Sujet du TP
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TP modélisation récupération énergie 3A EMS RECUPERATION D’ENERGIE DE VIBRATION Modélisation et simulation Objectifs : Utiliser l’environnement Scilab/Xcos pour la modélisation et la simulation haut niveau d’un système complet de récupération d’énergie de type piézoélectrique Dimensionner le système pour l’adapter à une fréquence de vibration donnée 1. Présentation du sujet 1.1 Présentation de la structure étudiée Le système étudié est un système de récupération d’énergie de vibration de type piézoélectrique. Il se présente sous forme d’une poutre encastrée à l’une de ses extrémités et surmontée d’une masse à son autre extrémité. Vue de coté du système de récupération d’énergie La poutre est constituée d’un matériau support (cale) et de deux couches de matériau piézorésistif. Vue section de la poutre 1.2 Théorie et fonctionnement des (micro-)systèmes de récupération d’énergie de vibration 1.2.1 Rappel système mécanique du second ordre Les systèmes de récupération d’énergie de vibration reposent sur la conversion de l’énergie mécanique d’une masse mobile en énergie électrique. Le système mécanique peut être modélisé en première approche par un système mécanique du second ordre de type masseressort amorti illustré ci-contre. Avec m la masse de la masse mobile, k la constante de raideur du ressort, be et bm les amortissements. On distingue bm, l’amortissement mécanique -lié au frottement visqueux lors du déplacement, aux pertes dans les couches de matériaux et à leurs interfaces- de be, l’amortissement électrique dû à la conversion d’énergie mécanique en énergie électrique. 1 Système mécanique du second ordre amorti. M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie Le système mécanique est alors représenté par l’équation du mouvement : my (be bm ) y ky myext y ext représente l’accélération des vibrations extérieures agissant sur le système masse-ressort. La transformée de Laplace (voir annexe) permet d’écrire : Y(p) mp2 Yext (p) mp2 (b e b m )p k Expression de la puissance électrique convertie : La force électrique due à l’amortissement est : Fe be .y 1 2 La puissance électrique moyenne convertie lors du déplacement de la masse s’écrit : P Fe .y 2 v ( P b e v dv 1 b e v 2 ) 0 2 On adopte les notations : be 2men ; b m 2mmn ; 2n k / m et t e m pour exprimer la puissance convertie en fonction de l’accélération des vibrations. Les termes e et m sont respectivement les rapports d’amortissement équivalents électrique et mécanique. m e P() 2 t n 2 6 3n 1 n 2 2 Y 2 () Dans le cas d’un système résonant et d’une fréquence de vibration correspondant à cette résonance, la puissance convertie devient : P ( n ) m e 3n Y 2 ( n ) 4 2t Soit finalement : P ( n ) m e 4 2t n A 2 ( n ) La puissance convertie est maximum pour e m et vaut : P(n ) max m 16 m n A 2 ( n ) Analyse de cette formule : P ~ masse P ~ a2 P ~ 1/f 1.2.2 Paramètres du modèle masse-ressort en fonction de la géométrie et des matériaux Ce paragraphe concerne le lien entre la géométrie et les matériaux du système poutre-masse et le modèle masse-ressort. 2 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie Géométrie de la poutre : En première approximation la masse de la poutre est négligée par rapport à la masse utile en bout de poutre qui est elle considérée ponctuelle. On modélise alors le système par une poutre soumisse à une force à son extrémité (voir Annexe). La raideur k du ressort du modèle du 2nd ordre masse-ressort est alors : k longueur L, largeur a, épaisseur b 3YI L3 avec L la longueur de la poutre, Y le module d’Young du matériau constituant la poutre et I le moment d’inertie quadratique de la poutre (cf Annexe) valant ab3/12. 1.2.3 Conversion de l’énergie mécanique de type piézoélectrique Trois principes de conversion peuvent être mis en œuvre : électromagnétique, piézoélectrique et électrostatique. Ce paragraphe et ce sujet se focalisent sur la conversion de type piézoélectrique. Le principe repose sur l’effet piézoélectrique direct correspondant à la polarisation électrique sous l’action d’une contrainte. Les équations de la piézoélectricité sont : dE Y D E d avec : δ : déformation mécanique (strain) [m] σ : contrainte mécanique (stress) [N/m2] ε : constante diélectrique [C.V-1.m-1] d : coefficient piézoélectrique de déformation [m/V] Y : module d’Young [N/m2] E : champ électrique [V/m] D : déplacement électrique [C/m2] La présence de 2 couches de matériau piézoélectrique permet de doubler la réponse électrique à la déformation mécanique. Le système mécanique piézoélectrique est connecté à une circuit électronique en aval représenté par une résistance de charge RL Dans l’exemple de la figure, la couche supérieure de matériau piézoélectrique subit une contrainte en extension, la couche inférieure une contrainte en compression La charge à la surface des matériaux piézoélectrique s’exprime par : q 2D.a.L Le facteur 2 traduit le doublement de la réponse électrique par l’association en parallèle des couches piézoélectriques. La tension entre les surfaces des couches piézoélectrique est : V E.t p avec tp l’épaisseur de la couche piézoélectrique. Alors : dYV tp q 2.d.Y.a.L. 3 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie La variation de charge, donc le courant, et la tension au niveau des surfaces des couches piézoélectriques sont ainsi exprimées en fonction de la déformation et de la contrainte. On peut finalement, voir annexe, la puissance transférée à une charge RL : P n avec k 2piézo d 2 Ypiézo 1 2n 42m k 4piézo 2 * 2 2Ypiézodt piézob R LCp a 2 Ain 2 2 2 R LCpn 4m k piézo R LCpn 4m le coefficient de couplage piézoélectrique. En dérivant l’expression de la puissance transférée à la charge en fonction de RL, on peut obtenir la valeur de résistance de la charge optimale. R Lopt 2 m 1 C p 2 4 2 k 4 m La puissance optimale transférée dans le cas de la charge Ropt est alors : 2 2Ypiézodt piézob* CP a 1 2 P n 3 A in n 4 k 2 4 2 k 4 m piézo m piézo avec : la permittivité du matériau piézoélectrique, Ypiézo le module d’Young du matériau piézoélectrique, d le coefficient piézoélectrique de déformation, k 2piézo CP d 2 Ypiézo le coefficient de couplage piézoélectrique, 2 w piézol piézo t piézo la capacité des deux couches piézoélectrique associées en parallèle, tpiézo l’épaisseur des couches de matériau piézoélectrique, m le rapport d’amortissement équivalent mécanique, b* 3b b 2l b l m l e l 2b 2l 3 l b m 2 le coefficient reliant la déformation moyenne des fibres du matériau piézoélectrique au déplacement vertical de la poutre schéma de définition des longueurs de la poutre lb, de la masse lm et des électrodes le (inférieure ou égale à lb) schéma de définition des dimensions de la section de la poutre Remarque : le rapport d’amortissement équivalent électrique e s’écrit lui : e 2 k cp 2 2 4 1 R LCp 2 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie 2. Environnement Scilab/Xcos La simulation numérique est incontournable lors de la conception de systèmes. Simuler les phénomènes éventuellement multi-physiques (électronique, mécanique, thermique,…) permet d’en étudier le comportement et d’obtenir des résultats sans avoir à réaliser des prototypes et des expérimentations. Les logiciels de simulation sont largement utilisés dans l’industrie et la recherche pour l’étude, la modélisation et le dimensionnement de systèmes. Pour ce TP, vous utiliserez le logiciel Scilab1, équivalent gratuit et français de Matlab® et de Xcos l’outil de Scilab dédié à la modélisation et à la simulation des systèmes. Vous disposerez de fichiers préexistants décrits dans ce paragraphe. Les données numériques utilisées sont arbitraires pour illustrer les comportements du système. 2.1. Modèle du 2nd sous Scilab/Xcos K Rappel : forme canonique du 2nd ordre : H(p) 1 2 p2 p 2 n n avec p la variable de Laplace, K le gain statique, n la pulsation naturelle du système et le coefficient d’amortissement. 2.2. Description des fichiers Scilab et Xcos existants Le répertoire de travail comporte un fichier pour Xcos Modele2ndOrdre.zcos et un fichier script Modele2ndOrdre.sce. Modele2ndOrdre.zcos contient la modélisation graphique d’un système du 2nd ordre par sa fonction de transfert canonique en notation de Laplace. Ce fichier permet à partir des paramètres du système mécanique d’observer le signal temporel de sortie du système soumis à un signal d’entrée. parametreSimulationXcos.sce Modele2ndOrdre.zcos. contient les paramètres de la modélisation graphique ci-dessus : contenu du fichier Modele2ndOrdre.zcos. ci-contre le fichier script des paramètres utilisés dans Modele2ndOrdre.zcos Modele2ndordre.sce contient la modélisation d’un système du 2nd ordre par sa fonction de transfert canonique en notation de Laplace. Ce fichier permet à partir des paramètres du système mécanique d’évaluer les conditions et fréquence de résonance. Références bibliographiques S. Roundy, et al., Energy scavenging for wireless sensor networks, Kluwer Academic Publisher, (2004) Scilab pour les vrais debutants Xcos pour les vrais debutants 1 Contenu du fichier Modele2ndOrdre.sce pour la simulation fréquentielle du modèle du 2nd ordre. https://www.scilab.org/ 5 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie 2. Travail à faire 2.1. Modèle du 2nd ordre, prise en main de l’outil de simulation Objectifs : prendre en main l’outil de simulation et déterminer les conditions de résonance des systèmes du second ordre. A travers les simulations temporelles avec Xcos et les simulations fréquentielles à partir du script Modele2ndordre.sce déterminer les conditions de résonance du système et sa fréquence de résonance en cas de résonance. 2.2. Système du 2nd ordre masse-ressort amorti Pour la fréquence de vibration donnée en début de séance de TP, dimensionnez un système masseressort amorti approprié. Dans le cas des microsystèmes, l’amortissement mécanique typiquement atteignables sont de l’ordre de : 0.01-0.02. On considère une accélération des vibrations de 1m/s2. Evaluer la puissance maximum convertie par votre structure. 2.3. Micro-système pour la récupération d’énergie de vibration Proposer une structure et un procédé de fabrication. Précisez au mieux : les dimensions géométriques les matériaux utilisés les étapes de fabrication Matériau limite d’élasticité (GPa) microdureté module Knoop d’Young (kg/mm2) (GPa) densité (g/cm3) conductivité thermique (W/cm.K) Si SiO2 Si3N4 Al Acier polystyrène ABS 7 8.4 14 0.17 2.1 0.03-0.1 0.04 850 820 3486 130 660 2.3 2.5 3.1 2.7 7.9 1.05 1.05 1.57 0.014 0.19 2.36 0.329 0.001-0.0013 0.0017 propriété coefficient de déformation d31 coefficient de déformation d33 coefficient de couplage k31 coefficient de couplage k33 constante diélectrique module d’Young résistance de rupture à la traction 190 73 385 70 200 2.3-4.1 2.1-2.4 coefficient d’expansion thermique (106/K) 2.33 0.55 0.8 25 17.3 30-210 80 unité 10-12 m/V 10-12 m/V CV/Nm CV/Nm ε/ε0 10 10 N/m2 PZT 320 650 0.44 0.75 3800 5.0 PVDF 20 30 0.11 0.16 12 0.3 AlN 2-4 2-4 -0.31 1.55 8-10 31 107 N/m2 2.0 5.2 - peut être déposé en bonnes propriétés pas fragile, grande couche mince, piézo, fragile surface compatible CMOS caractéristiques 6 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie Moment quadratique d’une poutre composite : on détermine le moment quadratique de la poutre en utilisant le théorème de transport de Huygens et on introduit une largeur équivalente pour le matériau de plus faible module Young. La largeur de chacune des couches présente dans la poutre est réduite dans le rapport de son module d’Young au module d’Young le plus élevé également présent. w e w piézo Ypiézo Ycale avec Ypiézo et Ycale respectivement les modules d’Young du matériau piézorésistif et du matériau support (cale) L’inertie I est calculée par superposition des inerties de chacun des couches puis ramenée à la fibre du neutre, i.e. ramené au barycentre (Théorème de transport de Huygens). I Ip ' I c I p ' w piézo t 3piézo Ypiézo w piézo t 3cale I 2 w piézo t piézob 2b 12 12Ycale Annexe Transformée de Laplace Intérêt : utilisée pour résoudre les équations différentielles et exprimer les fonctions de transfert des systèmes linéaire. La transformée de Laplace permet d’exprimer les régimes transitoires et permanents. Exemple : La dérivation est remplacée par une multiplication par la variable de Laplace p. L’intégration est remplacée par une division par la variable de Laplace p. Soit l’équation différentielle d’un circuit RC : RC dv C ( t ) vC (t) u(t) dt devient : pRC VC (p) VC (p) U(p) et permet d’exprimer la fonction de transfert du circuit : H(p) 1 1 pRC Définition de la fonction de Laplace : La transformée de Laplace d’une fonction f est définie par la fonction F telle que : F(p) Lf ( t ) e pt f ( t )dt 0 La variable de Laplace p est l’équivalent du j de la transformée de Fourier dans le régime permanent. 7 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie Flexion d’une poutre Objectif : déterminer l’expression analytique de la courbe génératrice y(x) d’une poutre encastrée soumise à une force. Hypothèses : • On se place dans le cadre de la théorie de l’élasticité (déformations faibles et réversibles). • On suppose que les forces appliquées (propre poids, pression, poids en bout de flèche) à la poutre sont uniquement verticales et réparties suivant une loi G(x). G(x) est une force par unité de longueur constante sur la largeur de la poutre. G(x) = dF/dx. • Soumise à une force, la poutre fléchit et sa géométrie est définie par la courbe génératrice y(x). On considère une tranche de la poutre à l’abscisse x. 1 : s’oppose à la chute de la tranche et donc développe une réaction verticale –T dirigée vers le haut 2 : développe un effort de signe opposé et très légèrement différent. Cette tranche est en équilibre sous l’action des réactions provenant des parties 1 et 2 de la poutre et de la force appliquée dF. L’équilibre de la tranche se traduit par une somme des forces sur la tranche nulle. G(x)dx (T dT) T 0 T est l’effort tranchant. Soit : dT G ( x ) dx équation donnant le lien entre force et effort tranchant. Moment fléchissant Les déformations des fibres (étirement, compression) correspondent à des contraintes appliquées aux surfaces de la tranche par 1 et 2. Le moment fléchissant est le moment de ces contraintes de surface. 8 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie La partie 1 tend à redresser la tranche vers le haut, la tranche subie donc de la part de 1 un moment fléchissant –M. Elle se trouve aussi soumise de la part de 2 au moment fléchissant M+dM. Le bilan des moments au centre de la tranche dx s’écrit : M (M dM) T En négligeant le terme d’ordre 2, on obtient : dx dx (T dT) 0 2 2 dM T dx équation donnant le lien entre le moment fléchissant et effort tranchant. Lors de la flexion, la longueur de la fibre neutre reste inchangée. Les fibres audessus s’allonge, celles au-dessous raccourcissent. On considère le rayon de courbure : dx d dx d(dx) ( y)d d(dx ) y Alors : dx dx d Reste à déterminer u ne expression reliant ρ à dx et dy. En partant de On obtient : 2 x 2 y 2 et dy 1 dx 1 d2y qui traduit le lien entre le rayon de courbure et dx, dy. dx 2 et ensuite Maintenant que l’on a exprimé les déformations des fibres, on peut les relier aux contraintes et évaluer le moment fléchissant résultant. dFsurface d(dx ) y Y Y dS dx Remarque : la somme des forces sur la surface en équilibre doit être nulle. dS ydS 0 Y Le moment sur la surface des forces de contraintes s’exprime par : M ydF surface Y y dS 2 YI avec I le moment d’inertie quadratique : I d’où : M YI y 2 dS d2y dx 2 9 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie Pour résumer : M YI d2y dx 2 dM d3y T YI 3 dx dx G dT d4y YI 4 dx dx Avec G YI d4y dx 4 l’équation de la génératrice de la poutre soumise à la force par unité de longueur G. Application : calcul de la flèche d’une poutre chargée à son extrémité Poutre encastrée d’un coté, soumise à une force F à l’extrémité. Flèche à l’extrémité de la poutre ? A.N. : Longueur : L = 200 [µm], largeur : a = 20 [µm], épaisseur : b = 2 [µm] ; E Si = 190 [Gpa] Force appliquée : 5 [nN] Conditions aux limites : À l’extrémité libre, on a un effort tranchant T(L)=F et le moment fléchissant est nul (la surface est libre) M(L)=0 À l’extrémité encastrée, (x=0), l’angle alpha et le déplacement sont nuls. dy TL F ; M L 0 ; 0 dx 0 Expression du moment. dM TL F dx L Fdx [M(L) M(x)] M(x) x M( x ) F(L x ) Expression du moment quadratique I S y dS 2 S y dxdy 2 b 2 b 2 y 2a dy ab 3 12 10 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie M YI d2y dx 2 dy dy dy dx YI YI dx dx x dx x dx 0 2 x dy YI F Lx 2 dx x F x x 2 F Lx 2 x 3 y Lx dx YI 0 2 YI 2 6 x M( x )dx 0 x YI 0 d2y 2 On aboutit alors à l’expression de la flèche à l’extrémité : h FL3 4FL3 3YI Yab 3 Loi de comportement d’un ressort de raideur : k=3YI/L3 ; F=kx AN : h = 5.26 nm Application : calcul de la flèche d’une poutre chargée uniformément Poutre encastrée d’un coté, soumise à une force uniforme (P=F/S). Flèche à l’extrémité de la poutre ? A.N. : Longueur : L = 200 [µm], largeur : a = 20 [µm], épaisseur : b = 2 [µm] ; E Si = 190 [Gpa] Pression appliquée : P = 1 [N/m2] Conditions aux limites : dy TL 0 ; M L 0 ; 0 dx 0 dT G dx L LF F T G dx dx x cste 0 0 L L F T (L x ) L x F M T dx ( x L) 2 cste 0 2L x dy F F (x L) 2 dx (x L)3 cste dx 0 2YIL 6YIL F 1 x L4 L4 L3x y 6YIL 4 On en déduit a flèche à l’extrémité de la poutre : h 11 FL3 8YI M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie Associations de ressorts D’un point de vue pratique dans les systèmes miniaturisés, la masse mobile est retenue par plusieurs poutres de suspension et ces poutres de suspension peuvent adopter plusieurs configurations. L’association de poutres en parallèle conduit à sommer les constantes de raideurs de chacune des poutres pour obtenir la raideur de l’association. L’association de poutre en série conduit à une raideur équivalente inférieure à chacune des raideurs des poutres de l’association. http://www.chollet-han.org/resonat.html Récupération de l’énergie avec un système piézoélectrique Le système piézo-électrique peut être modélisé par un circuit électrique équivalent dans lequel les éléments mécaniques sont modélisés par des composants électriques suivant les correspondances suivantes : l’inductance Lm représente la masse, la résistance Rb représente l’amortissement mécanique, la capacité Ck représente l’inverse de la raideur, la charge représente le déplacement, le courant représente la vitesse, la tension représente la contrainte. Le transformateur de rapport n* symbolise la conversion de l’énergie mécanique en énergie électrique et vaut n* d.Y avec d le coefficient de contrainte piézoélectrique et Y le module d’Young. La capacité Cp est la capacité des couches piézo-électriques et RL représente la résistance de charge. 12 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie Modélisation électrique du système piézoélectrique Ce modèle permet d’aboutir à l’équation donnant la tension de sortie en fonction de l’accélération des vibrations et des paramètres du système : 1 b b** 2 k sp d 2 Yc V p 3 m p 1 R LCp m m b m b** mR C L p k sp 2Y dt b* p c c A in mR L C p a avec b* le lien entre la contrainte et le déplacement vertical, tel que : y / b* et b** le lien entre la contrainte et l’accélération verticale, tel que : in m b** y . et finalement la puissance transférée à la charge RL : P n avec k cp 1 2n 4 2 2Y dt b R L C 2p c c a 4 k cp R L C p n 2 * 2 4k cp 2 2 A in 2 R L C p n 4 d 2Y le coefficient de couplage piézoélectrique. En dérivant l’expression de la puissance transférée à la charge en fonction de RL, on peut obtenir la valeur de résistance de la charge optimale. R Lopt 1 2 C p 2 4 2 k 4 cp La puissance optimale transférée dans le cas de la charge Ropt est alors : 2 2Y dt b* Cp c c a 1 P n 3 2 2 n 4 k 4 k 4 2 A in Remarque : le rapport d’amortissement équivalent électrique e s’écrit lui : e 2 k cp 2 2 1 R LCp 2 Intensité acoustique Le décibel, dB ou dB SIL (Sound Intensity Level), est l’unité d’expression de l’intensité acoustique défini en prenant comme référence une intensité acoustique I0 1012 W.m2 correspondant au seuil de sensibilité de l’audition, suivant : I L 10. log I0 Si l’on considère que la source de vibration est un amplificateur audio dans une salle de concert. Le niveau d’intensité acoustique est 105dB. Evaluer l’intensité acoustique reçue par les microsystèmes placés à 10 mètres de la source acoustique. 13 M.D. 2015 TP modélisation récupération énergie Amortissement mécanique Sources d’amortissement : oAmortissement des vibrations par dissipation thermique d’énergie mécanique (multicouches, frontières entre couches) Par nature les matériaux aux propriétés viscoélastiques absorbent les contraintes planes pouvant naître à la frontière de deux couches de modules d’élasticité différents. oForces du fluide dans lequel est la structure Force de pression Force de frottement force de trainée (drag) : Fd C() S v2 2 Avec S la surface dans la direction de la vitesse, ρ la masse volumique, v la vitesse du mouvement, C le coefficient de pénétration et R le nombre de Reynolds. C dépend du type d’écoulement, laminaire ou turbulent par l’intermédiaire du nombre de Reynolds qui caractérise la nature de l’écoulement. Le nombre de Reynolds dépend de la géométrie de la structure et de sa vitesse de mouvement. Pour une sphère : vd V Avec v la vitesse du mouvement, d le diamètre de la sphère et V la viscosité cinématique du milieu fluide [m2/s]. (Exemple : air à 25°C, V=1.5x10-5 [m2/s]). Pour des nombres de Reynolds très faibles (<100), la traînée est essentiellement liée au frottements et elle est proportionnelle à la vitesse du mouvement. Pour les microsystèmes, modèle d‘amortissement empirique : D TD S S la surface, TD coefficient extrait des caractérisations (ordre de grandeur, 104-106), η la viscosité dynamique [Pa.s] (air à 25°C, , η = 1.8x10-5 [Pa.s] ). Contrainte maximum Contrainte maximum sur la fibre étirée sur le haut de la poutre. max M b I 2 Avec, le moment quadratique : I S y 2 dS 2I est le module de flexion élastique. b La condition de non rupture est : max limite élastique N/m2 Avec : M ( x) F ( L x) et I Soit : 3 ab pour une poutre de section a et b. 12 6 FL limite élastique ab 2 14 M.D. 2015
