cours_doptique_8 (Cours)

CH VIII – OPTIQUE DES MILIEUX ISOTROPES :
RAPPELS ET DISCUSSIONS
I – OBJECTIFS DE CE CHAPITRE
Ce chapitre est le premier des chapitres dans lesquels nous traiterons de l’interaction entre la
lumière et la matière.
Au cours de cette approche sur les milieux isotropes nous rappellerons très brièvement
quelques uns des résultats établis antérieurement dans le but de travailler non plus avec des
champs scalaires, comme nous l’avions fait dans les chapitres précédents, mais en tenant
compte du caractère vectoriel des ondes électromagnétiques.
Nous tenterons de montrer l’importance de la polarisation du milieu (en général) sous l’effet
du champ électrique et discuterons de la signification physique de l’indice de réfraction.
Nous discuterons ensuite des effets d’interface (réflexion, transmission, ondes évanescentes)
et enfin nous insisterons sur les relations étroites entre les effets d’absorption et de dispersion
dont les implications sont très importantes pour la caractérisation des matériaux ou les
télécommunications optiques.
II – GRANDEURS FONDAMENTALES
()
( )
()
r
r
r
Ce sont les vecteurs champs électrique E ou magnétique H et les vecteurs induction B
r
ou déplacement D .
r
En présence de courants i ou d’une densité de charges (ρ ) , les équations de Maxwell relient
ces différentes quantités de la façon suivante :
r
r
⎧⎪rotEr =− ∂B divB=0 r
r ∂t rotHr =ir + ∂D
⎨
⎪⎩ divD = ρ
∂t
r
r r
D = εoE + P
r
r r
B = µo H + M
r
M polarisation magnétique (vecteur moment magnétique par unité de volume).
r
où P est la polarisation électrique (vecteur moment dipolaire par unité de volume ) avec les
conditions aux limites aux interfaces :
( )
()
r
r
E T1 = E T2
r r
r
r
H T2 = H T1 + is × n 12
pour les composantes tangentielles
r
r
B N1 = B N 2
r
r
r
D N 2 = D N1 + σn 12
pour les composantes normales
1
r
III – ONDES ELECTROMAGNETIQUES (E.M.). DANS LE VIDE ( ρ = 0, i = 0, P = 0 )
A partir des équations précédentes :
r
r
r r r
r ⎛ ∂B ⎞
∂ r r
∂ r
⎟=− ∇×B =
∇ × ∇ × E = ∇ × ⎜⎜ −
∇
×
µ
H
o
⎟
∂t
∂t
⎝ ∂t ⎠
(
)
(
)
(
)
r
r
r r r r
∂ ⎛ ∂D ⎞
∂ 2E
⎟ = µoεo
- ∆E + ∇ ∇.E = − ⎜⎜ µ o
∂t ⎝
∂t ⎟⎠
∂t 2
( )
on en déduit les équations d’onde :
2r
⎧ r
E
∂
⎪⎪ ∆E −εoµo 2 =0
∂t r
vitesse de propagation c= 1/µoεo
⎨ r
2
⎪∆H −εoµo ∂ H =0
2
⎪⎩
∂t
r
soit R le vecteur de Pointing.
La puissance rayonnée par le volume V limité par la surface S
r r r
≡ Flux de R = ExH
r
Nous utiliserons la notation R pour évoquer les rayons qui transportent l’énergie.
Une solution à l’équation d’onde : les ondes planes dans le vide
(c’est un ensemble de solutions, d’autres ensembles sont possibles)
r
Soient s le vecteur unitaire normal au plan de l’onde.
r r r
r
r
rr
* E et H ne dépendent que de s.r et du temps : ( E, H, s : trièdre direct). (voir figure)
r
* Pour une onde harmonique, s // z, on aura :
rr
⎧⎪E x = E ox cos − ωt + k r + δ ox
rr
⎨
⎪⎩ E y = E oy cos( −ωt + k r + δ oy )
(
)
r
2π r ω r
k = vecteur d’onde =
s= s
c
λ
r
r
r
r
∂B
Remarquons que H et E étant liés par rot E = −
, ils subissent des déphasages identiques.
∂t
On peut avoir différentes représentations de l’onde :
- une section :
r
r
rr
r .k fixe. Dans un plan ⊥ à k on suit l’évolution temporelle de E .
- ou un instantané :
r
t fixe. La répartition de E dans l’espace (l’onde est un instantané qui se déplace à la vitesse
c).
2
IV – POLARISATION DES ONDES : COHERENCE ET INCOHERENCE ENTRE
VIBRATIONS ORTHOGONALES
δ ox et δ oy fluctuent très rapidement dans le temps (~10-9 – 10-8 secondes pour un train
d’onde émis par un atome) on peut cependant fixer leur différence δ = δ ox − δ oy et créer une
lumière polarisée (une lumière naturelle peut être considérée comme polarisée pour des temps
<<10-8s) :
-
r
Si δ = 2kπ, E reste // à une direction fixe (section ou instantané). On a une
Polarisation Linéaire.
Si δ = ± π / 2 + 2kπ et E ox = E oy on a une Polarisation Circulaire.
-
Si δ = ct e la lumière est polarisée elliptiquement.
S’il n’y a pas de relation entre δ ox et δ oy on a de la lumière naturelle que l’on
-
peut considérer comme la superposition de 2 vibrations orthogonales (rectilignes
ou circulaires ou elliptiques) incohérentes
cosωt est ⊥ à -sinωt
cos ωt
sin ωt
{
{
Remarque :
Les lasers sont quelques fois polarisés linéairement. Les lasers «non polarisés » fournissent en
fait 2 modes (au moins) correspondant à des vibrations rectilignes orthogonales avec un train
d’onde de plusieurs mètres.
V – ONDES EM DANS UN DIELECTRIQUE ISOTROPE
On définit les susceptibilités associées aux moments dipolaires induits par des champs
uniformes :
r
r
P = χε o E + termes non linéaires
χε o = α polarisabilité
r
r
M = χ m H + termes non linéaires
3
χ, χ m scalaires (tenseurs dans les milieux anisotropes)
r
r
r
r
r
r
D = ε o E + χε o E = ε o (1 + χ )E = ε o ε r E = εE
r
r
r
r
r
r
B = µ o H + µ o χ m H = µ o (1 + χ m )H = µ o µ r H = µH
Vide
Diélectrique
r
ω r 2π r
kv = s =
s
c
λv
r
ωr
ω r nω r
s
k o = s = µr εr s =
c
v
c
n 2 = µrεr
n ∈ C (milieu absorbant)
Remarque : Indice n ∈ R (milieu transparent) où ~
Quel est le « champ » important dans l’interaction lumière-matière ?
Considérons l’action du champ sur des électrons à travers les forces de Coulomb et de
Laplace :
r
r r r
F = −e E + v × B
r
2π
1
E
∂B
or rot E = E ≈ ωB soit B ~
soit pour une onde monochromatique
E~
λ
λν
c
∂t
r r
r
v
⎤
⎡
on en déduit ⇒ F ≈ −e ⎢E + × E ⎥
c
⎦
⎣
[
]
On voit que le terme d’origine magnétique est très inférieur au terme d’origine électrique
(~103) car les électrons des atomes sont « faiblement relativistes » v c<<1 .
Champ électrique ou champ magnétique ?
C’est en généralement le champ électrique
qui domine dans l’interaction lumière-matière
Couche fluorescente ( e << λ )
e
pas de fluorescence
METAL
DIELECTRIQUE
fluorescence
Une expérience centenaire permet, dans le cas particulier où l’interaction est résonnante et
conduit à de la fluorescence, de mettre en évidence l’effet dominant du champ électrique : on
dépose sur une lame de verre, dont la moitié est recouverte d’un dépôt métallique un film très
mince (<<λ), un polymère contenant un colorant fluorescent. Une lumière éclaire l’ensemble :
4
on ne voit rien sur le métal (E=0, B maximum) mais l’onde progressive qui traverse le reste
(B ≠ 0, E ≠ 0) induit une fluorescence.
Il semble donc, à première vue, que la différence essentielle entre les ondes dans le vide et
dans un milieu matériel soit l’indice de réfraction n = ε r µ r .
VI – QUELLE IMAGE PHYSIQUE PEUT-ON SE DONNER DE L’INDICE DE
REFRACTION ?
En particulier pourquoi la vitesse de phase de la lumière est-elle réduite à la traversée d’un
milieu matériel ? Même lorsque ce milieu est transparent c’est à dire que tous les dipôles
oscillent en phase avec le champ électrique qui les induit. D’où vient ce ralentissement alors
que tous les déplacements suivent instantanément (c’est à dire sans retard ou déphasage) le
champ ?
Il faut tenir compte des contributions des dipôles oscillants qui rayonnent un champ qui vient
s’ajouter au champ électrique de l’onde (en fait les électrons oscillent, les noyaux restant à
peu près fixes)
Soit un plan de charges avec une densite η de charges oscillantes (amplitude xo) par une unité
de surface (voir cours d’électricité, ou Feynman TI chapitre 30 et 31).
Pour ce plan, à basse fréquence, le champ créé en P situé à la distance z de ce plan s’écrit :
ηq
i ωt − i ωz / c
−
iω x o e e
← ce déphasage est le même que pour l’onde EM source mais il y a
2ε o c
en plus le -i
( ωx o : vitesse des charges, µ = qx o moment dipolaire microscopique)
Remarque : ici on somme les champs
de dipôles de plus en plus éloignées
du point P.
On a donc un déphasage associé à
une réduction de l’amplitude
lorsqu’on s’éloigne de P ; d’où cette
courbe en spirale qui tend
asymptotiquement vers un point di
plan complexe déphasé de p/2 par
rapport à l’onde incidente
Par rapport à l’onde EM directe cela revient à ajouter un champ déphasé de
5
π
2
r
E = e iω(t −z o / c )
Influence
sans lame
de la lame
↓
↓
r
r
−
(A
iB)
r
Plus le moment dipolaire volumique P est grand c’est à dire plus la polarisabilité est grande
2π
⎛
(n − 1)e ⎞⎟ .
plus le déphasage est grand. L’onde sera donc « retardée » d’avantage ⎜ ∆ϕ =
λ
⎝
⎠
Remarque :
-
Il y a des traitements quantiques qui permettent d’introduire n (transitions
virtuelles).
Si on se trouve à une fréquence >> à la résonance des oscillateurs on a un
déphasage de π supplémentaire et la vitesse de phase devient >c (c’est typiquement
ce qui se passe lorsque l’on travaille avec des rayons X au delà des résonances
électroniques).
6
VII - LES ONDES AUX INTERFACES : REFLEXION ET TRANSMISSION
Ei //
i1
Er //
1
2
Et //
i2
a) Calcul des coefficients de réflexion et de transmission (voir figure)
Ecrivons la continuité des composantes tangentielles du champ :
E1 // cos i1 + E r // cos i1 = E t // cos i 2
E
E
(1 + r// ) cos i1 = t // cos i 2 avec t // = t // r// = r //
E i //
E i //
Pour la même polarisation considérons H ⊥ :
Hi + Hr⊥ = Ht ⊥
r ⊥
r
r
r r
r
nω
∂B r r
or B = µ o H et ∇ × E = ≡ k × E = ωB (pour une onde plane) k =
c
∂t
r r r
⎧+ Ei; Et
n
(pb de trièdre E, H, k direct)
⇒ H⊥ = ±
E // ⎨
µoC
⎩ − Er
n1 (1 − r// ) = n 2 t //
On en déduit de (1) et (2) :
1 + r// cos i1 cos i 2
=
.
1 − r// n 1
n2
r
On trouve ainsi pour la composante du champ E parallèle au plan d’incidence :
n
n / cos i1 − n 2 / cos i 2
t // = 1 (1 − r// )
r// = 1
(3)
n2
n 1 / cos i1 + n 2 / cos i 2
En utilisant n1sin i1= n2sin i2 on peut éliminer les indices :
7
(1)
(2)
r// = −
tg(i1 − i 2 )
tg(i1 + i 2 )
r⊥ = −
sin (i1 − i 2 )
sin (i1 + i 2 )
2 cos i1 sin i 2
sin (i1 + i 2 ) cos(i1 − i 2 )
r
On démontrerait de même que pour la composante du champ E ' perpendiculaire au plan
d’incidence :
t ⊥ = 1 + r⊥
n cos i1 − n 2 cos i 2
r⊥ = 1
(4)
n 1 cos i1 + n 2 cos i 2
Ou encore,
t // =
t⊥ =
+1
+1
⎛E ⎞
r// = ⎜⎜ r ⎟⎟
⎝ Ei ⎠ //
0
(n1-n2)
(n1+n2)
2 cos i1 sin i 2
sin (i1 + i 2 )
iB
⎛E ⎞
r⊥ = ⎜⎜ r ⎟⎟
⎝ Ei ⎠ ⊥
(n1-n2)
(n1+n2)
i1
iB
0
90°
i1
⎛E ⎞
r// = ⎜⎜ r ⎟⎟
⎝ Ei ⎠ //
⎛E ⎞
r⊥ = ⎜⎜ r ⎟⎟
⎝ Ei ⎠ ⊥
-1
-1
n1 < n2
n1 > n2
max(i1)=90°
max(i1)= i limite
b) Remarques
1) Il s’agit de coefficients en amplitude dont le signe est révélateur d’un changement
de phase pour la composante considérée du champ électrique de l’onde EM.
2) A partir des formules précédentes (dites formules de FRESNEL) on peut analyser
l’état de polarisation de la vibration réfléchie ou transmise pour une polarisation
incidente quelconque.
3) Lorsque l’on veut connaître l’intensité transmise ou réfléchie on calcule
T=1-R où R=rr* et non pas t 2 ≠ T
(T = n 2 t 2 / n 1 )
4) Le milieu diélectrique peut être absorbant c’est à dire que l’indice n peut être
n = n − ik .
remplacé par un indice complexe ~
8
On a alors : A = A o
2π r r ⎞
⎛
ns r ⎟
i ⎜ ωt − ~
λ
⎝
⎠
e
= Aoe
iωt
⎛ 2π r r
⎞
−i⎜ s r (n −ik )⎟
λ
⎠
e ⎝
4π r r
k s. r
.
L’intensité sera de la forme : I = AA* = I o e λ
−
Les formules de Fresnel restent valables à l’interface.
5) A l’incidence de Brewster il y a polarisation totale de la lumière réfléchie et
polarisation partielle de la lumière transmise pour une lumière incidente naturelle.
Applications : fenêtres ou taille de barreaux solides dans les lasers (pour éviter les
pertes par réflexion).
6) n et k varient avec la longueur d’onde. (~
n ( y) = n ( y) − ik ( y) )
c) Réflexion totale (milieu non absorbant)
r
Supposons que la polarisation incidente E i soit perpendiculaire au plan d’incidence. Posons
n1>n2 ⇒ n<1.
n2/n1=n
π
Pour n 1 sin i1 > n 2 sin ou sin i1>n on a
2
⎛ sin 2 ⎞
i ⎟ −1
cos i 2 = ± 1 − sin 2 i 2 = ±i ⎜
⎜ n2 1⎟
⎠
⎝
En remplaçant dans (4) (on verra plus loin que seule la racine + convient)
⎛ Er
⎜⎜
⎝ Ei
cos i1 − i sin 2 i1 − n 2
⎞
⎟⎟ = r⊥ =
⎠⊥
cos i1 + i sin 2 i1 − n 2
⇒ r⊥ = 1 et arg(r⊥ ) = e −iφ =
e − iφ / 2
e iφ / 2
sin 2 i1 − n 2
⎛ φ⎞
avec ⎜ tg ⎟ =
.
cos i1
⎝ 2 ⎠⊥
sin 2 i1 − n 2
⎛ φ⎞
On obtiendrait des résultats analogues avec r// et ⎜ tg ⎟ =
.
⎝ 2 ⎠ //
n 2 cos i1
Dans tous les cas φ varie de 0 à π lorsque l’angle d’incidence varie entre il et π/2.
Pour une lumière incidente de polarisation quelconque on aura un déphasage φ entre les
composantes ⊥ et // :
(tgφ / 2)⊥ − (tgφ / 2)//
tgφ / 2 = tg(φ / 2 ⊥ − φ / 2 // ) =
1 + (tgφ / 2)⊥ (tgφ / 2) //
9
=
cos i1 sin 2 i1 − n 2
sin 2 i1
Application : Parallélépipède de Fresnel
φ / 2 =45° est obtenu pour i1 = 48°37’ ou 54°37’.
Verre n= 1,51
Equivalent à une lame quart d’onde (φ=90°)
Avantage : achromatique (n variant faiblement avec λ).
d) Ondes évanescentes.
On a vu que lorsque la réflexion était totale les amplitudes incidentes et réfléchies avaient
même module mais des phases différentes :
or (Ei)⊥ + (Er )⊥ = (Et )⊥ ⇒ (Et )⊥ ≠ 0
Le champ électrique transmis est de la forme :
⎛
r ⎞
⎟
E t cos ω⎜⎜ t −
v 2 ⎟⎠
⎝
ou en notation complexe :
−i
Ete
or cos i 2 = ±i
sin 2 i1
n2
ω
(x sin i 2 + z cos i 2 )
v2
iωt
e
− 1 , l’amplitude transmise devient :
⎛ ω sin i 1
E t exp⎜⎜ − i
nv 2
⎝
⎡ ω ⎛ sin 2 i
⎞⎤
⎞
1
⎟⎥
⎟
x ⎟ exp ⎢±
z⎜
1
−
2
⎜
⎟⎥
v
n
⎢
2 ⎝
⎠
⎠⎦
⎣
Comme il ne peut y avoir propagation d’énergie dans le second milieu seul le signe – convient
dans l’exponentielle soit + pour le cos i2.
10
Cette onde « évanescente » a des plans équiphase (x=cte) qui ne coïncident pas avec les plans
équiamplitude (z=cte), c’est une onde « non homogène »
⎛
x ⎞
⎟⎟ . L’onde se propage
* Si i=ilimite sin i1= n, l’amplitude prend la forme E t cos ω⎜⎜ t −
v
2
⎠
⎝
suivant une // à la surface qui la « guide ».
* Si i>ilimite l’onde pénètre dans le milieu (2) puis revient vers le milieu (1). Avec de fins
pinceaux on peut mettre en évidence un décalage (petite translation ~λ) entre le rayon incident
et le rayon totalement réfléchi.
* La profondeur de pénétration de l’onde est :
λ2
v2
=
~ λ2
z=
sin 2 i1
sin 2 i1
ω
− 1 2π
−1
n2
n2
Elle est directement liée à λ2, on peut faire l’expérience représentée sur la figure où la lumière
blanche est coupée en une direction « passe haut » et une direction « passe bas »
(respectivement bleu et rouge).
Applications :
- Couplage en optique intégrée.
- Réflexion totale atténuée pour la spectrométrie.
11
e) Réflexion et réfraction métalliques
Aux équations de Maxwell que nous avons considérées pour le vide (2) ou pour un
r
r
diélectrique (3) il nous faut ajouter la loi d’Ohm : i = γE . (Attention γ dépend de la fréquence
de l’onde)
L’équation de propagation que nous avions trouvée pour un diélectrique :
r
r
r
∂ 2E
∂E
∂2E
∆E − ε µ
= 0 devient ∆E − γµ
− εµ
=0
∂t
∂t 2
∂t 2
~
⎡ ⎛
nz ⎞ ⎤
Pour une onde plane harmonique E x = E ox exp ⎢iω⎜ t − ⎟⎥ se propageant // à z
c ⎠⎦
⎣ ⎝
γµ
~
n 2 / c2 = εµ − i
pour un milieu non magnétique
ω
γ
µ = µo → ~
n 2 = εr − i
εoω
n = n − ik .
qui peut s’identifier avec l’indice complexe ~
R
1
R+
R//
i1
90°
Remarques :
- Dans le cas d’un milieu diélectrique k<<n et le coefficient de réflexion est voisin de celui
d’un diélectrique transparent de même n
r ~ 20% R ~ 4%
- Pour un métal n et k sont du même ordre de grandeur
r ~ 90 à 98 % R ~ 80 à 95 %
- Métal parfait γ → ∞ (ex. supraconducteur) n et k → ∞ et restent du même ordre de
grandeur.
12
- Incidence oblique :
- Ellipsométrie → permet par analyse de la vibration réfléchie de remonter à n et k.
VIII – ABSORPTION ET DISPERSION
a) Région de transparence
Pour être plus précis on est à basse fréquence loin de la résonance des dipôles oscillants.
On peut négliger l’amortissement de l’onde électromagnétique.
Le déplacement x des électrons obéit à une équation du type :
m
d2x
dt
Si ωo2 =
k
m
x=
(
2
− qE o
+ kx = qE ← champ de l' onde (E = E o e iωt )
force de
rappel
)
(valable loin de la résonance).
m ω o2 − ω 2
La polarisation du milieu (Ni particules chargées de type i par unité de volume) est :
P=∑
(
Niq 2
)E
2
2
i m ωo − ω
i
or D = εE = ε o E + P
o
Niq 2
ε
P
= n2 =1+
=1+ ∑
2
2
εo
εoEo
i ε o m ωo − ω
(
or ω = 2πν = 2π
c
λ
n2 =1+ ∑
i
)
ct e (i)λ2
(Sellmeier)
2
2
λ
−
λ
i
o
On prévoit une augmentation de l’indice vers les courtes longueurs d’onde (ex. verre, eau,
semiconducteurs…).
b) Région d’absorption
On introduit des « forces de frottement » qui freinent le mouvement des électrons :
m
d2x
dt 2
x=
+ k'
(
dx
+ kx = qE
dt
qE o
)
m ω o2 − ω 2 + ik ' ω
n = n − ik .
P et n sont donc complexes on peut donc écrire ~
13
Et l' onde devient E = E o
ω
− kz
e c
⎛ nz ⎞
jω⎜ t − ⎟
e ⎝ c⎠
↑
↑
amortissement déphasage
sans amortissement
avec ‘friction’
n
λ
1
k
λ
λ0
λ1
Pour l’énergie (le flux) on utilise le coefficient d’absorption (ex α en cm-1)
φ = φ o e − αz
ou la densité optique (sans dimension)
φ = φ o 10 − D
n et k sont fonctions de la longueur d’onde comme par exemple dans le cas de la figure (avec
2 fréquences de résonances).
Remarque pour les « Métaux »
a) « Gaz d’électrons libres » (plasma)
libres ⇒ k=0 (pas de force de rappel) donc ωo = 0 dans les équations ci-dessus :
Nq 2
ε=~
n2 =1−
ε o mω 2
2
ωp
Nq 2
ou ~
n2 =1−
avec ω 2p =
εom
ω2
b) S’il y a des collisions (amortissement)
14
ε =1−
ω 2p
k' =
ω(ω − ik ')
2 ⎞
⎛
⎜ γ = Nq τ ⎟
⎜
m ⎟⎠
⎝
1
τ
R
1
sans amortissement
avec 'friction'
avec 'friction'
ωp
0
ω
Cas des métaux ( ici réflexion métallique )
On peut retrouver « optiquement » la conductivité
ne 2 τ et σ(ω) = σ o
σo =
1 − iωτ
m*
(alternatif )
(continu )
c) Relation de Kramers-Krönig
La relation qui existe, dans le modèle précédent de l’oscillateur amorti, entre n et k reste
valable bien au delà de ce cas particulier.
Elle se manifeste entre la partie réelle et la partie imaginaire d’une grandeur lorsque le
système est causal (c’est à dire que l’effet suit la cause) et linéaire :
TRANSFORMATION DE KRAMERS KRONIG
Soit un système linéaire et causal comme un milieu diélectrique polarisable sous l’effet d’one
onde de fréquence ω :
D = ε o E + P = ε o (1 + χ )E = ε o ε r (ω)E = ε E
Soit E ( t ) = E o δ( t ) = E o
1 + ∞ iω t
e dω
2π − ∞
∫
D( t ) =
ε (ω)
+∞
∫−∞ D(ω)e
iωt dω = E
+∞
o
∫−∞ ε(ω)e
iωt dω
est la T.F de la réponse impulsionnelle du système polarisable.
Le principe de causalité impose D( t ) = 0 ∀ t < 0 que l’on peut écrire D( t ) = D( t ).H( t ) (avec
H ( t ) = +1 pour t ≥ 0 et 0 pour t<0).
15
Soit par T.F. (en passant de D( t ) à D(ω) = ε(ω)E(ω) )
ε(ω) = ε' (ω) + iε' ' (ω)
1
⎛1⎞
ε(ω) = [ε' (ω) + iε' ' (ω)] ∗
Vp ⎜ ⎟
2π
⎝ ω⎠
où Vp désigne la partie principale et * le produit de convolution.
En égalant les parties réelles et imaginaires on trouve :
⎧
1
⎛1⎞
⎪ε' (ω) = π Vp ⎜ ω ⎟ ∗ ε' ' (ω)
⎪
⎝ ⎠
⎨
⎪ε' ' (ω) = − 1 V ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ∗ ε' (ω)
p
⎪⎩
π
⎝ ω⎠
1 + ∞ ε' ' (ω)
1 + ∞ ε' (ω')
soit ε' (ω) =
dω' et ε' ' (ω) = −
dω' .
π − ∞ ω − ω'
π − ∞ ω − ω'
∫ = partie principale
∫
(
∫
)
Comme D( t ) est une fonction réelle ε' est une fonction paire de ω et ε' ' une fonction impaire
de ω.
Les relations ci-dessus deviennent :
2 ∞ ω' ε' ' (ω')
2ω ∞ ε' (ω')
ε' (ω) =
dω' ε' ' (ω) =
dω'
π o ω' 2 −ω 2
π o ω' 2 −ω 2
∫
∫
On a donc pour ε r = ~
n 2 = ε'+iε' ' = (n − ik )2
Si k<<n (vrai pour des diélectriques)
2 ∞ ω'×2nkdω'
n2 − k2 = − ∫
≈ n 2 et si n varie peu avec (ω)
π o ω' 2 −ω 2
∞ 4 ω'.k
n (ω) ~ − ∫
dω'
o π ω' 2 −ω 2
Conséquences :
-
Forme des courbes d’absorption et de dispersion, importance des programmes
utilisant les relations de « KK » en spectroscopie.
Difficulté d’avoir des systèmes très dispersifs (ex. prisme) et peu absorbants.
Fibres sans dispersion, télécommunications optiques.
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