M4 Mouvement d`une particule chargée dans un champ électrique E

M4 Mouvement d’une particule chargée dans un champ
~ ou dans un champ magnétique B
~
électrique E
PCSI 2016 – 2017
I Produit vectoriel
~ noté ~u ∧ ~v. Le vecteur
Le produit vectoriel d’un vecteur ~u avec un vecteur ~v donne un vecteur w
résultant possède les propriétés suivantes :
— direction : orthogonale à ~u et ~v ; très important
— sens : tel que ~u, ~v, w
~ forme un trièdre direct (comme vu en SI)
— norme :
k~u ∧ vk = k~ukk~v k sin(~u,~v )
(en particulier, le produit vectoriel de deux
vecteurs colinéaires est le vecteur nul)
Le produit vectoriel est une opération linéaire à gauche et linéaire à
droite , c’est à dire :
∧
~ex
~ey
~ez
~
~
e
0
~
e
−~
ey
x
z
(λ~a + µ~b) ∧ c = λ~a ∧ ~c + µ~b ∧ ~c
~0
~ey −~ez
~ex
~a ∧ (λ~b + µ~c) = λ~a ∧ ~b + µ~a ∧ ~c
~0
~ez ~ey
−~ex
Le produit vectoriel est antisymétrique : ~a ∧ ~b = −~b ∧ ~a.
Les bases usuelles sont orthonormées directes donc ~ex ∧ ~ey = ~ez ( + permutation circulaire).
Il faut donc se rappeler de l’ordre usuel des coordonnées :
— cartésien : (x,y,z)
— cylindro-polaire : (r,θ,z)
— sphérique : (r,θ,φ)
On écrit ensuite les coordonnées dans le bon sens en les "répétant", puis si on fait le produit
vectoriel de deux vecteurs successifs "dans le bon sens" (vers la droite), alors le signe est "+" et le
vecteur est le "suivant", si on est dans le mauvais sens le signe est "-".
Par exemple :
x, y,z ,x,y : ~ez ∧ ~ey = −~ex
x, y,z ,x,y : ~ey ∧ ~ez = +~ex
|{z}
|{z}
←
→
Cartésien : ~ey ∧ ~ex = −~ez
~ez ∧ ~ex = −~ey
Cylindro-polaire : ~er ∧ ~ez = −~eθ
~eθ ∧ ~er = −~ez
Sphérique : ~er ∧ ~eφ = −~eθ
~eθ ∧ ~eφ = ~er
Exemple :
(3~ex + 2~ez ) ∧ 2~ex = 4~ey
(3~ex + 2~ez ) ∧ 3~ey = 9~ez − 6~ex
(3~ex + 2~ez ) ∧ (2~ex + 3~ey ) = 9~ez + 4~ey − 6~ex
(~ex ∧ (~ey − ~ez )) · ~ex = 0 car le résultat du produit scalaire de gauche est orthogonal à ~ex
(4~ex + 2~ez ) ∧ (−2~ex − ~ez ) = ~0 car les deux vecteurs sont colinéaires
En cartésien (en fonction de ẋ, ẏ, ż) : ~v (t) ∧ B~ez = (ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez ) ∧ B~ez = B ẋ(−~ey ) + B ẏ~ex + ~0
En cylindro-polaire dans le cas d’un mouvement circulaire (en fonction des coordonnées et de
leur dérivées) : ~v(t) ∧ (−B)~ez = r θ̇~eθ ∧ (−B)~ez = −Br θ̇~er + ~0
1
~ ou B
~
Particule dans E
M4
II Position du problème, forces en présence
1. Hypothèses de travail
zR
• Étude dans R galiléen.
~
E
• Particule M de masse m et de charge électrique q constantes.
Pour un électron, m ≃ 10−30 kg et q ≃ −1,6.10−19 C.
~v
• Le poids de la particule est toujours négligeable devant
les autres interactions. ODG à faire.
~ assez faible pour que la particule
• Champ électrique E
ne soit pas relativiste (v ≪ c).
~ et magnétique B
~ uniformes (identiques en
• Champs E
tout point de l’espace considéré)
et permanents (indépendants du temps).
~
B
M(m,q)
O
y
x
~ dans un condensateur plan ou B
~ dans un solénoïde infini en régime permanent.
Exemple : E
Définition : M subit la force de LORENTZ
~ + q~v ∧ B
~
F~L = F~e + F~m = q E
Œ
~ selon le signe de q et
• F~e selon ±E
~ et ~v : F~m est toujours normale au déplacement .
• F~m normale au plan défini par B
Exemples :
~
B
~
B
~v
~
B
~v
q>0
F~m
F~m
q<0
F~m
~v
F~m = ~0
~
B
~v
q<0
q>0
~v
q>0
~
B
F~L
~m
F
b
~
E
F~e
2. Aspect Énergétique
Remarque : d’après le théorème de la puissance cinétique,
dEc
~ v + q(~v ∧ B).~
~ v = q E.~
~ v
= P(F~ ) = F~ .~v = q E.~
dt
b
Œ
~ peut modifier Ec et donc la norme de la vitesse de la particule, le champ B
~ ne
Seul le champ E
peut que la dévier.
Pour déterminer la vitesse (en norme) d’une particule, on utilisera donc souvent le théorème de
la puissance cinétique ou un théorème dérivé (énergie cinétique, énergie mécanique ...).
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~ ou B
~
Particule dans E
M4
Énergie potentielle : On considère une particule immobile au point O de charge Q et une particule de charge q (qui sera notre système) à une distance r de la première. Montrer que la partie
électrique de la force de Lorentz dérive d’une énergie potentielle (on utilisera les coordonnées
sphérique)
−
→
−
→
Qqdr
F~ = 4πǫQq0 r2 ~er et dr = dr~er + rdθ~eθ + r sin θdφ~eφ donc F~ · dr = 4πǫ
2
0r
dEp
Qqdr
Qqdr −1
Qqdr
On cherche à résoudre −dEp = δW = 4πǫ0 r2 d’où dr = 4πǫ0 r2 donc Ep (r) = 4πǫ
+ cte. On choisit
0r
comme convention Ep = 0 quand r → ∞ donc cte = 0.
Définition : On définit le potentiel électrique V tel que la variation de V entre deux points
~ sur un contour reliant ces deux points. On
est égale à l’opposé de la circulation de E
~ est à circulation conservative, c’est-à-dire que sa circulation ne dépend pas
admet que E
du chemin choisi.
Z
B
A
→
→
~ ·−
~ ·−
E
dr = − (V (B) − V (A)) ⇔ E
dr = −dV
Cette définition « ressemble » beaucoup à celle donnée pour l’énergie potentielle. On remarque
d’ailleurs qu’en multipliant les deux membres par q la charge de la particule on obtient dans le
membre de gauche la circulation de F~e . On en déduit que
Énergie potentielle électrostatique : L’énergie potentielle d’une particule de charge q dans
un champ électrique est simplement
Ep,el = qV
~ seul
III Particule chargée dans un champ E
1. Détermination de v : aspect énergétique
Œ
~ constant entre deux plaques métalliques chargées et distantes de d. On a alors
On peut produire E
~ orienté de l’anode + vers la cathode − (toujours dans le sens des potentiels décroissants) et a
E
C
pour norme E = Ud = VA −V
.
d
z
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Cathode
U
U
C
~
F~ = q E
~ = U ~ez
E
d
Vide poussé
A
Anode
+++++++++++++++++++++
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d
0
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~ ou B
~
Particule dans E
M4
~ est constant et dérive d’une énergie potentielle Ep telle que
F~ = q E
b
~ = qEdz = −dEp avec Ep (z) = −qEz + Cte
δW = F~ .dr
Relation analogue à celle de l’énergie potentielle de pesanteur Ep,pes = ±mgz + Cte
Exemple : si un électron (q = −e) part de C avec une vitesse nulle, il arrive en A avec la vitesse vA
telle que, d’après le théorème de l’énergie cinétique,
1
1
∆Ec = W ⇒ mvA2 − mvC2 =
2
2
Z
A
C
Œ
1
F~ .d~r ⇒ mvA2 − 0 = (−e)E
2
⇒ ∆Ec = qU ⇒ vA =
s
Z
0
d
dz ⇒ vA2 =
2e
2e
Ed = (VA − VC )
m
m
2e
U
m
et Ec (A) = eU J = U eV avec 1 eV = 1,6.10−19 J : énergie cinétique acquise par un électron accéléré
entre deux électrodes sous une différence de potentiel de 1 V.
A.N : Si U = 220 V, Ec = 220 eV et vA = 8,8.106 m.s−1 .
L’électron devient relativiste si v proche de c ≃ 3.108 m.s−1 ⇒ Ec > 500 keV.
z R
2. Trajectoire : application du PFD.
~ = E~ez .
On peut choisir R tel que M en O à t = 0, ~v0 dans yOz et E
mẍ = 0
mÿ = 0
mz̈ = qE
⇒
⇒
⇒
ẋ = 0
ẏ = v0 cos α
ż = qE
t + v0 sin α
m
⇒ x=0
⇒ y = v0 t cos α
qE 2
⇒ z = 2m
t + v0 t sin α
~v0
~
E
α
y
O
Pour déterminer la trajectoire, on doit éliminer le paramètre t.
x
• Si α = ± π2 , MRUA.
• Sinon, t =
b
y
v0 cos α
et z =
qEy 2
2mv02 cos2 α
parabole
+ y tan α
Z
Application : déviation d’un faisceau de particules.
Z
z
Cathode
U
d
~v0
0
~vS
F~
Parabole
MRU
vz
S
β
Écran
vy
q>0
y
~ =
E
Anode
U
e~
d z
p
~ =
Entre les deux plaques, E
D
U
e~
d z
~ = ~0 partout ailleurs.
et E
On recherche la déviation Z sur l’écran. On se retrouve dans le cas précédent avec
α=0⇒z=
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qEy 2
qUy 2
=
2mv02
2dmv02
tant que
06y6p
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~ ou B
~
Particule dans E
M4
tan β =
b
vz
vy
!
=
S
⇒Z=
dz/dt
dy/dt
!
S
=
dz
dy
!
=
S
qUp
Z − zS
=
2
dmv0
D
qUp
q U p
p
D + z(p) =
(D + )
2
2
dmv0
m d v0
2
Utilisations :
• Oscilloscope car Z proportionnel à U.
• En plaçant une fente en Z, on peut obtenir un filtre de particules car Z proportionnel à
un filtre de vitesse car Z dépend de v0 .
q
m
ou
~
IV Action de B
1. Aspect énergétique : conservation de l’énergie cinétique
b
~
Si F~L = F~m = q~v ∧ B,
dEc
dt
= P(F~ ) = F~ .~v = 0 et comme m = Cte et q = Cte, v = Cte.
Remarque : ~v peut varier car ~a =
~
F
m
6= ~0.
2. Trajectoire : PFD + méthode classique ou des complexes.
~ = B~ez , M en O à t = 0 et ~v0 dans
On peut choisir R tel que B
xOz.
Par utilisation du PFD
v̇x
vx
0
qBvy
~
m~a = q~v ∧ B ⇐⇒ m v̇y = q vy ∧ 0 = −qBvx
v̇z
vz
B
0
z R
α
~v0
~
B
y
O
qB
m
(s−1 ) la pulsation dite “cyclotron”,
v̇x
ωvy
(1)
x
⇒ système d’équations couplées suivant : v̇y = −ωvx (2)
v̇z
0
(3)
(3) ⇒ vz = v0 cos α ⇒ z = v0 t cos α
Pour résoudre le système {(1) + (2)}, on peut utiliser deux méthodes :
Et en posant ω =
Méthode classique :
par dérivation temporelle de (1), v̈x = ω v̇y = −ω 2 vx en utilisant (2).
On en déduit vx = Cte. cos ωt et comme vx (t = 0) = v0 sin α, vx (t) = v0 sin α cos ωt.
En reprenant (2), on obtient v̇y = −ωv0 sin α cos ωt et par integration, vy (t) = −v0 sin α sin ωt + 0
Méthode des complexes on peut retrouver ce résultat en passant par l’intermédiaire de calcul,
qui n’a pas de signification physique, C tel que
C = vx + jvy ⇒ Ċ = v̇x + j v̇y = ωvy − jωvx = −jωC
On se ramène ainsi à une équation différentielle (complexe) : Ċ = −jωC ⇒ C = C 0 e−jωt
et à t = 0, C = C 0 = vx0 + jvy0 = v0 sin α d’où
C = v0 sin αe−jωt = v0 sin α(cos(−ωt) + j sin(−ωt)) = vx + jvy
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~ ou B
~
Particule dans E
M4
et par identification,
vx = v0 sin α cos ωt
Équations paramétriques :
b
⇒x=
v0 sin α
sin ωt
ω
et
vy = −v0 sin α sin ωt
et en utilisant les conditions initiales,
et
y=
v0 sin α
v0 sin α
cos ωt + Cte =
(cos ωt − 1)
ω
ω
C’est l’équation paramétrique d’une hélice de rayon R =
2πv0 cos α
.
ω
Pour q < 0
~ z
B
C
=
v0 m sin α
qB
et de pas h = v0 cos αT =
z R
y
~
B
b
b
v0 sin α
ω
z = v0 t cos α
ωt
~v0
~er
α
F~
H
~v0
C
b
M
z
y
b
~eθ
b
~v
x
H
x
Remarque : on a superposition d’un MCU autour de C et d’un MRU suivant Oz, la trajectoire de
la particule tourbillonne autour de la direction du champ magnétique (lignes de champ Cf. EM).
3. Cas particulier de la trajectoire circulaire (cas au programme)
Dans le cas particulier mais assez courant où ~v0 est dans le plan Oxy, α =
xOy de rayon
v0
v0 m
R=
=
ω
|q|B
π
2
et on a un MCU dans
Vous devez être capable de retrouver rapidement le rayon de la trajectoire en admettant qu’elle
est circulaire.
On se place dans la base polaire de centre C, d’après le théorème de la puissance cinétique, la
vitesse est constante en norme. On a donc un MCU. L’accélération s’exprime facilement : ~a =
~ = m~a, soit en norme (comme B
~ et ~v sont orthogonaux)
−r θ̇2~er = −v02 /r~er . D’après le PFD, qv ∧ B
2
v
0
|q|v0 B = m r0 d’où r = mv
|q|B
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~ ou B
~
Particule dans E
M4
4. Applications
• Figure ci-dessous à gauche : détermination de la quantité de mouvement (p = mv) ou de la
p
charge d’une particule dans une chambre à bulles, par mesure de R = |q|B
• Spectrographes de masse, figure ci-dessus à droite. R dépend de M = mNA où NA est la
constante d’Avogadro et filtres de vitesse.
• Accélérateurs de particules non linéaires : exemple du cyclotron.
D1 D 2
~v0
~
B
u(t)
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~ ou B
~
Particule dans E
M4
Table des matières
I
Position du problème, forces en présence
1.
Hypothèses de travail
2.
Aspect Énergétique
~ seul
II Particule chargée dans un champ E
1.
Détermination de v : aspect énergétique
2.
Trajectoire : application du PFD.
~
III Action de B
1.
Aspect énergétique : conservation de l’énergie cinétique
2.
Trajectoire : PFD + méthode classique ou des complexes.
3.
Cas particulier de la trajectoire circulaire (cas au programme)
4.
Applications
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Lycée Poincaré