BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2016

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
FILIÈRE MP
BANQUE
ÉPREUVE ORALE
DE MATHÉMATIQUES
SESSION 2016
avec corrigés
V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer,
S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller,
M.-F. Lallemand, A. Lluel, O. Lopez, J.-P. Logé, S. Moinier,
P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbron et A. Warin
2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR
Dernière mise à jour : le 06/10/15

Banque épreuve orale de mathématiques session 2016, CCP-MP Mise à jour : 06/10/15
Introduction
L’épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante :
— 25mn de préparation sur table.
— 25mn de passage à l’oral.
Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :
— un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr
— un exercice sur 12 points.
Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents.
Ce document contient les 112 exercices de la banque pour la session 2016 :
— 58 exercices d’analyse ( exercice 1 à exercice 58).
— 36 exercices d’algèbre (exercice 59 à exercice 94).
— 18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).
Dans l’optique d’aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la
banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé.
Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d’année scolaire.
Cela dit, il ne s’agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour
plus de clarté, relevé d’éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d’exercices.
Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d’année, en vous connectant sur le site :
http://ccp.scei-concours.fr
si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.
Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.
Remerciements à David DELAUNAY pour l’autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des
exercices de l’ancienne banque, diffusés sur son site http://mp.cpgedupuydelome.fr
NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes :
•A. Antibi, L. d’Estampes et interrogateurs, Banque d’exercices de mathématiques pour le programme
2003-2014 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701 (2013) 120 exercices.
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701
•D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014.
http://mp.cpgedupuydelome.fr
L’équipe des examinateurs de l’oral de mathématiques des CCP, filière MP.
Contact : Valérie BELLECAVE, coordonnatrice
des oraux de mathématiques des CCP, filière MP.
vbellecav[email protected]
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Banque épreuve orale de mathématiques session 2016, CCP-MP Mise à jour : 06/10/15
MISES À JOUR :
Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site des concours,
en date du 10/06/15.
mise à jour du 06/10/15 :
exercice 2 : énoncé et corrigé modifié largement.
exercice 5 : corrigé complété.
exercice 7 : énoncé et corrigé de la question 2. changés.
exercice 8 corrigé 2.(a) complété par une remarque et notations modifiées.
exercice 9 : fonction fnmodifiée , corrigé 2.(a) modifié avec fn(x)changé en fn(0).
exercice 13 : fonction fnde la question 2. modifiée.
exercice 19 : supprimé et remplacé.
exercice 20 : une question rajoutée (2.(c)).
exercice 21 : corrigé 2. modifié.
exercice 23 corrigé 2., zchangé en x.
exercice 24 : énoncé question 2. modifié.
exercice 26 : énoncé et corrigé, questions renumérotées.
exercice 29 : énoncé question 2. modifiéet corrigé 2. complété.
exercice 34 : énoncé 2. virgules rajoutées.
exercice 39 : énoncé modifié et écourté.
exercice 40 : corrigé de la question 1.(b) complété.
exercice 42 : énoncé modifié.
exercice 47 : supprimé et remplacé.
exercice 49 : énoncé modifié (la continuité de la somme de la série est admise).
exercice 52 : corrigé 3.(c) modifié.
exercice 55 : changement de la numérotation des questions et corrigé 1. modifié.
exercice 59 : énoncé et corrigés modifiés : on ne précise pas que ff endomorphisme et une question rajoutée (3.).
exercice 60 : énoncé modifié et une question rajoutée.
exercice 62 : supprimé et remplacé.
exercice 83 :indication énoncé 3. modifiée.
exercice 86 : hypothèse pnombre premier déplacée et questions renumérotées.
exercice 88 : supprimé et remplacé.
exercice 92 : énoncé 2. modifié et corrigé 2.(b) modifié.
exercice 93 : corrigé 1. complété.
exercice 97 : énoncé et corrigé, notation de la loi du couple modifiée.
exercice 98 : énoncé modifié : dans la question 2.(b), l’égalité n−i
k−in i=k in kest donnée et admise.
exercice 102 : énoncé question 2.(b) modifié.
exercice 104 : corrigé 2.(b) autre méthode complété et modifié.
exercice 106 : énoncé modifié (une seule des deux lois marginales est demandée et l’autre est donnée mais calcul de
l’espérance de Vest rajouté).
exercice 108 : corrigé 2.(b) modifié.
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BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse
Énoncé exercice 1
1. On considère deux suites numériques (un)n∈Net (vn)n∈Ntelles que (vn)n∈Nest non nulle à partir d’un
certain rang et un∼
+∞vn.
Démontrer que unet vnsont de même signe à partir d’un certain rang.
2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un=sh 1
n−tan 1 n.
Corrigé exercice 1
1. Par hypothèse, ∃N0∈N/∀n∈N, n >N0=⇒vn6= 0.
Ainsi la suite un
vnest définie à partir du rang N0.
De plus, comme un∼
+∞vn, on a lim n→+∞
un
vn
= 1.
Alors, ∀ε > 0,∃N∈N/N >N0et ∀n∈N, n >N=⇒
un
vn−16ε. (1)
Prenons ε=1
2. Fixons un entier Nvérifiant (1).
Ainsi, ∀n∈N, n >N=⇒
un
vn−161 2.
C’est-à-dire, ∀n∈N, n >N=⇒ −1
26un vn−161 2.
On en déduit que ∀n∈N, n >N=⇒un
vn
>1
2.
Et donc, ∀n∈N, n >N=⇒un
vn
>0.
Ce qui implique que unet vnsont de même signe à partir du rang N.
2. Au voisinage de +∞, sh(1
n) = 1 n+1 6n3+o1 n3et tan 1 n=1 n+1 3n3+o1 n3. Donc un∼
+∞−1
6n3.
On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang, unest négatif.
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EXERCICE 2 analyse
Énoncé exercice 2
On pose f(x) = 3x+ 7
(x+ 1)2.
1. Décomposer f(x)en éléments simples.
2. En déduire que fest développable en série entière sur un intervalle du type ]−r, r[(où r > 0).
Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validité Dde ce
développement en série entière.
3. (a) Soit Panxnune série entière de rayon R > 0.
On pose, pour tout x∈]−R, R[,g(x) =
+∞
X
n=0
anxn.
Exprimer, pour tout entier p, en le prouvant, apen fonction de g(p)(0).
(b) En déduire le développement limité de fà l’ordre 3 au vosinage de 0.
Corrigé exercice 2
1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve :
f(x) = 3
x+ 1 +4 (x+ 1)2.
2. D’après le cours, x7−→ 1
x+ 1 et x7−→ 1 (x+ 1)2sont développables en série entière à l’origine.
De plus, on a ∀x∈]−1,1[,1
1 + x=
+∞
P
n=0
(−1)nxn.
Et, ∀x∈]−1,1[,1
(1 + x)2=
+∞
P
n=1
(−1)n+1nxn−1( obtenu par dérivation du développement précédent).
On en déduit que fest développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en
série entière.
Et ∀x∈]−1; 1[,f(x)=3
+∞
P
n=0
(−1)nxn+ 4
+∞
P
n=0
(−1)n(n+ 1)xn.
C’est-à-dire : ∀x∈]−1; 1[,f(x) =
+∞
X
n=0
(4n+ 7)(−1)nxn.
Notons Dle domaine de validité du développement en série entière de f.
D’après ce qui précéde, ]−1; 1[ ⊂D.
Notons Rle rayon de convergence de la série entière X(4n+ 7)(−1)nxn.
Posons, pour tout entier naturel n,an= (4n+ 7)(−1)n.
On a : ∀n∈N,
an+1
an=4n+ 11 4n+ 7 . Donc lim
n→+∞
an+1
an= 1.
Donc, d’après la règle de d’Alembert pour les séries entières, R= 1.
On en déduit que D⊂[−1,1].
De plus, pour x= 1 et x=−1,lim
n→+∞|anxn|= +∞donc X(4n+ 7)(−1)nxndiverge grossièrement.
Donc 16∈ Det −16∈ D.
On en déduit que D= ]−1,1[.
3. (a) Soit Panxnune série entière de rayon R > 0.
On pose, pour tout x∈]−R, R[,g(x) =
+∞
X
n=0
anxn.
D’après le cours, gest de classe C∞sur ]−R, R[.
De plus, ∀x∈]−R, R[,
g0(x) =
+∞
X
n=1
nanxn−1=
+∞
X
n=0
(n+ 1)an+1xn
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