Support de cours - Semestre 3

CHAPITRE I
Suites numériques
1. Définitions
Définition 1.1
Une suite numérique est une application ude Ndans Rqui, à tout
entier n, fait correspondre un réel un:
uWN! R
n7! un
On la note .un/n2Nou .un/nou encore .un/.
Le domaine de définition de la suite peut être Nou une partie de
N, par exemple N. On note alors .un/n2N.
Une suite numérique peut être définie
par une expression en n:
unDn2C1
par un terme initial u0ou u1et une formule de récurrence :
(u0D1
unC1D.n C1/ un8n2N
Définition 1.2
Une suite numérique .un/nest dite
croissante si
8n2NunC1>un
décroissante si
8n2NunC16un
monotone si elle est croissante ou décroissante.
Remarques
Pour étudier les variations d’une suite, il sut d’étudier le signe de
unC1unpour tout n
Lorsque un> 0 pour tout n, on peut aussi comparer à 1le rapport
unC1
un
Définition 1.3
Une suite numérique .un/nest dite
minorée s’il existe A2Rtel que
8n2Nun>A
majorée s’il existe B2Rtel que
8n2Nun6B
bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
2. Convergence d’une suite
Définition 2.1
Une suite numérique .un/est dite convergente si elle admet une li-
mite finie `2R:unest arbitrairement proche de `dès que nest
susamment grand.
On note alors
lim
n!C1 unD`
Définition 2.2
Une suite numérique .un/nadmet C1(resp. 1) pour limite si un
est arbitrairement grand (resp. petit) dès que nest susamment
grand.
On note alors
lim
n!C1 unD C1 (resp. 1)
Les suites n’admettant pas de limite ou admettant une limite infinie
sont dites divergentes.
Proposition 2.3
Soit .un/net .vn/ndeux suites convergentes. On a
 82R,lim
n!1.un/Dlim n!1 un
lim
n!1.unCvn/Dlim n!1 unClim n!1 vn
lim
n!1.unvn/Dlim n!1 unlim n!1 vn
lim
n!1
un
vnDlim
n!1 un
lim
n!1 vnsi lim
n!1 vn¤0.
si 8n; un6vnalors lim
n!1 un6lim n!1 vn
Théorème 2.4
Toute suite .un/croissante et majorée est convergente. On a alors
lim
n!1 unDsup
n2N
un
Toute suite .vn/décroissante et minorée est convergente. On a alors
lim
n!1 vnDinf
n2Nvn
Proposition 2.5
Soit .un/n,.vn/net .wn/ntrois suites numériques. On suppose que
les suites .un/net .vn/nsont convergentes
lim
n!1 unDlim n!1 vnD`
 8n2N; un6wn6vn
Alors la suite .wn/nconverge et lim
n!1 wnD`.
Théorème 2.6
Soit .un/nune suite définie par son premier terme et par une formule
de récurrence unC1Df .un/. Si
la suite .un/nest convergente
la fonction fest continue
alors la limite `de la suite vérifie l’équation
`Df .`/
Proposition 2.7
Soit fune fonction croissante et .un/nla suite définie par son pre-
mier terme et la relation de récurrence unC1Df .un/. Alors
la suite .un/est monotone;
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elle est croissante si u1>u0;
elle est décroissante si u16u0.
Théorème 2.8
Soit .un/net .vn/ndeux suites adjacentes :
la suite .un/nest croissante
la suite .vn/nest décroissante
lim
n!1.unvn/D0
Alors les deux suites sont convergentes et ont la même limite.
3. Suites arithmétiques et géométriques
Définition 3.1
On appelle suite arithmétique de raison r2R, toute suite .un/n
définie par son terme initial u0et par l’équation de récurrence :
unC1DunCr8n2N
On montre facilement que
8n2N; unDu0Cnr
La suite .un/nest divergente (sauf pour rD0).
Définition 3.2
On appelle suite géométrique de raison q2R, toute suite .un/n
définie par son terme initial u0et par l’équation de récurrence :
unC1Dqun8n2N
On montre facilement que
8n2N; unDu0qn
Proposition 3.3
Soit .un/nune suite géométrique de raison q2R.
si jqj< 1, la suite .un/nconverge vers 0.
si jqj> 1, la suite diverge.
si qD1, la suite est stationnaire et donc convergente.
si qD 1, la suite n’admet pas de limite, elle diverge.
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CHAPITRE II
Séries numériques
1. Définitions
Définition 1.1
Soit .un/nune suite numérique. La série numérique de terme général
unest la suite .Sn/ndes sommes partielles :
SnD
n
X
kD0
ukDu0Cu1C  C un
Elle est notée .†un/n.
L’étude de la série de terme général uncorrespond à l’étude de la
suite .Sn/n.
Définition 1.2
La série .†un/nde terme général unest dite convergente si la suite
.Sn/nest convergente. On note alors
lim
n!1 SnD
C1
X
nD0
un
2. Conditions de convergence
Proposition 2.1 (Série de Riemann)
La série de Riemann
X1
n˛
converge si et seulement si ˛ > 1.
En particulier
X1
n2converge et X1 ndiverge
Proposition 2.2 (Condition nécessaire de convergence)
Si la série .†un/nconverge, alors la suite .un/ntend vers 0.
.†un/nconverge H) lim
n!1 unD0
La réciproque est fausse.
Proposition 2.3 (Comparaison de séries)
Soit .un/net .vn/ndeux suites vérifiant
06un6vn8n2N
Si .†vn/nconverge alors .†un/nconverge aussi.
Si .†un/ndiverge alors .†vn/ndiverge aussi.
Proposition 2.4 (Convergence absolue)
Si la série .†junj/nconverge alors .†un/nconverge aussi.
La réciproque est fausse.
Proposition 2.5 (Critère de D’Alembert)
Soit .un/nune suite numérique. On suppose que la limite suivante
existe :
`Dlim
n!1 ˇˇˇˇ
unC1
unˇˇˇˇ
Si `<1alors .†junj/nest convergente.
Si `>1alors .†un/nest divergente.
Si `D1, on ne peut pas conclure.
Proposition 2.6 (Critère de Cauchy)
Soit .un/nune suite numérique. On suppose que la limite suivante
existe :
`Dlim
n!1junj1
nDlim
n!1
n
pjunj
Si `<1alors .†junj/nest convergente.
Si `>1alors .†un/nest divergente.
Si `D1, on ne peut pas conclure.
Proposition 2.7 (Série alternée)
Soit .un/nune suite à termes positifs décroissante et convergeant vers
0:
un#0
Alors la série X.1/nun
converge.
3. Séries arithmétiques et géométriques
Proposition 3.1
Soit .un/nune suite arithmétique de raison r:
unC1DunCr8n2N
La suite des sommes partielles .Sn/nest
SnD
n
X
kD0
ukDnC1
2.u0Cun/
La série (†un/nest divergente pour tout r.
Proposition 3.2
Soit .un/nune suite géométrique de raison q¤1:
unC1Dqun8n2N
La suite des sommes partielles .Sn/nest
SnD
n
X
kD0
ukD1qnC1
1qu0
La série (†un/nconverge SSI jqj< 1. On a alors
C1
X
nD0
unDu0
1q
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CHAPITRE III
Suites et séries de fonctions
1. Suites de fonctions
Définition 1.1
Soit .fn/nune suite de fonctions réelles définies sur un intervalle I
et fWI! R.
La suite .fn/nconverge simplement vers fsi
8x2Ilim
n!C1 fn.x/ Df .x/
La suite .fn/nconverge uniformément vers fsi
lim
n!C1 sup
x2Ijfn.x/ f .x/j D 0
Remarque
Si une suite .fn/nconverge uniformément vers falors elle
converge aussi simplement.
Proposition 1.2
Soit .fn/nune suite de fonctions. On suppose que
chaque fonction fnest continue
.fn/nconverge uniformément vers f
Alors fest continue.
De plus, pour tout a; b 2I, on a
lim
n!C1 Zb
a
fn.t/ dtDZb
a
f .t/ dt
Proposition 1.3
Soit .fn/nune suite de fonctions. On suppose que
chaque fonction fnest de classe C1
.fn/nconverge simplement vers f
.f 0
n/nconverge uniformément .
Alors fest dérivable et
f0.x/ Dlim
n!1 f0
n.x/
2. Séries de fonctions
Définition 2.1
Soit .fn/nune suite de fonctions réelles définies sur I. La série de
terme général fnest la suite .Sn/ndes sommes partielles :
SnD
n
X
kD0
fkDf0Cf1C  C fn
Elle est notée .†fn/n.
Définition 2.2
On dit que la série .†fn/n
converge simplement si la suite .Sn/nconverge simplement.
converge uniformément si la suite .Sn/nconverge uniformément.
Dans les deux cas, on note
S.x/ Dlim
n!C1 Sn.x/ D
C1
X
nD0
fn.x/
Définition 2.3
On dit que la serie .†fn/nconverge normalement s’il existe une série
numérique convergente .†un/ntelle que
8n2N8x2Ijfn.x/j6un
La convergence normale entraîne la convergence uniforme (et
simple).
Proposition 2.4
Soit .†fn/nune série convergeant normalement (ou uniformément)
vers S. Si chaque fonction fnest continue alors Sest continue.
De plus, pour tout a; b 2I, on a
Zb
a
S.t/ dtD
C1
X
nD0Zb
a
fn.t/ dt
Proposition 2.5
Soit .†fn/nune série de fonctions. On suppose que
chaque fonction fnest de classe C1
la série .†fn/nconverge simplement vers S
la série .†f 0
n/nconverge normalement (ou uniformément).
Alors Sest dérivable et
S0.x/ D
C1
X
nD0
f0
n.x/
3. Séries entières
Définition 3.1
Une série entière est une série de fonctions de la forme
S.x/ D
C1
X
nD0
anxn
où .an/nest une suite de réels.
Proposition 3.2
Pour toute série entière S.x/, il existe un réel R>0tel que
pour tout x2Rtel que jxj< R, la série converge;
pour tout x2Rtel que jxj> R, la série diverge.
Le réel Rest appelé rayon de convergence. Si RD0, la série ne
converge que pour xD0. Si la série converge pour tout x2R, on
pose RD C1.
Proposition 3.3
Si une des limites suivantes existe
`Dlim
n!C1 janC1j
janjou `Dlim
n!C1
n
pjanj
alors
RD1
`
Proposition 3.4
La somme Sd’une série entière est continue et dérivable sur
R; CRŒ. On a
S0.x/ D
C1
X
nD1
nanxn1
et
Zx
0
S.t/ dtD
C1
X
nD0
an
nC1xnC1
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Proposition 3.5 (Développements en séries entières usuels) 
exD
C1
X
nD0
xn
nŠ RD C1
1
1CxD
C1
X
nD0
.1/nxnRD1
`n.1 Cx/ D
C1
X
nD0
.1/n
nC1xnC1RD1
sin.x/ D
C1
X
nD0
.1/n
.2n C1/Š x2nC1RD C1
cos.x/ D
C1
X
nD0
.1/n
.2n/Š x2n RD C1
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