Algèbre linéaire I & II Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Rafael Guglielmetti, Muriel Galley http ://homeweb1.unifr.ch/guglielr/pub/teaching.html Série de révision Pour les révisions, vous pouvez vous baser sur cette série, toutes ( !) les séries d'exercice (en particulier pour des exercices plus théoriques), les tests, les complément et, bien sûr, le cours Ce corrigé est une version brouillon ; les réponses remplaceront au fur et à mesure les énoncés. Merci de m'indiquer tout élément bizarre et/ou incorrect. Les réponses sont données de manière courte ; ils est évident que vous devez être capables de donner les détails. Parfois, il s'agit simplement d'un hint. Remarque : Exercice 1 1, 3, 5 et 7. (Structures algébriques) (Produit d'espaces vectoriels) dim V × W = dim V · dim W . Exercice 2 (Sous-espaces et sommes directes) Pensez aux fonctions suivantes : Exercice 3 f (x) + f (−x) , 2 f (x) − f (−x) . 2 (Sous-espaces, sommes directes et bases) Pensez aux matrices suivantes : A + AT A − AT , . 2 2 Exercice 4 (Indépendance linéaire et polynômes) Calcul direct. Exercice 5 (Transformations linéaires et orthogonales du plan) b = 0 ; orthogonale. Exercice 6 1. linéaire si et seulement si 2. linéaire, orthogonale. 3. linéaire, orthogonale. 4. linéaire, pas orthogonale si λ 6= ±1. (Noyau et image) On considère l'applicationf : R3 −→ R4 dénie de la manière suivante : Exercice 7 f (x, y, z) = (2x − 2y + 4z, 5x − 4y + 7z, 3x − 2y + 3z, x − y + 2z). 1. ; 2. 2 5 3 1 −2 −4 −2 −1 4 7 3 2 3. 2 4. Base du noyau, apr exemple : {(1, 3, 1)}. Base de l'image, par exemple : {(2, 5, 3, 1), (−2, −4, −2, −1)}. (Noyau, injectivité) Soient V et W deux K -espaces vectoriels et f : V −→ W une application linéaire. Exercice 8 1. ; 2. ; 3. On ne peut rien dire. 4. ; (Gauss-Jordan) Soit b = (−16, 23, 0, 0, 0) et soit W = span (1, −2, 1, 0, 0), (1, −2, 0, 1, 0), (5, −6, 0, 0, 1) . Exercice 9 Les solutions du système sont exactement b + w, avec w ∈ W . (Système d'équation à paramètres et nombre de solutions) On a : Si a = 0 et b 6= −1 : 0 solutions. Si a = 0 et b = −1 : une innité de solutions. Autrement : exactement une solution. Exercice 10 (Un espace de fonctions) Soient f1 (x) = cos x, f2 (x) = sin x deux éléments de l'espace vectoriel C 0 (R, R). Soit V l'espace engendré par f1 et f2 . Exercice 11 1. ; 2. ; 0 1 3. . −1 0 4. Le noyau est trivial donc sa base est Bker = ∅ (ne mettez pas le vecteur 0 dans la base !). Par le théorème du rang, on peut prendre Bim = {f1 , f2 }. Exercice 12 On a : A−1 Exercice 13 On a det A = (c − a)(b − a)(c − b). 3 −5 3 = −1 3 −2 . 0 −1 1 Exercice 14 On considère la matrice 1 1−b 0 b 0 , A= 0 1+b 1+b b avec b ∈ R. On trouve pA (t) = (b − t)2 (1 − t). On a donc les valeurs propres 1 et b. On va distinguer deux cas. b = 1 Dans ce cas, on remarque que la multiplicité géométrique de l'unique valeur propre 1 est 2. Une base de le'space propre est {(1, −1, 0), (0, 0, 1)}. La matrice n'est donc pas diagonalisable. b 6= 1 La multiplicité géométrique de la valeur propre 1 est 1 et un vecteur propre pour la valeur propre 1 est donné par (1 − b, 0, 1 + b). La multiplicité géométrique de la valeur propre b est 2. Une base pour l'espace propre est, par exemple, {(1, −1, 0), (0, 0, 1)}. La matrice est donc diagonalisable. Exercice 15 Le polynôme caractéristique est pA (t) = (t − 2)2 · (6 − t) est la matrice est diagonalisable. Exercice 16 On considère la matrice 1 0 0 A = 0 cos α − sin α , 0 sin α cos α avec α 6= kπ , pour k ∈ Z. 1. Non. Puisqu'il s'agit d'une rotation non-triviale, on s'y attendait. Formellement, le polynôme caractéristique n'est pas scindé. 2. Oui, On a trois valeurs propres distictes : λ = 1, λ = cos α + i sin α et λ = cos α − i sin α. Exercice 17 Utilisez le binôme de Newton (pourquoi peut-on le faire ?). Exercice 18 Quel peut être le polynôme minimal de F ? (Polynômes et diagonalisation) Soit V un R-espace vectoriel de dimension nie et soit T : V −→ V un endomorphisme tel que Exercice 19 (T − idV )2 ◦ (T + 2 · idV ) 6= 0, (T − idV )3 ◦ (T + 2 · idV ) = 0. 1. Non. 2. (t − 2)2 ou (t − 2)2 · (t + 2). (Un polynôme annulateur) Le polynôme caractéristique (Cayley-Hamilton), de degré 2013. Exercice 20 Exercice 21 −1 0 −2 Oui, S = 0 1 0 . 1 0 1 (Espaces caractéristiques) Pour λ = −10 et λ = 20, les espaces propres généralisés sont les espaces propres et on trouve comme vecteurs propres (1, −2, −1, 1) ainsi que (1, 1, 1, 1) dans le deuxième cas. Exercice 22 On a −10 80 140 −110 −170 160 380 −270 . (10 · E4 − A)2 = −10 80 140 −110 310 −80 −340 210 Une base de l'espace propre généralisé pour la valeur propre 10 est alors (2, −5, 3, 0), (−1, 4, 0, 3) . (Formes de Jordan) Il y a 2 matrices possibles (hors permutations des blocs). Exercice 23 (Matrices nilpotentes) Quelles sont les possibilités pour le polynôme minimal ? Ensuite, utilisez la décomposition de Jordan. A permutation des blocs près, vous devriez avoir 5 matrices. Exercice 24 Choisissez toutes les propositions correctes. Exercice 25 Soit V un K-espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et F : V → V un endomorphisme. Alors λ ∈ K est une valeur propre si : 2, 3, 4. Exercice 26 Soit A ∈ M (n × n, K) une matrice carrée avec entrées dans le corps K, n ≥ 1. Alors A est trigonalisable si : 1 (triangulaire inférieure aussi possible !), 3, 4. Exercice 27 Soit V un K-espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et F : V → V un endomorphisme. Alors F possède une valeur propre λ ∈ K si : 1, 3, 4. Exercice 28 Soit A ∈ M (3 × 3, R) une matrice avec A100 = 0. Alors : 2, 3, 4. Exercice 29 Soit F : C8 → C8 une application linéaire avec pF = (t − 2) · (t + 5)4 · (t − 10)3 et MF = (t − 2) · (t + 5)2 · (t − 10)2 . Alors le nombre de possibilités pour la forme normale de Jordan de F est : 2.