Viscosimètre de COUETTE

Viscosimètre de COUETTE.
Cet appareil a été construit par COUETTE pour mesurer la viscosité d’un liquide. Il se
compose de deux cylindres coaxiaux de rayons
1
R
(rayon intérieur du cylindre externe) et
2
R
(rayon extérieur du cylindre interne). L’espace entre les cylindres est rempli d’un liquide dont
on veut mesurer la viscosité . Le cylindre extérieur est immobile, et le cylindre intérieur est
en rotation uniforme, de vitesse angulaire . La hauteur h du liquide est suffisante pour
pouvoir négliger les effets d’extrémités, et notamment l’action du fond sur le liquide.
On suppose donc que le champ des vitesses est permanent et de la forme :
( ) ( )v r v r u
= r (r)
u
1. Par rapport au référentiel lié au cylindre de rayon ro, quelle est la vitesse (relative)
rel rel
v v u
d’un point du cylindre de rayon r ?
2. Par analogie avec le cas de l’écoulement plan, exprimer la force de cisaillement
exercée par le fluide intérieur sur le fluide extérieur à travers une surface
élémentaire d’aire dS normale à
r
u
en fonction de la dérivée
rel
dv
dr
puis en fonction
de
dr
d
.
3. Calculer le moment par rapport à l’axe de rotation des forces de cisaillement
exercées sur le volume de fluide compris entre le cylindre extérieur et un cylindre
de rayon r (R1 < r < R2). En déduire la fonction v(r).
4. Exprimer le moment du couple moteur qui entraîne le cylindre extérieur en
fonction de R1, R2, et .
5. Etudier le cas où
12
R R e
avec
1
eR
.
Données : R2 = 50 mm ;e =3 mm ; h = 200mm ; = 1 tour/s.
Pour mesurer une viscosité voisine de 1 Pl, quelle est l’ordre de grandeur du couple
moteur ?