Mouvement de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme

Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme
Etudions le mouvement d’un projectile dans une région de l’espace où le champ de pesanteur peut-être considéré
comme uniforme. (repère cartésien)
Système : le projectile
Référentiel : terrestre considéré comme galiléen
Bilan des forces : une fois lancé le projectile est en chute libre et donc soumis qu’à son poids  = m . 
Conditions initiales
:
à t = 0
Deuxième loi de Newton :
= m .   m .  = m .  = 
Projection sur les axes :
Valeur de l’accélération : a = g (une valeur est toujours positive)

Détermination de la vitesse :
a
x
= = 0 donc v
x
est la primitive de a
x
par rapport au temps
donc : v
x
= C
1
C
1
est une constante que l’on trouve grâce aux conditions initiales
à t = 0   = C
1
donc : v
x
= 
a
z
= = - g donc v
z
est la primitive de a
z
par rapport au temps
donc : v
z
= - g × t + C
2
C
2
est une constante que l’on trouve grâce aux conditions
initiales
à t = 0   = - g × 0 + C
2
= C
2
donc : v
z
= 
donc : v
x
= 
v
z
= 
Détermination des coordonnées :
V
x
= donc x est la primitive de v
x
( v
x
=  ) par rapport au temps
Donc : x = v
0
× cos  × t + C
1
’ C
1
’ est une constante que l’on trouve grâce aux conditions initiales
A t = 0 : x = v
0
× cos  × 0 + C
1
’ = C
1
’ = 0 donc C
1
’ = 0 donc
x = v
0
× cos   × t
V
z
= donc z est la primitive de v
z
( v
z
=  ) par rapport au temps
Donc : z = - × t² + v
0
× sin  + C
2
’ C
2
’ est une constante que l’on trouve grâce aux
conditions initiales
A t = 0 : z= h = - × 0² + v
0
× sin  0 + C
2
’ = C
2
’ donc C
2
’ = h donc :
z = -
S
T
× t² + v
0
× sin P
PP
P ×
××
× t
tt
t + h
donc : x = v
0
× cos P
PP
P × t
z = -
S
T
× t² + v
0
× sin P
PP
P ×
××
× t
tt
t + h

Equation de la trajectoire :
Ne dépend que des coordonnées mais pas du temps.
On isole t dans l’équation cartésienne de x, et on le remplace dans celle de z.
x = v
0
× cos P × t  t =
U
V% × WXY Z
on remplace dans z
z = -
Q
R
g × t² + v
0
× sin P × + h  z = - ×  ² + v
0
× sin  + h
z = ×  ² + sin 
Détermination de l’altitude maximale atteinte : z
H
(appelée « flèche »)
Lorsque le projectile passe par H, le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire est donc
horizontal. Donc v
z
= 0
Or v
z
=      = 0  t
H
=
On remplace dans l’expression de z
H
:
Z
H
= - × t
H
² + v
0
× sin  + h
Z
H
= - ×( )
2
+ v
0
× sin  + h =
Détermination de la portée horizontale = distance maximale atteinte = 0B = d sur le
schéma
Alors z
B
= 0 donc z
B
= ×  ² + sin 