Chapitre 2: Antennes verticales

CHAPITRE 2 :
ANTENNES VERTICALES
I. DOUBLET DE HERTZ
I.1 DEFINITION
 Le doublet de Hertz est une antenne filaire de longueur l très faible
devant la longueur d’onde λ et donc parcourue par un courant
constant.
 Cette antenne élémentaire est généralement considérée pour
calculer le rayonnement d’une antenne de longueur quelconque
considérée comme la succession de plusieurs éléments dont
chacun constitue un doublet de Hertz.

On utilise surtout des dipôles demi-onde pour lesquels
2  /2 et onde
entière pour lesquels 2  .Lorsque la longueur 2 est très inférieure à la
longueur d’onde (2  
/ 10) , on dit qu’il s’agit d’un dipôle infinitésimal ou
doublet.
Dipôle rayonnant constitué de 2 tiges de longueur
1
 et de diamètre d  2 a
I.2 Rayonnement du doublet

 A partir du potentiel vecteur A( M , t ) dû au doublet, on détermine le


champ magnétique H puis le champ électrique E .

 l  j 2 R 
 A( M , t )  0 I .e
.z
4R

  1   
1  
H
 H    A, E 

j


 Le potentiel vecteur A peut aussi s’écrire sous la forme suivante :




A  Az z  AR u R  A u ,
Az
Avec : AR  Az cos , A   Az sin 
-Aθ
uR
θ
AR
uθ
A
A
Comme, A  0,   0 et R  0


Rappel : Calcul du rotationnel en coordonnées sphériques :
 
 A
A
1 
. A sin    
R sin   



Alors,   A 
R sin A   1  
A  

1 
.u . RA   R .u
.u R  R sin  .   AR  

R
 


 R  R
A  
1 
. RA   R .u
R  R
 
 H  0

  R


D’où, H  H .u , Donc : H   H   0 .u
 H




I l sin 
R  j 2 
H

(
1

j
2

).e

Avec :

4R 2
R

Pour déterminer E , il suffit de tenir compte de H R  H   0 .




D’où :   H    ( H  ( R, ).u ) 

Or, E 
1  
H
j
2


1

1 
(sin  .H  ).u R 
( R.H  ).u
R sin  
R R
 ER 

 



D’où : E  ER .u R  E u , Donc : E   E .u
 E  0
 

R

I l cos
R  j 2 
(1  j 2 ).e
E R 

2 jR 3

Avec : 
R
E  I l sin  (1  j 2 R  4( R ) 2 ).e  j 2 
  4 jR 3



En particulier, à grande distance, c'est-à-dire, pour R>>λ (champ




lointain), nous pouvons écrire : H  H .u , E  E u .
R

jI l sin   j 2 
.e
H  
2R

c
Avec : 
.
R , car :   2f  2

j
2


 E  jI l sin  .e



2 cR 



Nous remarquons que dans ce cas, E et H ont un rapport d’amplitude
de 120π, sont en phase, perpendiculaires à la direction de
propagation. Nous retrouvons les caractéristiques d’une onde plane.
I.3 Diagramme de rayonnement
Le champ électromagnétique varie comme sin  .
Le diagramme de rayonnement en champ du doublet est donné par :
f ( )  sin , car les amplitudes du champ sont proportionnelles à sin  .
Donc, il est maximal à  

2
, et s’annule le long de l’axe du dipôle.
L’ouverture à -3dB, notée  3dB 
peu directive.
3

2
. Il s’agit alors d’une antenne très
P( ,  ) 1
1
2
 en rapport de puissance , f ( ) 
P max 2
2
Remarque :
Donc, f ( ) 
1
2
2
en rapport de champs
2

I.4 Gain et résistance de rayonnement
Le gain du doublet est calculé à partir de la relation suivante :
4R 2 Pmax
4R 2 P( ,  )
., car G 
G

P
P
(

,

)
ds
t

 P( , )ds
4R 2 Pm ax
S
S
Où S est une surface sphérique.
Comme :
H ( ) 
I l sin 
2 R
alors la densité de puissance moyenne
1 
1   I l sin  
H
P(θ,φ) est donnée par : P( ,  ) 

 , car P ( ,  ) 
2 
2   2R 
2
2
En considérant la surface d’intégration comme une sphère de
rayon R, le doublet étant placé au centre, nous montrons que le gain
du doublet est : G 
3
(à calculer en TD)
2
La résistance de rayonnement du doublet notée Rr est donnée
par : Rr 
2
I2
 l 
S P( , )ds  80.   (à calculer en TD)
2
Soit pour une longueur l 

10
, la résistance du rayonnement du
doublet est égale à 8 Ω. Nous remarquons qu’il s’agit d’une antenne à
faible gain et peu directive, d’autre part sa résistance de rayonnement
est faible, d’où la nécessité d’une adaptation à l’équipement
radioélectrique.
II. ANTENNE DIPOLE
Soit un dipôle de longueur 2l orienté selon l’axe Oz. Son
rayonnement est calculé en considérant qu’il est composé d’une
infinité de doublets alignés et de longueur élémentaire dz donc très
faible devant la longueur d’onde λ.
4
Chaque doublet placé au point de côte z est parcouru par un
courant I(z) supposé constant le long du doublet.
r et R désignent respectivement les distances PM et OM.
O : l’origine de l’espace
P : le centre de l’antenne, point où se trouve la source élémentaire
ou encore le doublet
M : le point d’observation où sera calculé le champ rayonné à
grande distance. R et r seront alors considérés très grands devant la
longueur d’onde λ.
On
rappelle
l’expression
jI l sin   j 2 
. Or : c 
E M ( ) 
.e
2 cR
R
1
 0 0
du
champ
donnée
par :
.
Donc,
E M ( ) 
R
R
 0 jI l sin   j 2 R
jI l sin   j 2 
jI l sin   j 2 
.e
 120 .
.e
 60 .
.e
 0 2 R
2 R
R
Ainsi, le champ élémentaire rayonné par le doublet situé au point
P est donné par la relation suivante :
r

 j 2 
I ( z )dz

dE M ( P )  j 60
sin( P )e
u P
r

Le champ total rayonné E M ( )
est
alors
donné
par :
z l 
l

j 60
e  jkr 
2
E M ( )   dE M ( P ) 
sin( P ) I ( z )
u P dz, avec k 

 l
r

z l
Comme la notion de diagramme de rayonnement n’a de sens que
si l’onde rayonnée est sphérique, il faudra alors faire apparaître dans
5
l’expression du champ rayonné
e  jkR
. Ce champ peut être donné par
R
une expression de la forme suivante : E M ( )  f ( )
e  jkR
.
R
Il s’agit bien dans ce cas d’une onde sphérique dont le centre de
phase se trouve au centre géométrique de l’antenne. Comme r et R
sont reliés entre eux par la relation suivante : r 2  R 2  z 2  2Rz cos .
z
R
2
z
R
Nous pouvons alors écrire : r  R 1     2 cos
z
R
Soit en effectuant un développement limité à l’ordre 2 en   :
2
2
 z
1 z 
z 
r  R 1    cos    1  cos 2       
2 R
 R  
  R 
Dans la fonction à intégrer pour le calcul du champ total rayonné
par le dipôle, l’erreur maximale en confondant r à R dans le terme
est
1
r
1
. Dès que R est supérieur à 10 fois la longueur de l’antenne 2l,
R
cette erreur est inférieure à 1/20.
Dans le terme de phase e  jkr , l’erreur commise doit être
négligeable devant λ. Nous écrivons dans ce cas : r  R  z cos ; et
l’erreur maximale sur la phase est alors donnée par :
2 l 2
.
 2R
Si l’on suppose que cette erreur est négligeable tant qu’elle reste
l2

inférieure à
, la distance R doit être telle que : R  8 . Cette

8
distance correspond à la limite de la zone de rayonnement à grande
distance. Compte tenu de ces différentes approximations relatives au
rayonnement à grande distance, le champ total rayonné par le dipôle


est alors donné par : EM ( )  EM ( )u .
Avec : E M ( ) 
j 60

e  jkR
sin( )
R
6
l
 I ( z )e
l
jkz cos
dz
Si nous considérons que le dipôle de longueur 2l est parcouru par
un courant identique à celui sur une ligne ouverte sans pertes, ce
courant est alors donné par : I ( z)  I 0 sink l  z 
Nous montrons alors que le champ total rayonné par ce dipôle est
donné par : E M ( ) 
j 60

l
e  jkR
sin( )
2 I 0  sink (l  z )e jkz cos dz
R
0
La fonction caractéristique de rayonnement en champ est alors :
l
l



cos 2 cos   cos 2 
E M  
 

   (à calculer en TD)
f ( ) 



l 

EM  
2
sin  .1  cos 2  
  



En particulier,
 cas du dipôle demi-onde : 2l   2 , on a :


cos cos 
2

f ( ) 
sin 
 cas du dipôle onde entière : 2l   , on a :


cos2  cos 
1 cos cos   1
2

f ( ) 

2
sin 
sin 
Comparaison des diagrammes de rayonnement en champ d’un doublet, d’un dipôle
 pour 0    
7
/ 2 et d’un dipôle
Cas du dipôle demi-onde
La longueur du fil est 2l 

2
et la répartition du courant est la
suivante :
z
L’expression donnant ce courant est : I ( z )  I 0 cos(2 ) . Le champ


électrique rayonné est alors donné par :
E ( )  j 60
I 0  jkr
e
R
cos( cos )
2
.(à
sin 
calculer en TD)
La fonction caractéristique de rayonnement en champ vaut alors :

cos( cos )
2
.
f ( ) 
sin 
Le maximum de rayonnement est donc obtenu pour  

2
, soit dans le
plan perpendiculaire à l’axe de l’antenne.
Le gain du dipôle demi-onde est calculé à partir de la relation suivante :
G
4R 2 Pm ax
 P( ,  )ds
S

E ( ,  )  60
Comme :
P( ,  ) 
I 0  jkr
e
R
cos( cos )
2
,
sin 
et
comme
1 1
2
E ( ,  ) alors la densité de puissance moyenne P( ,  ) est
2 120

cos2 ( cos )
1 1  I0 
2
donnée par : P( ,  ) 
 60 
2 120  R 
sin 2 
2
Le gain du dipôle est alors donné par :
2
G

cos2 ( cos )
2
0 sin 2  d


2
 1,64 (à calculer en TD)
1,22
8
Ce gain est légèrement supérieur à celui du doublet de Hertz.
La
Rr 
2
I0
2
résistance
 P( ,  )ds  I
S
2
2
0
de
rayonnement
Rr
est
donnée
par :

cos 2 ( cos )
2
Pm ax 2R 2 
d
2
sin

0

Avec : Pmax la densité de puissance maximale donnée par : Pmax
1  I0 

 60 
240  R 
2
D’où, Rr  73,2  (à calculer en TD)
Exemple : L’antenne dipôle  /2 rayonne cette onde électromagnétique dans plusieurs
directions
En un point la densité d’énergie électromagnétique en donnée par le produit de E et H.
Cette densité d’énergie sera exprimée en VA/m2 c’est à dire en W/m2 . Si l’on tente de
représenter en 3 dimensions la répartition relative de l’énergie (sans unités donc), on
obtient ce que l’on appelle le diagramme de rayonnement en traits verts. Pour
simplifier on peut dire qu’il ressemble à une « pomme », la queue du fruit
matérialisant l’antenne  /2.
9
III. ANTENNE MONOPOLE

L'antenne « monopôle » ou « quart d'onde » est constituée d'un élément de longueur
égale au quart de longueur d'onde, perpendiculaire à un plan conducteur. Elle se
comporte comme un demi dipôle, le plan conducteur agissant en miroir.

Alimenter l’antenne  /2 au centre n’est pas toujours facile, donc il existe une astuce
qui consiste à remplacer le brin inférieur  /4 par un plan de masse (en théorie de
dimension infinies) lequel est capable de remplacer le brin manquant. Voir fig. 19.
Cette antenne « monopôle  /4 » est aussi appelée « antenne fouet » ou « verticale au
sol » Ce plan de masse est parfois appelé « contrepoids d’antenne ». Dans nos
émetteurs RC ce plan de masse est constitué :

La figure ci-dessous représente en vert les diagrammes d’émission et de réception
théoriques. L’amplitude des courants dans les antennes est visualisée en trait rouge.
10
11
1) CAS D’UNE ANTENNE FILAIRE PLACEE AU-DESSUS
D’UN PLAN CONDUCTEUR
On considère une antenne placée à une hauteur H au-dessus dun plan
infini parfaitement. Soit f0() son diagramme de rayonnement. Suivant que la
polarisation de la source soit verticale ou horizontale, l’image est en phase ou
en opposition de phase avec la source réelle et nous montrons que le
diagramme de rayonnement de l’ensemble antenne-image ou encore antenneplan conducteur est donné par les fonctions caractéristiques suivantes :
12
Figure10. Illustration du principe des images :
a.
pour une source ponctuelle. b.
c.

verticale. d.
pour une antenne oblique
horizontale.
Le principe des images permet de tenir compte d’une manière très simple de la
présence du sol au voisinage d’une antenne. Le champ produit en un point P de
l’espace par une source
S
située à une hauteur h au dessus du sol est le même que
S et une source S'
Le champ rayonné par S' est affecté d’un
celui qui serait produit en l’absence du sol, par cette source
symétrique de
S , appelée source image.
facteur de pondération égal au coefficient de réflexion sur le sol.

Dans le cas d’une surface plane parfaitement conductrice, ce coefficient est égal à -1 et
l’on doit donc considérer que la phase de
S'
est opposée à celle de
conséquent, le champ rayonné par une antenne
A B oblique
S
(fig.10a). Par
au dessus d’un plan
métallique (fig.10b) est le même que le champ rayonné, en l’absence de plan
métallique, par cette même antenne
A B et l’antenne symétrique A ' B' , à condition
de considérer que les courants en un point
l’antenne

Q
de l’antenne
A B et en un point Q' de
A ' B' sont en sens inverses.
Les modélisations pour le cas d’une antenne verticale ou d’une antenne horizontale
sont représentées sur les figures
10c
et
continuité.
13
10b
qui se déduisent de la figure
10b par

Ce principe des images est très utile : ainsi, le rayonnement d’un dipôle isolé, dans
l’espace,de longueur
(dans le cas où
de longueur
2 (fig.11) sur lequel on a représenté la répartition du courant
(/4   /2)
, est le même que le rayonnement d’un monopôle
 situé verticalement au dessus d’un plan conducteur, ce qui est le cas,
notamment, des antennes utilisées sur les véhicules automobiles pour la réception en
radiodiffusion F.M
2) RAYONNEMENT D’UN DIPOLE EN PRESENCE D’UN
PLAN CONDUCTEUR
Nous allons calculer le champ rayonné en un point P par un dipôle placé en S à une hauteur h
au dessus d’un plan métallique. La géométrie du problème est indiquée sur la figure 11 et
nous utiliserons le principe des images qui conduit à introduire S’ symétrique de S.
r 1  SP , r 2  SR  RP
S source réelle, S’ source virtuelle, SS’ = 2h
Source S et point D’observation P au-dessus d’un plan métallique ; géométrie du problème.
Nous devons considérer les trois cas principaux suivants :
 le dipôle est perpendiculaire au plan de la figure et, par conséquent, parallèle au plan
métallique ;
 le dipôle est dans le plan de la figure et parallèle au plan métallique ;
 le dipôle est dans le plan de la figure et perpendiculaire au plan métallique.
Dans les deux premiers cas, qui correspondent à un coefficient de réflexion égal à -1, la
source image est en opposition de phase avec la source réelle (Principe des images, §
10.8).Dans le troisième cas, qui correspond à un coefficient de réflexion égal à +1, la source
image est en phase avec la source réelle.
Pour la mise en équations, nous allons traiter le cas d’un doublet, dont la fonction
Caractéristique de rayonnement en sinus est plus simple que celles des dipôles

ou
/ 2
1) Cas où le doublet est perpendiculaire au plan de la figure
Dans ce cas, le diagramme de rayonnement du doublet est omnidirectionnel ; sa fonction
caractéristique de rayonnement est donc égale à 1. Le champ total E ( P ) est la somme :

E (P)
*du champ  1
dû à la source S selon le parcours
14
SP  r 1
:
e  jkr 1
E V
 E e  jkr 1
1
0
0
r1
E (P)
*du champ  2
(39)
dû à la source S' selon le parcours :
S'P  r 2
e  jkr 2
E V
 2
0
r2
(40)
Le champ total est donc :
 r
E(P) E 1  1 e  jk ( r 2

1
r2
 r1 ) 

(41)
En zone lointaine, on peut considérer que SP//S’P et alors :
r2  r1  S'H  r1 2h sin 
r1
2h
1 
sin   1
r
r
2
d’où 2
Dans ces conditions :

E(P)  E 1 1  e  jk 2 h sin 

Ee

 jkh sin 
1
e
jkh sin 
 2 j E e  jkr 1 e  jkh

 e  jkh sin 
sin 

sin (kh sin )
(42)
 0
En module, il nous reste :
 2h

E(P)  2E 0 sin 
sin  
 



(43)
( 0) : E 0 ;
dans la direction perpendiculaire au plan métallique (  /2)
dans la direction du plan métallique
 2h 
E  2E 0 sin 

  
E  2E 0 sih  (2n  1)
E  0 si h  n/2
(44)

4
: le champ est doublé par la présence du plan métallique ;
: le champ est annulé par la présence du plan métallique.
(0     /2) :
2h

sin   (2n 1)

2,
il
y
a
des
maxima
pour


 M  arcsin (2n  1) 
sin  (2n  1)/4h  1. Donc :
4h 

*dans les directions obliques
15
soit
pour
(45)
2h
sin   m

il y a des minima pour
,
soit pour sin   m /2h 1.
 m 
 m  arcsin 

2
h


Donc :
(46)
Exemple
 Si h  : m  2 m  0 ,1et 2 ;(2n 1) 4 ou n 1,5 n  0 et 1
Il y a donc deux max et trois min pour 0     /2 (fig.12a)
 Si h  /2 : m 1 m  0 et 1;(2n 1) 2 ou n  0,5 n  0
Il y a donc un max et deux min pour 0     /2 (fig .12b).
Figure12.
Diagramme de rayonnement d’un doublet perpendiculaire à la figure et à h au dessus du sol .
2) Cas où le doublet est dans le plan de la figure et parallèle au plan
métallique
Par rapport au cas précédent, nous devons tenir compte de la fonction caractéristique de
rayonnement du doublet qui est sin  puisque la direction d’observation fait un angle
 avec la direction du doublet. les calculs du paragraphe précédent restent valables à
sin  . Par conséquent,
SP//S'P ) est donné par :
condition d’affecter les champs d’un facteur
le champ total en
P (qui est dans le plan de la figure et
 2h

E  2E 0 sin 
sin   sin 
 

(47)
  0 où le
La présence de sin  ne change rien aux résultats précédents dans la direction
champ est nul et dans la direction    /2 où sin  1 , mais introduit un facteur de
pondération dans les directions obliques.
3) Cas où le doublet est dans le plan de la figure et perpendiculaire au plan
métallique
Par rapport au premiers cas (§ 2.8.1), nous devons tenir compte de la fonction caractéristique
de rayonnement du doublet qui est
d’observation fait un angle
/2 
cos   sin (/2  ) puisque
la direction
avec la direction du doublet. Il faut donc affecter les
16
calculs du premier cas d’un facteur cos  . D’autre part, la source image est maintenant en
phase avec la source réelle.
Par conséquent, le champ total en P est donné par :
 r1
E(P)  E 1 e

1 
r2
 jk ( r2 r1 ) 
cos 
(48)
Compte tenu des approximations effectuées en zone lointaine, le module de ce champ total
est :
 2h

E(P)  2E 0 cos
sin   cos 
 


Dans la direction du plan métallique
maximum

h .
Dans la direction perpendiculaire au plan métallique
est annulé

(  0): E  2E 0
h .
Dans les directions obliques
au deuxième cas (§ 2.8.2) ;
(49)
; le champ est donc
(  /2) :E  0 le champ
(0     /2) , les résultats sont inversés par rapport
Nous avons donc des maxima relatifs pour
(2h/)sin   m
(2h/)sin  (2n  1) /2 .
17
et des minima pour