025 P( -1,34 ≤ Z ≤-0,56)=0,1976 Exercice 2 Z est une Variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite, Z~ N(0;1). Soit une réel a : calculer : P( -a ≤ Z ≤ a) = 2 P(Z a ) -1 Calculer : P( -1 ≤ Z ≤1)= 0,6827 P( -1,96 ≤ Z ≤1,96)=0,95 P( -3 ≤ Z ≤ 3)=0,9973 Que remarquez vous lorsqu'on est à 1σ P( -1 ≤ Z ≤1)= 0,6827 environ 2σ P( -1,96 ≤ Z ≤1,96)=0,95, 3σ autour de la moyenne P( -3 ≤ Z ≤ 3)=0,9973 Rappel la moyenne m=0 et l'écart-type σ =1 en Loi normale centrée réduite. Exercice 3 Z est une Variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite, Z~ N(0;1). Déterminer les nombres a, b, c , d tels que : P(Z ≤ a) = 0,6736 a=0,45 P(Z ≤ b) = 0,486 b= -0,035 P(Z > c)=0,8749 c= -1,15 P( -d ≤ Z ≤ d) = 90% d=1,645 -d=-1,645 Exercice 4 X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres (150;20). X~ N(150;20). Calculer : P(X < 186) =0,9641 P(X >120)=0,9332 P(110 < X ≤ 190)=0,9545 La Variable aléatoire Y suit une loi normale Y~ N(1200;100). Calculer : P(Y < 1320)=0,8849 P(Y >1050)=0,9332 P(1170 < Y < 1350)=0,5511 Exercice 5 La Variable aléatoire X suit une loi normale X~ N(20;5). Déterminer les nombres a et b tels que : Méthode -placer vous en loi normale centrée réduite, -Trouver z tel que P(Z ≤ z)=0,86 -Faites le changement de variable (formule) pour trouver x ce petit x est =... P(X ≤ a)=0,86 a = 25,4016 P(X> b)=0,905 b = 13,4471 Exercice 6 La variable aléatoire Z suit la loi Normale de moyenne 0 et d’écart-type 1; La Variable X suit N(60 ; 5) aDéterminer la valeur de P(Z< 1,54) =0,9382 Illustrer et calculer : P(Z< - 1,54)=0,0618 P(Z> 2,36)=0,0091 P(Z< -2,36)=0,0091 b- Déterminer le quantile de Z correspondant à la probabilité : 0,60 puis 0,75 puis 0,80 Traduction de la question P(Z ≤ a) = 0,60 P(Z ≤ a) = 0,75 P(Z ≤ a) = 0,80 lecture table : a=0,255 précision 0,2535(calculatrice) a=0,675 a =0,845 la troisième décimale apporte plus de précision si la valeur de Z n'est pas lisible en première lecture table. c- Déterminer la valeur de : P(X<72) P(X>68) P(X<52) idem que dans l'exercice 4 Résultats dans l'ordre : 0,9918 / 0,0548 /0,0548 d- Déterminer le quantile de X correspondant à la probabilité 0,75 puis celui correspondant à la probabilité 0,60. Suivre la méthode de l'exercice 5. Exercice 7 la durée de vie d'un yaourt avant péremption et selon le conditionnement, suit une loi normale de moyenne 15jours et d'écart type 3jours. Traduction X suit N(15 ; 3) Vous achetez un yaourt en grande surface ; Quelle est la probabilité qu'il soit périmé au bout de 10 jours ? =0,0478 Quelle est la probabilité qu'il soit encore bon au bout de 21 jours ? 0,9772 Quelle est intervalle regroupe de 95% des yaourts consommable ? 2 méthodes : Traduction ( -d ≤ Z ≤ d) = 95% on travaille en loi normale centrée réduite Z suit N(0 ; 1) ensuite on effectue le changement de variable pour retrouver les valeurs en x. On peut aussi se rappeler que l'intervalle contenant 95% de valeurs est à 1,96 écart type de la moyenne donc à +/-1,96 *3 [ 15 - 1,96*3 ; 15 + 1,96*3 ]