Lois de l`induction

Lois de l’induction
0) Introduction recherche de réciprocité
Une distribution de courant crée un champ B, il est logique de rechercher la réciprocité.
Définition du flux d’un champ magnétique extérieur sur un circuit.
Il est défini par l’intégrale surfacique suivante :
B.dS
surface
s ' appuyant
sur le circuit
On montre que n’importe quelle surface qui s’appuie sur le circuit convient. Par exemple si le circuit est un cercle
on peut prendre comme surface le disque ou une demi-sphère dont le circuit est respectivement le contour et
l’équateur.
I)
induction de Neumann :
1) Bobine fixe dans un champ magnétique variable
Lorsque le flux magnétique varie à travers un circuit, il apparait aux bornes de celui-ci une différence de potentiel
appelée force électromotrice (homogène à une tension et pas à une force), selon la loi de Faraday e = - d /dt, les
conventions d’orientation du flux et de la f.e.m suivant la règle de la main droite
expérience : Bobine et ampèremètre sensible
Convention d’orientation, règle de la main droite : sens de mesure de dS donc de
main est selon sens de mesure de e, alors on a : e = - d /dt
selon le pouce, la concavité
Un champ magnétique variable est obtenu par déplacement d’un aimant ;
Il se trouve ici que B est dans le sens de dS donc est ici positif,
On trouve e < 0 pendant le déplacement
dS
Bext
S
N
Sens de déplacement de
l’aimant pour tester
Sens de dS = sens de mesure de
B
A
V
e = - d /dt
Sens de mesure de e cohérent
avec le sens de mesure de
Si l’aimant se déplace effectivement vers la droite on mesurera e<0
Loi de Faraday ; e = - d /dt 1831
A quoi ça sert ? a-t-on demandé à Faraday ; il a répondu à quoi sert un nouveau né. Il ne pouvait prédire les
applications multiples de sa découverte, alternateurs, transformateurs, moteur asynchrone, microphone
électrodynamique…
dS
Bext
Alternateur :
S
N
V
e=-d
/dt
Loi de modération de Lenz : c’est une propriété qui découle de la loi de Faraday
La d.d.p induite e qui apparaît tend à contrecarrer la variation du flux qui lui a donné naissance
Ainsi qu’à créer des forces de Laplace entre l’aimant et la spire qui s’opposent à son mouvement
C’est un principe de modération
Lorsque l’aimant se rapproche le champ augmente, le flux de B augmente sa variation est positive la f.e.m e qui
apparaît est négative ; e = - d /dt et les conventions d’orientation associées ; un courant négatif prend naissance
qui crée un champ magnétique négatif supplémentaire qui contrecarre l’augmentation positive de B ext.
2) Expérience de Faraday
Expérience historique de Faraday sur un noyau de fer doux ( dans l’expérience de Faraday les deux circuits
étaient imbriqués)
Rouge
B
e = - d /dt
V
COM
A
E
Quand on ferme l’interrupteur de l’inducteur, il apparaît e<0 dans l’induit ;
selon la loi de Lenz il se développe un nord à la face inférieure de la bobine induit
expérience Bobines Jeulin
la résistance transforme la source de tension en source de courant . On choisit R>> L
sur CH1 on a des triangles sur CH2 on a des créneaux
B1= 0 n1 I
I= ±at+b e2= ± 0 N2 S n1 a
2= N2 B1 S
Le flux propre est nul car à vide i2 = 0 et L2 n’intervient pas
CH2
CH1
5k
II) Induction motionnelle ou induction de Lorentz dans champ permanent
1) Expérience avec une bobine mobile et un aimant fixe
Elle rentre aussi dans le cadre de la loi de Faraday
Pour avoir la même situation que précédemment on doit approcher la bobine de l’aimant
Bobine mobile dans un champ permanent
dS
Sens de déplacement
de la bobine pour
tester
Aimant fixe
V
e = - d /dt
Il apparaît encore e < 0
_____________________________________________________
Propriété : Il se trouve que la loi de Faraday est encore vérifiée, il doit en être ainsi si on pense que les
mouvements relatifs sont identiques que l’on rapproche l’aimant ou la bobine
5
2) Expérience des rails de Laplace : microvoltmètre ou nanoampèremètre
Sens de mesure de e cohérent
B
+
Sens de
mesure de
ou sens
de dS
V
COM
B
v
Sens de mesure de i
dl
A
On rappelle que le sens de mesure de e est déterminé par le sens de mesure de
On peut aussi travailler avec les conventions sens de mesure de e déterminé par le sens de mesure de dl
Le voltmètre détecte e
e
d
dt
d
dt
B.dS
surface qui
s ' appuie sur
le circuit
l ' égalité vert bleue vient de ce quele champ magnétique est à flux conservatif
Si le déplacement est effectivement vers la droite v>0 alors e<0
3) Remarque
d
elle est valable quelle que soit la cause de l’induction et même si
dt
les deux causes Neumann et Lorentz se superposent (tout du moins dans le cas des circuits fermés et non
commutés)
La loi de Faraday e
6
III) Selfs et mutuelles (les calculs de selfs et de mutuelles sont hors programme)
1) Rappels car on a déjà introduit ces notions dans la leçon sur les forces de Laplace
Auto-Inductance:
La relation propre Li définit l'auto-inductance L , le plux propre est le flux magnétique créé par le circuit sur lui-mem
d
dLi
di
L
pour un circuit indéformable en convention générateur
dt
dt
dt
puisque le sens de i détermine le sens de qui détermine le sens de e (donc le meme que celui de i)
e=-
propre
di
en convention récepteur
dt
cette dernière forme conduit à une définition énergétique de L ,
uL
L
e
1
Li²
2
Calcul de l’Auto-Inductance d’un solénoïde:
Un solénoïde est constitué de N spires régulières supposées jointives, de section S.
l'energie emmagasinée dans le circuit étant
i
Sa longueur l est très grande devant ses dimensions latérales et on ne tient pas compte de ses extrémités.
Déterminer son inductance propre L.
Première méthode flux =BS= 0nI N R²= 0nI nl R² où l est la longueur du solénoide
L= 0nN R²
Deuxième méthode énergie
N
1
1
S
i ez
Li ²
B² Sl L 0 N ²
l
2
2 0
l
Expérience allumage du néon à la rupture: étincelles volontaires des interrupteurs
Comme le champ dans le solénoide est uniforme Bpropre =
0
Ceci permet de créer temporairement une haute tension
2) Couplage magnétique de deux circuits inductance mutuelle et self : énergie
Définition mutuelle
si le circuit 1 parcouru par un courant i1 crée sur le circuit 2 un flux
1 2
alors
1 2
M12i1 M12
est la mutelle inductance des deux circuits
On admettra que
M 21i2 avec M12 = M 21
2 1
calcul pour une bobine plate dans un solenoide
N bp Rbp ² 0 ni
M N bp Rbp ² 0 n bp signifie bobine plate
energie stockée dans deux circuits couplés par mutuelle inductance, coefficient de couplage
7
On rappelle que
M 12i1
1 2
alors par exemple :
1
2 1
1propre
M 21i2 on a vu que : M12 = M 21
L1i1 M 21i2 alors l'énergie de l'ensemble est
2 1
1
1
Lil ²
Li 2 ² Mi1i2
2
2
démonstration ceci se calcule par intégration compte tenu de ce que
d L1i1 M 21i2
d 1
en convention générateur et e2
dt
dt
l'énergie reçue calculée en convention récepteur est donc :
e1
d 1
i1
dt
U= - e1i1 e2i2 dt = d L1i1 M 21i2
i1
dt
d L2i2
d 2
i2 dt =
dt
M 12i1
dt
d 1
i1
dt
i2 dt
L1
di1
dt
M 21
k
dt
di2
di
i1 L2 2
dt
dt
1
1
1
1
1
L1i l ²
L 2i 2 ² Mi1i2
L1i l ²
L 2i 2 ² Mi1i2 i l ²( L1
2
2
2
2
2
U énergie emmagasinée étant une quantité essentiellement positive
0
M 12i1
en convention générateur
d 2
i2 dt
dt
M
L1 L2
M 12
di1
i2 dt
dt
1
L 2 x² Mx)
2
d
le discriminant doit etre négatif M²-L1 L2
d L2i2
d 2
dt
1 est le coefficient de couplage
il vaut dans le cas d'un couplage parfait lorsque toutes les lignes de champ sont canalisées par un fer
Impédance vue de l’entrée pour des circuits couplés
C1
R
C
2
L1,M
ug
0
Ri1
L2
di2
dt
q1
C1
M
L1
di1
dt
di1
dt
q2
C2
M
di2
dt
L2,M
ug
Ri1
0
L2 j i2
i1
j C1
Mj i1
j L1i1
Mj i2
i2
C2 j
en repportant i 2 en fonction de i1 on peut trouver l'impédance vue du primaire.
8
2) Transformateur
i1
u1
sens de
mesure de e1
di1
dt
u1
L1
u2
Ri2
1) Montrer que
di2
dt
di
( L2 2
dt
cohérent avec le
sens de mesure
de
i2
u2
R
sens de mesure de e2
cohérent avec le sens
de mesure de
M
M
di1
)
dt
2) Le couplage étant parfait 1=N1 où N1 est le nombre de spires du primaire
où N2 est le nombre de spires du secondaire
2=N2
montrer que ceci est cohérent avec L1= N1² , L2= N2² , M=√(L1L2)= N1N2 où α est une constante que
l’on ne cherchera pas à déterminer
3) Ecrire maintenant les équations en régime sinusoïdal forcé et montrer que l’on trouve que : u2/u1=-N2/N1 =
-m
A quelle condition a-t-on une relation similaire pour les intensités ?
4) Calculer les courants dans le cas général.
Ecrire la conservation de l’énergie dans le cas général.
5) Montrer que la puissance dissipée dans une résistance de charge R C par un générateur de tension de
résistance interne Ri est maximale si RC = Ri
Grâce à un transformateur on peut réaliser l’adaptation d’impédance précédente à une condition que l’on
précisera
9
L’entrée du transfo est en convention récepteur, sa sortie est en convention générateur
d 1 1 d 2 1
d 1 1 d 2 1
d 1
di
di
u1 (t )
e1 (t )
L1 1 M 2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
puisque 1 1 L1i1 quand 1 et i1ont des orientations cohérentes ce qui est le cas ici
D'autre part
2 1
Mi2 et
1 2
Mi1
avec ici M<0 car bien que les bobinages soient enroulés dans le meme sens sur le fer
les orientations des courants i1 et i 2 ont été choisies opposées
u2 (t ) e2 (t )
puisque
2
2
d 2 2 d 1 2
d 2
di
di
L2 2 M 1
Ri2 (t )
dt
dt
dt
dt
dt
L2i2 quand 2 et i 2 ont des orientations cohérentes ce qui est le cas ici
est le flux total qui passe à travers le bobinage primaire
2 est le flux total qui passe à travers le bobinage secondaire
est le flux qui passe à travers une spire du primaire oui du secondaire et qui est conservé puisqu’on a affaire
à un transformateur parfait
Le couplage étant parfait
où N1 est le nombre de spires du primaire
1=N1
=N
où N2 est le nombre de spires du secondaire
2
2
montrons que ceci est cohérent avec L1= N1² , L2= N2² , M=√(L1 L2)= N1N2
avec une constante positive qui dépend du matériau qui constitue le fer du transformateur
d 1
di
di
d 2
di
di
L1 1 M 2
L2 2 M 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d
di
di
d
di
di
N1
L1 1 M 2
N2
L2 2 M 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d
di
di
d
di
di
N1
N1 ² 1
N1 N 2 2
N2
N2 ² 2
N1 N 2 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d
di
di
d
di
di
N1 1
N2 2
N2 2
N1 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
ce qui constituera pour nous une démonstration des formules de couplage parfait
L1= N1² , L2= N2² , M=√(L1 L2)= N1N2
1
10
En régime sinusoïdal forcé
u1 jL1 i1 jM i2
u2
Ri2
jL2 i2
jM i1
en utilisant le caractère parfait du transfo
u1 j N1 ² i1 j N1 N 2 i2
u2
Ri2
j N 2 ² i2
j N1 N 2 i1
On trouve que u2/u1=-N2/N1 = - m
Si court circuit u2=0 (R=0) i2/i1= -1/m
On a i2/i1= -1/m seulement si R=0 soit u2=0 c'est-à-dire en court circuit de la sortie dans ce cas u2 et i2 sont en
phase de même que u1 et i1puisque l’on a aussi u1=0
On verra plus bas que le cas de l’adaptation d’impédance par transformateur permet aussi d’avoir : i1eff u1eff =
ueff i2eff
Dans le cas général la puissance se doit d’être conservée mais on aura pas i1effu1eff = ueffi2eff car les tensions et
courant ne sont pas en phase
E
Ri2
jL1 i1
E
jM i2
jL2 i2
jM i1
jL1 i1
i2
R
R
jM i1
jL2
i1
jM i1
jL2
i1
jL1 R
jL1 R
E ( R jL2 )
( L1 L2 M ²) ²
jM E
( L1 L2 M ²) ²
i1 et i 2 ne sont pas en phase
E
P1
1
Re(u1 * i1 )
2
P2
1
Re( Ri2 * i2 )
2
E ²( R jL2 )
1
Re(
)
2
jL1 R
( M ² L1 L2 ) ²
1
E ² R² M ² ²
(
)
2 ( L1 R )² ( M ² L1 L2 ) ² ²
u1ef i1ef cos( 1 )
E
2
L1 R
2
²
R ² ( L2 )²
( L1 L2
M ²) ² ²
cos( 1 )
2
1
E ² R² M ² ²
(
)
2 ( L1 R )² ( M ² L1 L2 ) ² ²
u2 ef i2 ef cos( 2 )
u2 ef i2 ef
Ri2 eff ²
R
1
2
ERM
( L1 R )²
( M ² L1 L2 ) ² ²
on voit que P1 = P2 sans que u1 eff i1 ef =u 2 eff i2 2eff
11
Rappel adaptation d’impédance :
i
Rint
u
RC
E
i
E
Rint
RC E ²
Rint RC ²
PC
RC
dPC
dRC
0
RC
Rint
adaptation d’impédance par transformateur
On sait que la puissance maximum est dissipée quand R u=Rg
on veut u1
or u2
u2
Rg
Ru
Rg i1 (0) u1 et i sont alors en phase
eg
u1 (1)u2 et u1 sont en phase dans un transformateur
Ru i2 (2)u2 et i2 sont en phase
la conservation de la puissance pour ces quantités en phase s'écrit alors : u1i1
(1et 2)
u2
Ru
i2
(41 et 3)
enfin 0
u1
(4)
Ru
²u1 ²
Ru
u1i1
1
²
soit
i1
i1
Rg
²u1
Ru
eg
Rg
u1
u2 i2 (3)
i2
u2
Ru
Ru
i2
i1
Rint
u1
u2
RC
E
Dans ce cas particulier de l’adaptation d’impédance par transformateur, on a aussi u 1i1=u2i2 car courants
et tensions sont en phase puisque l’on a imposé u1=Rgi1
12
Induction de Neumann : champ magnétique variable cause électrique bobine plate dans un solénoïde
Dans tout cet exercice les flux sont repérés dans le sens de l’axe des z et la mesure des fem se
fait dans le sens imposé par la règle de la main droite
On a aussi choisi i1 et i2 dans le sens de e1 et e2
1) A l'intérieur d'un solénoïde que l'on peut considérer comme infini de rayon R 1 de longueur
l1comportant n1 spires par unité de longueur soit N1 spires au total parcouru par un courant i 1,
on trouve une bobine plate de rayon R 2<R1 comportant N2 spires que l'on considèrera comme
confondues.
Calculer le flux créé par le solénoïde au niveau de la bobine plate. En déduire le coefficient de
mutuelle inductance des deux objets en prenant les conventions du schéma ci-dessous.
i1
i2
B1
n i uz
2
0 11
n i N 2 R2 ²
1 2
0 11
z
M12i1
M12
n N 2 R2 ²
0 1
0
N 2 N1
R2 ²
l
2) Calculer l'auto-inductance d'un solénoïde de rayon R comportant n spires par unité de
longueur et de longueur l soit N =nl spires
B
0
n i uz
0
niN R ²
0
ninl R ²
Li
L
0
n²l R ²
0
N²
R²
l
3) Donner une estimation de l'ordre de grandeur de l'auto-inductance d'une spire puis de celle
d'une bobine plate.
pour une seule spire Bcentre
pour une bobine plate Bcentre
0
2R
N
0
iu z
0
2R
2R
iu z
i R²
N
0
2R
Li
L
i R² N
L
0
N²
R
0
2
R
4 ) La bobine plate possède une résistance R et est fermée sur elle-même. L'orientation des
courants est donnée par le schéma ci-dessus en déduire l'équation qui régit le courant i2
e Ri2
0
d
dt
Ri2
0
d
dt
Ri2
0
d Li2
dt
Mi1
Ri2
0
13
Oscillateurs couplés par mutuelle inductance
Etablir les équations qui régissent l’évolution électrique des deux circuits
ug
Ri1
q2
C2
Voir TP
Ri2
q1
C1
L1
L2
di2
dt
di1
dt
M
M
di2
dt
di1
dt
0
0
14
IV) Exercices pédagogiques
A) Exercices en translation
1) Barreau glissant sur des rails de Laplace Lorentz cause mécanique
Un seul barreau de masse m de résistance R de longueur l lancé avec vitesse initiale v0 dans un champ B
permanent et uniforme. Les rails sont sans résistance.
R
Sens de
dS
B
dx/dt ux
dl
l
x
e=-dΦ/dt
Sens de
mesure de i
Le choix du sens de mesure de dS soit du sens de mesure du flux détermine le sens de mesure de e selon
la règle de la main droite
Le choix du sens de mesure de i et de dl détermine la force de Laplace
Etudier l’évolution électrique et mécanique
Vérifier la loi de Lenz mécanique et électrique
Le barreau doit être freiné par la force de Laplace qui résulte de l’apparition du courant induit. On doit
avoir e et i<0 . De plus le courant induit doit créer un champ vers le bas qui s’oppose à l’augmentation
du flux. C’est ce qui ce passe avec i<0.
Effectuer un bilan énergétique : il faudra multiplier l’équation mécanique par la vitesse et l’équation
électrique par l’intensité et éliminer la somme de la puissance de la force de Laplace et de la puissance
d’induction qui est nulle FLdx/dt+ei=0 C’est la conversion électromécanique.
e
vBl
e Ri
mx
x
0
e
R
i
FL
vlB
R
x lB
R
ilB
x lB
mR
2
2
0 la force de Laplace freine
t
2
lB
mR
1
0
xlB
R
t
x
v0e
i
v0 e lB
R
0
t
x(t )
mxx
v0 e
FL x
v0
ei
x(t
) v0
Ri ²
x ² lB
vlB
on a ei+FL x 0 en effet
vlB
R
R
la conversion électromécanique nous l'assurait
donc mxx Ri ²
0
dEc
dt
Ri ²
2
0
Pjoule
15
2) Barreau parcouru par un courant Lorentz cause électrique
e
B
E
i
Une force de Laplace déplace le barreau d’où une induction motionnelle de Lorentz qui va avoir tendance à
diminuer i pour diminuer la force de Laplace
La puissance apportée par le générateur set à augmenter l’énergie cinétique du barreau et à alimenter l’effet
Joule
3) Barreau qui glisse sur des rails de Laplace avec capacité
e
B
q
C
i=dq/dt
q/C
x
x
0
Les rails sont sans résistance et le barreau possède une résistance R, entre les deux appuis il a une longueur a.
Le condensateur est initialement déchargé. Le barreau est animé d’une vitesse initiale v 0.
e Ri
q
C
0
FL
d
Bxa
dt
iaBu x
mx
FL
Ba
qaB
m
e
x
Bax
mx
Ri
(aB) 2
m
v0
v0
1
C
(aB ) 2
m
(aB) 2 1
m
C
1
C
(aB) 2
m
q
C
(aB) 2
m
0
1
q
C
(1 e )
x
t
(1 e ) 1
v0
qaB
m
m x v0
q
0
C
qaB
Bav0
q
Bax Ri
0
iaB
t
Bav0
q (t )
x
v0
q
C
Bax Ri
R
dq
dt
v0
aB
m
(aB ) 2
m
(aB) 2 1
m
C
(aB ) 2
m
1
qaB
m
x
R
(aB)
m
dq
1 dt
C
2
1
C
(1 e )
(aB ) 2
m
(aB) 2 1
m
C
Bav0
(aB)
m
2
(aB ) 2
v0
m
(aB) 2 1
m
C
v0
t
e
0
v0
t
Bav0
q
C
Bax Ri
v0
1
C
(aB) 2
m
1
C
R
(aB) 2
m
1
C
t
(1 e )
v0
(aB ) 2
m
(aB) 2 1
m
C
t
e
1
C
16
1
C
4) Une barre un ressort Lorentz cause mécanique
z
B
R
a
y
x
On donne une pichenette à la barre de masse m initialement à l’équilibre avec le ressort de caractéristique k , l 0
Premier problème : Une barre lestée , induction motionelle de Lorentz, cause mécanique.
sens de dS et de mesure de
si on choisit d’utiliser e=d /dt
A’
C’
B
sens de mesure de e cohérent
Tux
sens de mesure de i
C
A
A poulie est sans masse, le fil est sans masse et inextensible, les rails sont fixes et sans résistance.
-Tu
z
Le barreau est sans masse, il est mobile sans frottement. le barreau possède une résistance. Le
barreau
fixe
x
x
x’
sui ferme le circuit à gauche a une résistance nulle. On ne considère pas de phénomène d’autoinduction.
L’espace entre les rails est noté a.
z
Obtenir la fem d’induction motionelle de Lorenz .
m
Prédire le comportemet du sytème grâce à la loi de Lenz.
Ecrire l’équation électrique et deux équations mécaniques une pour le barreau , une pour la masse.
Découpler pour
z trouver l’évolution de i et de z.
Réaliser un bilan énergétique.
17
Deuxième problème : Deux barres lestées
Induction motionnelle de Lorentz : translation cause mécanique, 4 équations mécaniques une équation
électrique
sens de dS et de mesure de
A’
C’
-T’ux
Tux
B
sens de mesure
de i
sens de mesure de e
C
A
-T’uz
-Tuz
Les poulies sont sans masse , les fils sans masse et inextensibles,
x les rails fixes
x sans résistance
x’
Les barreaux sans
masse sont mobiles sans frottement . On a une résistance R pour chacun des barreaux. On ne
Z’
considère pas d’autoinduction.
z rails est noté a.
L’espace entre les
m’
m
Ecrire les quatre équations mécaniques, l’équation électrique et découpler.
équation électriquez
e 2 Ri
d
dt
0 convention générateur
d (a( x x ')) B
2 Ri
dt
0
2 Ri
a( x x ') B 2 Ri
0 loi de Faraday
0
i
aB
( x ' x)
2R
pour calculer la fem d'induction motionnelle on aurait aussi pu utiliser le champ électromoteur E ind
on trouve pour le barreau CC' xB soit pour le barreau CC' une fem eCC'
axB
on trouve pour le barreau AA' x ' B soit pour le barreau AA' une fem eAA'
la fem totale due aux deux conducteurs mobiles est alors bien e=eCC' eAA'
équation mécanique pour le barreau AA'
v B
ax ' B
axB ax ' B
0x'=-T'-iaB pour le barreau sans masse
équation mécanique pour la masse m' m'z'=-T'+m'g
fil inextensible z'=-x'
soit m'x'=-iaB m'g
équation mécanique pour le barreau CC' 0x=T+iaB pour le barreau sans masse
équation mécanique pour la masse mmz=-T+mg
fil inextensiblez=x
soit mx=iaB mg
18
aB
( x ' x)
2R
m'x'=-iaB m'g
mx=iaB mg
i
x'-x=-
a² B²
( x ' x) m'g
2R
a² B²
mx=
( x ' x) mg
2R
m'x'=-
a² B²
( x ' x) g
2 Rm '
a² B²
x=
( x ' x) g
2 Rm
x'=-
a² B²
a² B²
( x ' x)
( x ' x) g-g
2 Rm '
2 Rm
d²
a² B²
(x'-x)=dt²
2 Rm '
a² B² d
( x ' x) 2g
2 Rm dt
d²
a² B² a² B² d
(x'-x)+
( x ' x) 2g=0
dt²
2 Rm ' 2 Rm dt
que l'on sait résoudre avec les conditions initiales
x(t=0)=x'(t=0)=0
x'(t=0)=x(t=0)=0
d'autre part
m'x'=-iaB m'g
donnent mx+m'x'=-m'g mg
mx=iaB mg
qui s'intègre aisément
On trouve
t
v=
1
(m m ') gt m '2 g (1 e )
m+m'
v'=
1
(m m ') gt
m+m'
avec
1
B²a² 1
(
2R m
t
m2 g (1 e )
1
)
m'
19
5) Induction rails deux barres reliées par un ressort Lorentz cause mécanique
Deux barres mobiles sur rails de Laplace de résistance R chacune et de masse m sont plongées dans un champ
B uniforme et permanent orthogonal au plan des rails, elles sont reliées par un ressort de raideur k . A t=0 la
barre 2 est écartée de sa position d’équilibre x1(0)=0 et x2(0)=l0+a étudier l’évolution électrique et mécanique.
R
B
R
d
6) Spire carrée qui rentre dans un champ magnétique uniforme
Une spire carrée de côté a tombe verticalement dans le champ de pesanteur g = g x
Dans le demi-espace (x>0) règne un champ magnétique horizontal uniforme B = B z. A la date t = 0, la
situation est représentée par le dessin ci-dessous : deux cotés verticaux, le plan de la spire confondu avec xOy
translation à la vitesse v0 = v0 x , côté inférieur à l’abscisse x = 0
Montrer que le mouvement ultérieur de la spire reste une translation de vitesse parallèle à Ox
Soit R la résistance de la spire, m sa masse, trouver l’équation du mouvement
a
B
B=0
x
20
B) Exercices solide en rotation, induction de Lorentz
Une tige en rotation
Le dispositif est dans un plan vertical.
La tige OM de moment d’inertie JO par rapport à O de masse m
Coulisse sans frottement en M, le ½ cercle sur lequel le
glissement a lieu est un conducteur de résistance nulle
ainsi que le segment OA
O
A
B
i
Etablir les équations mécanique et électrique et les découpler
M
Le moment du poids va mettre le barreau en rotation d’où une induction motionnelle de Lorentz. Une force de
Laplace doit freiner le barreau. On doit obtenir une équation d’oscillateur amorti. L’énergie potentielle initiale
du barreau est dissipée par effet Joule.
Cerceau avec deux tiges en rotation
On considère un cerceau de rayon a infiniment conducteur plongé dans un champ magnétique uniforme B
perpendiculaire à son plan. Les tiges OA et OA’ de résistance respectives R et R’ ont leurs extrémités A et A’
qui glissent sans frottement le long du cerceau. Les liaisons en O sont parfaites. Chaque tige possède un
moment d’inertie J par rapport à l’axe O k
1) la tige OA tourne autour de O à la vitesse angulaire constante ω0 Déterminer la vitesse angulaire ω‘ de OA’.
On prendra ω’(t=0)=0
2) Faire un bilan énergétique
A
1
Ba ²(
')
2
1
( R R ')i
Ba ²(
2
d '
iBa ²
J
dt
2
A’
e
4 J ( R R ')
B²a 4
pour la tige qui tourne à
Pop
PJ
a
')
0
: 0
d '
dt
opérateur
'
t
0
'
0 (1 e )
O
B
iBa ²
2
dEc
dt
21
V) Applications de l’induction
Haut parleur
Un haut parleur est composé d’un aimant permanent et fixe , cylindrique d’axe Ox et créant un champ
magnétique radial d’intensité constante B . La membrane qui est considérée comme plane et rigide ici
est assimilée à un disque de masse m mobile le long de l’axe Ox. Sa position x(t) est ramenée par une
suspension à un positionnement moyen grâce à un ressort de constante de rappel k ; le couplage avec
l’air est responsable de l’existence d’une force de frottement visqueux F = -f dx/dt ux . solidaire de la
membrane un cylindre portant bobine se déplace dans l’entrefer de l’aimant ; un amplificateur est par
ailleurs connecté à la bobine, il se comporte comme un générateur dont on notera E(t) la force
électromotrice. On précise les caractéristiques suivantes la résistance totale du circuit est R, l’inductance
propre L et la longueur du fil bobiné l. Déterminer un système d’équations différentielles régissant les
évolutions temporelles de la position x(t) et de l’intensité i(t)
Lorsque le f.e.m E(t) est sinusoïdale de pulsation , quelle est l’impédance complexe Z du haut parleur
Montrer que du point de vue électrique, le couplage électromécanique se traduit par l’existence, dans le
schéma équivalent du circuit , d’un terme résistif R’ et d’un terme inductif L’ supplémentaires.
1) Exprimer R’ et L’ en fonction de a( ) =[ k –m ²]/f et b= B²l²/f
2) Comment varient l’impédance additionnelle Z’ et l’impédance totale Z en fonction de la pulsation ?
3) Proposer un schéma électrique équivalent au haut parleur, sous la forme de la mise en série d’un
circuit R L et d’un circuit Rm Lm Cm ces trois derniers éléments étant placés en parallèle les uns des
autres. Quelle correspondance entre grandeurs électriques et mécaniques retrouve-t-on ainsi ?
Pour déterminer e on utilisera le principe de conversion électromécanique ei+FLdx/dt=0, alors e et i sont
mesurés dans le même sens.
sens de mesure de e
B
x
i
i
Ee
j t
Sens de mesure de E et e
22
E e L
di
dt
E vBl
mx
A
E
I
Ri
L
kx
0
ei
FL x
di
Ri 0
dt
x ilB
IlB
k m ²
j
j B ²l ²
k m ²
j
E
Lj
0
ei LBix
E
Aj Bl
m
A ²
k
LIj
e
RI
kA
IlB
m ²
0
0
Aj x
j Bl
j
vBl
IlB
LIj
RI
0
R
L'impédance motionnelle qui se rajoute à l'impédance électrique possède une partie réelle car de l’énergie est consommé du
fait du frottement lié à la mise en mouvement de la membrane et des couches d’air il s’agit d’une consommation
d’énergie qui n’est pas liée à de l’effet Joule comme dans les moteurs
> > restart;assume(omega,real);
R:=5;L:=0.01;
Rm:=14.8;Lm:=0.0667;Cm:=3.75E-5;
Z:=R+I*L*omega+1/((1/Rm)+(1/(I*Lm*omega))+I*Cm*omega);
abscisse:=Re(Z);ordonnée:=Im(Z);
plot([abscisse,ordonnée,omega=0..20000],scaling=constrained,axes=none);
plot([abscisse,ordonnée,omega=20..2000],scaling=constrained,axes=none);
a) R := 5
b) L := .01
c) Rm := 14.8
d) Lm := .0667
e) Cm := .0000375
f)
Z := 5
.01 I
.06756756757
1
14.99250375I
.0000375 I
.06756756757
g) abscisse := 5
.004565376187
14.99250375
14.99250375
h) ordonnée := .01
.004565376187
2
1
.0000375
.0000375
14.99250375
1
2
2
.0000375
23
i)
j)
> Z:=1/((1/Rm)+(1/(I*Lm*omega))+I*Cm*omega);
abscisse:=Re(Z);ordonnée:=Im(Z);
plot([abscisse,ordonnée,omega=0..20000],scaling=constrained,axes=none);
plot([abscisse,ordonnée,omega=20..2000],scaling=constrained,axes=none);
24
Z :=
.06756756757
1
14.99250375I
.0000375 I
1
abscisse := .06756756757
.004565376187
14.99250375
ordonnée :=
.004565376187
14.99250375
.0000375
14.99250375
1
1
2
.0000375
2
2
.0000375
25
Courants de Foucault, plaque à induction freins
Expérience : Un disque conducteur tourne solidairement avec une roue, il est plongé dans un
champ magnétique et on a induction motionelle de Lorentz puis une force de Laplace qui selon
la loi de Lenz s’oppose au mouvement et freine donc la rotation du disque.
Deux spires circulaires métalliques identiques de rayon a ont leurs centres situés à l’origine O de l’espace.
L’une est d’axe Ox l’autre d’axe Oy . On note R la résistance électrique de chaque spire et on néglige son
inductance propre. Un dipôle magnétique également situé en O est animé d’un mouvement de rotation à
vitesse constante dans le plan xOy . On admet que lorsque l’angle que fait le moment dipolaire avec
l’axe est égal à , le flux du champ créé à travers cette spire s’, le flux du champ créé à travers cette spire
s’écrit = 0 cos où 0 est une constante que l’on ne cherchera pas à calculer.
1) On choisit l’origine des temps de telle façon que = t Calculer i1 et i2 dans les deux bobines.
Exprimer la puissance Joule
Le dipôle est mis en rotation à 0 à l’origine des temps . On note J le moment d’inertie du dipôle tournant
Les intensités induite dans les spires sont responsables de l’existence d’un champ magnétique Bi . Quelle
est son évolution au centre O des spires ? Quelle est son action sur le dipôle.
1
0
cos( t )
2
PJ
Binduit
0
R
2
dEC
dt
0
d
0
sin( t ) i1
1
J ²
2
dt
R
PJ
sin( t )
i2
0
R
cos( t )
0
R
sin( t
2
)
RJ
0²
B0 cos( t
)u x B0 sin( t
)u x
2
2
reste en permanence orthogonal qu dipole et en retard M^Binduit est un couple résistant
Freinage des véhicules lourds.
Expériences : faire fondre de la soudure dans un transformateur ouvert, (chauffage par induction)
Le secondaire est fermé sur une coupelle métallique contenant de la soudure primaire 500 spires
alimentées avec un alternostat branché sur le 220V
Remarque le freinage par courant de Foucault des véhicules lourds camions trains est très efficace et ne
nécessite aucun contact mécanique
26
Sismomètre électromécanique
Une bobine de self L est reliée à une résistance R non représentée. La bobine possède une masse m et est relié
à un bâtit solidaire du sol par un ressort vertical de raideur k et de longueur à vide l0 , cette bobine est plongée
dans un champ radial uniforme B créé par un aimant de type fer à cheval à symétrie cylindrique.
Montrer que le dispositif permet de mesurer les vibrations du sol à une condition sur sa fréquence de vibration
ω que l’on précisera.
S
N
H
zs = a cos(ωt)
0
d ²z
dt ²
di
e L
dt
m
mg
k ( zS
Ri
H
z l0 ) ilB
0 et e
z a sin t Bl
E.dl
L
di
dt
z
Ri
t
i
I0e j
H
B .dl
z l0 )
ilB
m
0
z
g
2
0
(a cos t
H
z l0 )
2
0
aj
(H
zeq
l0 )
lB Lj I 0
0
zecart
RI 0
0
z
Z0
zeq
a
²
² Z0
lB
I0
m
2
0
a
2
zecart
I0
Lj
0
(a cos t
zecart )
ilB
m
0
R
j lB
0
2
0
²
² Z0
si on choisit
e
0
z a sin t Bl
a
lB
R m
j lB
Lj
0
z a sin t Bl car il faut se placer dans le référentiel du champ
t
0
Z0
ilB
m
0
j Z0
Z0 e j
k
(a cos t
m
v a sin tez
recherche de la position d'équilibre : g
Z ecart
g
2
0
et R grand Z 0
a
0
Z0
0
²
²
j lB lB
Lj
R m
2
0
a
j lBa lB
Lj
R m
0
j lBa lB
Lj
R m
a
Z0
0
²
²
j lB lB
Lj
R m
0 la bobine grace à son inertie ne bouge pas pendant que le bati bouge
a Bl sin t est directement lié à la vibration du sol
Si on considère un sismomètre
Le courant induit dans la bobine qui crée un champ ensuite grâce à ce champ les forces de Laplace s’exercent
sur l’aimant on écrit une conversion électromécanique en se plaçant dans le référentiel de l’aimant où le
champ apparaît comme statique
27
VI) Moteurs, alternateurs et machines à courant continu
Principe du moteur asynchrone
Les moteurs asynchrones sont de gros moteurs. Le Stator est l’inducteur, le rotor est l’induit
1) Production d’un champ tournant. Le Stator est l’inducteur.
Pour les installations de forte puissance la distribution de l’énergie électrique se fait en triphasé
Par rapport à une tension de référence, le fil neutre, les trois fils de phase sont portés à des tensions de même
valeur efficace et déphasés de 2 / 3 de telle sorte que
u1 = um cos 0t
u2 = um cos ( 0t-2 /3)
u3 = um cos ( 0t +2 /3)
Les trois électroaimants créent au voisinage du point O trois champs proportionnels respectivement à u1, u2 ,u3
avec la même constante de proportionnalité. Montrer que le champ résultant en O est un champ tournant de
norme constante.
2) Rotor induit : Une bobine de N spires d’aire S , fermée sur elle même, de résistance R, d’inductance L et de
moment d’inertie J par rapport à Oz peut tourner autour de l’axe de son diamètre selon Oz
S est normal au plan de la bobine.
Sa position est repérée par l’angle (t) = (ex,S)
= d /dt
On pose = 0 Cette bobine est soumise à un champ tournant B tel que (ex, B) = 0 t
On suppose que ce champ est uniforme sur toute la bobine.
La bobine est soumise en plus à un couple résistif - uz .
Ecrire les équations différentielles électriques et mécaniques.
On posera 0 = NSB. On n’oublie pas que l’on parcourt la boucle en convention générateur
3) On étudie le régime permanent = t avec constant.
a) Déterminer le courant i(t) dans la bobine puis le couple électromagnétique exercé sur la bobine par le
champ B On pose i (t) = I e j( t - )
b) En fait le moteur a une grande inertie mécanique et la grandeur significative est la valeur moyenne < > de
(t)
Etudier les variations de < > en fonction de . On posera pour cela :
X= / 0
=L 0/R
et
0/
0=
0²/(2R)
Pourquoi ce moteur est-il appelé asynchrone?
c) Déterminer la puissance mécanique Pméca fournie par ce moteur
Etudier sommairement les variations de Pméca en fonction de
B
y
uy
0t
U3 = um cos ( 0t+2 /3)
I
S
120°
z
ux
O
u1 = um cos
0t
x
120°
I
u2(t) =
um cos ( 0t -2U2/3)
= um cos ( 0t -2 /3)
u1(t)=
um cos ( 0t )
t
28
2 est en retard sur 1, pour générer un champ tournant dans le sens trigo il faut faire tourner les phases dans le sens horaire
Correction du moteur asynchrone
B1 (O, t ) Bm cos( 0t )e x
2
1
)( e x
3 2
2
1
B 3 (O, t ) Bm cos( 0t
)( e x
3 2
le champ total en O est :
3
ey )
2
3
ey )
2
B 2 (O, t ) Bm cos( 0t
B(O, t ) B1 (O, t ) B 2 (O, t ) B 3 (O, t )
B(O, t )
Bm
cos( 0t ) cos( 0t
cos( 0t
2
1
2
1
)( ) cos( 0t
)( ) e x
3 2
3 2
2
3
2
)( ) cos( 0t
)(
3 2
3
3
) ey
2
cos( 0t )
1
2
1
2
cos( 0t
)
cos( 0t
) ex
2
3
2
3
cos( 0t )
1
2
2
1
2
2
{cos( 0t ) cos(
) sin( 0t )sin(
)} {cos( 0t ) cos( ) sin( 0t )sin( )} e x
2
3
3
2
3
3
3
2
2
{cos( 0t ) cos(
) sin( 0t )sin(
)}
2
3
3
cos( 0t )
3
2
2
{cos( 0t ) cos( ) sin( 0t )sin( )} e y
2
3
3
3
2
2
{cos( 0t ) cos( ) sin( 0t )sin( )} e y
2
3
3
1
2
1
2
{cos( 0t ) cos( )} {cos( 0t ) cos( )} e x
2
3
2
3
cos( 0t ) {cos( 0t ) cos(
cos( 0t ) {cos( 0t )
B(O, t )
3
2
cos( 0t
) ey
2
3
1
2
2
1
2
2
{cos( 0t ) cos( ) sin( 0t )sin( )} {cos( 0t ) cos( ) sin( 0t )sin( )} e x
2
3
3
2
3
3
3
2
2
{cos( 0t ) cos( ) sin( 0t )sin( )}
2
3
3
cos( 0t )
3
2
cos( 0t
)
2
3
2
)} e x
3
1
} ex
2
3{sin( 0t )sin(
3{sin( 0t )
3
} ey
2
3
2
{ sin( 0t )sin( )}
2
3
3
2
{ sin( 0t )sin( )} e y
2
3
2
)} e y
3
3
cos( 0t ) e x
2
3
{sin( 0t ) e y
2
3
Bm (cos( 0t )e x (sin( 0t )e y )
2
B(O, t ) est donc un champ de norme constante égale à
3
Bm et dont la direction est repérée par l'angle =
2
30° 3
0
t
1
29
2
d
d
(J
) M B
sin( 0t
) INSB
)
0 I sin( 0 t
dt
dt
le flux de B à travers la bobine varie dans le temps, ce qui provoque un courant induit. D’après la loi de Lenz,
l’effet mécanique de ce courant s’oppose à la cause de l’induction.
La bobine est donc soumise à des actions de Laplace qui tendent à la placer dans l’état où le flux ne varie pas,
c’est à dire à une vitesse angulaire la plus proche possible de 0
equation mécanique
dans le champ magnétique uniforme B , la bobine est assimilable à un dipole de moment magnétique M=N i S
le théorème scalaire du moment cinétique donne :
d²
(M B). e z
J
dt ²
d²
soit J
(t ))
0
0i sin( 0t
dt ²
equation électrique
pour les spires orientées , le flux du champ extérieur est :
(t ))
ext
0 cos( 0t
l ' équation électrique en convention générateur e-Ri-L
Ri Ldi / dt d
ext
s'écrit donc : Ri L
di
0
dt
e
d
ext
dt
/ dt 0
di
dt
0
(
0
d
)sin( 0t
dt
(t )) 0
La puissance des forces de Laplace dans le référentiel tournant où le champ magnétique est fixe est
d
d
M B .(
)(
0 )u z
0i sin( 0t
0)
dt
dt
elle est opposée à la puissance de l’induction e.i = 0 i sin( 0 t - ).( 0 - d /dt)
3) En régime permanent, l’équation électrique est découplée de l’équation mécanique. C’est une équation
linéaire dont le second membre est une fonction sinusoïdale de pulsation
= 0Elle s’écrit :
di
Ri L
0 sin( t )
dt
la solution en régime forcé ,c'est à dire i= i m sin( t
)
se détermine en utilisant la représentation complexe, on trouve
L
)
R
R² L² ²
introduisons cette expression dans l'équation mécanique en régime permanent on trouve
0
im
(t)=
0
I sin( 0t
et
arctan(
t)
²
1
0²
sin( t
) sin( t )
cos( ) cos( t
)
R² L² ²
R² L² ² 2
compte tenu de ce que la dérivée seconde de est considérée nulle en régime permanent
(t)=
0
La valeur moyenne du couple dans le temps a pour valeur
( 0
) 0 ²R
X)
1
0²
0²
0 (1
sin( t
) sin( t )
cos
les
2( R ² L ²( 0
)²) 1 ²(1 X )²
R² L² ²
R² L² ² 2
variations de la valeur moyenne du couple en fonction de sont représentées ci-dessous pour >1 sur
l’intervalle 0 0 pour lequel le couple moyen est positif.
On admettra que dans la pratique >1
30
C’est le système extérieur qui impose le couple et donc la vitesse de rotation
Si le couple moyen est nul alors = 0 le moteur tourne à la vitesse du champ excitateur
Sinon < 0 . Parmi les deux valeurs possibles de seule la plus grande correspond un état stable car le
couple moyen y est alors une fonction décroissante de la vitesse de rotation ; en effet une augmentation de
la vitesse se traduit par une diminution du couple moteur ce qui a pour effet de ramener la vitesse à sa
valeur d’équilibre.
< >
Etat stable
Point de
fonctionnement
0
La puissance mécanique moyenne fournie par le moteur est <P méca>=< > elle s’annule en
= 0 et
0
<P>
Couple nul
0
Remarques :
Dans un moteur asynchrone les forces de Laplace et le champ électromoteur s’exercent tous les deux dans la
partie mobile le rotor
31
Moteur Synchrone : le stator est l’inducteur
Dans une machine synchrone il n’y a pas de commutation (comme il y en a dans les machines à
courant continu) mais il y a des balais pour alimenter le rotor
Les trois bobines (stator ) présentées lors de l’étude du moteur asynchrone sont toujours alimentées en
triphasé, mais cette fois-ci on place en O un dipôle magnétique de moment M constant en norme (en
pratique bobine alimentée placée dans un plan vertical rotor), on considère qu’il tourne à la vitesse
angulaire dans le plan xOy. Initialement l’angle que fait M avec le champ engendré par les bobines est
noté 0. Calculer le couple moyen subi par le dipôle. A quelle condition est-il non nul ?
a) Dans ce cas étudier le couple en fonction de l’angle initial 0 et indiquer la zone où le système
fonctionne en moteur ainsi que sa limite d’utilisation, c’est à dire le couple maximal qu’il peut
fournir.
b) Un tel moteur peut-il démarrer seul, éventuellement à vide ?
La machine réciproque du moteur synchrone est l’alternateur : Le stator est l’induit dans un
alternateur
Balais qui
Apportent le
courant et le
récupèrent
remarque si on supprime les courants polyphasés qui alimentent le moteur synchrone et que l’on fait tourner
le rotor à la vitesse angulaire , il apparaît un courant triphasé dans le stator qui devient l’induit, la machine
réciproque du moteur synchrone est l’alternateur. B induit est en retard sur M inducteur = rotor, <0 la rotation
est freinée par le couple = MB sin <0
32
Correction du moteur synchrone
3
B0 (cos tex sin tey ) le couple instantané subi parle dipôle est :
2
MB0
(t )
(t)uz M ( t) B( t) 3
sin[(
)t
0] u z
2
sa valeur moyenne est nulle sauf si = auquel cas elle vaut
< > = (3/2) MB0sin 0
max= (3/2) MB0
un tel moteur ne peut donc comme son nom l’indique que tourner à la vitesse de synchronisme
Lorsque
= le couple moyen dépend de l’angle qui reste constant entre M et B
Ses variations en fonction de 0 font apparaître une zone où la puissance
P = < > = (3/2) M B0 sin 0 du couple exercée sur le dipôle est positive
> 0 > 0 ; cette zone correspond à un fonctionnement moteur.
Sous l’effet du champ B
=
On raisonnera désormais en utilisant cette valeur moyenne < > , ce qui donnera une assez bonne idée de
l’évolution de la vitesse de rotation du moteur, si le temps caractérisant l’évolution de est grand devant
la période T = 2 / qui est l’intervalle de temps permettant de définir le couple moyen
< >/ max
stable
1
0/
max
0
0
>0
Laplace est moteur si .
A vide et en négligeant les frottements s’opposant inévitablement à la rotation du dipôle le moteur tourne
à la pulsation avec un angle 0 = 0
Si l’utilisateur lui fait fournir en le soumettant à un couple - 0 sur l’arbre moteur, la valeur de 0
augmente, le moteur se cale ainsi à une valeur de 0 telle que
0 = max sin 0
Il y a en fait deux valeurs de 0 qui permettent de satisfaire l’égalité précédente seule la valeur < /2
correspond à un fonctionnement stable et est observée en pratique
Si pour une cause quelconque le rotor donc M ralenti donc prend un peu de retard sur le champ donc
augmente le couple moteur moyen augmente ce qui accélère le rotor et rétabli le décalage à sa valeur
initiale
0
33
Le moteur synchrone ne démarre a priori pas seul, même à vide. Il faut le lancer à = pour qu’il puisse
fonctionner. En fait les progrès en électronique ont permis de créer des champs magnétiques tournants de
pulsation ajustable à l’intérieur de moteurs aussi puissants que ceux des motrices du TGV atlantique.
Celles–ci fonctionnent avec des moteurs synchrones auto-pilotés alimentés en courant de pulsation
correspondant à la vitesse du train
Moteurs pas à pas
Il existe encore les moteurs pas à pas ou des petites bobines sont alimentées à tour de rôle pour qu’un
aimant du rotor vienne se placer devant déterminant ainsi autant de positions angulaires possibles qu’il y a
de bobines
Un exemple d’évolution technologique : les moteurs de T.G.V
L’obtention d’une tension d’amplitude variable à partir d’une tension d’amplitude constante est un
problème fondamental pour l’alimentation des moteurs électriques. L’utilisation de transformateurs à
secondaire variable ou de rhéostats n’est pas satisfaisante au niveau du rendement ou des puissances mises
en jeu . C’est l’essor de l’électronique de puissance dans les années 1960, du thyristor en continu et du
triac en alternatif et des transistors de commutation qui a permis une utilisation plus performante des
moteurs classiques et la mise au point de nouveaux types de moteurs.
Prenons par exemple l’évolution des moteurs de T.G.V elle a suivi celle des composants électroniques :
- moteur continu-série pour le T.G.V sud-est,
- moteur synchrone autopiloté pour le T.G.V atlantique. Le moteur synchrone ne démarre a priori pas seul,
même à vide. Il faut le lancer à = pour qu’il puisse fonctionner. En fait les progrès en électronique ont
permis de créer des champs magnétiques tournants de pulsation ajustable à l’intérieur de moteurs aussi
puissants que ceux des motrices du TGV atlantique. Celles–ci fonctionnent avec des moteurs synchrones
auto-pilotés alimentés en courant de pulsation correspondant à la vitesse du train
- et moteur asynchrone pour le T.G.V trans manche.
Ainsi grâce à l’électronique qui rend l’asservissement du moteur asynchrone possible il est possible de
maîtriser la vitesse de rotation du moteur donc la vitesse du train.
Historiquement les diesels des locomotives entraînaient des moteurs à courant continu car leur souplesse d’utilisation permet en
faisant varier i de faire varier continûment sans qu’il soit nécessaire d’utiliser une boite de vitesse.
34
Machine à courant continu à entrefer plan
http://sitelec.org/cours/abati/axem.htm
Ce type de moteur est un descendant de la "roue de Barlow" qui fut le premier moteur électrique (1822).
ROUE DE BARLOW
Une roue en matière conductrice, crantée sur sa périphérie et solidaire d'un axe, est placée dans un champ magnétique crée par
un électro-aimant en "fer à cheval". Le courant est amené dans la roue par un frotteur sur l'axe et par une cuvette contenant du
mercure.
Dans la pratique, le développement des moteurs à entrefer plan a été longtemps freiné pour les raisons suivantes:
- nécessité d'un champ magnétique intense,
- entrefer suffisant pour permettre la rotation,
- difficultés d'évacuation des pertes joules.
A l'heure actuelle, il est possible de créer des champs magnétiques intenses à l'aide d'aimants permanents (pas de pertes joules
dues à l'excitation). En 1960, le premier moteur "Axem" est fabriqué par C.E.M. son bobinage est exécuté suivant la technique du
circuit imprimé.
PRINCIPE DU MOTEUR AXEM :C'est un moteur à courant continu dont le rotor est un disque mince portant un
bobinage lamellaire formé de conducteurs libres (sans fer) et dont le stator est pourvu d'aimants permanents, permettant la
production d'un champ magnétique intense. Le courant est amené par une ou plusieurs paires de balais frottant directement sur le
bobinage.
AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS DE CE TYPE DE STRUCTURE
- moteur à courant continu: variation de vitesse à faible coût,
- pas de bobinage d'excitation: pas de pertes joules inducteur,
- pas de fer au rotor: inductance faible, constante de temps électrique faible,
- très large gamme de vitesse due au grand nombre de lames au collecteur et à l'absence de fer au rotor,
- très faible réaction d'induit: les balais peuvent être calés sur la ligne neutre, ce qui permet les deux sens de rotation,
- très faible moment d'inertie dû à la faible masse du rotor: la constante de temps mécanique est très faible,
- moteur court et léger,
- fortes densités de courant dans le bobinage (circuit imprimé), ce qui permet de diminuer la masse de cuivre,
- inertie thermique faible qui ne permet pas au moteur de tolérer des surcharges trop longues.
Remarque importante: le démontage du moteur (augmentation de l'entrefer) a pour conséquence une désaimantation. Cette
opération est donc à proscrire, lorsqu'on ne dispose pas du matériel nécessaire à une ré-aimantation du moteur après remontage.
35
Un bobinage très ingénieux des circuits électriques radiaux du rotor associé à une alternance de s pôles des aimants, permet une
alimentation uniquement à partir des balais, en particulier pour la gestion du retour du courant arrivé en bout de rotor. Un exemple
est donné dans le schéma suivant :
36
Roue de Barlow : Un exemple pédagogique de moteur à courant continu
On considère le dispositif suivant : une roue conductrice du courant électrique de rayon a mobile sans frottement autour d’un axe
z trempe dans sa partie inférieure dans un bac de mercure. La résistance électrique de la roue est négligeable, le circuit est bouclé
sur un générateur de f.e.m E et sur un conducteur ohmique de résistance R.La roue est plongée dans un champ magnétique
uniforme B pointant dans le sens opposé à l’axe des z.
B = -B uz avec B>0. On note J le moment d’inertie de la roue.
Le sens de mesure de est celui de z . Si on dirige le pouce de la main droite dans le sens de z le sens positif de mesure de la
f.e.m d’induction e est le sens de la concavité de la main droite soit ici le même sens que celui de E.
Sens + de rotation
Cohérent avec le sens de z
z
Sens de mesure de
= sens de z
O
B
E
A
On remarque que avec les conventions choisies ici il se trouve que
Sens de mesure de e = -d
avec le sens de z
/dt cohérent
R
<0
1) On admet que les forces de Laplace subies par le disque sont équivalentes à celles que subirait un conducteur filiforme
confondu avec le rayon OA et parcouru par un courant i. calculer le moment M des forces de Laplace et montrer que M>0
La force de Laplace idl ^ B (dl dans le sens de i>0) fait tourner la roue dans le sens + de rotation on a alors une f.e.m d’induction
e qui doit être contre électromotrice on doit trouver e<0 compte tenu de E>0
On admet que la roue est équivalente à un générateur de résistance négligeable et de force électromotrice e (On parlera plutôt de
force contre électromotrice car e sera <0) . En exploitant le caractère énergiquement parfait du couplage électromécanique établir
l’expression de e en fonction de B,a et .
Réponse :
conversion électromécanique
puissances opposées : e*i = - M
calculer le moment M des forces de Laplace
M>0
>0 i>0
donc e < 0
z
z
O
B
B
A
de même d
O
E
A
E
R
R
>0 car l’aire du circuit complet diminue dS<0 et que B<0 e = - d /dt <0
2) Etablir l’équation électrique du problème
3) Etablir l’équation mécanique du problème en supposant que la roue est soumise en outre à un couple de frottements de la forme
-f
4) Etablir (t) et commenter l’influence de B. Etablir i(t) . Le courant est-il continu à l’instant initial? Commenter.
5) Effectuer un bilan énergétique.
6)Montrer que le fait d’avoir considéré une seule ligne de courant transportant l’intégralité du courant ne modifie pas le mo ment
des forces de Laplace par rapport au modèle plus réaliste où l’on considérerait que le courant est transporté par plusieurs lignes
reliant O à A et repérées en coordonnées polaires, chacune de ces lignes transportant la fraction d’intensité di
37
1) f.c.e.m
Première méthode :
Pour un élément de longueur centré à une distance r du centre de la roue dl = dOM =dr ur on a une force
élémentaire dF = i dl ^ B = i B dr u
Son moment est donc d = (OM^dF) .uz = i B dr
Par intégration : = iBa²/2
La puissance du champ électromoteur e.i , étant opposée à la puissance des forces de Laplace
, on a :
e*i = = -Ba²i /2
soit :
e = -Ba² /2
moteur ei<0
>0
remarque Ei>0
Deuxième méthode :
a²
dt d
BdAire
2
On a 3 variables il nous faut deux équations différentielles
roue de Barlow à rayons dAire
d
=
a adt
B et e
2
d
dt
Le théorème du moment cinétique donne alors l’équation mécanique du système
J d /dt = - f = iBa²/2 –f
Dans i , il y a l’induction
2) Equation électrique
l’équation électrique qui décrit le système en convention générateur E + e - Ri = 0 se réduit donc à :
Ri = E + e = E – B a² /2
3) Equation mécanique
Reportons l’expression de i qui s’en déduit dans l’équation mécanique, on trouve ;
J d /dt = - f + Ba²/2 ( E/R - Ba² /(2R) )
Soit d /dt + =
Avec 1/ = f/J + B²a 4/(4RJ) et
= 2Ba²E/(4Rf + B²a4)
4) résolution régime transitoire
La condition initiale est que (0)=0 on a donc (t) =
(1-e-t/ )
Comme i = E/R - Ba² /(2R)
on trouve que i(0+)= E/R alors que i(0-)=0
Cela est du à une lacune de la modélisation, si on avait donné une inductance propre au circuit il n’en
aurait pas été ainsi.
On trouve encore dans ce modèle i = 4 Ef /(B²a4 + 4Rf)
5) Bilan énergétique
Si on multiplie l’équation électrique par i et l’équation mécanique par on trouve
Ri² = Ei – B i a² /2
J d /dt = iBa²/2 –f ²
Soit en combinant Ei = Ri² + f ² + d/dt ( ½ J ²)
La puissance électrique du générateur sert à augmenter l’énergie cinétique de rotation et à nourrir les
effets dissipatifs électrique ou mécanique
En régime permanent on a Ei = Ri²+f ²
6) Lignes de courants quelconques
Considérons maintenant une ligne de courant qui n’est pas rectiligne
On a : d²F= dI (dl ^B)
soit
d² = OM^ dI (dl ^ B)
dl = dr ur + r d u
dl ^B = (dr ur + r d u )^(-Buz) =(dr B uz ^ur + r Bd uz ^u ) =(dr B u - r Bd ur )
d² = r ur ^ dI (dr B u - r Bd ur ) = dI rdr B uz
On intègre ensuite sur r et sur les lignes de courant
38
Machine à courant continu, machine réversible
Description d’une machine multipolaire
On trouve dans une machine à courant continu, un circuit magnétique et deux circuits électriques le circuit
de l’inducteur et le circuit de l’induit, ainsi qu’un dispositif de commutation le collecteur avec les balais qui
frottent sur lui. Le premier circuit électrique le stator est solidaire du bâti il s’agit de l’inducteur. Le second
circuit électrique Rotor est l’induit. Dans une dynamo et dans un moteur c’est toujours la même chose
l’inducteur est le stator et l’induit est le rotor puisqu’on a de l’induction motionelle.
La machine peut être bipolaire ou multipolaire
Les machines de faible puissance ne possèdent pas de circuit inducteur, le champ magnétique est créé par
des aimants permanents ( ferrites, samarium, cobalt …)
Il existe plusieurs possibilités de branchement
Machine à excitation indépendante dont le circuit inducteur est séparé du circuit de l’induit
Machine à excitation série, dont le circuit inducteur est en série avec le circuit de l’induit. Les
moteurs dits universels ( électroménager) sont de ce type on peut les utiliser avec une alimentation continue
ou même alternative
Machine à excitation parallèle ou shunt dont le circuit inducteur est en parallèle sur le circuit de
l’induit
On raconte que la découverte de la réversibilité de la dynamo fut accidentelle : lors de l’exposition
internationale d’électricité à Vienne en 1873, deux dynamos furent branchées par erreur en parallèle. En
mettant en route le moteur d’entraînement de la première dynamo, l’ingénieur Fontaine dit démarrer la
deuxième dynamo.
39
Principe du moteur à courant continu dipolaire énoncé
Une bobine, constituée de N spires enroulées sur
un cadre rectangulaire de côtés a et b est en
rotation autour d’un axe . Sa position est repérée
par l’angle . Sa résistance totale est R et son
inductance L. Elle est reliée à une source de
tension E par des contacts H et K qui commutent à
chaque demi-tour. L’extrémité K de la bobine est
reliée au pôle + si sin >0 et au pôle - si sin <0.
Le système mobile a un moment d’inertie J par
rapport à l’axe . Un aimant permanent produit un
champ magnétique B que nous supposons radial et
de norme B uniforme au niveau des fils MN et PQ.
On se rapproche de cette structure radiale en jouant
sur la forme des pôles et en plaçant un cylindre de
fer sur l’axe de la bobine. Il existe bien entendu
une zone de transition où le champ n’a pas cette
structure, mais nous n’en tiendrons pas compte
dans cette étude. Un système mécanique S exerce
sur l’axe un couple résistant noté (- ) Nous
supposerons que
- est constant.
Equation mécanique : m.q : J d² /dt² +
Equation électrique : m.q
= i
: i + (L/R) di/dt + (
0
0
avec
0=
2nabB
/R)d /dt = E/R
40
Régime transitoire
m.q : i (t) = (Jd² /dt²+ )/
0=
(Jd /dt+ )/
0
, puis obtenir l’équation différentielle en (t)=d /dt
E 0
d
L d²
0²
dt R dt ²
JR
JR J
(L/R) d² /dt² est en pratique très faible devant d /dt , aussi nous négligeons ce terme
résoudre l’eq différentielle
Régime permanent
Représenter la puissance mécanique en fonction de la vitesse de rotation
=
max/2
=0
= max =
E 0/ R
max/2
Fonctionnement en générateur de courant (dynamo):
Ce dispositif peut également fonctionner en générateur. On se place en régime permanent uniquement.
Supposons maintenant qu’un opérateur impose un régime permanent de rotation à vitesse constante 0 en
exerçant un couple moteur ’ ( il n’y a plus de - )
Remplaçons la source par une résistance R0
1) Que devient l’équation électrique toujours en négligeant L
2) Que devient l’équation mécanique
3) Effectuer un bilan énergétique traduisant la conversion
41
Principe du moteur à courant continu dipolaire correction
Une bobine, constituée de N spires enroulées sur
un cadre rectangulaire de côtés a et b est en
rotation autour d’un axe . Sa position est repérée
par l’angle . Sa résistance totale est R et son
inductance L. Elle est reliée à une source de
tension E par des contacts H et K qui commutent à
chaque demi-tour. L’extrémité K de la bobine est
reliée au pôle + si sin >0 et au pôle - si sin <0.
Le système mobile a un moment d’inertie J par
rapport à l’axe . Un aimant permanent produit un
champ magnétique B que nous supposons radial et
de norme B uniforme au niveau des fils MN et PQ.
On se rapproche de cette structure radiale en jouant
sur la forme des pôles et en plaçant un cylindre de
fer sur l’axe de la bobine. Il existe bien entendu
une zone de transition où le champ n’a pas cette
structure, mais nous n’en tiendrons pas compte
dans cette étude. Un système mécanique S exerce
sur l’axe un couple résistant noté (- ) Nous
supposerons que est constant.
Equation mécanique
Les forces de Laplace sur les côtés NP et QM sont parallèles à . Leur moment par rapport à est donc nul.
Les forces de Laplace sur les côtés MN et PQ sont égales à Bib. En raison de la commutation, leur moment a
toujours le même signe M = B i b a / 2
Au total, M Laplace = 2 N B i b a / 2 = i
0
où
0a
la dimension d’un flux
42
Il en résulte l’équation différentielle
avec 0 = 2 n a b B
J d² /dt² = MLaplace -
soit J d² /dt² +
= i
0
Equation électrique
La puissance des actions de LAPLACE est
- eLorentz . i = PLap1ace = MLap1ace d /dt = i 0 d /dt
Nous en déduisons l’expression de la f.e.m. de Lorentz: e Lorentz = - 0 d /dt <0 dite force contre
électromotrice.
Du point de vue électrocinétique, la rotation équivaut à un générateur idéal de tension de f.e.m : - eLorentz = 0
d /dt > 0 opposée au courant qui engendre cette rotation.
L’équation électrique s’écrit E + eLorentz -Ri - L di = 0 convention générateur soit
Ri + L di/dt + 0 d /dt = E.
i + (L/R) di/dt + ( 0 /R)d /dt = E/R
Régime transitoire
En éliminant i (t) = (Jd² /dt²+ )/
J
i (t )
d
dt
0
dans
i (t )
0
0=
(Jd /dt+ )/
L di
R dt
d
R dt
0
0
, nous obtenons une équation différentielle en (t)=d /dt
E
R
d²
J
E 0
L dt ²
E
d
L d²
0
0²
R
R
R
dt R dt ²
JR
JR J
0
0
0
(L/R) d² /dt² est en pratique très faible devant d /dt , aussi nous négligeons ce terme et l’équation se
E 0
d
0²
simplifie en
dt
JR
JR J
C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Si est constant et si le moteur est arrêté à t = 0,
les solutions sont de la forme :
= L ( 1- exp (-t / )) avec L = E/ 0 – R / 0² et
= RJ/ 0²
Pendant ce régime transitoire, le courant i = (E- 0 d /dt)/R décroît de E/R
à E/R - 0 (E/ 0 – R / 0²) = / 0
J
d
dt
Régime permanent
En régime permanent, le moment des forces de Laplace, opposé au couple résistant, est égal à
angulaire limite L est une fonction affine décroissante de
L = E/ 0 – R / 0²
La valeur maximale max = E/ 0 est obtenue « à vide » pour = 0 donc
R
0²
qui peut aussi s'inverser comme
L
max
max
L
R
0²
Le couple maximum max =E /(R 0) correspond à L = 0
Si >( 0²/R) max =( 0²/R) E/ 0 = E /(R 0) alors le moteur ne peut pas tourner.
La puissance mécanique Pméca =
²
0²
Pméca = 0
max
L
L
R
R
L
max
fournie par le moteur est:
0² E
L
1
1
L
R
max
0
E
1
R
0
L
L
max
La puissance maximale Pmax (qui correspond à dPmax /d = 0) est obtenue pour
=
et la vitesse
L
L
max
max
/2
Remarque :Nous pourrions également déterminer Pméca par un bilan énergétique
Pméca + Ri² = E.i avec i = (E - 0 d /dt)/R
=
max/2
43
=0
= max =
E 0/ R
max/2
Fonctionnement en générateur de courant (dynamo):
Ce dispositif peut également fonctionner en générateur. On se place en régime permanent uniquement.
Supposons maintenant qu’un opérateur impose un régime permanent de rotation à vitesse constante 0 en
exerçant un couple moteur ’ ( il n’y a plus de - )
Remplaçons la source par une résistance R0
L’équation électrique devient, toujours en négligeant L : i =- 0 0/(R+r)
L’équation mécanique donne ’ = - i 0, soit :
’= 0² 0 /(R+r)
Du point de vue mécanique, le couplage se traduit par un couple de frottement proportionnel à la vitesse qui
dépend de la résistance R0
Du point de vue électrique, le système est équivalent à un générateur de THÉVENIN de f.e.m. E(t) = 0 0
Si nous pouvions faire abstraction des résistances et des frottements internes, le rendement énergétique de ces
convertisseurs serait de 100 %. En effet, la puissance de l’opérateur, opposée en moyenne à celle des actions
de LAPLACE, est égale à la puissance de la f.e.m. du générateur. Dans l’exemple étudié, la puissance est
dissipée dans la résistance de charge, et nous trouvons bien
’ 0 = (R0 + R) i2
44
lecture moteur roue
Le moteur roue est un moteur électrique inversé le rotor qui se situe d’habitude au centre se situe ici en périphérie alors qu
le stator qui se situe normalement en périphérie est situé au centre du moteur et de la roue
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Hendrik Antoon Lorentz
Hendrik Antoon Lorentz en 1916
Hendrik Antoon Lorentz (18 juillet 1853 à Arnhem, Pays-Bas - 4 février 1928 à Haarlem, Pays-Bas) est un
physicien néerlandais qui s'est démarqué par ses travaux théoriques sur la nature de la lumière et la
constitution de la matière. Il est co-lauréat avec Pieter Zeeman du prix Nobel de physique de 19021.
La majorité de ses travaux portèrent sur l'électromagnétisme. Il a laissé son nom aux transformations de
Lorentz qui sont à la base de la théorie de la relativité restreinte. Elles ont été présentées par Lorentz dans le
but d'expliquer les résultats de l'expérience de Michelson-Morley par une contraction réelle des longueurs
dans le sens du mouvement, ce qui n'est d'ailleurs pas compatible avec l'interprétation moderne de la théorie
de la relativité restreinte qui affirme seulement que la mesure d'une distance ou d'une durée dépend du
référentiel dans lequel se fait cette mesure et n'a donc pas de caractère absolu. La théorie de Lorentz implique
également l'existence d'un référentiel absolu, le seul où les lois de l'électromagnétisme seraient applicables et
d'un milieu, l'éther, qui servirait de support à la propagation des ondes électromagnétiques et qui serait fixe
dans ce référentiel absolu.
Lorentz partagea, en 1902, le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman « en reconnaissance des
extraordinaires services qu'ils ont rendus par leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les
phénomènes radiatifs1 ».
Il a reçu en 1908 la Médaille Rumford. Il est lauréat de la médaille Franklin en 1917 pour ses travaux sur la
nature de la lumière et la constitution de la matière. Il a également reçu la médaille Copley en 1918.
En son honneur, l'Académie royale des arts et des sciences néerlandaise, KNAW, a fondé en 1926 la Médaille
Lorentz.
Transformations de Lorentz
Transformations de Lorentz du champ électromagnétique
Force de Lorentz
Facteur de Lorentz
Fonction lorentzienne
Groupe de Lorentz | Covariance de Lorentz | Invariance de Lorentz,
Médaille Lorentz
Ne pas confondre avec : Konrad Zacharias Lorenz (Vienne, 7 novembre 1903 - Vienne,
27 février 1989), plus connu sous le nom de Konrad Lorenz, est un biologiste et zoologiste autrichien
titulaire du prix Nobel de physiologie ou médecine. Lorenz a étudié les comportements des animaux
sauvages et domestiques. Il a écrit des livres qui ont touché un large public tels que Il parlait avec les
mammifères, les oiseaux et les poissons ou L'Agression, une histoire naturelle du mal.
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Heinrich Lenz (physicien)
Heinrich Friedrich Emil Lenz est un physicien allemand de la Baltique, sujet de l'Empire russe né à Dorpat1,
dans le gouvernement d'Estland2, faisant partie de l'Empire russe, le 12 février 1804, et mort à Rome le 10
février 1865.
Il est professeur puis recteur à l'université impériale de Saint-Pétersbourg, où il refait les expériences de
Faraday. Son nom est resté attaché à la loi sur l'interaction courant électrique - champ magnétique.
De 1823 à 1826, il voyagea à travers le monde en compagnie du navigateur Otto von Kotzebue. Il participe à
une expédition dans le Caucase en 1829, avec le botaniste Carl Anton von Meyer, l'entomologiste français
Édouard Ménétries (conservateur au musée zoologique de Saint-Pétersbourg) et Adolph Theodor Kupffer.
Il observe en 1833 l'augmentation de la résistance des métaux avec la température et étudie l'effet Peltier.
Il décéda d'un accident vasculaire cérébral.
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