cours

Cnam-Paris-2008-2009
CSC012
F.Guiraud
Lundi 19 Janvier 2009
Dérivation numérique (suite)
Calcul de la dérivée seconde
1 Schéma numérique
xj+1 - xj = ∆x . On part de la dérivée première centrée
∆x
∆x
f ' (x +
) − f ' (x −
)
2
2
f " (x)= lim
avec
c
h →0
h
∆x
f(x+∆x) - f(x)
∆x f(x) - f(x- ∆x)
et
f
‘
(
x
f‘ (x+2 )=
∆x
2 )=
∆x
c
c
f(x+ ∆x) -f(x) f(x) -f(x- ∆x)
∆x
∆x
2
soit f " (x) #
+ O(∆x )
∆x
c
f " (x) #
c
f(x+(∆x)) -2 f(x) + f(x-(∆x))
2
∆x
+ O(∆x
2
)
Calcul des dérivées troisième et quatrième
3 ∆x
∆x
∆x
∆x
∆x
f″ (x+ 2 ) - f″ (x- 2 )
f(x+ 2 ) -2 f(x+ 2 ) + f(x- 2 )
∆x
c
c
f "′ (x) #
; f " (x + 2 ) =
;
2
∆x
c
c
∆x
∆x
f " (x - 2 ) =
c
f "′ (x) #
; donc :
2
∆x
3 ∆x
∆x
∆x
3 ∆x
f(x+ 2 ) -3 f(x+ 2 ) + 3f(x- 2 ) - f(x- 2 )
c
(4)
f ( x) #
c
∆x
h
3h
f(x+ 2 ) -2 f(x - 2) + f(x- 2 )
3
∆x
∆x
∆x
f″' (x+ 2 ) - f″' (x- 2 )
∆x
f(x+2 ∆x) -3 f(x+ ∆x) + 3f(x) - f(x- ∆x)
c
c
(x +
;
f
"′
)
#
3
∆x
2
c
∆x
∆x
f(x+ ∆x) -3 f(x) + 3f(x- ∆x) - f(x-2 ∆x)
f "′ (x - 2 ) #
3
c
∆x
(4)
f(x+2 ∆x) -4f(x+ ∆x)+6 f(x)-4f(x- ∆x) + f(x-2 ∆x)
donc : f ( x) #
4
c
∆x
Si f est au moins 6 fois dérivable, on montre que
(4)
(4)
(6)
2
| f ( x) - f
(x) | ≤ C ∆x où C est un majorant de f ( x) sur [a,b]
c
1
Application : flexion d’une poutre encastrée
On considère une poutre OA de longueur L encastrée à chacune de ses extrémités, soumise à une force
transversale répartie sur sa longueur selon une densité f(x).
On montre que la flexion y(x) de la poutre au point M d’abscisse x vérifie l’équation différentielle :
4
d y(x)
4 = C f(x), C étant une constante dépendant de la poutre,
dx
L
On subdivise le segment [0,l] en n intervalles de longueur h = n , d’extrémités x = kh, 0≤ k ≤ n.
k
On pose pour tout k, tel que 0≤ k ≤ n, y = y(x ) et f = f( x ), densité de la force au point x
k
k
k
k
k
4
(4)
d y(x)
l’ approximation f
(x) soit :
On prend comme approximation de
4
c
dx
4
y -4y +6y -4y +y
dy
k-2
k-1
k
k+1
k+2
pour 3≤ k ≤ n.-3
4(x ) #
4
k
h
dx
Conditions aux limites
y(0)=0, y(L) = y =0, y’(0)= 0, y’(L)=0
n
dérivée décentrée à droite en x = L
y -y
n+1
n
y’ =
= 0 donc y = y = 0.
h
d
n+1
n
dérivée décentrée à gauche en x = 0
y -y
0
-1
y ’ = h = 0 donc y = y = 0
g
0
-1
Cette formule, compte tenu des conditions aux limites, reste valable pour k=1 ou k =2 et k= n-1 ou k = n-2
h
h
D’autre part, une approximation de la charge s’exerçant sur le segment [x - 2 , x + 2 ] est hf(x )= hf
k
k
k
k
Ecrire le système linéaire et le résoudre dans le cas où la charge est équirépartie, L = 10, n = 100, :
1
5
C h f = 9 donc
Représenter graphiquement y en fonction de x
%force uniforme
n=50;l=10;
h=l/n;
e=ones(n-1,1);A= spdiags([e -4*e 6*e -4*e e], -2:2, n-1, n-1);
f=l/9;
Y=A\e*f
hold on
for k=1:n-1
plot(k,-Y(k),'*')
end
hold off
2
4
x 10
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
0
5
10
15
20
25
]
3
30
35
40
45
50