Chapitre 2: Antennes verticales

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CHAPITRE 2 :
ANTENNES VERTICALES
I. DOUBLET DE HERTZ
I.1 DEFINITION
 Le doublet de Hertz est une antenne filaire de longueur l très faible
devant la longueur d’onde λ et donc parcourue par un courant
constant.
 Cette antenne élémentaire est généralement considérée pour
calculer le rayonnement d’une antenne de longueur quelconque
considérée comme la succession de plusieurs éléments dont
chacun constitue un doublet de Hertz.
 On utilise surtout des dipôles demi-onde pour lesquels
2/2 
et onde
entière pour lesquels
2
.Lorsque la longueur
2
est très inférieure à la
longueur d’onde
)10/2( 
, on dit qu’il s’agit d’un dipôle infinitésimal ou
doublet.
Dipôle rayonnant constitué de 2 tiges de longueur et de diamètre
a2d 

2
I.2 Rayonnement du doublet
 A partir du potentiel vecteur
),( tMA
dû au doublet, on détermine le
champ magnétique
H
puis le champ électrique
E
.
H
j
EAH
zeI
R
l
tMA R
j
1
,
1
..
4
),( 2
0
 Le potentiel vecteur
A
peut aussi s’écrire sous la forme suivante :
uAuAzAA RRz
,
Avec :
sin,cos zzR AAAA 
Comme,
00,0 
R
A
et
A
A
Rappel : Calcul du rotationnel en coordonnées sphériques :
u
A
RA
RR
u
RAR
A
R
u
A
A
R
AR
RR
..
1
.
sin
.
sin
1
.sin.
sin
1
Alors,
u
A
RA
RR
AR
..
1
D’où,
uHH 
.
, Donc :
u
H
H
H
HR
.0
0
Avec :
R
j
e
R
j
R
lI
H2
2).21(
4sin 
Pour déterminer
E
, il suffit de tenir compte de
0 HHR
.
D’où :
uHR
RR
uH
R
uRHH R
 )..(
1
)..(sin
sin
1
)).,(( 
Or,
H
j
E 
1
AR
-Aθ
θ
Az
uR
uθ

3
D’où :
uEuEE RR
 .
, Donc :
u
E
E
E
ER
.
0
Avec :
R
j
R
j
R
e
RR
j
Rj
lI
E
e
R
j
Rj
lI
E
2
2
3
2
3
).)(421(
4sin
).21(
2cos
En particulier, à grande distance, c'est-à-dire, pour R>>λ (champ
lointain), nous pouvons écrire :
uEEuHH 
 ,.
.
Avec :
R
j
R
j
e
cR
ljI
E
e
R
ljI
H
2
2
.
2sin
.
2sin
, car :
.22
c
f
Nous remarquons que dans ce cas,
E
et
H
ont un rapport d’amplitude
de 120π, sont en phase, perpendiculaires à la direction de
propagation. Nous retrouvons les caractéristiques d’une onde plane.
I.3 Diagramme de rayonnement
Le champ électromagnétique varie comme
sin
.
Le diagramme de rayonnement en champ du doublet est donné par :
sin)( f
, car les amplitudes du champ sont proportionnelles à
sin
.
Donc, il est maximal à
2
, et s’annule le long de l’axe du dipôle.
L’ouverture à -3dB, notée
2
3 dB
. Il s’agit alors d’une antenne très
peu directive.

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Remarque :
2
1
max),(  P
P
en rapport de puissance ,
2
1
)( 2 f
Donc,
2
2
2
1
)(  f
en rapport de champs
I.4 Gain et résistance de rayonnement
Le gain du doublet est calculé à partir de la relation suivante :
S
dsP
PR
G),(
4max
2
., car
S
tdsP
PR
P
PR
G),(
4
),(4 max
2
2
Où S est une surface sphérique.
Comme :
R
lI
H
2
sin
)( 
alors la densité de puissance moyenne
P(θ,φ) est donnée par :
2
2sin 2
1
),(  R
lI
P
, car
2
2
1
),( HP
En considérant la surface d’intégration comme une sphère de
rayon R, le doublet étant placé au centre, nous montrons que le gain
du doublet est :
2
3
G
(à calculer en TD)
La résistance de rayonnement du doublet notée Rr est donnée
par :
2
2.80),(
2
l
dsP
I
R
S
r
(à calculer en TD)
Soit pour une longueur
10
l
, la résistance du rayonnement du
doublet est égale à 8 Ω. Nous remarquons qu’il s’agit d’une antenne à
faible gain et peu directive, d’autre part sa résistance de rayonnement
est faible, d’où la nécessité d’une adaptation à l’équipement
radioélectrique.
II. ANTENNE DIPOLE
Soit un dipôle de longueur 2l orienté selon l’axe Oz. Son
rayonnement est calculé en considérant qu’il est composé d’une
infinité de doublets alignés et de longueur élémentaire dz donc très
faible devant la longueur d’onde λ.

5
Chaque doublet placé au point de côte z est parcouru par un
courant I(z) supposé constant le long du doublet.
r et R désignent respectivement les distances PM et OM.
O : l’origine de l’espace
P : le centre de l’antenne, point où se trouve la source élémentaire
ou encore le doublet
M : le point d’observation où sera calculé le champ rayonné à
grande distance. R et r seront alors considérés très grands devant la
longueur d’onde λ.
On rappelle l’expression du champ donnée par :
R
j
Me
cR
ljI
E2 .
2sin
)( 
. Or :
00
1
c
.
Donc,
R
j
R
j
R
j
Me
R
ljI
e
R
ljI
e
R
ljI
E222
0
0.
sin
.60.
2sin
.120.
2sin
)(  
Ainsi, le champ élémentaire rayonné par le doublet situé au point
P est donné par la relation suivante :
P
ue
rdzzI
jEd r
j
PPM
2
)sin(
)(
60)( 
Le champ total rayonné
)(
M
E
est alors donné par :
lz
lz
l
l
jkr
PPMM kavecdzu
r
e
zI
j
EdE P
2
,)()sin(
60
)()( 
Comme la notion de diagramme de rayonnement n’a de sens que
si l’onde rayonnée est sphérique, il faudra alors faire apparaître dans