cours

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Cnam-Paris-2008-2009 CSC012 F.Guiraud
Lundi 19 Janvier 2009
Dérivation numérique (suite)
Calcul de la dérivée seconde
1 Schéma numérique
x
j+1
- x
j
= ∆x . On part de la dérivée première centrée
f "
c
(x)= h
)
2
x
(x' f)
2
x
(x' f
lim
0
∆
−−
∆
+
→h avec
f ‘
c
( x +∆x
2 ) = f(x+∆x) - f(x) ∆x et f ‘
c
( x - ∆x
2 )= f(x) - f(x- ∆x) ∆x
soit f "
c
(x) #
f(x+ ∆x) -f(x)
∆x - f(x) -f(x- ∆x)
∆x
∆x + O(∆x
2 )
f "
c
(x) # f(x+(∆x
) ) -2 f(x) + f(x-(∆x ) )
∆x
2
+ O(∆x 2 )
Calcul des dérivées troisième et quatrième
f "′
c (
x) #
f″
c
(x+∆x
2) - f″
c
(x-∆x
2)
∆x ; f "
c (
x + ∆x
2 ) =
f(x+3 ∆x
2) -2 f(x+∆x
2) + f(x-∆x 2)
∆x
2
;
f "
c (
x - ∆x
2 ) =
f(x+∆x
2) -2 f(x - h
2) + f(x-3h 2)
∆x
2
; donc :
f "′
c (
x) #
f(x+3 ∆x
2) -3 f(x+∆x
2) + 3f(x-∆x 2) - f(x- 3 ∆x 2)
∆x
3
f(
4 )
c ( x) #
f″'
c
(x+∆x
2) - f″'
c
(x-∆x
2)
∆x ; f "′
c (
x +∆x
2 )
# f(x+2 ∆x) -3 f(x+ ∆x) + 3f(x) - f(x- ∆x)
∆x
3
f "′
c (
x - ∆x
2 )
# f(x+ ∆x) -3 f(x) + 3f(x- ∆x) - f(x-2 ∆x)
∆x
3
donc : f(
4 )
c ( x) # f(x+2 ∆x) -4f(x+ ∆x)+6 f(x)-4f(x- ∆x) + f(x-2 ∆x)
∆x
4
Si f est au moins 6 fois dérivable, on montre que
| f(
4)
( x) - f (
4)
c (
x) | ≤ C ∆x 2 où C est un majorant de f(
6)
( x) sur [a,b]

2
Application : flexion d’une poutre encastrée
On considère une poutre OA de longueur L encastrée à chacune de ses extrémités, soumise à une force
transversale répartie sur sa longueur selon une densité f(x).
On montre que la flexion y(x) de la poutre au point M d’abscisse x vérifie l’équation différentielle :
d
4
y(x)
dx
4
= C f(x), C étant une constante dépendant de la poutre,
On subdivise le segment [0,l] en n intervalles de longueur h = L
n , d’extrémités x
k
= kh, 0≤ k ≤ n.
On pose pour tout k, tel que 0≤ k ≤ n, yk = y(xk ) et fk = f( xk ), densité de la force au point xk
On prend comme approximation de d
4
y(x)
dx
4
l’ approximation f (
4)
c (
x) soit :
d
4
y
dx
4
(x
k
) #
y
k-2
-4y
k-1
+6y
k
-4y
k+1
+y
k+2
h
4
pour 3≤ k ≤ n.-3
Conditions aux limites
y(0)=0, y(L) = y
n
=0, y’(0)= 0, y’(L)=0
dérivée décentrée à droite en x = L
y ’d =
y
n+1
- y
n
h = 0 donc y
n+1
= y
n
= 0.
dérivée décentrée à gauche en x = 0
y ’g =
y
0
- y
-1
h = 0 donc y
0
= y
-1
= 0
Cette formule, compte tenu des conditions aux limites, reste valable pour k=1 ou k =2 et k= n-1 ou k = n-2
D’autre part, une approximation de la charge s’exerçant sur le segment [x
k -
h
2 , x
k
+ h
2 ] est hf(x
k
)= hf
k
Ecrire le système linéaire et le résoudre dans le cas où la charge est équirépartie, L = 10, n = 100, :
C h
5
f = 1
9 donc
Représenter graphiquement y en fonction de x
%force uniforme
n=50;l=10;
h=l/n;
e=ones(n-1,1);A= spdiags([e -4*e 6*e -4*e e], -2:2, n-1, n-1);
f=l/9;
Y=A\e*f
hold on
for k=1:n-1
plot(k,-Y(k),'*')
end
hold off

3
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
x 10
4
]